KOSTER III Model
Step 1 – Establish Goals
Nesta se¸c˜ao, vamos classificar o papel das intera¸c˜oes no sistema que, eventualmente, podem perturbar esse ponto fixo trivial. Vamos considerar novamente o termo de intera¸c˜ao gen´erico entre duas part´ıculas no sistema. Assim,
Sint[ψ<†, ψ<] = − X α,β,γ,δ Z 4 Y i=1 " d3p i (2π)3 # (2π)3δ(3)(p1+ p2− p3− p4)g(p1, p2, p3, p4) × ψδ,<† (p4) ψ†γ,<(p3) ψβ,<(p2) ψα,<(p1) . (3.27)
Se procedermos de maneira essencialmente an´aloga nesse caso e usando a seguinte identi- dade que pode ser facilmente demonstrada
δ(3)(p′1 + p′2− p′3− p′4) = b2δ(3)(p1+ p2− p3− p4), (3.28) obtemos Sint[ψ′†, ψ′] = − X α,β,γ,δ Z 4 Y i=1 " d3p′ i (2π)3 # (2π)3δ(3)(p′1 + p′2− p′3− p4′)g′(p′1, p′2, p′3, p′4) × ψδ′†(p4) ψ′†γ (p3) ψβ′ (p2) ψ′α(p1) , (3.29) onde temos g′(p′1, p′2, p′3, p4′) = g(bp′10, bp′20, bp′30, bp′40, bp′1⊥, bp′2⊥, bp′3⊥, bp′4⊥, p′1k, p′2k, p′3k, p′4k). (3.30)
Esse resultado significa que o termo de intera¸c˜ao entre duas part´ıculas no sistema defi- nido pela fun¸c˜ao de acoplamento g(p1, p2, p3, p4) permanece constante ao longo de todo o
3. O Grupo de Renormaliza¸c˜ao
do tipo marginal. Mesmo assim, temos, ainda, que analisar separadamente nessa fun¸c˜ao as contribui¸c˜oes advindas de suas vari´aveis independentes, ou seja, as energias pi0 e os
momentos pik e pi⊥. Vamos supor que essa fun¸c˜ao seja anal´ıtica e admita uma expans˜ao
de Taylor nessas vari´aveis, ou seja, g(p1, p2, p3, p4) = g0+ X i Aipi0+ X i Bipi⊥+ X i Cipik. (3.31)
Assim, levando em conta o resultado da Eq. (3.30), temos que
g′ 0 = g0 (Marginal), A′ i = bAi (Irrelevante), B′ i = bBi (Irrelevante), C′ i = Ci (Marginal).
Nesse resultado, podemos constatar que, como o fator b definido anteriormente ´e me- nor que um, os coeficentes associados `as energias e `as componentes perpendiculares do momento no sistema diminuem a cada itera¸c˜ao ao longo do processo de renormaliza¸c˜ao. Logo, essas quantidades fluem, naturalmente, para zero no limite de baixa energia (ou seja, s˜ao irrelevantes do ponto de vista do GR) e podem ser desprezadas na descri¸c˜ao efetiva do sistema. Al´em disso, podemos tamb´em ver que os coeficientes associados com a dependˆencia da fun¸c˜ao de acoplamento em rela¸c˜ao `as componentes paralelas dos momen- tos bem como o termo constante na expans˜ao de Taylor n˜ao variam ao longo do processo de renormaliza¸c˜ao. Por essa raz˜ao, essas contribui¸c˜oes s˜ao, de fato, marginais na teoria e, portanto, imprescind´ıveis na descri¸c˜ao da f´ısica de baixa energia desse sistema bidimen- sional. Como veremos, esse resultado ser´a de extrema importˆancia ao longo desta tese e, por isso, vamos voltar a discut´ı-la mais adiante.
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E interessante notar, tamb´em, que essa an´alise pode ser feita de maneira essencial- mente an´aloga para o caso em que o sistema se encontra confinado uma dimens˜ao espacial apenas. No entanto, nesse caso, n˜ao existe uma componente paralela `a superf´ıcie de Fermi
3. O Grupo de Renormaliza¸c˜ao
associada ao momento. Dessa forma, as intera¸c˜oes do sistema ser˜ao efetivamente descritas no limite de baixa energia apenas por constantes de acoplamento. Esse modelo efetivo, que explicaremos no pr´oximo cap´ıtulo, ´e conhecido como o modelo de g-ologia e ´e definido, de uma maneira geral, por quatro constantes de acoplamento (denominadas por g1, g2, g3
e g4). De fato, levando-se em conta apenas esses processos, podemos parametrizar todas
poss´ıveis intera¸c˜oes que ocorrem em baixas energias nesses sistemas.
Infelizmente, essa discuss˜ao que apresentamos n˜ao envolve ainda os efeitos associados `as flutua¸c˜oes quˆanticas do modelo que, como vimos, s˜ao fundamentais para a correta des- cri¸c˜ao de sistemas de baixa dimensionalidade. Para incluir esses efeitos analiticamente, o termo de intera¸c˜ao do modelo ´e, em geral, tratado dentro de um contexto perturbativo5.
No entanto, ao contr´ario do que possa parecer `a primeira vista, restringir a implementa¸c˜ao do m´etodo do GR a uma simples abordagem perturbativa n˜ao implica necessariamente em uma limita¸c˜ao s´eria dessa t´ecnica. Em muitas situa¸c˜oes de interesse f´ısico, o m´etodo do GR costuma ir al´em do simples regime perturbativo. O exemplo mais famoso disso con- siste no ponto fixo de Wilson-Fisher [81] que descreve corretamente os expoentes cr´ıticos associados `as transi¸c˜oes de fase de segunda ordem em v´arios sistemas f´ısicos mesmo em um regime de forte de acoplamento (ou seja, em d = 3).
O esquema perturbativo do GR pode ser implementado completamente dentro da abordagem de Wilson que foi explicada com detalhes ao longo deste cap´ıtulo. No entanto, essa an´alise se torna bastante complexa, principalmente, se considerarmos contribui¸c˜oes de ordens superiores na teoria como, por exemplo, at´e terceira ordem de perturba¸c˜ao (ou seja, at´e 2 loops)6. Isso est´a diretamente relacionado com o fato de que a abordagem de
Wilson consiste em trˆes etapas que devem sempre ser implementadas consistentemente. Dessa maneira, agora que j´a entendemos a id´eia impl´ıcita associada ao m´etodo do GR de uma maneira geral, torna-se interessante desenvolver uma abordagem alternativa que
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Ou seja, calculando-se apropriadamente os diagramas de Feynman correspondentes da teoria.
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Nos pr´oximos cap´ıtulos, vamos entender, mais precisamente, o papel central que essas contribui¸c˜oes desempenhar˜ao na teoria.
3. O Grupo de Renormaliza¸c˜ao
n˜ao contenha essas complica¸c˜oes e que, conseq¨uentemente, permita resolver de maneira direta essas dificuldades mencionadas. Esse m´etodo consiste na abordagem do GR de teoria de campos que, por sua vez, ´e totalmente equivalente ao m´etodo de Wilson para as teorias de campos ditas renormaliz´aveis. Vamos come¸car agora a discutir essa abordagem alternativa no restante deste cap´ıtulo. De fato, essa abordagem, como veremos, permitir´a incluirmos de maneira simples os efeitos das flutua¸c˜oes no sistema at´e qualquer ordem de perturba¸c˜ao na teoria. Por conseguinte, vamos, finalmente, poder extrair previs˜oes importantes sobre a natureza do estado fundamental de um dado sistema e caracterizar, tamb´em, suas excita¸c˜oes elementares de baixa energia.