Ginzburg-Wilson
Ao longo deste cap´ıtulo, discutimos as peculiaridades relacionadas com a natureza do estado fundamental associado a sistemas de baixa dimensionalidade na presen¸ca de intera¸c˜oes eletrˆonicas em geral. Por´em, pouco foi dito a respeito do papel da tempera- tura na dinˆamica desses sistemas. Intuitivamente, espera-se que, se incluirmos um banho t´ermico em um sistema cujo estado fundamental se encontra ordenado magneticamente, esse estado tender´a a reduzir suas correla¸c˜oes entre os spins devido `as excita¸c˜oes t´ermicas. Quando a temperatura atingir um certo valor cr´ıtico Tc maior que o parˆametro t´ıpico de
acoplamento J, esses spins n˜ao mais estar˜ao correlacionados em longas distˆancias e o mo- delo deixar´a de apresentar um ordenamento magn´etico macroscopicamente. Conseq¨uen- temente, podemos ter um cen´ario de transi¸c˜ao de fase termodinˆamica de segunda ordem no sistema entre uma fase ordenada e outra desordenada em Tc. Al´em disso, nessa tem-
peratura cr´ıtica, essas duas fases coexistem entre si, o que torna esse problema altamente n˜ao trivial. A teoria que explica esse tipo de transi¸c˜ao de fase (que ´e, tamb´em, conhecida como um fenˆomeno cr´ıtico) foi, inicialmente, desenvolvida por Ginzburg e Landau [2] no
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Esse termo ´e usado para diferenciar esse tipo de transi¸c˜ao da mais conhecida transi¸c˜ao de fase termodinˆamica (ou cl´assica) que ´e conseq¨uencia da competi¸c˜ao entre a energia interna do sistema e sua entropia.
2. O Modelo de Hubbard
in´ıcio da d´ecada de 50. Em seguida, essa teoria foi aperfei¸coada por Wilson [42] vinte anos depois para incluir o importante efeito das flutua¸c˜oes, que culminou, dessa maneira, no desenvolvimento da nossa no¸c˜ao moderna da chamada teoria do grupo de renormaliza¸c˜ao (GR) para a descri¸c˜ao desses sistemas. Essa teoria resultante ´e extremamente bem suce- dida e, normalmente, ´e denominada na literatura de teoria de Landau-Ginzburg-Wilson (LGW) para os fenˆomenos cr´ıticos.
Nessa teoria, o processo de transi¸c˜ao ´e descrito por meio de um fenˆomeno intr´ınseco do sistema denominado de quebra espontˆanea de simetria. O estado desordenado que se manifesta em temperaturas mais altas, em geral, possui todas as simetrias associadas `a Hamiltoniana que descreve o sistema (como, por exemplo, simetrias de conserva¸c˜ao de carga U (1) e de rota¸c˜ao de spin SU (2)). No entanto, pode ocorrer no estado ordenado que emerge quando se diminue a temperatura do sistema que alguma dessas simetrias n˜ao se manifeste. Quando isso ocorre, essa simetria (que, em geral, ´e cont´ınua) ´e dita quebrada espontaneamente no sistema. Para exemplificar nossa discuss˜ao, considere o caso de uma transi¸c˜ao de um paramagneto para um ferromagneto em um sistema com trˆes dimens˜oes espaciais (3d). No estado paramagn´etico (altas temperaturas) os spins se encontram completamente desordenados, de tal maneira que o sistema como um todo ´e invariante por rota¸c˜ao de spin SU (2). Em contrapartida, quando os spins se ordenam no estado ferromagn´etico (baixas temperaturas), o sistema “escolhe” um eixo de quantiza¸c˜ao para os spins se alinharem, quebrando, dessa maneira, espontaneamanente sua invariˆancia inicial de rota¸c˜ao de spin.
Al´em disso, uma quest˜ao que est´a intimamente ligada com o conceito de quebra espontˆanea de simetria cont´ınua ´e a no¸c˜ao de ordenamento de longo alcance ou ma- crosc´opico no sistema. De fato, sempre que o estado de baixa energia de um dado modelo apresentar quebra espontˆanea de simetria e, portanto, estiver situado em um ponto cr´ıtico, suas correla¸c˜oes nesse sistema se estender˜ao infinitamente no espa¸co real. Mais precisa- mente, isso significa que se calcularmos a chamada fun¸c˜ao de correla¸c˜ao entre quaisquer
2. O Modelo de Hubbard
dois pontos no sistema, ela n˜ao decai a zero mesmo se a separa¸c˜ao entre pontos for infi- nita. Portanto, toda a dinˆamica do sistema est´a acoplada e, por essa raz˜ao, dizemos que o sistema apresenta um ordenamento de longo alcance nesse estado. Esse ordenamento, por sua vez, ´e descrito por uma quantidade chamada parˆametro de ordem de longo alcance na teoria. No caso espec´ıfico da transi¸c˜ao paramagneto-ferromagneto descrita acima, o parˆametro de ordem ´e dado pela magnetiza¸c˜ao associada ao alinhamento dos spins no sistema.
Se a simetria cont´ınua for quebrada em um sistema quˆantico, outra conseq¨uˆencia in- teressante aparece. Nesse caso, como a Hamiltoniana que descreve o sistema ´e invariante pela simetria cont´ınua, o estado fundamental associado ao problema ´e infinitamente dege- nerado. No momento em que o sistema “escolhe” um entre esses infinitos estados, um novo tipo de excita¸c˜ao de natureza bosˆonica emerge dentro desse quadro. Essas excita¸c˜oes, por sua vez, n˜ao apresentam “gap” para serem excitadas e elas s˜ao comumentes chamadas de b´osons de Goldstone [77, 78]. Quando isso ocorre, dizemos que a simetria subja- cente do modelo se encontra realizada em um modo de Goldstone. Exemplos conhecidos de excita¸c˜oes de Goldstone s˜ao os fˆonons que aparecem devido `a quebra da simetria de transla¸c˜ao cont´ınua em uma rede cristalina e os m´agnons ferromagn´eticos que aparecem quando se quebra a simetria de rota¸c˜ao de spin na transi¸c˜ao paramagneto-ferromagneto descrita acima.
Em trˆes dimens˜oes espaciais, esse cen´ario de transi¸c˜ao “cl´assica” de segunda ordem sempre ´e v´alido. No entanto, quando passamos para o caso de sistemas definidos em dimens˜oes reduzidas como os modelos de baixa dimensionalidade discutidos ao longo de todo esse cap´ıtulo, essa teoria, infelizmente, n˜ao pode mais ser utilizada. Essa quest˜ao fica, particularmente, evidente em um famoso teorema conhecido como o teorema de Mermin-Wagner demonstrado para esses sistemas que vamos discutir a seguir.
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