7 Drøfting
7.2 Eksisterer det en direkte sammenheng mellom oljepris og risikonivå?
As condições de contorno são importantes, pois define como a solução geral da equação será moldada ao dispositivo, sendo que elas determinam como será a solução final, transformando a parte matemática em uma aplicação física [16]. Elas estudam a relação entre os campos eletromagnéticos imediatamente antes e depois de uma superfície de separação entre dois meios e as relações entre os campos são encontradas pelas equações de Maxwell [10].
Além disso, são úteis na determinação do campo em um lado do contorno se o campo no outro lado é conhecido. Obviamente, as condições serão ditadas pelos tipos de material do meio que são feitas.
Consideram-se as condições de contorno a uma interface separando: dielétrico
e dielétrico , condutor e dielétrico e condutor e espaço livre [11].
As equações diferenciais de Maxwell estabelecem relações entre as derivadas espaciais e temporais dos campos eletromagnéticos, densidade de carga e corrente. Caso a derivada espacial de uma função é finita, logo a sua função será contínua, ou seja, não haverá alteração no seu valor quando passar de um ponto para outro vizinho. Não haverá descontinuidade de um ponto para outro [10].
No entanto, ao longo das fronteiras onde o meio envolvido apresenta descontinuidade nas suas propriedades elétricas, os vetores do campo também são descontínuos e seu comportamento através das fronteiras é regida pelas condições de contorno [4].
Notamos que a densidade de carga só aparece na lei de Gauss para o campo elétrico, a densidade de corrente só aparece na lei de Ampére-Maxwell para o campo magnético, assim apenas estas poderão resultar em descontinuidade para determinadas componentes dos campos, através da passagem entre dois meios [10].
Caso ou ou ambos sofrem alguma variação descontínua, na superfície de separação entre os meios, os campos também serão descontínuos e as equações de Maxwell na sua forma diferencial não é aplicado [6].
27 Com a existência de campos elétricos somente nas direções e z, então as condições de contorno, para as estruturas cilíndricas, deverão ser aplicadas utilizando as seguintes condições [19]: Em ρ = h, sendo h = b – a: (4.52) (4.53) (4.54) (4.55)
Com a aplicação destas condições de contorno, as constantes dos campos elétrico e magnético são obtidas em função dos campos elétricos tangenciais e :
(4.56)
(4.57)
(4.58)
(4.59)
Com a obtenção das constantes dos campos eletromagnéticos, serão aplicadas as condições de contorno magnética na interface em que se localiza a fita condutora [5]:
(4.60)
(4.61)
As condições de contorno das expressões acima podem ser escritas na forma matricial, gerando uma matriz que relaciona os campos elétricos tangenciais à interface da fita e às densidades de corrente tangenciais. Esta é denominada de matriz admitância
28 ou impedância, de acordo com a forma em que a equação matricial é apresentada, segue abaixo:
(4.62)
(4.63)
Onde representa a matriz admitância, a matriz impedância, o vetor da densidade de corrente na fita condutora e é o vetor campo elétrico tangencial à interface da fita.
A matriz admitância é o inverso da matriz impedância e vice-versa, ou seja, e a matriz impedância é uma matriz simétrica, a sua inversa também é,
então [5].
(4.64)
(4.65)
Fazendo-se a substituição das constantes dos campos em função dos campos elétricos tangencias nas condições de contorno magnéticas e após manipulações algébricas obtém-se a matriz admitância [1]:
(4.66)
(4.67)
Em sua forma matricial:
(4.68)
29 Substituindo as constantes das equações (4.60) e (4.61) e desenvolvendo-as temos: (4.69) (4.70) (4.71) (4.72) onde (4.73) (4.74)
Ressalta-se que a inversão matricial é possível caso as matrizes de admitância e impedância sejam simétricas, ou seja, a admitância é inversa de e a inversa de : (4.75)
A partir disto, obtêm-se a impedância [Z] em função das densidades de corrente, conforme abaixo: (4.76) Temos que os termos da matriz [Z] são as componentes da função diádica de Green.
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4.5. Método de Galerkin
O método de Galerkin é usado com muita eficiência em análise de estruturas na faixa de micro-ondas e trata-se de um caso particular do método dos Momentos em que as funções de peso são consideradas iguais às funções de base e estas por sua vez são responsáveis pela aproximação dos resultados com os valores corretos, obedecendo às condições de contorno da estrutura em estudo. Desta forma, realiza-se o produto interno da equação matricial da impedância pelos conjugados das funções de base.
De acordo com a estrutura em estudo, cilíndrica, são definidas as funções de base que representam as características físicas das distribuições de corrente na antena. Esta escolha é de fundamental importância para a expansão dos campos tangenciais elétricos ou para expansão das densidades de corrente na antena. Como há campo elétrico fora da antena e esta área é maior e para isto seria necessário muitas funções de base, então são expandidas as densidades de corrente presente na antena, pois a área é menor e necessita de poucas funções de base [20-22].
(4.77)
(4.78)
em que “ ” é uma constante desconhecida, “ ” e “ ” representam coeficientes das funções de base existentes na fita condutora e “N” um número inteiro maior ou igual a 1 que representa a quantidade de funções de base utilizadas.
As funções de base sem condições de borda para patch retangular são [20-22]:
(4.79)
(4.80)
No domínio espectral temos:
31 (4.82)
Para a antena cilíndrica circular:
(4.83)
onde é o comprimento da antena e é o ângulo da formado pela curvatura da antena e = – /2 , m = 0,1,2,3.... e n = 0,1,2,3...
As funções de base com condições de borda para patch retangular são [20-22]:
(4.84) (4.85)
No domínio espectral temos:
(4.86) (4.87)
onde é a função de Bessel de primeira espécie de ordem zero.
Para antena cilíndrica circular:
32 Aplica-se o produto interno do sistema de equações com a função teste existente apenas na região da fita, que de acordo com o método de Galerkin utiliza a função teste igual à função de base da densidade de corrente.
A função teste existe em uma região complementar à função de base do campo elétrico, por isso o produto interno é nulo, resultando em um sistema de equações se torne homogêneo.
(4.89)
em que cada elemento da matriz K é descrito abaixo:
(4.90)
(4.91)
(4.92)
(4.93)
O determinante da equação matricial K resultará em uma solução da equação característica, em que a raiz complexa é a constante de propagação .
A frequência de ressonância é obtida através da associação do Método dos Momentos com o Método LTT.
4.6. Conclusão
Neste capítulo foi apresentado o desenvolvimento teórico do método LTT para uma antena de microfita cilíndrica circular e suas aplicações em foguetes, mísseis ou outras estruturas. Foram obtidas as equações de onda dos campos eletromagnéticos e as condições de contorno.
33 De acordo com as condições de contorno, aplicou-se o método de Galerkin para a expansão das densidades de corrente na fita metálica condutora.
As funções de base apresentadas são utilizadas para aproximar as densidades de corrente na fita metálica.
A frequência de ressonância é obtida a partir da determinação das raízes da equação característica.
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