Discussion – strengths and weaknesses

4.12 Equações constitutivas para o espessamento e fil-

tração

4.12.1 Obtenção das equações constitutivas para tensão nos só-

lidos e permeabilidade do meio poroso utilizando a meto-

dologia desenvolvida por Damasceno (1992)

De posse das distribuições de concentrações εs(z) obtidas em sedimentos formados a partir

de testes de sedimentação em batelada pode-se determinar as funções da pressão nos sóli- dos e permeabilidade do meio poroso, supostas como funções exclusivas da concentração local de sólidos.

Damasceno (1992) desenvolveu uma metodologia que pode ser empregada para de- terminar as relações da pressão nos sólidos e permeabilidade com a porosidade do meio a partir da consideração das seguintes hipóteses:

• O escoamento através do meio poroso é lento e unidimensional em regime perma- nente;

• A força resistiva é dada pela lei de Darcy;

• A tensão nos sólidos é função exclusiva da porosidade local;

• Os termos inerciais da equação do movimento dos sólidos são desprezíveis.

Com a adoção de tais suposições, as equações da continuidade, Equações (3.73) e (3.73), e do movimento Equação (3.75) se reduzem a:

d dz (εsvs) = 0 (4.37) d dz (εfvf) = 0 (4.38) dPs dz = µεf k (εf) (vf − vs) + (ρs− ρf) εsg (4.39)

A integração das Equações (4.37) e (4.38) leva às relações apresentadas a seguir:

εsvs = qs = cte (4.40)

118 4.12. Equações constitutivas para o espessamento e filtração

Substituindo-se as Equações (4.40) e (4.41) na Equação (4.39) obtém-se, dPs dz = µεf k (εf)  qf εf − qs εs  + (ρs− ρf) εsg (4.42)

As equações constitutivas para Ps(εf) e k (εf) podem ser determinadas a partir da

Equação (4.42) uma vez conhecidas as velocidades superficiais de ambos os constituintes líquido e sólido e a distribuição de concentrações no sedimento (DAMASCENO, 1992).

Para o caso específico de um meio poroso estático formado pela decantação de uma suspensão no interior de um tubo vertical, não ocorrendo percolação de líquido pelo meio poroso, a Equação (4.43) permite obter a relação entre a pressão nos sólidos e a concentração local de sólidos no sedimento,

Ps= (ρs− ρf) g

Z L

0

εs(z)dz (4.43)

onde z é a distância vertical medida a partir do topo do sedimento de comprimento L. As distribuições de concentrações no sedimentos são obtidas através do procedimento experimental descrito na seção 4.11.

A partir da Equação (4.42) pode-se realizar um novo experimento no qual o líquido é filtrado, sob vazão constante, através do sedimento sustentado por uma placa porosa que por sua vez retém a passagem dos sólidos (qs=0). A permeabilidade local pode ser obtida

bastando apenas conhecer a nova distribuição de concentrações que se forma durante a filtração do líquido através da Equação (4.44).

k = µqf dPs dεf dεf dz − (ρs− ρf) εsg (4.44)

Para a nova distribuição de concentrações abre-se a válvula da mangueira abaixo da placa porosa no recipiente de testes B, de modo a permitir um escoamento lento e contínuo. A saída do líquido ocorre por gotejamento sob vazão constante graças ao efeito causado pela admissão de ar ao tubo, que por sua vez funciona como um frasco de Mariotte. A parte inferior do tubo de suprimento de ar fica mergulhada dentro do líquido clarificado, garantindo manter a pressão atmosférica naquele ponto. À medida que o líquido escoa através do sedimento, o ar adentra pelo tubo mantendo a pressão interior constante. Depois de alcançada tal condição, procede-se a novas medidas de concentração. Fixa-se a voltagem em 900 V, posiciona-se a fonte de raios γ na altura desejada a partir da base da proveta e mede-se 30 vezes a contagem de pulsos para cada posição. A região do sedimento deve ser percorrida pelo feixe ao longo de seu comprimento, começando-se em

4.12. Equações constitutivas para o espessamento e filtração 119

1 cm acima da base da proveta e avançando-se de 1 em 1 cm até que seja constatada uma variação igual ou superior a 1% de uma posição para a outra. A partir desta posição mede-se de 0,5 em 0,5 cm até o topo do sedimento.

Obtidas as distribuições de concentrações em experimentos mantidos sob as condições de escoamento e não escoamento pode-se determinar as funções da pressão nos sólidos e permeabilidade do meio poroso, supostas como funções apenas da concentração local de sólidos.

De posse dos pontos experimentais medidos aplica-se técnicas de regressão não-linear para obtenção da função εs(z). A função referente às pressões nos sólidos é calculada

efetuando-se integração da função εs(z) obtida através dos testes não submetidos à per-

colação do líquido, fazendo-se uso da Equação (4.43). A função permeabilidade por sua vez é determinada através da Equação (4.44).

4.12.2 Determinação da permeabilidade do meio poroso de siste-

mas diluídos

A permeabilidade de um sistema sólido-líquido pode ser determinada através de diferentes técnicas, dentre as quais destaca-se a atenuação de raios γ utilizada por Damasceno (1992) e Arouca (2003), por ser uma técnica não-invasiva.

Arouca (2003) utilizou a técnica de atenuação de raios gama para estimar parâmetros de uma equação constitutiva para permeabilidade em suspensões aquosas de caulim em altas concentrações empregando a metodologia desenvolvida por Damasceno (1992). En- tretanto, a permeabilidade do sistema determinada no trabalho é válida para uma elevada faixa de concentração de sólidos, 26 a 34% em volume. A metodologia desenvolvida por Damasceno (1992) para a determinação de parâmetros de equações constitutivas para a permeabilidade conduz a bons resultados para sistemas concentrados, todavia não pode ser aplicada para concentrações menores que a concentração crítica, por se tratar do monitoramento de sedimentos em testes estáticos.

Silva (2004) utilizou uma metodologia alternativa com o objetivo de determinar uma equação constitutiva válida numa faixa mais ampla, abrangendo principalmente o caso de sistemas diluídos. Tal metodologia teve como base testes de sedimentação em proveta nos quais a interface superior foi monitorada com o tempo, na região de sedimentação livre. A metodologia empregada por Silva (2004) é uma modificação da metodologia desenvolvida por Damasceno (1992) para o caso em que a pressão nos sólidos pode ser desprezada, no entanto difere-se ainda por se tratar de ensaios dinâmicos.

120 4.12. Equações constitutivas para o espessamento e filtração

Em um teste de sedimentação em proveta com concentração inicial menor que a concentração crítica observa-se que nos primeiros instantes a interface superior apresenta velocidade de queda constante, como ilustra a Figura 4.13.

Figura 4.13: Teste de sedimentação em proveta para determinação da permeabilidade.

Tendo em vista que na região de sedimentação livre o efeito de pressão nos sólidos pode ser negligenciável (Ps≈ 0) e a velocidade de queda da interface superior é constante

e igual a velocidade de queda dos sólidos nela contidos, a equação do movimento para o sólido, Equação (3.75), após as devidas simplificações e explicitando-se k pode ser reescrita na forma:

k = µνs (ρs− ρf)εsg

(4.45)

De posse da Equação (4.45) pode-se determinar permeabilidades em meios porosos formados em suspensões de baixas concentrações volumétricas iniciais (sistemas diluídos). Para tanto realizam-se testes de proveta utilizando o recipientes de testes A (descrito na seção 4.1), afixando-se uma escala graduada para o monitoramento do deslocamento da interface superior com o tempo. Cada suspensão com concentração volumétrica de sólidos conhecida é inicialmente homogeneizada no interior da proveta. Aciona-se um cronômetro digital imediatamente depois de cessada a homogeneização. Em seguida, faz-se leituras da posição da interface superior e do tempo correspondente. Ao final do teste, os dados de posição versus tempo são analisados graficamente. Determina- se a velocidade inicial de sedimentação do sólido, vs0, na concentração inicial do teste