Difficulties in plastics recycling

Nesta se¸c˜ao estabeleceremos o resultado de existˆencia e unicidade de solu¸c˜ao para o problema (2.13)-(2.14) com dados mais fracos e concluiremos que o limite inv´ıscido ainda continua v´alido.

Lema 4.2.1. Sejam u0 ∈ V e ω0 = curl u0 ∈ L∞(Ω). Ent˜ao existe uma sequˆencia {uδ0} ⊂

W, com ωδ

0 = curl uδ0 ∈ L∞(Ω) satisfazendo

ω₀δ _{→ ω}0 em L2(Ω) e ||ω0δ||L∞_(Ω)≤ C||ω₀||_L∞_(Ω).

Prova:. Tomemos d a fun¸c˜ao definida em (4.1) e Uδ _{={x ∈ Ω : d(x) < δ}. Pela Teorema}

1.2.12, existe δ > 0 tal que a proje¸c˜ao ortogonal π : Uδ _{7→ ∂Ω est´a bem definida e ´e de}

classe C1_{. Observe que pelo Teorema da Convergˆencia Dominada, |U}δ_{| =}

Z Uδ 1 dx → 0, quando δ→ 0. Consideremos 0 < δ′ ₌ δ 2 < δ. Sejam ζδ ∈ C ∞

0 (Ω) tal que 0 ≤ ζδ ≤ 1 com ζδ = 1

em Ω_{− U}δ_{, ζ}

δ = 0 em Uδ

′

estendemos o dom´ınio de ω0 para R2, de forma que em R2− Ω a fun¸c˜ao ω0 seja nula.

Para cada G ∈ L∞_{(∂Ω), seja}

βG(x) = ζδ(x)Jδ∗ ω0(x) + (1− ζδ(x))e−

d(x)

δ G(π(x)), x∈ Uδ.

Como G◦ π est´a sendo multiplicado por uma fun¸c˜ao que se anula fora de Uδ_{, podemos}

assumir que G◦ π se anula fora de Uδ _{e portanto que β}

G(x) est´a definida em todo Ω.

Por constru¸c˜ao, como ∂Ω _{⊂ U}δ′

, as fun¸c˜oes d(x) e ζδ(x) s˜ao nulas em ∂Ω e portanto

γ0(βG) = βG|∂Ω= G.

Para todo 1≤ q < ∞, pelo Lema 4.1.3 temos a desigualdade ||βG||Lq_(Ω) ≤ ||ζ_δ(x)J_δ∗ ω₀(x)||_Lq_(Ω)+||(1 − ζ_δ(x))e−

d(x)

δ G(π(x))||_Lq_(Ω)

≤ ||Jδ∗ ω0(x)||Lq_(Ω)+||G(π(x))||_Lq_(Ω) ≤ ||ω₀(x)||_Lq_(Ω)+||G(π(x))||_Lq_(Ω)

≤ c(||ω0||L∞_(Ω)+||G ◦ π||_L∞_(Ω)) = c(||ω₀||_L∞_(Ω)+||G||_L∞_(∂Ω)). (4.3)

e portanto βG∈ Lq(Ω). Por (4.2), existe vG ∈ H ∩ W1,q(Ω)2 tal que

KΩ[βG] = vG

e nestas condi¸c˜oes, consideraremos a aplica¸c˜ao

Ψ(G) = (2k_{− α)v}G· τ.

i) A aplica¸c˜ao Ψ est´a definida de L∞_{(∂Ω) em L}∞_(∂Ω).

De fato, tome G ∈ L∞_{(∂Ω) e observe que o Teorema do Tra¸co garante que v}

G ∈

W1−1q,q(∂Ω). Para q > 2, o Teorema das Imers˜oes de Sobolev garante que W1− 1

q,q(∂Ω)⊂

L∞_{(∂Ω), conclu´ımos que (2k− α)v}

G· τ ∈ L∞(∂Ω), como quer´ıamos.

ii) A aplica¸c˜ao Ψ ´e uma contra¸c˜ao.

com os campos de vetores vG1 e vG2. Pelo Lema 4.1.4, ∀q ∈ (2, ∞) ||Ψ(G1)− Ψ(G2)||L∞_(∂Ω) ≤ ||2k − α||_L∞_(∂Ω)||v_G1− v_G2||_L∞_(∂Ω) ≤ C||β_G1− β_G2||_Lq_(Ω) = C_{||(1 − ζ}δ(x))e− d(x) δ  G1(π(x))− G2(π(x))  ||Lq_(Ω) ≤ C||G₁◦ π − G₂◦ π||_Lq_(Ω) = C Z Uδ   G1◦ π − G2◦ π    q dx1/q ≤ C||G1− G2||q_L∞_(∂Ω) Z Uδ 1 dx1/q = C|Uδ_|1/q_||G 1− G2||L∞_(∂Ω).

Portanto, para δ suficientemente pequeno, Ψ ´e uma contra¸c˜ao.

Como L∞_{(∂Ω) ´e um espa¸co de Banach, a afirma¸c˜ao ii) garante, para δ pequeno, que a}

aplica¸c˜ao Ψ possui um ponto fixo, ao qual denotaremos por Gδ. Tamb´em, denotaremos

βGδ por ω

δ 0.

Vamos verificar que ωδ

0 ∈ L∞(Ω) e que KΩ[ω0δ] = uδ0 ∈ W. Como Gδ ∈ L∞(∂Ω),

ent˜ao Gδ ◦ π ∈ L∞(Ω). Pelo j´a conclu´ıdo anteriormente, para todo q ∈ (2, ∞) temos

ωδ

0 ∈ Lq(Ω), uδ0 ∈ W1,q(Ω) e portanto Ψ(Gδ) ∈ W1−1/q,q(∂Ω). Como Gδ ´e um ponto

fixo de Ψ, Gδ ∈ W1−1/q,q(∂Ω). Mas Gδ = γ0(ω0δ), assim o Teorema do Tra¸co garante que

ωδ

0 ∈ W1,q(Ω). Como pelo Teorema das Imers˜oes de Sobolev obtemos a imers˜ao cont´ınua

W1,q_{(Ω) ֒→ H}1_{(Ω), ω}δ

0 ∈ H1(Ω). Usando (4.2) conclu´ımos que uδ0 ∈ H2(Ω). Como por

constru¸c˜ao KΩ[ωδ0] ∈ H, temos que uδ0 ∈ H e assim para que uδ0 esteja em W, resta-nos

concluir que ele satisfaz a condi¸c˜ao de fronteira 2_D(uδ

0)ν· τ + αuδ0· τ = 0. Para isso, observe

que por Gδ ser um ponto fixo de Ψ, temos em ∂Ω que

ωδ_0|∂Ω= Gδ = Ψ(Gδ) = (2k− α)uδ0· τ

e assim

ωδ₀|∂Ω− (2k − α)uδ0· τ = 0.

Pelo Lema 2.1.5 conclu´ımos que

0 = ω₀δ_|∂Ω− 2kuδ0· τ + αuδ0· τ = 2D(uδ0)ν· τ + αuδ0· τ

e portanto uδ0 ∈ W.

an´alogo ao (4.3) temos ||ωδ

0||L∞_(Ω) ≤ ||ω₀||_L∞_(Ω)+||G_δ||_L∞_(∂Ω).

Para estimar_||Gδ||L∞_(∂Ω) observamos pelo Teorema das Imers˜oes de Sobolev, pelo Teorema

do Tra¸co, pelo Teorema de Poincar´e, pelo Lema 2.1.3 e por (4.3) que

||Gδ||L∞_(∂Ω) ≤ ||2k−α||_L∞_(∂Ω)||K_Ω[ωδ₀]||_L∞_(∂Ω)2 ≤ c||K_Ω[ω₀δ]||_W1−1/q,q_(∂Ω)2 ≤ c||KΩ[ω0δ]||W1,q_(Ω)2

≤ c||ωδ

0||Lq_(Ω) ≤ c{||ω₀||_L∞_(Ω)+|Uδ|1/q||G_δ||_L∞_(∂Ω)}.

Assim para δ pequeno o suficiente obtemos

||Gδ||L∞_(∂Ω) ≤ c||ω₀||_L∞_(Ω).

Finalmente, para tratarmos da convergˆencia basta notarmos que pelo Lema 4.1.3 ζδ(x)Jδ∗ ω0(x)

δ→0

−→ ω0(x)

segundo a topologia de L2_{(Ω) e portanto resta-nos concluir que o outro termo tende a 0}

quando δ_{→ 0. Para isso, como} ||(1 − ζδ(x))e−

d(x)

δ G_δ(π(x))||_L2_(Ω) ≤ ||G_δ(π(x))||_L2_(Uδ₎ ≤ |Uδ|1/2||G_δ||_L∞_(∂Ω)

(4.4) garante que a igualdade acima se reduz a ||(1 − ζδ(x))e−

d(x)

δ G_δ(π(x))||_L2_(Ω) ≤ c|Uδ|1/2||ω₀||_L∞_(Ω).

Assim, quando δ _{→ 0 temos que (1 − ζ}δ(x))e−

d(x)

δ G_δ(π(x)) → 0 em L2(Ω), o que garante

que ωδ

0 → ω0 em L2(Ω).

Teorema 4.2.2. Sejam f ∈ L2_{(0, T ; H), com curl f ∈ L}2_{(0, T ; L}∞_{(Ω)), u}

0 ∈ V , com

curlu0 ∈ L∞(Ω) e 0 < µ ≤ 1. Ent˜ao existe uma ´unica solu¸c˜ao uµ ∈ L2(0, T ; V ) com

∂tuµ ∈ L2(0, T ; V′) e ωµ = curl uµ ∈ L∞(Ω× (0, T )) para o problema variacional (2.13)-

(2.14). Ainda mais, _{uµ_{, ω}µ_{} satisfaz as estimativas (3.3)-(3.5).}

de modo que a sequˆencia _{ωδ

0} ⊂ L∞(Ω) converge para ω0 segundo a topologia de L2(Ω).

Considere fδ _{∈ H}1_{(0, T ; H) a regulariza¸c˜ao de f na vari´avel t. Nestas condi¸c˜oes, pelo}

Teorema 2.2.3 o problema (2.13)-(2.14), com uδ

0 como a velocidade inicial, ωδ0 como a vor-

ticidade inicial e fδ _{como o termo de for¸ca, possui uma ´unica solu¸c˜ao u}δ,µ_{∈ C}0_{([0, T ];W),}

∂tuδ,µ∈ L2(0, T ; V ) e ωδ,µ= curl uδ,µ∈ C0([0, T ]; H1(Ω))∩ L∞(Ω× (0, T )). Da Proposi¸c˜ao

3.0.6 sabemos que essa solu¸c˜ao satisfaz as estimativas ||uδ,µ_||

L∞_{(0,T ;L}2_(Ω)2₎+√µ||uδ,µ||_L2_{(0,T ;V )}≤ C{||uδ₀||_L2_(Ω)2 +||fδ||_L2_{(Ω×(0,T ))}2} (4.4)

||ωδ,µ||L∞_{(Ω×(0,T ))} ≤ CE_δ (4.5)

||∂tωδ,µ||L2_{(0,T ;H}−2_(Ω))≤ C(E_δ+ E_δ2) (4.6)

onde

Eδ =||uδ0||L2_(Ω)2 +||curl uδ₀||_L∞_(Ω)+||curl fδ||_L2_{(0,T ;L}∞_(Ω))+||fδ||_L2_{(Ω×(0,T ))}2.

Note que pelo Teorema de Poincar´e, pelo Lema 2.1.3, pelo Lema 4.1.3 e pelo Lema 4.2.1 conseguimos que Eδ ≤ ||∇uδ0||L2_(Ω)4 +||ω₀δ||_L∞_(Ω)+||curl fδ||_L2_{(0,T ;L}∞_(Ω))+||fδ||2_L2_{(Ω×(0,T ))}2 ≤ C||ω0δ||L∞_(Ω)+||ω₀δ||_L∞_(Ω)+||curl fδ||_L2_{(0,T ;L}∞_(Ω))+||fδ||2_L2_{(Ω×(0,T ))}2 ≤ c||ω0||L∞_(Ω)+||curl f||_L2_{(0,T ;L}∞_(Ω))+||f||_L2_{(Ω×(0,T ))}2 | {z } ˜ E  . (4.7)

Neste ponto, utilizaremos (4.7) buscando limita¸c˜oes, para uδ,µ_{, ω}δ,µ _{e ∂}

tωδ,µ indepen-

dentemente de δ.

Observemos que (4.5) e (4.7) garantem ||ωδ,µ_||

L∞_{(Ω×(0,T ))}≤ CEδ ≤ C ˜E. (4.8)

Note tamb´em que o Teorema de Poincar´e, o Lema 2.1.3 e (4.8) garantem ||uδ,µ_||

L2_{(0,T ;V )} ≤ C||ωδ,µ||_L2_{(Ω×(0,T ))}2 ≤ C ˜E. (4.9)

obtemos a desigualdade |h∂tuδ,µ(t), vi| ≤ 2µ    Z ΩD(u δ,µ_{(t)) :D(v) dx}  +    Z Ω (uδ,µ(t)· ∇)uδ,µ_{(t)v dx}  +µ  Z ∂Ω α(uδ,µ(t)_{· τ)(v · τ) dS}  +    Z Ω fδ(t)v dx .

Com o aux´ılio do Teorema do Tra¸co, do Lema 2.1.3 e do Lema 2.2.2, conseguimos |h∂tuδ,µ(t), vi| ≤ 2µ||uδ,µ||V||v||V + c||uδ,µ||L2_(Ω)2||∇uδ,µ||_L2_(Ω)4||∇v||_L2_(Ω)4

+ µ_||uδ,µ_||V||v||V +||fδ||L2_(Ω)2||v||_V

que se resume a estimativa

|h∂tuδ,µ(t), vi| ≤ 3µ||uδ,µ||V + c||uδ,µ||L2_(Ω)2||∇uδ,µ||_L2_(Ω)4 +||fδ||_L2_(Ω)2.

Como 0 < µ ≤ 1, tomando o supremo em ambos os lados com rela¸c˜ao aos v ∈ V cuja ||v||V ≤ 1 obtemos

||∂tuδ,µ(t)||V′ ≤ C



||uδ,µ||V +||uδ,µ||L2_(Ω)2||∇uδ,µ||_L2_(Ω)4 +||fδ||_L2_(Ω)2

 . Fica claro que por (4.4)-(4.9) obtemos

||∂tuδ,µ||L2_{(0,T ;V}′₎ ≤ C( ˜E + ˜E2). (4.10)

Com isso, quando δ → 0, {ωδ,µ_{} fica limitado em L}∞_{(Ω× (0, T )), {u}δ,µ_{} fica limitado}

em L2_{(0, T ; V ) e {∂}

tuδ,µ} fica limitado em L2(0, T ; V′). Como j´a feito no Teorema 3.0.7,

conseguimos que uδ,µ_{seja relativamente compacto em L}l_{(0, T ; W}s,q_(Ω)2_{), para 1 < l, q <∞}

e 0 < s < 1. Tomando uma subsequˆencia se necess´ario, e usando argumentos j´a utilizados no mesmo teorema citado acima, obtemos que, quando δ_{→ 0}

uδ,µ _{→ u}µ _{em L}l_{(0, T ; W}s,q_(Ω)2₎

uδ,µ _{⇀ u}µ _{em L}2_{(0, T ; V )}

∂tuδ,µ⇀ ∂tuµ em L2(0, T ; V′)

ωδ,µ ⋆_{⇀ ω}µ _{= curl u}µ _{em L}∞_{(Ω× (0, T )).}

Desse modo, como cada uδ,µ _satisfaz ∀v ∈ V, d dt Z Ω uδ,µ(t)v dx + 2µ Z ΩD(u δ,µ_{(t)) :D(v) dx +} Z Ω (uδ,µ(t)· ∇)uδ,µ_{(t)v dx} +µ Z ∂Ω α(uδ,µ(t)_{· τ)(v · τ) dS =} Z Ω fδ(t)v dx uδ,µ(_{·, 0) = u}δ,µ₀ .

Como feito na etapa 3 do Teorema 2.2.3, com as convergˆencias (4.11) e pelo Lema 4.1.3, fazendo δ→ 0 podemos concluir

∀v ∈ V, d dt Z Ω uµ(t)v dx + 2µ Z ΩD(u µ_{(t)) :} D(v) dx + Z Ω (uµ(t)_{· ∇)u}µ(t)v dx +µ Z ∂Ω α(uµ(t)· τ)(v · τ) dS = Z Ω f (t)v dx uµ(·, 0) = uµ0.

Para verificarmos a unicidade procedemos como no Teorema 2.2.3. Tamb´em como {uδ,µ_{, ω}δ,µ_{} satisfazem as estimativas (4.9), (4.10) e (4.8), as respectivas fun¸c˜oes limite}

{uµ_{, ω}µ_{} tamb´em satisfazem tais estimativas, ou seja}

||uµ||L∞_{(0,T ;L}2_(Ω)2₎+√µ||uµ||_L2_{(0,T ;V )}≤ C{||ω₀||_L2_(Ω)2 +||f||_L2_{(Ω×(0,T ))}2} (4.12)

||ωµ_||

L∞_{(Ω×(0,T ))}≤ C ˜E (4.13)

||∂tωµ||L2_{(0,T ;H}−2_(Ω)) ≤ C( ˜E + ˜E2). (4.14)

Para concluir, sobre as hip´oteses menos regulares, provamos que o limite inv´ıscido satisfaz a formula¸c˜ao vorticidade das equa¸c˜oes de Euler, como segue:

Teorema 4.2.3. Seja f _{∈ L}2_{(0, T ; H), com curl f ∈ L}2_{(0, T ; L}∞_{(Ω)), u}

0 ∈ V e curl u0 ∈

L∞_{(Ω). Para cada 0 < µ ≤ 1, seja u}µ _{∈ L}∞_{(0, T ; V ) a solu¸c˜ao de (2.13) e (2.14) com}

ωµ_{= curl u}µ_{∈ L}∞_{(Ω× (0, T )). Ent˜ao temos}

uµ _{→ u em L}q_{(0, T ; W}α,q′

(Ω)2_{) para α∈ (0, 1) e q, q}′ _{∈ (1, ∞)}

uµ _{⇀ u em L}2_{(0, T ; V )}

quando µ _{→ 0, onde {u, ω} ´e a ´unica solu¸c˜ao do sistema bidimensional incompress´ıvel de} Euler

∂tω + div (uω) = curl f em Ω× (0, T )

divu = 0 em Ω_{× (0, T )} curlu = ω em Ω_{× (0, T )} u· ν = 0 em ∂Ω× (0, T ) ω(0) = curl u0 em Ω.

Prova:. Este teorema ´e provado de forma an´aloga ao Teorema 3.0.7. De fato, como o Teorema 4.2.2 garante, nestas hip´oteses menos regulares, as desigualdades (4.12), (4.13), (4.14), precisamos apenas seguir os passos da prova do Teorema 4.2.2 para obtermos o resultado enunciado neste teorema.

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Imers˜oes de Sobolev, 15 Integra¸c˜ao por Partes, 17 Korn, 19

Lax-Milgram, 11 Poincar´e, 25 Tra¸co, 16

In document Waste management in Hong Kong : feasibility of applying the Norwegian deposit return system for plastic bottles (sider 22-25)