Esta seção se destina a apresentar uma análise mais detalhada dos estudos de caso. Todos eles envolvem a modelagem de um sistema de aterramento canônico, composto de uma haste vertical isolada, enterrada verticalmente em solo homogêneo. Na Fig. 6.5 tem-se uma visão esquemática do domínio tridimensional, objeto dos estudos.
Figura 6.5 – Ilustração esquemática do modelo usado na simulação do sistema de aterramento dos casos-teste Fonte: SILVA, 2006
É importante observar que essa configuração de aterramento, em particular, poderia ter sido modelada em duas dimensões, com uma formulação axissimétrica, no entanto, trata-se de um caso isolado; a grande maioria dos sistemas de aterramento exige tratamento 3D.
6.5. Configurações Utilizadas nos Casos-teste 83
Apesar da aparente simplicidade da configuração, a modelagem desse problema, tanto no regime estático, como no harmônico, guarda todas as dificuldades numéricas (exceto a etapa de definição e modelagem geométrica) presentes nos sistemas de aterramento mais complexos, devido principalmente aos fatores enumerados a seguir (SILVA et al., 2011):
1. Contrastes nas dimensões constituintes do domínio - eletrodos de seção transversal des- prezível face ao comprimento, colocando problemas na geração de uma malha adequada, mesmo quando se utilizam formulações que usam elementos filiformes (1D).
2. Contrastes nas propriedades físicas - interface entre condutores de valores de condutivi- dade elétrica muito díspares (cobre e solo, que pode ter várias camadas, também con- trastantes entre si). Esta condição conduz a gradientes de potencial muito elevados na interface, exigindo grande refinamento na malha de elementos finitos nessa região. 3. Truncamento do domínio - Tanto a utilização de truncamento simples, como a a utilização
de alguma técnica de tratamento de domínios abertos, geram dificuldade na modelagem e alterações na matriz gerada. No primeiro caso, é necessário aumentar ainda mais a di- mensão das fronteiras externas do domínio, piorando ainda mais o problema do contraste de dimensões e, em consequência, a qualidade da malha. No segundo caso, como por exemplo na técnica PML (SILVA et al., 2007), consegue-se reduzir o tamanho do domí- nio, porém às custas da introdução de mudanças nas propriedades físicas do problema (materiais absorvedores anisotrópicos fictícios).
Devido à simetria da configuração da Fig. 6.5, o modelo 3D usado para as simulações por elementos finitos limita-se a um quarto do domínio total, conforme ilustrado na Fig. 6.6. Maiores detalhes sobre as condições de contorno usadas podem ser obtidos em (SILVA, 2006). A configuração da Fig. 6.5 foi usada nos estudos de caso em duas situações. A primeira envolve a simulação do problema mediante uma excitação DC, que gera sistemas de equações a coeficientes reais. A segunda situação é aquela em que a excitação tem variação temporal se- noidal (harmônica). Esta condição é importante em estudos de compatibilidade eletromagnética e em situações de surto nos sistemas de aterramento. Dependendo das frequências envolvidas e das propriedades físicas dos meios, é necessário considerar o efeito da corrente de desloca- mento, o que exige a solução da Equação de Onda completa, com perdas, não homogênea. O sistema de equações algébricas gerado pela aplicação do MEF é a variáveis complexas, e a ma- triz resultante é mal-condicionada, exigindo cuidado na seleção do pré-condicionador, que deve ser muito robusto.
A resolução deste sistema consumiu uma parcela considerável do desenvolvimento deste trabalho, e acreditamos que uma das principais, senão a maior, contribuição dele reside na sua solução, que não foi observada, ou não recebeu o devido destaque, em nenhum dos trabalhos pesquisados até o momento na redação deste manuscrito.
Figura 6.6 – Modelo 3D do eletrodo enterrado e representado por apenas um quarto do domínio, o qual foi malhado em hexaedros
Fonte: SILVA, 2006
Os métodos de truncamento usados foram de dois tipos: truncamento simples (sem uso de qualquer técnica de modelagem do infinito) e truncamento por PML, com parâmetros amax e m
iguais a 30 e 2, respectivamente (SILVA, 2006). Esses parâmetros são definidos ao modelar a geometria do problema, especificamente no gerador de malhas.
A seguinte simbologia será adotada para as os parâmetros geométricos e físicos do sistema ilustrado na Fig. 6.6:
❏ L para o comprimento da haste (m); ❏ r para o seu raio (mm);
❏ ρ para a resistividade do solo (ohm.m); ❏ εr para a permissividade relativa do solo.
Todos os problemas têm dimensão externa máxima de 192 m e são excitados em corrente de módulo igual a 1000 A (valor máximo no caso senoidal).
6.5.1 Configuração 1 - Regime Estacionário
O fenômeno de repartição de correntes DC num sistema de aterramento como o ilustrado Na Fig. 6.5 é regido pela equação de Laplace, Eq. (4.5). O sistema de equações gerado pela aplicação do MEF nodal e a coeficientes reais é obtido pela Eq. (6.1). A excitação é em corrente,
6.5. Configurações Utilizadas nos Casos-teste 85
dada na forma de condição de Neumann não homogênea. Na fronteira do domínio é imposta condição de Dirichlet homogênea (SILVA, 2006).
[K] {V } = {I} . (6.1)
As configurações detalhadas na Tab. 6.2, com seus parâmetros geométricos e físicos, foram as selecionadas para os experimentos computacionais com os métodos de solução de sistemas de equações que serão indicados mais adiante.
Tabela 6.2 – Parâmetros geométricos e físicos dos modelo usados nos experimentos no Regime Estacionário
Configuração L (m) r (mm) ρ (ohm.m) Elemento Ordem Truncamento
C1A 12 4 450 tetraedro 1 —
C1B 2 10 100 hexaedro 1 e 2 —
6.5.2 Configuração 2 - Regime Harmônico
O fenômeno do escoamento de correntes de variação temporal senoidal num sistema de aterramento é governado, em sua forma mais geral, pela Equação de Onda completa, não ho- mogênea, na forma fasorial, Eq. (4.19). A formulação do MEF escolhida para a solução desse problema foi aquela em dois potenciais: potencial vetor magnético A e potencial escalar elétrico V, sendo que a aproximação de A foi feita através de elementos de aresta e a de V , nodais. O sistema matricial oriundo dessa formulação é aquele dado pela Eq. (4.29) (Capítulo 4), sendo um sistema a coeficientes complexos.
A técnica de reodernação Cuthill-McKee Reverso foi utilizada nestes problemas, tal como ilustrada na Fig. 6.4.
As configurações detalhadas na Tab. 6.3, com seus parâmetros geométricos e físicos, foram as selecionadas para os experimentos computacionais com os métodos iterativos de solução que serão indicados mais adiante.
Tabela 6.3 – Parâmetros geométricos e físicos dos modelo usados nos experimentos no Regime Harmônico
Configuração L (m) r (mm) ρ (ohm.m) εr Frequência de Excitação Senoidal (MHz)
C2A 32 4 450 10 1
C2B 2 10 100 3 5
Foram utilizados nos casos-teste os truncamentos simples e com uso de PML. A malha foi discretizada com elementos do tipo hexaedro e de segunda ordem (MARTINHO, 2009).