Avanços na teoria de grafos e na forma como esta contribui para a análise de redes complexas têm sido, em grande parte, marcados pela descoberta de diferentes arquiteturas que esta pode caracterizar (Stam & Reijneveld, 2007). A análise destas redes é inerentemente complexa devido a factores como a própria complexidade estrutural das ligações; à sua dinâmica, com ligações a mudarem ao longo do tempo; a diversidade de ligações, com diferentes pesos e diferentes direções; a dinâmica e diversidade dos vértices; e por fim, a forma como todos estes factores se influenciam mutuamente (Strogatz, 2001).
Na sua forma mais simples as redes podem assumir uma estrutura regular. Estas redes representam um conjunto de pequenos sistemas dinâmicos idênticos, ligados de forma geometricamente regular. Seguem de forma bastante aproximada a definição de grafo regular que foi dada na secção 3.2.2. Representam um dos extremos da organização das redes sendo bastante comum representarem-se por reticulados, ou por um anel de ligações simples (Figura 3-10 a)), normalmente utilizado como referência para comparação, ou construção de outras arquiteturas (Strogatz, 2001). (Sporns & Zwi, 2004) sugerem a criação de uma rede regular de n vértices a partir da sua matriz de adjacência. Sugerem preencher a matriz começando pelos elementos adjacentes à diagonal principal e afastando gradualmente até se atingir o número de ligações desejadas. Para um número de ligações k=2n, obtém se o anel presente na figura 3-10 a). Estas redes são normalmente caracterizadas por possuírem valores de Cp e L altos.
Um grande avanço na teoria de grafos e na análise de redes complexas foi a descoberta dos grafos aleatórios (Figura 3-10 c)) (Erdos & Renyi, 1960). Grafos aleatórios, são construídos estabelecendo ligações entre os vértices com uma probabilidade p. Representam o segundo extremo na organização da arquitetura dos grafos ao apresentar uma estrutura completamente desorganizada (Messé, et al., 2012). Em (Sporns & Zwi, 2004) é sugerida a criação de ligações aleatórias estabelecendo um 𝑝 =(!!!!!), onde k é o número de ligações desejadas e n o número de vértices. Grafos aleatórios são caracterizados por possuírem valores baixos de Cp e L, quando comparados com outras arquiteturas e, como referido
anteriormente, possuem uma distribuição gaussiana de graus (Messé, et al., 2012). Esta arquitetura foi bastante importante no desenvolvimento da teoria clássica de grafos, com a demonstração da transição de propriedades dos grafos em função de p. Apesar da sua
utilidade, a incapacidade deste modelo de representar sistemas observados na natureza, levou a que este se tornasse essencialmente um modelo de referência e comparação para outras arquiteturas (Stam & Reijneveld, 2007; Stam & van Straaten, 2012).
As redes regulares e as redes aleatórias, apesar de úteis como modelos teóricos, não são capazes de representar grande parte das redes existentes no mundo real que muito frequentemente se encontram num ponto intermédio, denominadas de redes small-world (Figura 3-10 b)) (Strogatz, 2001). Apesar de o conceito não ter sido formalizado até ao final do século XX, a ideia de que redes que combinam aspectos regulares e aleatórios são capazes de representar vários sistemas reais existe já desde a primeira metade do século. (Karinthy, 1929) especulou que é improvável que a distância entre qualquer par de pessoas no mundo seja superior a 5 pessoas. (Milgram, 1967) foi a primeira pessoa a estudar experimentalmente o fenómeno, quantificando distancias em redes sociais e estabelecendo o conceito de seis graus de separação. Seguiram-se outros estudos semelhantes, mas durante muito tempo faltou uma explicação satisfatória (Stam & Reijneveld, 2007). A primeira explicação do fenómeno e formalização do modelo subjacente foi fornecida por (Watts & Strogatz, 1998). A partir de um grafo regular em anel com n vértices e k arestas, descrito anteriormente, foi considerado um processo de religação, onde cada aresta é religada aleatoriamente com uma probabilidade p. É possível “sintonizar” o grafo entre regular e aleatório modificando o valor de p entre 0 e 1 respectivamente. Os principais factores que os autores utilizam para descrever as redes são o coeficiente de clustering Cp e o caminho mais curto médio L. Assim, para
𝑛 ≫ 𝑘 ≫ 𝑙𝑛(𝑛) ≫ 1, onde 𝑘 ≫ 𝑙𝑛(𝑛) é utilizado para garantir que o grafo aleatório é ligado, obtém-se 𝐿 ≈!!! ≫ 1 e 𝐶 ≈ 3/4 para p a tender para 0, e 𝐿 ≈ 𝑙𝑛(𝑛)/𝑙𝑛(𝑘) e 𝐶 ≈ 𝑘/𝑛1 para p a tender para 1. Os autores demonstraram que a evolução destes factores podem ser interpretados como características de redes small-world, ao demonstrar que o valor de L se mantem baixo para uma grande gama de valores de p, resultado da introdução de algumas arestas que ligam pontos afastados, introduzindo vários atalhos dentro do grafo. A introdução de cada uma destas arestas liga não só os dois vértices incidentes, mas toda a sua vizinhança. Por outro lado, Cp diminui, na pior das hipóteses, de forma linear para a remoção
de uma aresta da vizinhança, permitindo manter um valor alto mesmo para valores altos de p. Caracterizam-se assim redes small-world como sendo organizadas em clusters e com
caminhos normalmente curtos entre todos os vértices da rede, propriedades partilhadas por redes genéticas, metabólicas e de informação (Sporns, Chialvo, Kaiser, & Hilgetag, 2004). Para melhor quantificar a arquitetura de uma rede são normalmente calculados dois valores escalados que comparam o Cp (equação 3.10) e o L (equação 3.11) da rede com os de uma
rede aleatória.
Crand e Lrand, são os valores de uma rede aleatória com uma constituição equivalente em termos
de número de vértices e ligações. Esperam-se encontrar para redes small-world Lscaled baixos, e
Cscaled altos (Sporns O. , 2006). Podem-se combinar estes dois valores num só parâmetro,
𝜎 =!!"#$%&
!!"#$%&. Diz-se que se está na presença de uma rede small-world para σ>1 (Humphries,
Gurney, & Prescott, 2006).
Figura 3-10 Arquiteturas de redes complexas com crescentes graus de aleatoriedade nas suas ligações. Adaptado de (Watts & Strogatz, 1998).
𝐶
!"#$%&=
!!!!"#$
Equação 3.10
𝐿
!"#$%&=
! !!"!"
Equação 3.11
Uma outra contribuição essencial para a teoria de grafos moderna foi a descoberta de redes scale-free. (Barabasi & Albert, 1999) demonstraram que a distribuição de graus P(k) de várias redes reais, segue uma lei de potência com a seguinte forma: 𝑃(𝑘) ≈ 𝑘!!.
Até à altura, grande parte dos modelos que tentavam representar redes reais, falhavam em incluir factores relacionados com o seu crescimento. Assumiam ao construir uma rede que o número de vértices n, era fixo ao longo de todo o processo, enquanto em várias redes a adição de novos membros é bastante comum, sendo o processo de crescimento essencial na sua
topologia. Existia também a assunção que as ligações entre os diferentes membros era uniformemente aleatória, enquanto várias redes mostravam preferências de ligação, nomeadamente, a tendência de novos vértices se ligarem a vértices com grau elevado (fenómeno comum em várias redes sociais). A inclusão destes dois factores na construção de redes, permitiu observar uma tendência na distribuição dos graus, com valores muito altos para poucos vértices, e um decaimento bastante rápido nos restantes, não mostrando qualquer noção de escala e seguindo uma lei de potência com 𝛾 = 2.9 ± 0.1. Redes que seguem esta arquitetura scale-free são então caracterizadas pela presença de hubs e por um número elevado de vértices com baixo grau. São conhecidas por serem bastante robustas perante a falha, embora vulneráveis a ataques direcionados (Barabasi & Bonabeua, 2003). É possível estabelecer outros tipos de topologia a partir da distribuição dos graus. Single-scale networks, seguem uma distribuição exponencial P(k)=e-k e broad-scale networks são um