Diversos aspectos podem ser medidos a partir da análise probabilística do funcio- namento de um sistema, e essas medidas são de grande importância para a análise de uma Árvore de Falhas. Medidas de confiabilidade e de importância de componentes são muito usadas nesse tipo de aplicação. As medidas de confiabilidade trazem uma análise probabilística das falhas e sucessos de um componente ou unidade, enquanto as medi- das de importância são usadas para identificar pontos vulneráveis de um sistema, com base em resultados numéricos obtidos a partir de seus componentes. As mais comumente utilizadas são: função de confiabilidade e disponibilidade, medidas de confiabilidade; e criticidade, Birnbaum e Fussell-Vesely, medidas de importância. Serão apresentados a
14 CAPÍTULO 2. DEPENDABILIDADE: ESTADO DA ARTE seguir alguns aspectos de cada uma delas e em que situações elas são empregadas. Confiabilidade
Conceitualmente, confiabilidade é definida como a probabilidade de um defeito do sistema não ter ocorrido no intervalo [0,t[. Este conceito foi descrito inicialmente na equação 2.3. Nesta seção iremos definir formalmente o conceito confiabilidade de forma similar ao descrito em Shooman (1990). A ideia é descrever confiabilidade em função da taxa de defeitos z(t).
Sem perda de generalidade vamos assumir que o sistema apresenta dois estados (con- forme descrito na Figura 2.3): operacional e o defeituoso. A transição do estado ope- racional para o defeituoso é vinculada à função z(t). Vamos assumir também a variável aleatória T como sendo o tempo até o sistema entrar para o estado defeituoso. F(t) e f(t) são respectivamente a função de distribuição acumulativa (equação 2.5) e a função de densidade de probabilidade (equação 2.6) de T , ou seja:
z(t)
Operacional Defeituoso
Figura 2.3: Estados do sistema na visão da confiabilidade.
F(t) = P(T ≤ t) (2.5)
f(t) = d
dtF(t) (2.6)
De acordo com a teoria de processos estocásticos [Papoulis & Pillai 2002], a probabi- lidade de um evento (defeito) ocorrer no intervalo [t,t + ∆t] é dado por:
P(t < T ≤ t + ∆t) = F(t + ∆t) − F(t) (2.7)
Estendendo essa definição para a probabilidade condicional, podemos calcular a probabi- lidade de ocorrer um defeito no intervalo t + ∆t, sabendo-se que o sistema estava opera- cional no instante t, pela seguinte relação:
2.2. MEDIDAS FUNDAMENTAIS 15
P(t < T ≤ t + ∆t | t < T ) = P(t < T ≤ t + ∆t) P(T > t) =
F(t + ∆t) − F(t)
1 − F(t) (2.8)
Dividindo ambos os lados da equação 2.8 por ∆t e calculando o limite ∆t → 0, pode-se obter a seguinte conclusão: a probabilidade de ocorrer um defeito no intervalo t + ∆t, sabendo que o sistema estava operacional no instante t, é similar à relação da densidade de probabilidade do defeito pela confiabilidade do sistema (equação 2.9).
lim ∆t→0 P(t < T ≤ t + ∆t | t < T ) ∆t = ∆t→0lim F(t + ∆t) − F(t) ∆t · 1 1 − F(t) = d dtF(t) · 1 1 − F(t) = f(t) 1 − F(t) (2.9)
Através de algumas manipulações matemáticas (considerando-se as equações 2.1, 2.3 e 2.4) é possível relacionar a função z(t) com a equação 2.9. O procedimento é descrito na equação 2.10. z(t) = lim ∆t→0 n(t) − n(t + ∆t) n(t)∆t = lim ∆t→0 n(t) − n(t + ∆t) ∆t · 1 n(t) = N · f (t) · 1 n(t) = f(t) 1 − F(t) (2.10)
Assim, temos condições de definir formalmente o conceito confiabilidade. Baseado na definição do início desta seção, a confiabilidade R(t) de um sistema pode ser descrita como o complemento da função de probabilidade acumulativa dos defeitos.
R(t) = P(T > t) = 1 − F(t) (2.11)
Realizando algumas manipulações algébricas nas equações 2.6 e 2.10 podemos encontrar a definição formal de confiabilidade. O procedimento é descrito a seguir.
16 CAPÍTULO 2. DEPENDABILIDADE: ESTADO DA ARTE f(t) = d dtF(t) = d dt(1 − R(t)) = −R′(t) (2.12) z(t) = f(t) 1 − F(t) = −R′(t) R(t) = − d dtln R(t) (2.13)
Finalmente, encontramos R(t) calculando a integral em ambos os lados da equação 2.13 e elevando a constante matemática neperiana (e) ao resultado. A equação 2.14 comprova a intrínseca relação entre a taxa de defeitos e a confiabilidade do sistema.
Z t 0 z(u)du = − ln R(t) R(t) = exp − Z t 0 z(u) du (2.14)
Medidas de valores médios
Uma outra forma de avaliar a confiabilidade do sistema é através dos valores mé- dios/esperados (E(t)) das distribuições de defeitos. Em geral, o tempo médio de funciona- mento até a ocorrência de um defeito (MTTF) é a medida mais utilizada [Shooman 1990]. Baseado na teoria de probabilidade [Papoulis & Pillai 2002] e na equação 2.12 podemos definir o MTTF através da seguinte relação:
MT T F = E(t) = Z ∞ 0 t f(t) dt = − Z ∞ 0 t d dtR(t) dt = − Z ∞ 0 tdR(t) = −tR(t) ∞ 0 + Z ∞ 0 R(t)dt = Z ∞ 0 R(t)dt (2.15)
Exemplos de confiabilidade para algumas taxas de defeitos
Nessa seção as funções z(t), f (t), F(t), R(t) e MTTF serão descritas para as taxas de defeitos mais típicas (constante, crescente e Weibull). A Tabela 2.1 sumariza essas funções, entretanto alguns detalhes precisam ser descritos. Na taxa de defeitos constante
2.2. MEDIDAS FUNDAMENTAIS 17 o parâmetro do modelo é λ, que nesse caso representa o número de defeitos por unidade de tempo. Em relação à taxa de defeitos com comportamento linearmente crescente, o parâmetro do modelo é K, o qual representa a amplitude das curvas. Percebe-se que estes dois modelos anteriores são casos particulares do modelo Weibull (m = 0 corresponde ao modelo com taxas constante enquanto que m = 1 ao modelo com taxas linearmente crescente). O parâmetro m é conhecido como fator de aspecto devido influenciar no comportamento da curva. Adicionalmente, para o cálculo do MTTF no modelo Weibull é necessário a utilização da função gamma (Γ(x) =Z ∞
0 e
−ttx−1dt).
Tabela 2.1: Medidas de confiabilidade para taxas de defeitos típicas.
Funções Taxa de defeitos
Constante Crescente Weibull
z(t) λ Kt Ktm f(t) λe−λt Kte−Kt2/2 Ktme−Ktm+1/(m+1) F(t) 1 − e−λt 1 − eKt2/2 1 − e−Ktm+1/(m+1) R(t) e−λt eKt2/2 e−Ktm+1/(m+1) MTTF λ1 q π 2K Γ[(m+2)/(m+1)] [K/(m+1)]1/(m+1)
Distribuição Exponencial Rayleigh Weibull
Disponibilidade
Conceitualmente, disponibilidade é definida como a probabilidade do sistema estar operacional no instante de tempo t. Similar à definição da confiabilidade, vamos assu- mir que o sistema apresenta dois estados (conforme descrito na Figura 2.4): operacional e o defeituoso. A transição do estado operacional para o defeituoso é vinculada à taxa de defeitos z(t). Nesse novo modelo, após a ocorrência de um defeito o sistema poderá ser reparado (manutenção). A transição do estado defeituoso para o operacional é vincu- lado à taxa de reparação µ(t)1. Se µ(t) é zero (sistema não reparável), então o conceito
disponibilidade iguala-se à definição de confiabilidade.
De forma geral, a disponibilidade de um sistema pode ser classificada em três ti- pos: instantânea, média e assintótica. A disponibilidade instantânea A(t) é aplicada para qualquer instante de tempo t e sempre é igual ou superior à confiabilidade R(t) do sis- tema [Grottke et al. 2008]. A(t) depende do modelo e distribuições utilizadas para z(t) e µ(t). Assumindo-se o modelo de confiabilidade da Figura 2.4 e considerando-se z(t)
18 CAPÍTULO 2. DEPENDABILIDADE: ESTADO DA ARTE
z(t)
Operacional Defeituoso
μ(t)
Figura 2.4: Estados do sistema na visão da disponibilidade.
e µ(t) constantes, cujos valores são respectivamente λ e µ, pode-se provar [Rausand & Hsyland 2004] que A(t) é dada por:
A(t) = µ µ+ λ+
λ µ+ λe
−(λ+µ)t (2.16)
Por outro lado, a disponibilidade média Am(t) avalia a porcentagem de tempo pelo
qual o sistema ficou operacional no intervalo (0,t]. Formalmente, Am(t) é definida pela
seguinte relação: Am(t) = 1 t Z t 0 A(τ)dτ (2.17)
Outra questão importante é a avaliação da operacionalidade do sistema considerando um instante de tempo t muito grande. Na prática consideramos t → ∞. Nesse caso, esta- remos calculando a disponibilidade assintótica do sistema A∞. Para melhor compreender
essa definição vamos supor o comportamento do sistema como descrito na Figura 2.5. O sistema opera corretamente por vários períodos de tempo e, em caso de defeitos, re- paros são realizados. O MTTF e o tempo médio entre defeitos (MTBF) são definidos, respectivamente, como o tempo médio até o sistema reparar um defeito e o tempo médio entre defeitos. Assumindo-se que n períodos ocorreram, podemos encontrar A∞ através
da equação 2.18. A∞ = lim t→∞= 1 n
∑
i Opi 1 n(∑
i Opi+∑
i De fi) = MT T F MT T F+ MT T R (2.18)2.2. MEDIDAS FUNDAMENTAIS 19
Estado do sistema
Operacional Defeituoso Op1 Def1 Op2 Op3 MTTF MTBF MTTR Def2 Def3Figura 2.5: Comportamento do sistema para diversos instantes de tempo.
Percebe-se que A∞depende apenas do MTTF e do tempo médio até o sistema reparar um
defeito (MTTR) do sistema. Assim, não existe dependência em relação a natureza das distribuições das taxas de defeitos e reparos.
Birnbaum
A medida Birnbaum IB(i|t) é uma métrica que descreve a importância da confiabili-
dade de um componente [Birnbaum & Saunders 1969]. Esta medida é definida como a derivada parcial da confiabilidade do sistema em relação à confiabilidade do componente i, cujo valor é dado por:
IB(i|t) = ∂R(t) ∂Ri(t)
para i = 1,2,...,n (2.19)
Se IB(i|t) é grande, uma pequena variação na confiabilidade do componente i irá re-
sultar em um mudança considerável na confiabilidade do sistema. O componente i é considerado crítico para o sistema se quando o componente i falhar, o sistema também falha. Sendo assim, a medida Birnbaum é também interpretada como a probabilidade do componente i ser crítico para o sistema no instante t [Rausand & Hsyland 2004].
Criticalidade
A medida de criticalidade ICR(i|t) é uma métrica adequada para priorizar ações de
manutenção [Rausand & Hsyland 2004]. Esta medida é definida como a probabilidade de o componente i ser crítico no instante t e ele ter falhado nesse instante, sabendo que o sistema falhou no instante t. Sua definição é descrita pela seguinte equação:
ICR(i|t) = I
B(i|t)(1 − R
i(t))
20 CAPÍTULO 2. DEPENDABILIDADE: ESTADO DA ARTE Em outras palavras, a criticalidade é a probabilidade do componente i ter causado uma falha no sistema sabendo-se que o sistema está em falha no instante t.
Fussel-Vesely
A medida Fussel–Vesely IFV(i|t) é uma métrica que descreve como um componente
pode contribuir para o defeito de um sistema dado que o componente não é critico [Rausand & Hsyland 2004]. Esta medida é definida como a probabilidade de que pelo menos um conjunto de cortes mínimos, que contenha o componente i, tenha falhado no instante t, sabendo-se que o sistema falhou nesse mesmo instante. Sua definição é descrita por:
IFV(i|t) ≈ m
∑
j=1 (1 − Rj(t)) 1 − R(t) , (2.21)onde Rj(t) é a função de confiabilidade do conjunto de cortes mínimos j que contém o
componente i, enquanto que m é a quantidade de cortes mínimos que contém o compo- nente i.
RAW
RAW(Risk Achievement Worth) também é chamado fator de aumento de risco. Ele mede o aumento da probabilidade de falha do sistema assumindo o pior caso de falha do componente. É um indicador da importância de manter o nível atual de confiabilidade para o componente. Sua equação é dada na Equação 2.22.
RAW(i|t) = Rs|i(t)/Rs(t) (2.22)
Na Equação 2.22, o termo Rs|i representa a probabilidade do sistema falhar dado que
o evento i falhou e o termo Rs representa a probabilidade do sistema falhar.
RRW
O RRW (Risk Reduction Worth) é chamado também fator de diminuição de risco. Ele representa o máximo decaimento do risco expresso pelo aumento da confiabilidade de um componente. Portanto, esta métrica pode ser usada para selecionar componentes que são os melhores candidatos a provocarem um aumento da confiabilidade do sistema. Sua equação é dada na Equação 2.23.
2.2. MEDIDAS FUNDAMENTAIS 21
RRW(i|t) = Rs(t)/Rs|i(t) (2.23)
Na Equação 2.23, o termo Rs|i representa a probabilidade do sistema falhar dado que o evento i não falhou.
Capítulo 3
Árvore de Falhas
A evolução tecnológica tem permitido o desenvolvimento de sistemas/processos in- dustriais cada vez mais robustos. As novas tecnologias permitem a criação de novas apli- cações que antes não eram possíveis com as soluções legadas [Silva et al. 2013]. Em ge- ral, a complexidade das aplicações é abstraída dos operadores, facilitando sua utilização e adoção no mercado. Por outro lado, a complexidade inerente das novas aplicações devem também garantir os requisitos de dependabilidade. Assim, existe a necessidade de criar sistemas que avaliem sistemas, como é o caso da avaliação da dependabilidade. Neste capítulo, iremos introduzir um dos principais formalismos matemáticos para a avaliação da dependabilidade de sistemas/processos, nomeadamente Árvores de Falhas. Através da análise de Árvore de Falhas é possível avaliar qualitativamente ou quantitativamente a dependabilidade de sistemas/processos. Esse formalismo matemático é utilizado em di- versas áreas da engenharia, como as indústrias aeroespaciais, química, nuclear, petróleo e gás [Majdara & Wakabayashi 2009].
3.1 Composição da Árvore de Falhas
Árvore de Falhas é um formalismo matemático que representa em formato de dia- grama lógico a relação entre os componentes de um determinado sistema/processo e os seus respectivos modos de falhas que levam aos defeitos [Ferdous et al. 2007].
Para construir o diagrama de uma Árvore de Falhas é necessário inicialmente identifi- car o defeito que se deseja analisar. De acordo com a literatura [Limnios 2007], o defeito em uma Árvore de Falhas é mapeado em um evento especial chamado evento topo. A partir do evento topo é possível expandir a árvore, combinado as causas (eventos básicos representados pelas falhas dos componentes) que levam ao defeito estudado. Essas com- binações são implementadas através de portas lógicas. Um exemplo do diagrama de uma Árvore de Falhas é descrito na Figura 3.1.
24 CAPÍTULO 3. ÁRVORE DE FALHAS Topo A B C D E and1 or1 or2 and2
Figura 3.1: Diagrama de uma Árvore de Falhas e os seus principais componentes: eventos básicos (A,B,C,D,E), portas lógicas (or1, or2, and1, and2) e evento topo.
As portas lógicas representam a combinação de dois ou mais eventos. Essas portas se assemelham às portas lógicas booleanas, no entanto suas expressões lógicas podem receber valores no intervalo [0,1]. As principais portas utilizadas são OR, AND e NOT . Outra porta lógica também muito utilizada é a K-OUT -N. Nessa porta, a falha acontece se pelo menos k de n entradas ocorrerem, para k ≤ n. Os símbolos de cada porta são apresentados na Figura 3.2. A B C (a) A B C (b) A C (c) C B A (d)
Figura 3.2: Portas lógicas mais comuns.
Cada evento de uma árvore possui uma probabilidade de ocorrência associada, que pode variar em valores no intervalo [0,1]. Normalmente, devido à utilização de com- ponentes predominantemente eletroeletrônicos, a probabilidade de falha dos eventos são mapeadas por uma função de distribuição exponencial em função ao tempo. Essa distri- buição tem a propriedade de não possuir memória, o que significa que o tempo restante não depende da quantidade de tempo que já passou.
3.1. COMPOSIÇÃO DA ÁRVORE DE FALHAS 25