K- Fold Cross Validation
4.3 Classification with Six Age Groups
com K1, K2, K3, K4 ∈ C e K1K4 − K2K3 6= 0. Uma vez que a identidade ´e a ´unica
dentre essas tranforma¸c˜oes que mant´em fixos trˆes pontos, conclu´ımos que ϕ(ζ) e uζ(ζ)
s˜ao a mesma fun¸c˜ao.
3
A classe de fun¸c˜oes em P consideradas podem ser analiticamente continuadas atrav´es do eixo real por reflex˜ao (vide condi¸c˜ao (iv) de S0). Se ℵ0 = x0+ iy0 ∈ H ´e um ponto fixo de f∈P , ent˜ao
¯
Por fim, utilizando o software Mathematica para resolver a equa¸c˜ao de ponto fixo
ζ = v0(ζ) =
ζ + 2
2ζ2 , (3.4.32)
temos que ℵ0≃ − 0, 582687 + i 0, 720119 ∈ Ω0. Encerra-se assim a demonstra¸c˜ao desta
proposi¸c˜ao.
Representa¸c˜ao Integral Canˆonica de u′
0(ζ). Vejamos agora um teorema sobre a
representa¸c˜ao de fun¸c˜oes da classe Pick:
Teorema 3.4.4 (Representa¸c˜ao Integral Canˆonica) Uma fun¸c˜ao f (ζ) = u(ζ) + iv(ζ) pertence `a classe Pick se, e somente se, possui a representa¸c˜ao integral canˆonica
f (ζ) = aζ + b + Z ∞ −∞ 1 λ − ζ − λ λ2+ 1 dµ(λ) , (3.4.33)
sendo que a = limy→∞f (iy)/iy ≥ 0, b = u(i) ´e real, e µ ´e uma medida positiva de Borel
sobre R tal que R(λ2+ 1)−1dµ(λ) < ∞. Al´em disso,
µ((x1, x2)) + µ({x1}) + µ({x2}) 2 = limy↓0 1 π Z x2 x1 v(x + iy) dx (3.4.34)
vale para qualquer intervalo finito (x1, x2), e determina µ de maneira ´unica a partir da
fun¸c˜ao f .
A demonstra¸c˜ao desse teorema encontra-se no Apˆendice A.3. Para a condi¸c˜ao inicial u′0(ζ)
a = lim y→∞ −4 1 +√1 + i16y 1 iy = 0 (3.4.35)
e b = Z ∞ −∞ λ λ2+ 1 dµ(λ) . (3.4.36)
A identifica¸c˜ao de b com a integral segue de
lim ζ→∞u ′ 0(ζ) = 0 = b + lim ζ→∞ Z ∞ −∞ 1 λ − ζ − λ λ2+ 1 dµ(λ) , (3.4.37)
j´a tendo por conta que a = 0, passando o limite para dentro da integral pelo Teorema da Convergˆencia de Lebesgue. A parte imagin´aria de u′
0(ζ) ´e igual a 4√r sin θ/2 (1 +√r cos θ/2)2+ (√r sin θ/2)2 , (3.4.38) com r = p(1 + 16x)2+ (16y)2 e θ = arctan 16y 1 + 16x . (3.4.39)
Multiplicando (3.4.38) por 1/π e tomando o limite y ↓ 0 sobre o corte, encontramos a medida dµ(λ) = ρ(λ) dλ = 4 π p 16(−λ) − 1 16(−λ) dλ (3.4.40)
absolutamente cont´ınua com respeito `a medida de Lebesgue dλ, suportada sobre o in- tervalo (−∞, −1/16). Note que
lim
y↓0 θ =
(
π se x < −1/16
Ent˜ao a representa¸c˜ao integral canˆonica de nossa condi¸c˜ao inicial ´e u′0(ζ) = Z −1/16 −∞ 1 λ − ζ 4 π p 16(−λ) − 1 16(−λ) dλ . (3.4.42)
A Densidade ρ(λ) do Corte e a Borda B+2(−2) do Dom´ınio Ω0. Como j´a discutido
nesta se¸c˜ao, a semi-circunferˆencia superior de raio 2 e centro em (p, q) = (−2, 0) est´a associada ao corte (−∞, −1/16) na folha 1 pelo mapeamento feito por u′
0(ζ). Como a
densidade ρ(λ) da representa¸c˜ao integral canˆonica ´e obtida pelo limite y ↓ 0 em cima do corte, esperamos que haja alguma rela¸c˜ao entre essa densidade e a mencionada semi- circunferˆencia. De fato, considerando a mudan¸ca de vari´avel λ = 1/4˜λ em ρ(λ), temos que ˜ ρ(˜λ) = ρ 1 4˜λ = 1 π q 4 − (˜λ + 2)2 (3.4.43) com suporte em −4 < ˜λ < 0.
Para fechar esta subse¸c˜ao devemos ressaltar que ρ(λ) ´e a densidade do corte sobre o eixo real. Como esse corte surgiu do adensamento dos zeros de Lee-Yang ap´os feita uma escala em N e tomado o limite N → ∞, dizemos que ρ(λ) ´e a densidade dos zeros de Lee-Yang adensados.
3.4.3
A Fun¸c˜ao u
x(t, x) para t > 0 e a Classe Pick de Fun¸c˜oes
Daremos nesta subse¸c˜ao continuidade `a precedente, estudando a fun¸c˜ao ux(t, x) no plano
complexo `a temperatura inversa cr´ıtica β = βc(4) = 4. Por n˜ao dispormos de uma
express˜ao para essa fun¸c˜ao para t > 0, todas as informa¸c˜oes ser˜ao extra´ıdas da solu¸c˜ao cr´ıtica v(t, η) e do uso das rela¸c˜oes (3.2.5) e (3.2.16), combinando c´alculos anal´ıticos e an´alises n´umericas. Para as an´alises num´ericas utilizaremos o software Mathematica.
Come¸camos nosso estudo por conhecer as curvas definidas implicitamente por ℑm(v(t, η)) = 0 ,
e para tanto utlizamos o pacote “ImplicitPlot”. A Figura 3.6 nos mostra essas curvas para t = 0, e alguns valores de t maiores que zero. Para t = 0 j´a sabemos tratar-se da circunferˆencia de raio 2 e centro em (p, q) = (−2, 0), e do eixo real p. Para t > 0 essa circunferˆencia ´e deformada, o eixo real p ´e mantido, e vem do infinito uma curva no primeiro e outra no quarto quadrante, que se encontram no eixo real positivo p, tocando-o de maneira perpendicular - quanto maior o valor de t, mais pr´oximas do ponto (p, q) = (0, 0) essas curvas interceptam o eixo. Esse quadro nos diz que para t > 0 h´a 3 folhas de Riemann no plano ζ. Mais adiante retornaremos a este ponto.
-4 -3 -2 -1 1
-2 -1 1 2
Figura 3.6: Curvas obtidas implicitamente pela condi¸c˜ao ℑm(v(t, η)) = 0. S˜ao mostradas acima as curvas para t = 0, e alguns valores de t maiores que zero.
Daqui em diante nos limitaremos ao estudo do plano η `a regi˜ao
C\[(e2t− 1)−1, ∞) ∪ {(0, 0)}, (3.4.44)
onde a fun¸c˜ao v(t, η) ´e holomorfa.
Paridade de ℑm(v(t, η)) = ̟(t; p, q) com Respeito `a Vari´avel q. Escrevendo explicitamente η = p + iq, v(t, η) = ω(t; p, q) + i̟(t; p, q), ∂/∂η = 1/2(∂/∂p − i∂/∂q), e fazendo uso das equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann, separamos a equa¸c˜ao de evolu¸c˜ao (3.2.12) em sua parte real e imagin´aria. A parte imagin´aria do fluxo ´e dada por
̟t= (6 + 4p)̟ + 4qω − 2pωq− 2p2ωq+ 4pq̟q+ 2q̟q+ 2q2ωq . (3.4.45)
´
E poss´ıvel concluirmos que se ̟(˜t; p, q) = −̟(˜t; p, −q) para algum ˜t ≥ 0, ent˜ao a equa¸c˜ao de fluxo (3.4.45) preserva essa propriedade, isto ´e, ̟(t; p, q) = −̟(t; p, −q) para todo t > ˜t. Verificando a rela¸c˜ao (3.4.22), vemos de imediato que ̟(0; p, q) = −̟(0; p, −q). Logo, ˜t = 0 e ̟(t; p, q) ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar de q para todo t ≥ 0. Uma das conseq¨uˆencias dessa propriedade ´e a simetria em rela¸c˜ao ao eixo real p observada na Figura 3.6.
Preserva¸c˜ao da Classe Pick de Fun¸c˜oes pelo Fluxo (uζ)t. Lembremos que as
curvas definidas implicitamente por ℑm(v(t, η)) = 0 s˜ao a imagem do eixo real x pelo mapa uζ(t, ζ). Assim, quando cruzamos essas curvas, as quais dividem a regi˜ao (3.4.44)
em seis4 dom´ınios, h´a uma troca no sinal da fun¸c˜ao y = ̟(t; p, q) (lembre-se de (3.2.16):
ζ = v(t, η)). Da
(a) troca do sinal de y = ̟(t; p, q) ao passar de um dom´ınio a outro
(b) propriedade que y = ̟(t; p, q) ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar de q para todo t e p (c) continuidade de y = ̟(t; p, q)
podemos afirmar que o sinal de ̟(t; p, q) em cada um dos seis dom´ınios ´e preservado pelo fluxo. Para enxergarmos isso, suponhamos que haja mudan¸ca no sinal da fun¸c˜ao nesses dom´ınios. Ent˜ao, por (a), (b) e (c), existe um instante t∗ > 0 tal que y = ̟(t∗; p, q) ≡ 0; mas isso ´e um absurdo, pois o que est´a dito ´e que em t = t∗ todo o plano η ´e imagem
exclusivamente do eixo real x sob o mapa uζ(t∗, ζ).
Voltemos nossas aten¸c˜oes para a fam´ılia de dom´ınios convexos decrescentes At per-
tencentes ao semi-plano superior que s˜ao limitados pelo intervalo Iε := [−ε, 0] do eixo
real p, com −ε = −ε(t) < 0 uma fun¸c˜ao mon´otona crescente de t, unido a uma curva q = h(t, p) definida para p ∈ Iε, tal que h(t, −ε) = h(t, 0) = 0. Para t = 0 sabemos
que A0 = S+2(−2), com −ε(0) = −4, e h(0, p) =
p
4 − (p + 2)2 a semi-circunferˆencia
de raio 2 e centro em (p, q) = (−2, 0). Tamb´em sabemos que y = ̟(0; p, q) > 0 para
4
p, q ∈ S+2(−2). Deste, e do fato que o sinal em cada dom´ınio ´e preservado, conclu´ımos
que y = ̟(t; p, q) > 0 para todo t > 0 e p, q ∈ At. Fazemos assim a identifica¸c˜ao
At= Ωt = {η = p + iq ∈ H : ℑm(v(t, p + iq)) > 0}, (3.4.46)
lembrando que a fam´ılia Ωt, com t ∈ R+, j´a foi definida na Subse¸c˜ao 3.4.2.
Coment´ario 3.4.5 ´E muito dif´ıcil mostrarmos diretamente da equa¸c˜ao de fluxo que
uζ(t, ζ) permanece na classe Pick de fun¸c˜oes para todo t > 0. A discuss˜ao feita no
´
ultimo par´agrafo ´e uma forma indireta de vermos que uζ(t, ζ)∈P para todo t > 0.
Os Dom´ınios Ωt e as Curvas q = h(t, p). Por c´alculos anal´ıticos podemos fazer
poucas afirma¸c˜oes sobre os dom´ınios Ωt: para t << 1
Ωt<<1 = ( η = p + iq ∈ H : p + 2(1 + 2t) 1 + 4t 2 + q2 < 2(1 + 2t) 1 + 4t 2) , (3.4.47)
uma leve deforma¸c˜ao do semi-disco superior S+2(−2). Observe que 2(1 + 2t)
1 + 4t <
2(1 + 2t)
1 + 2t = 2, t 6= 0 , (3.4.48)
o que indica que Ωt<<1sofre um deslocamento para a direita em rela¸c˜ao a Ω0, justamente
como mostrado pela Figura 3.6. Para t muito grande
Ωt= {η = p + iq ∈ H : −2p(p2 + q2) − 3p2+ q2 < 0} , (3.4.49)
que segue diretamente da condi¸c˜ao
ℑm
−2 1 + ηη3 t
Com rela¸c˜ao `a fam´ılia (a um parˆametro t ∈ R+) de curvas q = h(t, p) que fazem
parte da borda de Ωt, essas s˜ao obtidas pela condi¸c˜ao
ℑm(v(t, p + iq)) = 0 ,
como ´e deixado claro pelas discuss˜oes h´a alguns par´agrafos realizadas. Para t = 0 j´a dissemos que h(0, p) =p4 − (p + 2)2. No limite t → ∞ essa curva ´e dada por
h∗(p) = lim
t→∞h(t, p) =
s
2p3+ 3p2
1 − 2p , (3.4.51)
a parte superior de um folium de Descartes.
Os Pontos {−ε(t), t ≥ 0}. Pela Figura 3.6 vˆe-se que o eixo p ´e tocado de maneira perpendicular por h(t, p) no ponto −ε(t), para todo t ≥ 0. Lembrando que v(t, η) = ω(t; p, q) + i̟(t; p, q), temos ent˜ao que
̟q(t; −ε(t), 0) = 0 , (3.4.52)
e pelas equa¸c˜oes que Cauchy-Riemann
ωp(t; −ε(t), 0) = vp(t, −ε(t)) = 0 . (3.4.53)
Tamb´em pela Figura 3.6 temos que
̟p(t; −ε(t), 0) = 0 , (3.4.54)
seguindo das equa¸c˜oes que Cauchy-Riemann que
ωq(t; −ε(t), 0) = 0 . (3.4.55)
(3.4.52), (3.4.53), (3.4.54) e (3.4.55) juntas trazem a informa¸c˜ao que vη(t, −ε(t)) = 0.
- na Se¸c˜ao 3.2 p†(t) foi definido como o ponto onde v
p(t, p) = 0, ou seja, o ponto onde
a fun¸c˜ao v(t, p) perde a unicidade; lembremos que x†(t) = v(t, p†(t)). Pelo estudo que
realizamos na citada se¸c˜ao, p†(0) = −4 e p†(∞) = −3/2.
As Trˆes Folhas de Riemann do Plano ζ. A esta altura estamos em condi¸c˜oes de voltar `a nota que para t > 0 h´a 3 folhas de Riemann no plano ζ: na Se¸c˜ao 3.2 aprendemos que a folha 1 se conecta com a folha 2 pelo corte (−∞, x†(t)), com x†(0) = −1/16 e
x† → −∞ quando t → ∞ - vide Observa¸c˜ao 3.2.11. Da Subse¸c˜ao 3.4.2, sabemos que
em t = 0 o semi-eixo positivo p > 0 ´e a imagem, pelo mapa u′
0(ζ), do semi-eixo positivo
x > 0 da folha 2 . Al´em disso, o primeiro quadrante do plano η ´e a imagem de parte do semi-plano inferior da folha 2 , enquanto que o quarto quadrante ´e a imagem de parte do semi-plano superior dessa folha. Da pr´opria fun¸c˜ao ζ = v(t, η), sabemos que os infinitos do plano ζ s˜ao levados ao ponto (p, q) = (0, 0). Destas, e da informa¸c˜ao que o sinal de y = ̟(t; p, q) ´e preservado pelo fluxo, temos que as curvas presentes no primeiro e quarto quadrantes (que s˜ao tais que q 6= 0) est˜ao associadas a um corte no plano ζ que conecta a folha 2 `a folha 3 . Esse corte ´e o intervalo (0, d(t)), com d(0) = 0 e d → ∞ quando t → ∞. Note que l(t) = uζ(t, d(t)) ´e o ponto onde as referidas curvas
se encontram e tocam o semi-eixo positivo p.
Mapeamento Conforme. Seja Λt= {η = p+iq ∈ H : ℑm(v(t, p+iq)) > 0 e p > 0}
a fam´ılia de dom´ınios crescentes que se vˆe no primeiro quadrante do plano η. Seja tamb´em Ω∗
t a reflex˜ao de Ωt em rela¸c˜ao ao eixo real p, e St a classe de fun¸c˜oes em P
definida na Subse¸c˜ao 3.4.2. Enunciamos:
Proposi¸c˜ao 3.4.6 A fun¸c˜ao uζ(t, ζ) mapeia o semi-plano superior H conformemente
na fam´ılia decrescente de dom´ınios convexos Ωt que satisfazem
Ωt= uζ(t, H) ⊂ u′0(H) = Ω0 , (3.4.56)
e nenhuma outra fun¸c˜ao em St mapeia H em Ωt. H´a assim uma rela¸c˜ao um-para-um
e sobrejetiva entre a fam´ılia Ωt e a trajet´oria cr´ıtica O(u′0→ − 1) na classe St. O
ponto fixo ℵt do mapa uζ(t, ζ) ´e complexo para todo t < tR, e real para todo t≥tR, com
Demonstra¸c˜ao. J´a mostramos nesta se¸c˜ao que uζ(t, ζ) mapeia H sobrejetivamente
em Ωt quando afirmamos que o sinal de y = ̟(t; p, q) ´e estritamente positivo para
todo t ≥ 0 e p, q ∈ Ωt ⊂ H. Resta-nos mostrar que esse mapeamento ´e um-para-
um. Como n˜ao dispomos de uma express˜ao para uζ(t, ζ) para t > 0, temos de fazer as
verifica¸c˜oes sobre o cancelamento das derivadas exclusivamente de vζ(t, η) por meio da
rela¸c˜ao uζζ◦ v(t, η) = 1/vη(t, η). De vη(t, η) = − 1 2η2 − 2 η3 + 3 + 2η η4 ln (1 + η − ηe 2t) + (1 + η)(e2t− 1) η3(1 + η − ηe2t) (3.4.57)
vemos que esta n˜ao diverge nem se anula em ponto algum de Ωt. Portanto uζ(ζ), uma
fun¸c˜ao regular em H, ´e um mapa conforme de H em Ωt.
Para estabelecermos a unicidade da rela¸c˜ao entre a fam´ılia de conjuntos {Ωt, t ≥ 0}
e a trajet´oria cr´ıtica O(u′
0→ − 1), procederemos como na demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao
3.4.3, encontrada na Subse¸c˜ao 3.4.2: suponhamos que ϕ(t, ζ) ∈ St ´e uma fun¸c˜ao tal
que ϕ(t, H) = Ωt, que para cada t fixo ϕ−1 ◦ uζ(t, ζ) ´e um mapa de H em H, e que
mant´em fixos os pontos 1/2, ℵt e bℵt. Pela Figura 2.5, vemos que existe um valor tR
tal que ℵt e bℵt s˜ao n´umeros complexos para todo t < tR com bℵt = ¯ℵt, e esses tornam-
se reais para t≥tR. Segundo o software Mathematica tR≃ 5, 155075. Estendendo por
reflex˜ao as fun¸c˜oes da classe St atrav´es do eixo real, ϕ−1◦ uζ(t, ζ) ´e uma transforma¸c˜ao
fracional linear com trˆes pontos fixos que contradiz a hip´otese que uζ(t, ζ) e ϕ(t, ζ) s˜ao
diferentes. Isto ´e v´alido para todo t tal que bℵt ∈ Ωt∪ Ω∗t∪ Ip†(t). Caso a contradi¸c˜ao
n˜ao seja satisfeita, aplicamos uma reflex˜ao de Schwarz (vide Apˆendice A.4) em rela¸c˜ao `a curva h(t, p) para que uζ(t, ζ) seja estendida para o plano complexo de tal forma que
uζ(t, H) = Ωt e uζ(t, −H) = H \ (Ωt∪ Λt), e isso garante que ℵt e bℵt, nesse caso n´umeros
reais, continuam sendo pontos fixos de uζ(t, ζ) quando bℵt < p†(t). O valor tco que ´e tal
que bℵtco = p
†(t
co) ´e a chamada escala de crossover do regime de forte acoplamento para
o regime de fraco acoplamento, termo este introduzido por Hara, Hattori e Watanabe em [13].
-1.6 -1.4 -1.2 -0.8 -0.6 -0.4 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6
Figura 3.7: Evolu¸c˜ao dos pontos fixos do mapa uζ(t, ζ).
Representa¸c˜ao Integral de uζ(t, ζ). Uma vez que a classe Pick de fun¸c˜oes ´e preser-
vada, a fun¸c˜ao uζ(t, ζ) possui uma representa¸c˜ao integral canˆonica (3.4.33) para todo
t > 0. Mas aprendemos na Se¸c˜ao 3.3 que para todo d > 2 h´a um ponto fixo F ≡ (xF, pF) = (1/(d − 2), −1) da dinˆamica. Para que isso fique evidenciado ´e mais ade-
quado que utlizemos a representa¸c˜ao integral
uζ(t, ζ) = −1 + Z ∞ −∞ 1 λ − ζ − 1 λ − 1/2 dµ(t, λ) , (3.4.58)
sendo queR−∞∞ [(λ − ζ)(λ − 1/2)]−1dµ(t, λ) < ∞ por hip´otese, e o modo de se determinar
a medida
µ(t, dλ) = ρ(t, λ) dλ (3.4.59)
´e o mesmo da representa¸c˜ao integral canˆonica (vide Teorema 3.4.4). Essa medida ´e suportada sobre o intervalo Σ(t) = (−∞, x†(t)), o corte presente no plano ζ. Como
escrito h´a alguns par´agrafos, x†(t) = v(t, p†(t)) ´e uma fun¸c˜ao decrescente de t, com
x†(0) = −1/16 e lim
t→∞x†(t) = −∞; desse limite temos a informa¸c˜ao que o corte
´e expelido para o infinito negativo no limite t → ∞ - para t grande observamos o comportamento assint´otico
x†(t) ∼ v(t, −3/2) = 1 9− 4 27ln 1 + 3 2(e 2t − 1) = −278 t + O(1) . (3.4.60)
Assim, o suporte Σ(t) vai para o conjunto vazio quando t → ∞, de modo que a integral (3.4.58) converge para 0 uniformemente em todo compacto K ∈ H. Em outras palavras, uζ(t, ζ) converge para a fun¸c˜ao inteira u∗(ζ) ≡ −1 no limite t → ∞.
A Densidade ρ(t, λ) do Corte e a Borda q = h(t, p) do Dom´ınio Ωt. Para
finalizar, retomemos um argumento utilizado na Subse¸c˜ao 3.4.2: a densidade ρ(t, λ) da representa¸c˜ao integral ´e obtida pelo limite y ↓ 0 em cima do corte, e a curva q = h(t, p), definida para p ∈ [p†(t), 0], ´e obtida implicitamente por ℑm(v(t, η)) = y = 0. Deve assim
haver uma rela¸c˜ao entre a densidade e a curva. Como j´a observado na Subse¸c˜ao 3.4.2, a densidade reescalada (λ = 1/4˜λ - vide (3.4.43))
˜
ρ(0, ˜λ) = 1 π
q
4 − (˜λ + 2)2 (−4 < ˜λ < 0)
´e igual `a curva
h(0, p) =p4 − (p + 2)2 (p ∈ [−4, 0])
multiplicada por 1/π - note que o ponto p†(0) = −4 est´a relacionado ao suporte da
medida reescalada. Desta constata¸c˜ao, afirmamos existir uma densidade reescalada ˜
ρ(t, ˜λ) para todo t > 0, com p†(t) < ˜λ < 0 e ˜λ uma fun¸c˜ao de λ e provavelmente uma
fun¸c˜ao de t, que ´e igual `a curva q = h(t, p) multiplicada por 1/π. Uma vez que
lim
t→∞h(t, p) =
s
2p3+ 3p2
1 − 2p (p ∈ [−3/2, 0]) ,
lim t→∞ρ(t, ˜˜ λ) = 1 π s 2˜λ3+ 3˜λ2 1 − 2˜λ (−3/2 < ˜λ < 0) ,
e portanto uma densidade ρ(∞, λ) limite para os zeros de Lee-Yang adensados.