Basert på resultatene for kurtose i kapittel 8.5, gjennomføres en case-studie for å se på forholdet mellom kurtose og opsjoner, og hvordan opsjonsprisen endrer seg når kurtosen som puttes inn i modellen endrer seg. Opsjoner er spesielt sensitive med tanke på fordelingen i datagrunnlaget, noe som gjør de til et ideelt instrument for å undersøke konsekvensen av ustabil kurtose. Dette gjøres for å illustrere at ustabil kurtose kan ha betydelige implikasjoner for finansaktører. Med hensyn på
resultatene tidligere i studien, er det forventet å observere signifikante endringer i prisene. Er den prosentvise forskjellen større enn 1% for en opsjon med 1 måned til forfall, vil dette kunne utgjøre 12% i løpet av et år. Dette defineres derfor som signifikant.
For å studere dette, benyttes en opsjonsprismodell som tar hensyn til skjevhet og kurtose. Som beskrevet i kapittel 6.6, benyttes en modifiserte Corrado-Su skjevhet-kurtose-modell. Resultatene for kurtose er presentert som Fishers kurtose, hvor «excess kurtose» defineres som større enn 0. Modellen i denne case-studien benytter derimot Pearson kurtose som input. Resultatene for kurtose er derfor addert med 3, slik at de er kompatible med modellen. Delta beskriver hvor mye verdien av en opsjon endres når selve kursen på underliggende verdipapir endres med en krone. Delta er mellom 0 og 1 for call-opsjoner og 0 og -1 for put-opsjoner (Hull, 2012).
10.1 Resultater
Tabell 23 og 24 viser opsjonsprisen for Corrado-Su med tre forskjellige kurtoser. Disse er henholdsvis Black Scholes normalfordeling med kurtose 3 og den faktiske observerte kurtosen til de aktuelle selskapene i perioden «før» og «etter» innrullering. Kurtosen er basert på resultatene for perioden på 5 år. I tillegg er den prosentvise forskjellen mellom de tre modellene presentert for 3, 2 og 1 måned til forfall.
Side 66
Tabell 23: Opsjonspriser for RCL for tre forskjellige kurtoser, i tillegg til den prosentvise differansen mellom disse prisene. BS står for Black Scholes, der kurtosen er 3. Periodene «Før» og «Etter» referere til før og etter innrullering. Kurs = 100, risiko fri rente = 1%, Cost of Carry = 1% og volatilitet = 52,5%. 𝜇 er kurtosen for normalfordelt Black Scholes. 𝜇2 er for perioden «før» og 𝜇3 er perioden «etter».
Modifisert Corrado-Su skjevhet-Kurtose-modell for RCL
BS
Strike Opsjonspris Opsjonspris Opsjonspris Differanse Differanse Differanse Delta
3 måneder til forfall
Side 67
Tabell 24: Opsjonspriser for PGS for tre forskjellige kurtoser, i tillegg til den prosentvise differansen mellom disse prisene. BS står for Black Scholes, der kurtosen er 3. Periodene «Før» og «Etter» referere til før og etter innrullering. Kurs = 100, risiko fri rente = 1%, Cost of Carry = 1% og volatilitet = 50,6%. 𝜇 er kurtosen for normalfordelt Black Scholes. 𝜇2 er for perioden «før» og 𝜇3 er perioden «etter».
Modifisert Corrado-Su skjevhet-kurtose-modell for PGS
BS
Strike Opsjonspris Opsjonspris Opsjonspris Differanse Differanse Differanse Delta
3 måneder til forfall
Side 68
Fra opsjonsprisene fremkommer det en klar forskjell mellom Black Scholes (BS) og periodene «før»
og «etter». Det tyder altså på at opsjonsprismodellen er sensitiv for endring i kurtose. Studeres forskjellene mellom opsjonsprisene registreres det at jo nærmere forfall opsjonen beveger seg, jo større blir de prosentvise forskjellene mellom prisen ved Black Scholes og periodene «før» og «etter».
For opsjoner som er out-of-the-money (OTM), registreres veldig store forskjeller. Det observeres også at endringene er størst ved BS mot «før», noe som er naturlig siden før-perioden har høyest observert kurtose. BS mot «før» og BS mot «etter» følger en lik trend, ved at det observeres lik relativ utvikling i forhold til endring i strike. For både call og put registreres det at den prosentvise forskjellen i prisen er størst for opsjoner som er OTM. Dette forsterkes jo nærmere forfall opsjonen befinner seg. Ved 3 måneder til forfall registreres det at call-opsjoner som befinner seg ATM (at-the-money) har omtrent lik forskjell som OTM. Det samme gjelder ikke i like stor grad for put-opsjoner. «Før» mot «etter»
avviker noe fra de andre observasjonene. Her registreres det at opsjonsprisene med størst prosentvis forskjell befinner seg ved ATM, eller i nærheten. For call-opsjoner er endringen størst ved ATM, med unntak av ett tilfelle der OTM er størst. For periodene «før» mot «etter» registrerer put-opsjonene utelukkende den største prosentvise forskjellen når strike er 90.
Av tabell 23 og 24 fremkommer det en stor prosentvis forskjell i opsjonsprisene mellom de forskjellige kurtoseverdiene. Det er kun når prisen er godt ITM (in-the-money), at den prosentvise endringen kan betegnes som relativ lav.
10.2 Diskusjon av resultater
Innledningsvis i kapittelet ble det definert at forskjeller på 1 % mellom prisene defineres som signifikant. Resultatene viser at dette er tilfellet for de fleste observasjonene, med unntak av nesten alle observert call-opsjon med strike 75. Resultatene viser signifikante forskjeller mellom
opsjonsprisene som baserer seg på Black Scholes normalfordeling og opsjonsprisene som baserer seg på faktisk observert kurtose. Modellen er mest følsom for opsjonene som har kort tid til forfall, og som befinner seg ved OTM (og ATM for noen tilfeller). Resultatene gir indikasjon på hvor mye modellen feilpriser opsjonene basert på konstant kurtose, og hvordan BS med kurtose lik 3 undervurderer fete haler og høye topper. Siden kurtosen er ustabil, vil det i tillegg være risikabelt å modellere fremtidig kurtose basert på historisk data.
Modellen til Corrado & Su gjelder originalt for Europeiske opsjoner (Corrado & Su, 1997).
selskapsopsjonene på Oslo Børs er normalt amerikanske (Oslo Børs u.å). Denne forskjellen er likevel ikke relevant i forhold til case-studien, da det er effekten knyttet til kurtose som undersøkes. Videre studier på området kan ta for seg en tre-modell som er modifisert slik at den tar hensyn til kurtosen. På den måten kan kurtosen i forbindelse med amerikanske opsjoner studeres. Dette er en case-studie som
Side 69
benytter fabrikkerte strike-priser. For å studere opsjoners faktiske påvirkning, vil det være nødvendig å benytte empirisk opsjonsdata fra markedet.
Avslutningsvis er det viktig å påpeke at disse observasjonen fremkommer av en studie, og at det ikke er påvist hvordan aktører i markedet forholder seg til ustabil kurtose som endres over tid. Det finnes andre måter å forholde seg til kurtosen i markedet, blant annet gjennom å benytte et volatilitetssmil (Hull, 2012). Det presiseres at denne case-studien ikke tar for seg om det er mulig å tjene penger på funnene. Resultatene viser likevel hvor vanskelig det er å jobbe med prising av opsjoner i praksis.
Videre studier på området kan derfor undersøke hvordan ustabil kurtose faktisk reflekteres i opsjonsmarkedet, og hvordan aktører forholder seg til det.
Side 70