Conforme discutido anteriormente, existem diferentes trabalhos com diferentes mo- delos matemáticos para representar o comportamento termomecânico de LMFs. Savi, Pa- checo e Braga (2002), em seu estudo sobre estrutura de von Mises com LMF, utilizaram o modelo polinomial proposto por Falk (1980). Apesar da simplicidade desse modelo, os autores aĄrmam que ele pode fornecer uma descrição qualitativamente apropriada para a resposta dinâmica do sistema. A sua maior desvantagem é não apresentar a histerese do material, considerando porém um termo de amortecimento viscoso equivalente.
O modelo polinomial é baseado em um polinômio de sexto grau de energia livre, que é função da deformação uniaxial (𝜀) do material. A forma da energia livre é escolhida de maneira que seus pontos de mínimo e máximo estejam relacionados com a estabilidade e instabilidade de cada fase da LMF, respectivamente. Nos modelos de LMF unidimensio- nais geralmente são consideradas três fases: austenita (𝒜) e duas variantes de martensita (ℳ+ e ℳ⊗). Consequentemente, a energia livre é escolhida tal que a elevadas tempera- turas ela tenha apenas um mínimo no estado livre de tensão do material, representando o equilíbrio da fase austenítica. A temperaturas mais baixas a martensita é estável, e a energia livre deve ter dois pontos de mínimo no não desaparecimento da deformação do material. Em temperaturas intermediárias, a energia livre deve ter pontos de equilí- brio correspondentes a ambas as fases. Sob essas restrições, a tensão uniaxial, à, é um polinômio de quinto grau em função da deformação 𝜀, sendo dado por:
à = 𝑎1(𝑇 ⊗ 𝑇M)𝜀 ⊗ 𝑎2𝜀3+ 𝑎3𝜀5 (3.2)
onde 𝑎1, 𝑎2 e 𝑎3 são constantes do material; T e 𝑇M são as temperaturas nas barras do sistema e a temperatura abaixo da qual a martensita é estável, respectivamente. Se 𝑇A é deĄnido como a temperatura acima da qual a austenita é estável, e a energia livre tem apenas um mínimo na deformação nula, logo é possível escrever a seguinte condição:
𝑇A= 𝑇M + 1 4 𝑎2 2 𝑎1𝑎3 (3.3) Portanto, a constante 𝑎3 pode ser expressada em termos de outras constantes do
material. Se a seguinte deĄnição de deformação for considerada:
𝜀 = 𝐿
𝐿0 ⊗ 1 =
cos 𝜙0
sendo 𝐿0 e 𝜙0 os valores nominais de 𝐿 e 𝜙, respectivamente, e sabendo que 𝐹 = à𝐴st, substituindo as equações (3.2) e (3.4) na equação (3.1), Savi, Pacheco e Braga (2002) chegaram a seguinte equação de movimento para o sistema:
𝑚 ¨𝑋+ 𝑐 ˙𝑋+2Ast L0 𝑋 {︂ [𝑎1(𝑇 ⊗ 𝑇M) ⊗ 3𝑎2+ 5𝑎3]+ + [⊗𝑎1(𝑇 ⊗ 𝑇M) + 𝑎2⊗ 𝑎3]𝐿0(𝑋2+ 𝐵2) ⊗1/2 + + [3𝑎2⊗ 10𝑎3]L01 (𝑋2+ 𝐵2)1/2+ + [⊗𝑎2+ 10𝑎3]L12 0(𝑋 2+ 𝐵2)+ ⊗5a3 L3 0 (𝑋 2+ 𝐵2)3/2+ a3 L4 0(𝑋 2+ 𝐵2)2}︂= 𝑃 (𝑡) (3.5)
onde B é a projeção horizontal de cada barra (Ągura(10)). Considerando uma excitação periódica sobre a estrutura, dada por 𝑃 (𝑡) = 𝑃0sen(æ𝑡), a equação de movimento (3.5)
pode ser adimensionalizada utilizando as seguintes variáveis adimensionais:
𝑥1 = 𝑋 𝐿0 , Ñ = 𝐵 𝐿0 , 𝜃 = 𝑇 𝑇M , á = æ0𝑡 , Ω = æ æ0 e ˙𝑥1 = 𝑑𝑥1 𝑑á (3.6)
Substituindo os parâmetros adimensionais (3.6) na equação (3.5) e dividindo tudo por 2𝐴st𝑎1𝑇M, obtém-se a seguinte equação de movimento adimensional:
˙𝑥1 = 𝑥2 ˙𝑥2 = Ò sen(Ωá) ⊗ Ý𝑥2+ 𝑥1 {︁ ⊗ [(𝜃 ⊗ 1) ⊗ 3Ð2+ 5Ð3]+ + [(𝜃 ⊗ 1) ⊗ Ð2 + Ð3](𝑥21+ Ñ2) ⊗1/2 ⊗ [3Ð2⊗ 10Ð3](𝑥21+ Ñ2)1/2+ + [Ð2⊗ 10Ð3](𝑥21+ Ñ2) + 5Ð3(𝑥12+ Ñ2)3/2⊗ Ð3(𝑥21 + Ñ2)2 }︁ (3.7)
onde Ý é um coeĄciente de amortecimento viscoso adimensional. O termo dissipativo asso- ciado ao efeito de histerese do material pode ser considerado como um termo equivalente a um amortecimento viscoso relacionado a esse parâmetro. Os parâmetros adimensionais da equação (3.7) são deĄnidos da seguinte maneira:
Ò = 𝑃0 𝑚𝐿0æ02 , Ý = 𝑐 𝑚æ0 , æ20 = 2𝐴st𝑎1𝑇M 𝑚𝐿0 , Ð2 = 𝑎2 𝑎1𝑇M e Ð3 = 𝑎3 𝑎1𝑇M (3.8)
3.3.1
Simulações Numéricas do Modelo Polinomial
Simulações numéricas foram feitas para mostrar o comportamento da estrutura uti- lizando o modelo polinomial. Para resolver o sistema de equações do modelo, foi utilizado o método Runge-Kutta de quarta ordem. Primeiramente, foi simulado o comportamento mecânico do material baseado na equação (3.2) a 373 K, utilizando os parâmetros da tabela (1). A Ągura (12), mostra o comportamento mecânico da LMF baseado no modelo polinomial e em dados experimentais (SITTNER; HARA; TOKUDA, 1995).
Para mostrar o comportamento dinâmico da estrutura, utilizou-se um passo de integração de Δá = Þ/1000Ω. A dinâmica não controlada dessa estrutura já foi analisada
Tabela 1 Ű Propriedades do material utilizadas na simulação do modelo polinomial.
𝑎1 (MPa/K) 𝑎2 (MPa) 𝑎3 (MPa) 𝑇M (K) 𝑇A (K)
523,29 1,868×107 2,186×109 288 364,3 0 200 400 600 800 1000 1200 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 σ (MPa) ε Experimental Modelo Matemático
Figura 12 Ű Comportamento mecânico da LMF a 373K baseado no modelo matemático polinomial e em dados experimentais.
anteriormente por Savi, Pacheco e Braga (2002) e alguns resultados são utilizados como referência. Em todas as simulações, foram utilizadas as propriedades da tabela (1). Esses valores são escolhidos de modo a coincidir com os dados experimentais obtidos por Sittner, Hara e Tokuda (1995) para uma liga de Cu-Zn-Al-Ni a 373K. De acordo com a tabela (1), os parâmetros adimensionais da equação (3.7), assumem os seguintes valores: Ð2 =
1,240×102e Ð
3 = 1,450×104. Foi adotado também um valor de Ñ = 0,866, que corresponde
a condição inicial de 𝜙0 = 30◇.
Savi, Pacheco e Braga (2002) também estudaram a vibração livre com o modelo polinomial da estrutura e observaram que ela tem vários pontos de equilíbrio e que são dependentes da temperatura. Uma estrutura de von Mises feita com material elástico apresenta três pontos de equilíbrio devido as suas não linearidades geométricas, sendo dois deles estáveis e um instável. No caso de uma estrutura de von Mises com LMF, ela irá apresentar um comportamento diferente. A baixas temperaturas, nas quais a martensita é uma fase estável, existem sete pontos de equilíbrio, quatro deles estáveis e três instáveis. Considerando temperaturas mais elevadas, nas quais as fases martensita e autenita podem coexistir, a estrutura exibe cinco pontos de equilíbrio instáveis e seis estáveis. A elevadas temperaturas, nas quais apenas a fase austenítica estará presente, o sistema irá apresentar um ponto de equilíbrio instável e dois estáveis. A partir dessas informações, podemos perceber que o sistema apresenta um comportamento complexo, ainda mais na presença de uma excitação externa.
(a) θ = 1,30, Ω = 0,1 e ξ = 0,01 (b) θ = 0,69, Ω = 0,5 e ξ = 0,05
Figura 13 Ű Diagramas de bifurcação do sistema em função de Ò (SAVI; PACHECO; BRAGA, 2002).
(2002) realizaram simulações a elevadas temperaturas (𝜃 = 1,30), nas quais a fase aus- tenítica é estável na ausência de carregamentos, e a baixas temperaturas (𝜃 = 0,69), nas quais a fase martesítica é estável. A Ągura (13) mostra diagramas de bifurcação para Ò, com 𝜃 = 1,30, Ω = 0,1 e Ý = 0,01 e com 𝜃 = 0,69, Ω = 0,5 e Ý = 0,05, respectivamente, para o sistema.
Podemos perceber, a partir da Ągura (13), que o sistema apresenta regiões de comportamento caótico, que podem ser comprovadas pelas nuvens de pontos em algumas faixas de Ò, e regiões de movimentos periódicos, que são representadas por quantidades discretas de pontos nos diagramas de bifurcação. Com alguns valores de Ò, correspondentes as regiões de comportamento caótico, Savi, Pacheco e Braga (2002) plotaram diversos mapas de Poincaré, os quais apresentaram atratores estranhos.
Com valores de Ò que estão associados a comportamentos caóticos na Ągura (13), foram plotados as repostas de 𝑥1 em função de á com pequenas variações nas condições
iniciais, para mostrar que a partir de um certo intervalo de tempo, a resposta do sistema acaba se tornando imprevisível, como mostra a Ągura (14).
O fenômeno do caos está associado a imprevisibilidade da resposta do sistema quando se variam as suas condições iniciais, por menor que sejam essas variações. A partir da Ągura (14) podemos perceber que as respostas do sistema são bastante semelhantes até um determinado instante de tempo, mas começam a divergir a partir de um certo momento, até chegar ao ponto em que as curvas apresentam comportamentos totalmente distintos.
Com as respostas apresentadas pelo sistema, pode-se notar que mesmo que conhe- çamos bem o seu comportamento, partindo de uma condição inicial especíĄca, caso ela seja alterada em um valor muito pequeno, o sistema se comportará de forma totalmente
−0,8 −0,6 −0,4 −0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 x1 τ x1(0) = 0,5 ; x2(0) = 0 x1(0) = 0,5003 ; x2(0) = 0 (a) θ = 1,30, Ω = 0,1, ξ = 0,01 e γ = 0,015 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 0 50 100 150 200 250 300 350 400 x1 τ x1(0) = 0,5 ; x2(0) = 0 x1(0) = 0,5001 ; x2(0) = 0 (b) θ = 0,69, Ω = 0,5, ξ = 0,05 e γ = 0,02
Figura 14 Ű Respostas caóticas do sistema com pequenas variações nas condições iniciais. independente e imprevisível com o passar do tempo, como observado, principalmente, na Ągura (14b), na qual uma variação de apenas 0,001 na condição inicial, foi o suĄciente para que o comportamento das curvas fossem bastante distintos em um pequeno intervalo de tempo.