2 Innledning
2.4 Begrepsavklaring
As situações surpresa decorrente das limitações instrumentais relativas a manipulação em software educativo de matemática, se originam
quando o usuário de um programa seja professor ou aluno, cometem falhas no u s o d o software. Seja pela falta de formação para uso dos recursos computacionais, ou ainda, pelo desconhecimento dos comandos de um programa. Nestes casos surgem situações surpresa que contradizem concepções e idéias já estabelecidas, e nestas ações o professor pode apresentar algumas intervenções para averiguar o conhecimento dos estudantes, bem como, para favorecer o processo investigativo.
A situação surpresa abaixo diz respeito a soma dos ângulos internos de um triângulo ser ou não ser dois ângulos retos (180o), e teve origem em um
curso de formação de professores realizado no NTE/CREDE20 12 em Quixadá- CE. Durante uma atividade foi proposto aos alunos do curso construir um triângulo [ABC], de forma que fosse possível medir os ângulos internos. Inicialmente, pela medição de cada um dos três ângulo através do comando de verificação “Ângulos”, e posteriormente, os três ângulos medidos foram somados pelo comando “Calculadora” do Cabri Géomètre II. Espontaneamente, houve duas situações-surpresa em dois dos doze computadores em uso no LEI, envolvendo três alunos.
Em um dos casos, a soma dos ângulos internos era superior a dois ângulos retos (180o) e no outro caso era menor que dois ângulos retos. Considerando a situação-surpresa, foi proposto pelo Professor em aula discutir o problema e foram apresentadas pelos alunos quatro conjecturas:
(a) A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o graus;
(b) A soma dos ângulos internos de um triângulo é maior ou igual a 180o graus;
(c) A soma dos ângulos internos do triângulo é menor ou igual a 180o graus;
(d) Todos enunciados apresentados são válidos.
Para que a situação surpresa possa ser compreendida apresento parte da transcrição dos dados de observação do diário de campo, que mostram o dialogo construído ao longo da situação surpresa que se apresentou frente o grupo de alunos, que eram professores em formação, e o Professor que é o pesquisador anotou o dialogo entre o Professor e os alunos, com auxilio de um dos professores do NTE que disponibilizou um gravador e duas fitas que foram transcritas posteriormente.
Relato do diário de campo
No surgimento de uma situação surpresa nova, os alunos iniciaram uma discussão, e alguns diziam que “se fosse considerada uma geometria não- euclidiana era possível tais resultados”. No entanto, o professor disse que se tratava de uma representação do plano euclidiano. O aluno A propôs: “Vamos sistematizar os dados que temos aqui...”.
Alguns relutam, mas a maioria concorda em fazer a organização dos dados. Usando uma televisão acoplada em um computador através de TV Colder, uma das professoras do NTE, que estava como assistente do curso, foi até o computador e digita as conjecturas que os alunos propõe. O aluno B diz:
Aluno B: “Temos três resultados, não é?”. Turma: “É temos três resultados...”.
Aluno B: “Primeiro, a soma dos ângulos [a], [b] e [c] é 180o graus, segundo a soma dos ângulos [a], [b] e [c] é maior que 180o graus...”.
Aluno C: “Calma lá, quando eu movimento um dos pontos do triângulo, o que eu vejo, é que quando os pontos [A], [B] e [C] quase formam uma linha, o que tenho é que o valor medido se aproxima de 180o, portanto, porque não dizer que a soma dos ângulos internos [a], [b] e [c] é maior ou igual a 180o graus?”.
Aluno B: “É, você tem razão, vamos dizer que a o segundo resultado é: A soma dos ângulos [a], [b] e [c] é maior ou igual a 180o graus, alguém discorda? O Professor discorda?”.
Professor: “Fiquem a vontade, quando achar necessário vou intervir”. Aluno B: “Continuando, considerando nossa colega Aluno D, posso dizer também que o terceiro resultado é a soma dos ângulos [a], [b] e [c] é menor ou igual a 180o graus”.
Aluno T: Pode dizer isso sim, pois to movendo os vértices e quando se aproximam da colinearidade os pontos [A], [B] e [C], eles ficam próximos de 180o graus.
Aluno B: “Então, temos os três resultados como: (a+b+c)=180o ou (a+b+c)>180o ou (a+b+c)<180o, alguma coisa mais?”
Aluno A: “Sim, e se todas as três forem verdadeiras simultaneamente? Vamos considerar que os três resultados podem ser verdadeiros.”
Turma: “É sem problemas”.
Aluno B: “E agora professor, o que vamos fazer?”.
Professor: ”O que vocês fizeram, foi enunciar quatro conjecturas...”. Aluno I: “O que é uma conjectura?”.
Professor: “É uma afirmação que não é um teorema, ou seja, não é algo provado...”.
Aluno I: “Mas a soma dos ângulos internos de um triângulo é provado!”.
Professor: “E como é a demonstração da soma dos ângulos internos de um triângulo?”.
Aluno I: “Bem, eu não sei, mas nos livros está escrito...”.
Aluno T: “É, acho que a gente pode tentar provar a soma dos ângulos internos, não é ? Vamos nos dividir em dois grupos, um tenta resolver o problema no computador, e a gente senta naquela mesinha ali na frente e vai tentando esboçar no papel, o que acham?”
Turma: “Pode ser, vamos tentar, sem problemas Professor?”.
Professor: “Ok, mas vamos marcar o tempo são 14:25 min, vamos levar uns 50 minutos nisso, pois infelizmente este é um curso de 30 horas. No entanto, acho que dois grupos com 10 pessoas é muito! Se dividam em grupos de no máximo 05 pessoas, dois grupos usam o computador e os outros usam o lápis e papel”.
Os grupos iniciam o trabalho, e levam cerca de 55 minutos de investigação, discutindo de forma bem intensiva e participativa. Após o término do tempo proposto, o Professor retoma a discussão dizendo:
Professor: “Bem, vamos lá, vocês discutiram e fizeram barulhada igual menino em sala de aula...”.
Turma: risos
Professor: “Vamos reiniciar e recapitular, quando vocês fizeram a medição da soma dos ângulos internos de um triângulo, encontraram três situações distintas com respeito à soma dos ângulos internos de um triângulo, a maioria viu que (a+b+c)=180o em dois computadores ocorreu dois casos diferentes. Em um deles (a+b+c)>180o, não é Aluno K?”
Aluno K: “É sim, Professor“.
Professor: “E no computador do Aluno T e Aluno A, (a+b+c)<180o.
Por fim, vocês enunciaram quatro conjecturas a partir de três situações, sendo que a quarta corresponde a dizer que: (a+b+c)=180o o u (a+b+c)>180o o u (a+b+c)<180o. No mais vocês me disseram que iam apresentar, uma demonstração sobre a soma dos ângulos internos de um triângulo, então vamos lá”.
Figura 017 – Esquema de Aluno A, Aluno T e Aluno I sobre a soma dos ângulos internos.
Aluno K: “Professor, olha o grupo do Aluno A, Aluno T e Aluno I, fizeram este esquema aqui... (neste momento os alunos mostram o desenho feito em folha de papel almaço para a turma)”.
Aluno T: “Bem, é preciso mostrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o, não é isso? Portanto, se um ângulo reto mede 90o graus e um ângulo raso mede dois ângulos retos, é possível dizer que um ângulo raso é 180o graus, deste modo, é preciso de um meio que permita saber se de um triângulo qualquer se pode obter um ângulo raso por meio dos seus ângulos, e este esquema mostra tudo”.
Professor: “Não necessariamente, o esquema que você me apresentou apenas pode representar as suas idéias, é preciso de mais que isso, é necessário detalhar o que você propõe neste esquema (Figura 017)”.
Um breve silêncio toma conta da turma.
Aluno E: “Professor, o esquema que ele propôs significa o seguinte: Primeiro você prolonga os segmentos que formam os lados do triângulo até formar várias retas, que ele esqueceu de nomear no esquema, mas vamos dizer que para [AB] está a reta [k], para [BC] está a reta [l] ([x] e [y] já estavam nomeados no esquema). Segundo, a reta [x] que ele colocou é paralela à reta [y], então de um lado de [x] eu tenho o triângulo [ABC] e do outro eu tenho três ângulos, que formam um ângulo raso. Agora é só mostrar que os ângulos do ângulo raso são iguais aos ângulos internos do triângulo. Bem o ângulo [c] do triângulo é oposto pelo vértice ao [c] do ângulo raso, o ângulo a do triângulo é correspondente ao ângulo [a] do ângulo raso, e pelo mesmo caso o ângulo [b] do triângulo é o ângulo [b] do ângulo raso. Sendo assim, eu digo que (a+b+c)=180o é o resultado verdadeiro, e tá acabado”.
Aluno A: “Mas em dois dos computadores, apareceram respostas diferentes desta!”.
Aluno D: “Então o computador tá errado, não é Professor?” Professor: “É provável”.
A Turma inicia uma discussão sobre o fato. O professor pede silêncio, e o Aluno K pede para falar:
Aluno K: “Acho que sei o que é!”
Aluno K: “Eu tava mexendo na figura que eu fiz, e vi um ponto perto do vértice [A], mexi o ponto e a soma dos ângulos começou a mudar, acho que na hora de fazer a figura eu dei um click fora do vértice e deu este resultado, pode dar uma olhada no computador do Aluno T e do Aluno A que eles deram click errado quer ver?”
Aluno T: “É mesmo, e aqui foi dois erros um click errado perto do ponto [C] e outro perto do ponto [A]”.
Aluno D: “Mas o computador errou ou eles erraram?”.
Professor: “Na realidade quando se utiliza o computador é possível cometer erros, pois ao simular algo se está experimentando, houve um erro de manipulação deles, mas o proveitoso disto tudo foi à discussão que foi possível obter”.
No caso apresentado, a situação-surpresa não estava em um bug do
software, mas sim em uma dificuldade relativa ao uso e manipulação dos recursos
computacionais. Tais situações ocorrem com freqüência em aula, mas na maioria dos casos os professores costumam desprezar possibilidades de situações surpresa como esta.
De um modo geral, houve um repentino espanto por parte dos estudantes, principalmente após a apresentação das quatro conjecturas que foram enunciadas, no entanto, houve organização e negociação entre os alunos, que no caso, são professores de matemática. Entretanto, caso a situação tivesse ocorrido em uma turma de adolescentes, é provável que ocorreriam dificuldades com respeito à negociação, exigindo que as intervenções do professor fossem mais presentes.
O mais relevante que se pode aprender sobre este tipo de situação, consiste em dizer que ao usar software matemático, na interação
homem/máquina/saber, por questões ergonômico-instrumentais podem surgir falhas que contradigam em simulação e visualização concepções sobre o saber matemático validado, no entanto, dependendo da postura do professor tais situações podem se tornar possibilidades para visualizar este saber reconhecido sobre um “novo olhar”.
A situação surpresa acima está descrita em Santana (2002: p. 112- 117) e dados mais detalhados devem ser observados no Anexo 5.