1. Innledning og bakgrunn
1.3 Bakgrunn for å utvikle en strategi om implementering av kvalitetsdokumenter
4. Verifica-se a propor¸c˜ao de vizinhos que foi preservada neste ´ultimo.
Normalmente o procedimento acima ´e iterado para todas as instˆancias xi (i = 1, ..., n) do conjunto de dados, para o mesmo k fixado, obtendo-se uma precis˜ao m´edia pk ∈ [0, 1]. Fazendo o n´umero de vizinhos k variar de 1 a um valor arbitr´ario, e representando os valo- res (k, pk) como pontos no plano cartesiano, obt´em-se uma curva de precis˜ao, denominada curva de preserva¸c˜ao de vizinhan¸ca (ver Figura 4.11 como exemplo). Esta curva ´e indi- cada quando a prioridade ´e atestar a preserva¸c˜ao das rela¸c˜oes de vizinhan¸ca dos pontos nos dois espa¸cos, em oposi¸c˜ao ao stress que atesta apenas as rela¸c˜oes de dissimilaridade dos mesmos.
Al´em das medidas discutidas neste cap´ıtulo, outras medidas tˆem sido propostas para atestar a qualidade das proje¸c˜oes. Por exemplo, Sips et al. (2009) apresentam duas me- didas quantitativas para verificar a consistˆencia das classes em um mapeamento multidi- mensional, uma baseada na distˆancia ao centro de gravidade das classes, e outra baseada na entropia da distribui¸c˜ao espacial das classes, as quais s˜ao robustas a outliers. Motta et al. (2015) prop˜oem medidas baseadas em grafos para avaliar a qualidade das pro- je¸c˜oes. Bertini e colaboradores (Bertini et al., 2011) apresentam uma an´alise sistem´atica de medidas de qualidade usadas para dar suporte `a explora¸c˜ao de conjuntos de dados multidimensionais, bem como os diferentes dom´ınios em que podem ser aplicadas.
2.6
Modelagem de Incerteza Usando Conjuntos Fuzzy
Os conceitos apresentados nesta se¸c˜ao constituem a base do Cap´ıtulo 7, o qual emprega modelagem de incerteza para aumentar a acur´acia de uma fam´ılia de m´etricas usada na compara¸c˜ao de dados multidimensionais.
Incerteza desempenha um importante papel quando combinada com certas caracte- r´ısticas do modelo matem´atico. Segundo Celikyilmaz e T¨urksen (2009), identificar in- certezas reduz a complexidade e aumenta a precis˜ao do sistema. O termo “modelagem de incerteza” define o esfor¸co para identificar incertezas ao construir um modelo matem´atico. Parte do desafio da modelagem de incerteza ´e determinar o n´ıvel ´otimo de permissividade da incerteza. Conjuntos fuzzy podem auxiliar nesta tarefa, j´a que permitem representar conceitos vagos, tal como mostrado na Figura 2.5: uma escala semˆantica com v´arios n´ıveis de pertinˆencia expressos em linguagem natural.
Em oposi¸c˜ao `a escala semˆantica da Figura 2.5, quando uma dada condi¸c˜ao particiona um conjunto X em dois subconjuntos: membros (aqueles que satisfazem a condi¸c˜ao) e n˜ao membros (aqueles que n˜ao satisfazem a condi¸c˜ao), a cole¸c˜ao de objetos-membros resultante caracteriza um subconjunto cl´assico ou crisp. Note que a nega¸c˜ao cont´em todos os elementos do conjunto X que n˜ao s˜ao membros (complemento). Neste contexto,
Figura 2.5: Escala semˆantica mostrando v´arios n´ıveis de pertinˆencia, os quais podem ser utilizados para representar a incerteza de um modelo matem´atico (Retirado de Gil-Aluja (2004)).
o conjunto X ´e comumente chamado de conjunto universal, e seus elementos constituem o “universo do discurso”.
A principal diferen¸ca entre a teoria dos conjuntos cl´assica e a teoria dos conjuntos fuzzy est´a no fato de que esta ´ultima admite um grau de pertinˆencia parcial aos seus elementos, representado por um valor no intervalo [0, 1]. Diferente da situa¸c˜ao acima, onde os elementos podem assumir apenas o status de membro ou n˜ao membro. Partindo desta premissa, ´e poss´ıvel definir um conjunto cl´assico ou crisp como um conjunto fuzzy que restringe o grau de pertinˆencia de seus elementos aos valores {0, 1} (Smithson e Verkuilen, 2006).
Conjuntos fuzzy podem ser representados explicitamente por seus elementos, por´em, ´e comum se referir a um conjunto fuzzy por meio de sua fun¸c˜ao de pertinˆencia µA(x), tal como:
µA(x) : X → [0, 1], (2.10)
onde x representa um elemento do universo X, ou como um conjunto de pares ordenados:
A ={(x, µA(x)) | x ∈ X}. (2.11)
Existem v´arios tipos de fun¸c˜ao de pertinˆencia (Yager e Filev, 1994), as quais s˜ao normalizadas em forma de triˆangulos, trap´ezios, Gaussianas, entre outras formas. Neste trabalho foram utilizadas fun¸c˜oes triangulares conforme ilustrado na Figura 2.6, por apre- sentarem bons resultados e melhor adequa¸c˜ao ao modelo de incerteza proposto.
Fun¸c˜oes triangulares apresentam o n´ıvel de pertinˆencia m´aximo em um ´unico ponto e valores que decrescem linearmente conforme sua taxa de varia¸c˜ao. Estas fun¸c˜oes costu- mam ser indicadas por uma tupla de valores (x1, x2, x3) conhecida como Fuzzy Triangular Number (FTN) (Gil-Aluja, 2004), onde x1 ´e o limite inferior, x2 o valor de pertinˆencia m´aximo e x3 o limite superior.
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E poss´ıvel encontrar o grau de pertinˆencia de um elemento a partir de uma fun¸c˜ao triangular fuzzy, encontrando seus intervalos de corte ou cortes-α como s˜ao chamados.
2.6 Modelagem de Incerteza Usando Conjuntos Fuzzy 29
Figura 2.6: Exemplo de fun¸c˜ao fuzzy triangular.
Cortes-α assumem papel de destaque na teoria dos conjuntos fuzzy (Celikyilmaz e T¨urk- sen, 2009; Yager e Filev, 1994), bem como neste trabalho.
Defini¸c˜ao 2.23 (Corte-Alfa) Seja A um conjunto fuzzy definido no universo X e α um n´umero real, α ∈ [0, 1]. Um corte-α de A, denotado por αA ´e o subconjunto crisp de X, tal que
αA =
{x | µA(x) > α, x∈ X}.
A Figura 2.7 exibe alguns cortes-α: 0,0A, 0,1A, 0,2A, 0,5A, 0,9A. Note que a dire¸c˜ao das retas r e s pode ser obtida a partir dos vetores diretores −−→P1P2 = (x2 − x1, 1) e −−→
P3P2 = (x2− x3, 1), respectivamente.
Figura 2.7: Exemplo de cortes-α assumindo que A ´e um subconjunto fuzzy do universo X.
Tomando-se as equa¸c˜oes param´etricas das retas r e s em rela¸c˜ao ao eixo-x e o parˆametro α, obt´em-se:
r : P = P1+ α.−−→P1P2 ∴ x = x1+ (x2− x1)α, s : P = P3+ α.−−→P3P2 ∴ x = x3+ (x2− x3)α.
Portanto, cada intervaloαA, com α ∈ [0, 1], varia entre x
1+ (x2− x1)α e x3+ (x2− x3)α, ou simplesmente:
α
A =α−A, α+A= [x1+ (x2− x1)α, x3− (x3− x2)α] , (2.13) onde os s´ımbolos α−A e α+A s˜ao usados para indicar os limites inferior e superior do intervalo de corte αA, respectivamente.
A Equa¸c˜ao (2.13) ´e de grande importˆancia neste estudo, pois fornece um mecanismo para obter cortes-α a partir de um FTN e um dado n´ıvel-α.
Se tomarmos o corte-α 0,5A a partir da Figura 2.7, por exemplo, ´e direto ver que µA(x4) > 0, 5 ∴ x4 ∈0,5A. Observe tamb´em que x5 ∈ 0,1A e x5 ∈0,2A, mas x5 ∈/ 0,5A. Con- siderando apenas os n´ıveis-α mostrados na Figura 2.7, isto ´e: {0; 0, 1; 0, 2; 0, 5; 0, 9; 1}, ent˜ao pode-se concluir que x5 ∈ A com grau de pertinˆencia 0, 2 (maior n´ıvel-α).
Em aplica¸c˜oes pr´aticas, ´e usual empregar duas ou mais fun¸c˜oes fuzzy para represen- tar um modelo de incerteza. Nestas circunstˆancias ambiguidades podem ocorrer, como ilustrado na Figura 2.8. Opera¸c˜oes com conjuntos fuzzy aplicam-se nestes casos, conforme segue.
Figura 2.8: Uni˜ao e interse¸c˜ao de conjuntos fuzzy.
Defini¸c˜ao 2.24 (Uni˜ao de Conjuntos Fuzzy ) Sejam A e B dois conjuntos fuzzy definidos no universo X. A uni˜ao ´e definida pelo m´aximo da fun¸c˜ao de pertinˆencia, ou seja:
A∪ B : µA∪B(x) = max[µA(x), µB(x)].
Defini¸c˜ao 2.25 (Interse¸c˜ao de Conjuntos Fuzzy ) Sejam A e B dois conjuntos fuzzy definidos no universo X. A interse¸c˜ao ´e definida pelo m´ınimo da fun¸c˜ao de pertinˆencia, ou seja:
2.7 Considera¸c˜oes Finais 31