existem sítios com diferentes qualidades competindo por ligações (modelo de Bianconi- Barabási). Para conseguir essa dinâmica insere-se na Equação 3.23 uma distribuição de qualidade uniforme. Esta é obtida quando as qualidades são escolhidas uniformemente do intervalo [0, 1], ou seja, ρ(η) = constante. Com isso, é possível observar diferentes valores para o expoente dinâmico β (múltiplas escalas). A constante C pode ser determi- nada da Equação 3.21. Fazendo uma mudança de variável apropriada, onde y = C − η e dy = −dη, teremos 1 = ∫ C C−1 dy(C − 1) y . (3.24)
Essa integral fornece a seguinte expressão
exp(−2/C) = 1 − 1/C, (3.25)
a partir da qual encontra-se C∗ = 1, 255. De acordo com a Equação 3.20, cada sítio terá um
expoente dinâmico diferente dado por β(η) ∼ η
C∗. Utilizando a Equação 3.23, teremos
P (k) ∝ ∫ 1 0 dη C ∗ η 1 k1+C∗/η ∼ k−(1+C∗) log(k) , (3.26)
isto é, a distribuição de conectividade segue uma lei de potência generalizada, com um logaritmo inverso. A validade da teoria contínua para o modelo de Bianconi-Barabási foi verificada através de simulações númericas. Para a verificação, utilizou-se uma distribui- ção de qualidade uniforme, onde as qualidades foram escolhidas com igual probabilidade do intervalo [0, 1]. O maior interesse era testar a validade da Equação 3.15, já que ela pre- via o comportamento da evolução temporal da conectividade dos sítios com diferentes parâmetros de qualidades η.
Na figura 3.5 têm-se a constatação de que ki(t) segue uma lei de potência para
todos η. Já na Figura 3.8, vemos que o expoente de escala β(η) depende de η, sendo maior para nós com maior qualidade. A Equação 3.17 prevê que a soma ⟨∑iηiki⟩/mt → C∗ no
limite t → ∞, onde C∗ é dado pela Equação 3.25 sendo C∗ = 1.255, como indicado na
Figura 3.6. Por fim, na Figura 3.7 vemos a concordância entre a predição da Equação 3.26 e os resultados numéricos para a distribuição de conectividade P (k).
Na figura 3.7 tem uma característica muito interessante quando olhamos o com- portamento dos sítios a nível de ligações feitas durante a evolução da rede. Observamos
neste a existência de alguns sítios que possuem uma alta conectividade ("hubs ou pólos") e aparecem como uma longa linha horizontal num gráfico log-log, sendo encontrados em vários sistemas reais, incluindo a rede WWW e a rede metabólica das células. Isso indica que "super pólos"é uma característica de sistemas competitivos.
Figura 3.5: Simulação numérica para uma rede com m = 1 e com N = 105, mostrando a depen-
dência temporal da conectividade kη(t), para sítios com qualidade η = 0.3, 0.6, 0.9. Note que em
cada caso kη(t)segue uma lei de potência e o expoente dinâmico β (η), dado pela inclinação de
Figura 3.6: Comportamento assintótico de C com t → ∞, note que há acordo com a previsão analítica, linha tracejada, (Equação 3.25). Figura proveniente da Ref. [27].
Figura 3.7: Distribuição de conectividade no modelo de qualidade, obtida para uma rede com m = 1e N = 105. Figura proveniente da Ref. [26].
Figura 3.8: Dependência do expoente dinâmico β(η) com o parâmetro da qualidade η para o caso de uma distribuição uniforme, ρ(η) = constante. Os círculos foram obtidos por simulação numérica, enquanto a linha corresponde a predição analítica β(η) = η/1, 255. Figura proveniente da Ref. [27].
REDE COMPLEXA HOMOFÍLICA
4.1
Introdução
É de conhecimento geral que o processo de formação de conexões, entre os sítios de uma rede, é influenciado por diferentes aspectos. Por exemplo, no modelo proposto por Barabási-Albert (BA), a idade dos sítios dá origem ao efeito de vantagem cumulativa, fazendo que os sítios mais velhos tenham uma alta conectividade e recebam mais cone- xões à medida que a rede cresce. Esta dinâmica é garantida pela chamada regra de ligação preferencial do modelo, a qual inevitavelmente produzirá correlações e uma assimetria entre a conectividade dos sítios mais jovens e os sítios mais velhos. Estes, invariavelmente, serão os sítios mais conectados da rede e, de certo modo, são os responsáveis diretos pela cauda em lei de potência para a distribuição de conectividades.
Já no modelo elaborado por Bianconi-Barabási (BB), além da conectividade dos sítios, outro aspecto, presente na ligação preferencial, que desempenha um papel impor- tante na formação de ligações é conhecido como qualidade. Ele simboliza a qualidade intríseca dos sítios e pode representar, por exemplo, o contéudo de uma web page na WWW ou o talento de um ator na rede de atores de filmes. Dependendo do parâmetro da qualidade um sítio jovem pode adquirir, em um intervalo de tempo relativamente curto, uma quantidade significativa de ligações, ultrapassar sítios mais velhos e eventualmente torna-se um pólo da rede.
É sabido que, em muitas redes reais, os sítios possuem suas próprias característi- cas que, dependendo do contexto, podem ganhar diferentes interpretações. Por exemplo, em redes sociais, a cada indivíduo pode ser atribuído idade, gênero, etnia, nível de esco- laridade ou outros parâmetros que representam suas demais preferências; na rede de in- teração de proteínas, cada proteína é caracterizada por suas funções biológicas; na WWW as web pages são classificadas com base em seu conteúdo. Para estas, e para muitas outras redes, as evidências empíricas indicam que um fator que desempenha papel fundamental para a adição de novas ligações entre sítios é a similaridade entre as características dos mesmos.
Semelhanças nas características de pessoas, por exemplo, elevam a probabilidade para que se estabeleçam vínculos entre elas. Tanto é assim que observamos facilmente como pessoas tendem a se relacionar por compartilharem a mesma fé, mesmo time de futebol, por gostarem do mesmo cantor e etc.
Em todas as situações mencionadas anteriormente, as chances de formação de co- nexões aumentam mediante o partilhamento de algo comum entre os entes. Esta tendên- cia para se estabelecer ligações entre aqueles de características semelhantes é conhecida como homofilia.