Artificial Neural Networks (ANN)

Este estudo tem como principal objectivo caracterizar a compreensão de alguns conceitos matemáticos avançados. A opção por uma metodologia de índole qualitativa induz algumas limitações. Uma destas limitações pode estar relacionada com a sua generalização. De facto, mais do que obter dados que pudessem apresentar características comuns a um grande número de alunos, procurou-se estudar de modo pormenorizado os conceitos imagem de um determinado grupo de alunos. Tendo em atenção que se trata de uma amostra bastante reduzida, composta por alunos que no início do estudo manifestaram um desempenho satisfatório nas avaliações realizadas e que por esse facto representam um grupo restrito da população, a generalização dos dados obtidos deve ter em conta estes constrangimentos metodológicos. Como contrapartida temos acesso a um conjunto de objectos, processos e propriedades que estes alunos relacionam com os conceitos, que nos permitem caracterizar de forma pormenorizada a sua compreensão dos mesmos e que pelas suas características nos podem ajudar a estabelecer os níveis de compreensão de outros grupos de alunos.

Outra questão que devemos ter em conta prende-se com a validade do estudo a médio ou longo prazo. Uma mudança nos pressupostos que estão subjacentes no ensino destes conceitos deverá sempre ser tida em conta, prevendo-se que os conceitos imagem aqui manifestados possam ser significativamente alterados. Estas mudanças serão mais significativas se o ensino ministrado for direccionado para a compreensão dos conceitos, partindo da sua concepção operacional e progredindo no sentido de uma estruturação crescente.

Outra condicionante que pode ser importante destacar prende-se com a duração temporal do estudo e com as alterações que daí podem advir relativas à classificação dos conceitos imagem. Esta classificação em níveis de conceito imagem pode evoluir de forma não antecipada com o tempo, podendo verificar-se regressões ou progressões na compreensão dos conceitos estudados.

Capítulo V

Níveis de complexidade dos conceitos imagem manifestados pelos alunos

Este capítulo tem por objectivo caracterizar níveis de complexidade dos conceitos imagem identificados a partir dos dados empíricos recolhidos junto dos alunos. Pretende-se assim dar resposta parcial ao segundo objectivo proposto para o estudo, uma vez que o mesmo continuará a ser abordado nos dois capítulos seguintes. O termo complexidade é aqui utilizado no sentido de explicitar o nível ou grau de desenvolvimento cognitivo do pensamento matemático. Estes níveis foram estabelecidos com base na criação de meta- categorias retiradas das categorias formadas a partir dos dados. Os alunos foram colocados perante determinadas tarefas matemáticas (situações apresentadas nos anexos 1 e 2), permitindo caracterizar a forma como eles compreendem os conceitos ensinados. Os principais temas tratados nas tarefas referem-se ao estudo da Análise no primeiro ano do ensino superior, sendo abordados os conceitos de: sucessão, infinitamente grande positivo, sucessão convergente, função, limite de uma função, derivada e também o teorema de Lagrange. Foi possível identificar três níveis diferentes de conceitos imagem nos alunos: conceito imagem incipiente, conceito imagem instrumental e conceito imagem relacional. O objectivo principal ao estabelecer estes níveis foi o de distinguir diferentes tipos de conceitos imagem que podem coexistir na mente do aluno. Perante o ensino de um dado conceito, alguns alunos manifestam conceitos imagem mais próximos dos característicos da matemática elementar (conceitos imagem incipientes) enquanto que outros apresentam concepções mais próximas das que caracterizam a matemática avançada (conceitos imagem relacionais).

Nesta fase de aprendizagem espera-se que ocorra uma passagem de uma matemática mais elementar para uma matemática mais avançada. Segundo Tall (1991) esta passagem envolve uma transição importante que corresponde à passagem da descrição à definição, do convencer ao provar de uma forma lógica baseada em definições. Esta transição requer uma reconstrução cognitiva que é visível sobretudo no início do ensino superior, manifestando-se como uma luta pela compreensão das abstracções formais que parecem dominar o ensino

nesta fase. Observei no entanto que os conceitos imagem dos alunos estudados se distribuem por três níveis ou graus de complexidade, dois dos quais ficam aquém do que seria esperado.

Para caracterizar estes níveis de complexidade foram tidos em conta diferentes domínios que são utilizados no desenvolvimento das várias teorias cognitivas apresentadas no capítulo II. São eles: os objectos, os processos, a tradução entre representações, as principais propriedades e o pensamento proceptual, que passarei a discutir brevemente. Os processos e os objectos são elementos chave nas várias teorias da aprendizagem. A teoria da reificação de Anna Sfard propõe que a execução de processos sobre objectos concretos proporcionam o desenvolvimento das fases de interiorização, condensação e reificação, David Tall concebe a visão proceptual dos conceitos (ou objectos) através da realização de procedimentos e processos que vão sendo cada vez mais sofisticados e que culminam na possibilidade de pensar sobre a matemática simbolicamente, como proceitos, e Ed Dubinsky também realça o papel de objectos sobre os quais são realizados determinados processos que posteriormente são capsulados em novos objectos matemáticos. A tradução entre representações e as principais propriedades matemáticas de um determinado conceito permitem-nos estabelecer de forma mais clara o tipo de compreensão dos alunos sobre o pensamento matemático avançado, uma vez que facilitam a compreensão das várias ligações que estes são capazes de estabelecer com outros conceitos. O pensamento proceptual dá-nos uma visão mais completa da forma como os conceitos matemáticos mais avançados são compreendidos, revelando a capacidade dos alunos em comprimir longas sequências de raciocínios em objectos mais compactos que por vezes são representados por símbolos.

Os níveis de complexidade propostos possuem determinadas propriedades que lhe conferem características próprias e que são a localidade, a hierarquia, a estabilidade e a oscilação. Assim, estes níveis de complexidade não são estanques e verificou-se que um aluno pode estar num dado nível num conceito e no conceito seguinte já se poder classificar noutro nível diferente. Existe pois uma certa localidade no nível do conceito imagem. Este fenómeno pode mesmo tomar formas que não seriam expectáveis onde, por exemplo, um aluno pode apresentar um conceito imagem incipiente de função e no entanto quando se pretende abordar a noção de limite ele consegue manifestar um conceito imagem instrumental ou mesmo relacional. Seria de esperar que para os conceitos mais elementares fossem manifestados conceitos imagem relacionais, enquanto que para os conceitos mais avançados os conceitos imagem pudessem apresentar caracterísitcas incipientes ou instrumentais. Este fenómeno de localidade confere características próprias a cada conceito imagem, sendo a ligação entre eles por vezes difícil de estabelecer. Mesmo nas situações em que se poderia pensar que um conceito seria necessário para a construção de outro, os conceitos imagem dos alunos não

traduzem essa relação e conceitos mais complexos acabam por ser evocados com base em características específicas que não têm em consideração este tipo de relação. Este fenómeno parece ser indicador da existência de características do conhecimento que são específicas de um dado contexto, podendo desta forma falar-se de cognição em contexto.

Estes níveis de complexidade dos conceitos imagem revelam, no entanto, a existência de uma hierarquia, que se desenha como a evolução de conceitos imagem mais elementares (incipientes) para conceitos imagem mais avançados (relacionais), mas cujas fronteiras devem ser consideradas bastante difusas. Esta hierarquia é referida pela literatura e traduz a evolução esperada na compreensão dos conceitos.

Uma outra propriedade dos níveis de conceito imagem identificados, diz respeito ao nível em que alguns alunos se encontram nos vários conceitos, verificando-se a existência duma estabilidade que reflecte a sua permanência num mesmo nível. Esta estabilidade pode ser observada quer ao nível dos conceitos imagem incipientes, quer ao nível dos conceitos imagem relacionais. Quando esta propriedade se verifica ao nível dos conceitos imagem relacionais estamos perante uma situação óptima em termos de aprendizagem, manifestando os alunos uma compreensão efectiva dos conceitos. Já quando tal acontece ao nível dos conceitos imagem incipientes podemos considerar que os conceitos abordados não são encarados pelos alunos como objectos matemáticos. A situação intermédia, onde os conceitos imagem manifestados se situam num nível instrumental parece ser por vezes suficiente para que alguns alunos, nomeadamente os dos cursos de engenharia, que revelam uma compreensão dos conceitos que lhe permite ter sucesso na disciplina.

A quarta propriedade dos níveis de conceito imagem identificados diz respeito à forma como as propriedades de um mesmo conceito são estabelecidas, verificando-se uma certa oscilação na sua compreensão. Embora os alunos estejam num determinado nível de conceito imagem, apresentam oscilações na forma como utilizam as diferentes propriedades deste. Por exemplo um aluno que manifesta um conceito imagem incipiente de função consegue referir- se à monotonia de algumas funções em concreto, explicitando a relação que se estabelece entre os objectos e as imagens, mas quando se pretende que ele dê uma definição do conceito não refere essa noção de correspondência, fazendo apenas referência a processos e procedimentos mais elementares para a construção do conceito.