Túnel de Klein en grafeno

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Facultat de ciències

Memòria del Treball de Fi de Grau

Túnel de Klein en grafeno

Vicente Manuel Arjona Romano Grau de Física

Any acadèmic 2012-13

DNI de l’alumne: 43213909Z

Treball tutelat per David Sánchez Martín

Departament de Física i Institut de Física Interdisciplinària i Sistemes Complexos IFISC

S'autoritza la Universitat a incloure el meu treball en el Repositori Institucional per a la seva consulta en accés obert i difusió en línea, amb finalitats exclusivament acadèmiques i d'investigació

Paraules clau del treball:

Graphene, Klein paradox, Quantum transport, Nanostructure, Klein, Klein tunneling x

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Abstract

This paper provides a study of Klein tunneling (increased probability of electronic transmission under high potentials) applied to graphene, two-dimensional carbon sheets with hexagonal lattice. This paper provides a detailed analysis of scattering properties in graphene throughout the study in the first place of the one-dimensinal barrier potential problem (scenario), where we find perfect electronic transmission, to then enter the two-dimensional case by considering two situations: an electron incident either on a potential step or a potential barrier, obtaining expressions for the transmission paths . We show that Klein tunneling is not a genuine quantum tunneling effect, as it does not involve passing throughout a forbidden region via evanescent waves. Pseudo-spin conservation (sublattice) will play a crucial role within the transmission.

Resumen

Este trabajo provee un estudio delefecto Túnel de Klein (aumento de la probabilidad de trans- misión electrónica bajo potenciales elevados) aplicado al grafeno, láminas bidimensionales de carbono con red hexagonal. El trabajo proporciona un análisis detallado de las propiedades de

“scattering” en el grafeno a través de, primero, el problema barrera potencial unidimensional (caso hipotético), donde se encuentran transmisiones electrónicas perfectas; para posteriormente adentrarse en el caso bidimensional considerando dos situaciones: un electrón incidiendo sobre un potencial escalón o incidiendo sobre una barrera de potencial, obteniendo sendas expresiones para la transmisión. Mostramos cómo el efecto Túnel de Klein no es un efecto túnel cuántico genuino, ya que no implica el uso de ondas evanescentes para atravesar una zona prohibida. La conservación del pseudo-esp´ın (subred) jugará un papel crucial dentro de la transmisión.

Resum

Aquest treball proveeix un estudi de l⁰efecte Túnel de Klein (augment de la probabilitat de transmissió electrònica sota potencials elevats) aplicat al grafè, làmines bidimensionals de car- boni amb xarxa hexagonal. El treball proporciona una anàlisi detallada de les propietats de

“scattering” en el grafè a través de, primer, el problema barrera potencial unidimensional (cas hipotètic), on es troben transmissions electròniques perfectes; per a posteriorment endinsar-se en el cas bidimensional considerant dues situacions: un electró incidint sobre un potencial graó o incidint sobre una barrera de potencial, obtenint sengles expressions per a la transmissió. Mos- trem com l⁰efecte Túnel de Klein no és un efecte túnel quàntic genu´ı, ja que no implica l⁰us´ dónes evanescents per travessar una zona prohibida. La conservació del pseudo-esp´ı (subxarxa) jugarà un paper crucial dins de la transmissió.

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´ Indice general

P´agina

1. Introducci´on 5

1.1. Mecánica Cuántica Relativista. De Schrödinger a Dirac . . . 5

1.2. Electrones relativistas. Ecuaci´on de Dirac . . . 6

1.3. Paradoja de Klein . . . 6

1.4. Grafeno. Capas bidimensionales de carbono . . . 7

2. Problema 1D 9 2.1. Ecuaci´on autovalores para el caso unidimensional . . . 9

2.2. Flujo de probabilidad . . . 9

2.3. Problema barrera potencial unidimensional . . . 11

2.4. Onda transmitida. Diferencias con el problema de scattering cu´antico no relativista 14 3. Problema 2D. Funciones de onda 15 3.1. Ecuaci´on autovalores para el caso bidimensional . . . 15

3.2. Flujo cu´antico bidimensional . . . 17

4. Problema 2D. Potencial escal´on y barrera 19 4.1. Potencial escal´on. Autofunciones del grafeno dentro del potencial . . . 19

4.2. Problema de scattering aplicando un potencial escal´on . . . 20

4.3. ´Angulos cr´ıticos. Limitaciones de potencial y energ´ıa . . . 23

4.4. Problema de scattering aplicando un potencial barrera . . . 24

5. Conclusiones 26 Ap´endices 27 A. Sistema unidimensional 27 A.1. Autofunciones del sistema grafeno . . . 27

A.2. Componentes del espinor de Dirac . . . 28

B. Sistema bidimensional: autofunciones 29

C. Flujo de probabilidad 30

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Cap´ıtulo 1

Introducci´ on

1.1. Mec´ anica Cu´ antica Relativista. De Schr¨ odinger a Dirac

1.1.1. Mec´anica Cu´antica

La Mecánica Cuántica [1] es una formulación matemática encargada de estudiar el movimiento e interacción de las part´ıculas, aplicada especialmente al mundo microscópico. Se basa en la descripción dual onda-part´ıcula formulada por Bohr, Einstein, Heisenberg, Schrödinger, entre otros.

Toda la descripción de las part´ıculas (movimiento, interacciones) se realiza en base a la fun- ción de onda Ψ(r, t), cuyo módulo cuadrado expresa la probabilidad de encontrar una part´ıcula en una posición r y tiempo t determinado [2]. La función de onda viene determinada por la ecuación de Schrödinger

i~∂Ψ

∂t =



 X

j

"

p²_j

2m_j +U(r_j, s_j)

#

+^X

i>j

V(r_i−r_j)



Ψ (1.1)

donde las part´ıculas tienen posición r_j, momento lineal p_j y esp´ın s_j.U(r_j −s_j) representa la interacción con un potencial externo yV(r_i−r_j) la interacción a pares entre las part´ıculas.

1.1.2. Primera aproximaci´on a la relatividad. Ecuaci´on Klein-Gordon

A pesar de la gran importancia de la ecuación de Schrödinger, ésta presenta limitaciones en cuanto a su uso. Es una ecuación no relativista, cuyo utilidad se limita a part´ıculas con momento lineal inferior a la energ´ıa en reposo. El primer acercamiento a part´ıculas relativistas se realizó a partir de la ecuación de Klein-Gordon, quien toma la relación de dispersión relativista E² = (pc)²+ (moc²)² (aplicando operadores cuánticos) y la introduce en la ecuación de Schrödinger

−~²∂_t²Ψ(r, t) = (ˆp²c²+m²_oc⁴)Ψ(r, t) (1.2) donde m_o es la masa en reposo de las part´ıculas. La ecuaci´on de Klein-Gordon presenta, no obstante, un serio problema, ya que no garantiza la conservaci´on de la probabilidad, llegando en ocasiones a ser incluso negativa (|Ψ|²<0).

El desarrollo de la ecuación de Dirac supuso el salto definitivo, corrigiendo los problemas de la ecuación de Klein a través de una ecuación de primer orden en derivadas temporales.

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1.2. Electrones relativistas. Ecuaci´ on de Dirac

La ecuación de Dirac [3] describe el movimiento relativista de part´ıculas con esp´ın 1/2. La ecuación de Dirac es consistente con ambos principios de la Mecánica Cuántica y la Relatividad Especial, y fue la primera teor´ıa en explicar completamente la relatividad en el contexto de la mecánica cuántica.

Reconsiderando la relación de dispersión relativistaE =^pc²p²+m²_oc⁴ aplicando los operadores de la mecánica cuántica, Paul Dirac linealizó la expresión obteniendo:

E =c

3

X

i=1

αipi+βmc² ≡cα·p+βmc² (1.3) donde los parámetrosα = (α1, α2, α3) y β se obtienen igualando con la relación clásica relativista. Trasladando la expresión (1.3) a la mecánica cuántica de operadores finalmente se obtiene la ecuación de Dirac

i~∂

∂tψ(t,x) =H_oψ(t,x) (1.4)

donde el Hamiltoniano para el movimiento libre de una part´ıcula H_o representa una matriz de dimensi´on cuatro

Ho=−i~cα· ∇+βmc² = mc²1 −i~cσ· ∇

−i~cσ· ∇ mc²1

!

(1.5) siendoσ = (σ_x, σ_y, σ_z) las matrices de Pauli y1la matriz identidad

σ_x= 0 1 1 0

!

σ_y = 0 −i i 0

!

σ_z = 1 0 0 −1

!

1= 1 0 0 1

!

(1.6) Bajo este nuevo marco, los autovalores del Hamiltoniano corresponden a la relaci´on de dispersi´on relativista

E=±^qc²p²+m²c⁴ (1.7)

mientras que las funciones de onda son espinores de cuatro componentes donde las dos primeras corresponden a energ´ıas positivas y los dos últimas a energ´ıas negativas. Hemos de destacar la aparición de una rama negativa de energ´ıas para una part´ıcula libre, imposible de obtener en Mecánica Cuántica no relativista. Esta nueva rama energética será el origen, tal como se verá más adelante, de nuevos efectos hasta entonces nunca estudiados.

Si la masa de las part´ıculas es nula, el término referido a esta se desvanece de la ecuación (1.5) y del término energético (1.7), siendo suficiente utilizar matrices 2×2, obteniendo la ecuación

i~∂

∂tψ(t) =cσ·pψ(t) (1.8)

llamada laecuación de Weyl. Esta última será importante de cara al estudio del grafeno.

1.3. Paradoja de Klein

1.3.1. Scattering en Mec´anica

La probabilidad de que una part´ıcula pueda superar una barrera potencial depende de la energ´ıa con la cual incide. En Mecáncia Clásica si la part´ıcula incide con una energ´ıa superior al potencial aplicado, ésta podrá superar sin ningún problema el obstáculo llegando al otro extremo. Sin embargo, si incide con una energ´ıa menor la part´ıcula es incapaz de atravesar la barrera; para ella, la zona donde se aplica el potencial es prohibida, ya que supone un espacio con niveles energéticos superiores a los que ella posee.

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En Mecánica Cuántica se aprecian otros efectos, debido a la naturaleza de onda que exhiben las part´ıculas. Cuando la energ´ıa es mayor, la part´ıcula sobrepasa el potencial, al igual que en clásica. Sin embargo, si la energ´ıa es menor las part´ıculas pueden tunelear hasta el otro extremo, traspasar la zona prohibida, a través de ondas evanescentes. La probabilidad de producirse este efecto depende de la diferencia entre la energ´ıa y el potencial aplicado; cuanto mayor sea la diferencia, más dif´ıcil es de observar una posible transmisión.

1.3.2. Klein tunneling. Potenciales elevados

Usando la ecuación de Dirac comprobamos que las energ´ıas resultantes presentan dos posibles ramas, una positiva y otra negativa (1.7). Este comportamiento es el responsable de la paradoja de Klein [4],[5],[6],[7], donde la transmisión de un electrón en un problema de “scattering” au- menta a medida que la barrera de potencial aplicada crece respecto a la energ´ıa incidente.

Aplicar un potencial elevado supone subir los niveles energéticos, pudiendo llegar el caso en que un electrón situado en la rama positiva pueda tunelear a través del potencial gracias a la rama negativa, situada al mismo nivel energético que el electrón incidente. Este efecto es posible cuando el potencial sea suficientemente intenso como para superar la energ´ıa de gap y elevar la rama energética negativa a la zona positiva. Los ordenes de magnitud de los potenciales que se deber´ıan aplicar se encuentran en torno amc², que es la energ´ıa de gap entre las ramas positivas y negativas de la ec. (1.7) obtenida a partir de la ecuación de Dirac.

1.4. Grafeno. Capas bidimensionales de carbono

El grafeno consiste en láminas de carbono bidimensionales formadas por redes hexagonales con forma de panal de abeja [9]. Comenzó a estudiarse teóricamente en 1947 [10], pero no pudo sintetizarse en el laboratorio hasta 2004 (Andre Geim y Kostya Novoselov en la Universidad de Manchester [11],[12]).

A fin de describir correctamente la celda unitaria es necesario disponer de dos átomos, definiendo de esta forma dos subredes (ver fig. 1.1). Como consecuencia, la función de onda se expresará como función de un espinor de dos componentes, visualizado frecuentemente como un pseudo-esp´ın asociado al grado de libertad de la subred a la que pertenece. En la primera zona de Brillouin encontramos en las esquinas los diferentes puntos no equivalentes K y K⁰, en los cuales se localizarán los conos de Dirac (ver fig. 1.1). Utilizando el método de Tight-Binding a

Figura 1.1: Red hexagonal donde se han representado los ´atomosAyB necesarios para describir la red. a₁,a₂ representan los vectores de la red, mientras que b₁,b₂ representan los vectores de la red rec´ıproca. A la derecha se encuentra la zona de Brillouin.

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Figura 1.2: Sobre cada punto de Dirac encontramos un cono de energ´ıa. Aproximando a energ´ıas bajas, encontramos una dependencia lineal en la relación de dispersión con el número de ondas, al igual que las part´ıculas relativistas

primeros vecinos, se encuentra la siguiente relaci´on de dispersi´on [8]

E(kx, ky) =±γ 1 + 4 cos²(kxa

2 ) + 4 cos (kxa 2 ) cos (

√ 3kya

2 )

!1/2

(1.9) donde el signo positivo de la energ´ıa se refiere a la banda de conducci´on y el negativo a la banda de valencia.

De esta forma, se obtenienen conos de energ´ıa con vértices en cada punto no equivalente de la zona de Brillouin. Aproximando la ec. (1.9) a bajas energ´ıas (cerca de los puntos no equivalentes) encontramos una expresión lineal de la relación de dispersión; la energ´ıa pasa a depender linealmente del número de onda, de la misma forma que una part´ıcula relativista sin masa (E ∼ k), tal como ilustra la fig. 1.2. En consecuencia, a bajas energ´ıas, el Hamiltoniano efectivo que describe los electrones en el grafeno es:

H=v_fσ·p (1.10)

obteni´endose un Hamiltoniano efectivo lineal con el momento ˆp. La velocidad de Fermiv_f juega el papel de la velocidad de la luz (v_f ≈ c/300), siendo este par´ametro dependiente de las constantes del material (integral de hopping, constante de red, etc [9]). σˆ representa los dos grados de libertad electr´onicos (subred A o subred B), equivalente a un pseudoesp´ın o espinor de dos componentes.

De esta forma, los electrones pueden ser descritos por la ecuaci´on de Dirac de dos componentes para part´ıculas sin masa

−i~v_fσˆ · ∇Ψ(r) =EΨ(r) (1.11)

(9)

Cap´ıtulo 2

Problema 1D

2.1. Ecuaci´ on autovalores para el caso unidimensional

Resolveremos el problema de autovalores unidimensional utilizando el Hamiltoniano de la ec. (1.10).

HΨˆ n=EnΨ_n (2.1)

con ˆH=vfσˆˆp=vfσˆxpˆx, siendo ˆσx la matriz de Pauli en direcci´onx y ˆpx el operador momento en direcci´onx.

Como ya hemos explicado anteriormente, en el grafeno trabajamos con fermiones relativistas sin masa. La expresi´on resultante implica espinores de Dirac de dos componentes (ecuaci´on de Weyl (1.8), masa efectiva nula)

v_f 0 ^~_i_dx^d

~i d

dx 0

! Ψ₁(x) Ψ₂(x)

!

=E Ψ₁(x) Ψ₂(x)

!

(2.2) Resolviendo el sistema obtenemos las siguientes autofunciones para el grafeno (para un cálculo más detallado, véase el Apéndice A)

Ψ₊(x) = 1

√2e^±ikx +1 +1

!

para una energ´ıa E =v_f~k (2.3)

Ψ₋(x) = 1

√2e^±ikx +1

−1

!

para una energ´ıa E=−v_f~k (2.4) La variablekes un par´ametro libre que puede tomar cualquier valor. De esta forma, se obtiene un espectro de energ´ıas continuo, dividida en dos posibles ramas, en lugar de encontrarse cuantizada.

2.2. Flujo de probabilidad

Sabemos que un sistema cu´antico viene descrito por la funci´on de onda Ψ(t,x), a partir de la cual podemos calcular la densidad de probabilidad de encontrarlo en un punto x. La probabilidad en un punto puede variar, “fluir” hacia otros puntos del espacio que consideramos.

As´ı pues, al igual que en mecánica clásica, podemos definir una densidad de corriente que exprese el movimiento que sigue esta probabilidad. No obstante, la probabilidad de encontrar una part´ıcula en el volumen se conserva, definiendo una ecuación de continuidad:

∂|Ψ|²

∂t +∂jx

∂x = 0 (2.5)

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2.2.1. Determinaci´on del flujo

A partir de la expresión (2.5) derivaremos el flujo en el caso del grafeno, el cual dife- rirá del flujo cuántico usual debido a las diferencias entre el Hamiltoniano t´ıpico de Schrödinger ( ˆH = ⁻_2m^~²_∂x^∂²₂) del Hamiltoniano obtenido para el grafeno, lineal en ˆp ( ˆH =v_fσˆxp). Para ello,ˆ será necesario calcular la derivada temporal del módulo cuadrado de la función de onda, siguiendo la ecuación de Schrödinger. Para una deducción más detallada de este proceso véase el Apéndice C.

Finalmente obtenemos la expresi´on del flujo unidimensional:

j ≡ hˆji=v_fhΨ|ˆσx|Ψi (2.6)

2.2.2. Relaci´on entre espinores y el movimiento

Utilizando la expresión recientemente encontrada del flujo (2.6) podemos estudiar el movimiento que seguirá un electrón que se encuentre en los diferentes autoestados del grafeno

j+≡v_fhΨ₊|ˆσx|Ψ₊i=v_f (2.7) j− ≡vfhΨ−|ˆσx|Ψ−i=−v_f (2.8) El resultado obtenido es de gran importancia, ya que nos indica que el flujo no se encuentra relacionado con el momento, como suele suceder, sino que se encuentra ´ıntimamente ligado al espinor en el cual se encuentre el electrón. Si el electrón se halla en el autoestado Ψ₊ éste viajará hacia la derecha, sin embargo, si se encuentra en el autoestado Ψ− viajará hacia la izquierda, independientemente del momento que posea la part´ıcula o su energ´ıa. El movimiento de la part´ıcula viene exclusivamente determinado por el espinor en el que se halle, tal como ilustra la fig. 2.1:

Figura 2.1: Ramas energéticas con sus correspondientes flujos. El flujo viene únicamente determinado por el espinor en el cual se halle el electrón

(11)

2.3. Problema barrera potencial unidimensional

Someteremos la capa de grafeno a un potencial de tipo barrera a fin de estudiar el efecto Túnel de Klein para electrones relativistas sin masa. El estudio se realizará considerando dos posibles valores energéticos incidentes, uno superior al potencial y otro inferior al potencial.

Las autofunciones para este caso se obtienen operando de la misma forma que anteriormente, ya que únicamente se añade un valor constante de potencial, el cual modifica los autovalores. Es inmediato comprobar que los autovectores del grafeno bajo un potencial escalón son:

Ψ₊(x) = 1

√2 +1 +1

!

e^±ikx para una energ´ıa E =Vo+vf~k (2.9)

Ψ₋(x) = 1

√2 +1

−1

!

e^±ikx para una energ´ıa E =Vo−vf~k (2.10) Determinando los diferentes rangos energéticos trabajaremos con las siguientes funciones de ondas, donde el parámetro energéticok(vector de ondas) deberá tomar un signo concreto a fin de respetar los niveles de energ´ıas.

Para energ´ıas inferiores al potencial tenemos:

Ψ₊(x) = 1

√2 +1 +1

!

e^±ikx para una energ´ıa E=Vo+vf~l;l <0 (2.11)

Ψ₋(x) = 1

√2 +1

−1

!

e^±ikx para una energ´ıa E=Vo−vf~l;l >0 (2.12) Para energ´ıas superiores al potencial tenemos:

Ψ₊(x) = 1

√2 +1 +1

!

e^±irx para una energ´ıa E=V_o+v_f~r;r >0 (2.13)

Ψ₋(x) = 1

√2 +1

−1

!

e^±irx para una energ´ıa E=V_o−v_f~r;r <0 (2.14) 2.3.1. E >0 ; E < V_o

Suponiendo una onda incidente desde la izquierda, tendremos una posible reflexi´on y transmisi´on. En la tercera zona no es f´ısicamente posible que exista una onda propagante desde la derecha, por lo que esta posibilidad es eliminada. Dentro del pozo tendremos ondas propagantes en ambas direcciones (ver fig. 2.2).

Las funciones de onda son

Ψ(x <0) = 1

√2 +1 +1

!

e^ikx+r 1

√2 +1

−1

! e^−ikx Ψ(0< x < a) = c₁ 1

√2 +1 +1

!

e^−ilx+c₂ 1

√2 +1

−1

! e^ilx Ψ(x > a) = t 1

√2 +1 +1

!

e^ikx (2.15)

donder,c1,c2, t son coeficientes de probabilidad. Exigiendo continuidad en la funci´on de onda se obtienen los diferentes coeficientes.

(12)

Figura 2.2: Ondas propagantes para una energ´ıa inferior al potencial En la primera uni´on obtenemos:

1 +r=c1+c2

1−r=c1−c2

(1 =c₁ r=c2

(2.16) En la segunda uni´on obtenemos:

c1e^−ila+c2eîla=teîka c₁e^−ila−c₂eîla=teîka

(c1e^−ila =te^ika

c₂= 0 (2.17)

Vemos que la onda reflejada se anula, siendo la onda incidente totalmente transmitida. Cal- culando el flujo transmitido de la funci´on de onda se comprueba que su valor es constante:

ji =vf

1

√2 2

e^−ikx1 1 0 1 1 0

! 1 1

! e^ikx

!

=vf (2.18)

jt=v_f 1

√ 2

2 e^ila

e^−ikae^−ikx1 1 0 1 1 0

! 1 1

!

e^ikxe^−ila e^ika

!

=v_f (2.19)

En consecuencia, la transmisi´on toma un valor constante e independiente de la energ´ıa.

T = j_i jt

= 1 (2.20)

Analizando el resultado obtenido, vemos cómo el espinor de la part´ıcula se conserva, quedándose el electrón en la autofunción con flujo hacia la derecha. Por ello, tanto el flujo incidente como el transmitido tienen el mismo valor, ya que el electrón conserva su movimiento y, por lo tanto, conserva su espinor. Esto permite obtener una transmisión perfecta, observando el Túnel de Klein perfecto.

2.3.2. E >0 ; E > Vo

Nuevamente se supone una onda incidente desde la izquierda, obteniéndose una posible refle- xión y transmisión. En la tercera zona no es f´ısicamente posible que exista una onda propagante incidente desde la derecha, por lo que se elimina esta posibilidad (ver fig. 2.3).

(13)

Figura 2.3: Ondas propagantes para una energ´ıa superior al potencial Las funciones de onda para este caso son las siguientes:

Ψ(x <0) = 1

√2 +1 +1

!

e^ikx+r 1

√2 +1

−1

! e^−ikx Ψ(0< x < a) = c1

√1 2

+1 +1

!

e^imx+c2

√1 2

+1

−1

! e^−imx Ψ(x > a) = t 1

√2 +1 +1

!

e^ikx (2.21)

donde r,c1,c2, t son coeficientes de probabilidad. Cabe mencionar que las funciones de onda del problema son casi idénticas al caso anteriormente estudiado; solamente difieren en el signo de la constante definida debido a las condiciones energéticas que deben cumplir en cada situación.

Exigiendo la continuidad de la funci´on se hallan los diferentes coeficientes del sistema. Para la primera uni´on obtenemos:

1 +r=c1+c2

1−r=c₁−c₂

(1 =c1

r=c₂ (2.22)

En la segunda uni´on obtenemos:

c1eîma+c2e^−ima =teîka c₁eîma−c₂e^−ima =teîka

(c1e^ima =te^ika

c₂ = 0 (2.23)

La onda reflejada se anula, siendo la onda incidente totalmente transmitida. Calculando el flujo transmitido se comprueba que su valor es igual a vf:

ji =vf

1

√ 2

2

e^−ikx1 1 0 1 1 0

! 1 1

! e^ikx

!

=vf (2.24)

j_t=v_f 1

√2

2 e^−ira

e^−ikae^−ikx1 1 0 1 1 0

! 1 1

!

eîkxeîra eîka

!

=v_f (2.25)

La transmisi´on toma un valor constante igual a la unidad, observando nuevamente el T´unel de Klein perfecto.

T = ji

j_t = 1 (2.26)

(14)

2.4. Onda transmitida. Diferencias con el problema de scatte- ring cu´ antico no relativista

Cuando una part´ıcula no relativista con masa incide sobre un pozo de potencial ésta se verá reflejado o transmitido dependiendo de su valor energético. Si la energ´ıa incidente es inferior al potencial aplicado, existirá una cierta probabilidad de transmitirse por efecto túnel, superando la barrera potencial a través de enlazarse con ondas evanescentes.

No obstante, las autofunciones del sistema del grafeno para energ´ıas menores que la barrera potencial no contemplan la existencia de ondas evanescentes, siendo éstas todas ondas propagantes. A priori se podr´ıa pensar que la ausencia de ondas evanescentes impedir´ıa la aparición del efecto túnel, imposibilitando la transmisión de las ondas; resulta realmente sorprendente cómo lo observado resulta ser el efecto contrario. No sólo existe una probabilidad de que la onda se transmita a valores energéticos menores que el potencial, sino que la reflectancia es totalmente nula.

La onda sobrepasa la barrera totalmente, a pesar de no existir ondas evanescentes. Eso se produce gracias a la existencia de una energ´ıa de gap nula entre las diferentes ramas energéticas de la lámina de grafeno, permitiendo una transmisión perfecta a través de las diferentes bandas, sin necesidad, como sucede para el efecto Túnel de Klein, de potenciales elevados. Aplicar un potencial no afecta a las propiedades de scattering de un hipotético grafeno unidimensional, ya que los electrones pueden transmitirse sin problemas a otras ramas debido al gap nulo.

(15)

Cap´ıtulo 3

Problema 2D. Funciones de onda

3.1. Ecuaci´ on autovalores para el caso bidimensional

Se resolver´a el problema de autovalores bidimensional [13] utilizando el Hamiltoniano de la ec. (1.10).

HΨˆ _n=E_nΨ_n (3.1)

con ˆH = v_fσˆpˆ = v_f(ˆσ_xpˆ_x + ˆσ_ypˆ_y), siendo ˆσ_x,σˆ_y las matrices de Pauli en direcci´on x e y;

pˆ_x,pˆ_y son los operadores momento lineal en la dirección x e y, respectivamente. Aplicando el Hamiltoniano sobre las funciones de onda acaba llegándose a la expresión:

v_f 0 pˆ_x−iˆp_y pˆ_x+ipˆ_y 0

! Ψ₁(x, y) Ψ₂(x, y)

!

=E Ψ₁(x, y) Ψ₂(x, y)

!

(3.2) El cálculo de las autofunciones para el caso bidimensional es similar al caso 1D, simplemente se añade la dependencia en la direccióny. Aplicando separación de variables se resuelve el sistema de ecuaciones, obteniéndose las autofunciones del grafeno para el caso bidimensional (para un cálculo más detallado, véaseApéndice B):

Ψ(x, y) =Ae^±ikr a b

!

(3.3) con los autovalores

E =±v_f~(k²_x+k_y²)^1/2=±v_f~|k| (3.4) A representa el factor de normalizaci´on, r= (x, y) es el vector de posici´on y k es el vector de onda, definido como k= (k_x, k_y). Las componentes del espinor (a y b) se calculan a partir de los valores que tome el autovalor.

En el caso bidimensional la energ´ıa depende linealmente delm´odulo del vector de ondas.

3.1.1. Autofunciones

En el caso unidimensional solamente existen dos posibilidades para las componentes del espinor en función del valor energético (dos posibles valores, véase ecs. (2.3) y (2.4)).

Sin embargo, en el sistema bidimensional las posibilidades de las componentes aumentan;

la existencia de dos parámetros para la energ´ıa (k_x, k_y) posibilita una mayor combinación de estos. Las combinaciones se pueden visualizar con una representación en los cuatro cuadrantes, donde las relaciones entre los diferentes espinores queda fijada por la relación entre los ángulos, tal como ilustra la fig. 3.1.

A trav´es de la ecuaci´on (3.2), sustituyendo los autovectores por las funciones de onda del grafeno, se consigue el siguiente sistema de ecuaciones

(±k_x∓iky)b= _v^E

f~a (±k_x±iky)a= _v^E

f~b (3.5)

(16)

Figura 3.1: Posibles combinaciones de los vectores de onda. Los espinores quedan determinados seg´un al cuadrante al que pertenecen.

que nos permitir´a obtener las diferentes componentes del espinor para los diferentes valores del vector de ondas.

Para energ´ıas positivas, las autofunciones del grafeno bidimensional son las siguientes:

Ψ(x, y) = 1

√2eîk^y^yeîk^x^x 1 eîφ

!

, k_x>0, k_y >0 (3.6) Ψ(x, y) = 1

√2e^ik^y^ye^ik^x^x 1

−e^−iφ

!

, k_x <0, k_y >0 (3.7) Ψ(x, y) = 1

√

2e^ik^y^ye^ik^x^x 1

−e^iφ

!

, k_x <0, k_y <0 (3.8) Ψ(x, y) = 1

√

2e^ik^y^ye^ik^x^x 1 e^−iφ

!

, kx>0, ky <0 (3.9) donde φ representa el ´angulo entre las componentes del vector de ondas tanφ = |k_y|/|k_x| (el

´

angulo φpertenece al primer cuadrante).

Para energ´ıas negativas, el método de operación es el mismo. Las autofunciones obtenidas son las mismas que para energ´ıas positivas exceptuando las componentes del espinor, que tendrán signo opuesto. Las autofunciones del grafeno bidimensional son:

Ψ(x, y) = 1

√

2e^ik^y^ye^ik^x^x 1

−e^iφ

!

, kx >0, ky >0 (3.10) Ψ(x, y) = 1

√2e^ik^y^ye^ik^x^x 1 e^−iφ

!

, kx<0, ky >0 (3.11) Ψ(x, y) = 1

√2eîk^y^yeîk^x^x 1 eîφ

!

, k_x<0, k_y <0 (3.12) Ψ(x, y) = 1

√2e^ik^y^ye^ik^x^x 1

−e^−iφ

!

, k_x >0, k_y <0 (3.13) 3.1.2. Ondas evanescentes

A diferencia del caso unidimensional, en 2D se puede encontrar ondas evanescentes cuando las componentes del vector de onda sean imaginarias (en una dimensión no existe esta posibilidad, ya que implicar´ıa energ´ıas imaginarias). Es inmediato comprobar la variación dentro de la función de onda

Ψ(x, y) =Ae^±ik^y^ye^±k^x^x a b

!

(3.14)

(17)

Supondremos que la componente imaginaria se corresponde a la direcci´on x, mientras que k_y continua siendo real (la elecci´on de no modificar ky proviene de aplicar un potencial barrera

´

unicamente en la direcci´on x). La existencia de funciones evanescentes en el grafeno no resultan de gran utilidad en t´erminos de transmisiones, ya que el flujo de las ondas evanescentes es nulo.

Componente k_x imaginaria positiva

Definiremos la componente del vector de ondas en direcci´onx como kx =iκ, κ∈R. De esta forma, la energ´ıa vendr´a dada porE=±v_f~

qk²_y−κ². Operando la expresi´on (3.2) y utilizando como autofunciones ondas evanescentes, se llega f´acilmente al siguiente sistema de ecuaciones

(iκ−ik_y)b= _v^E

f~a=±^qk²_y−κ²a (iκ+iky)a= _v^E

f~b=±^qk_y²−κ²b ⇒





 a=a b=±i√^κ+k^y

k²_y−κ²a (3.15) Asignamos la unidad a la primera componente del espinor. De esta forma, la funci´on de onda que se obtiene es

Ψ(x, y) =Ae^ik^y^ye^−κx 1

±i^q^k_k^y^+κ

y−κ

!

(3.16) dondeA es el factor de normalizaci´on. La funci´on de onda decae a medida que x crece.

Componente kx imaginaria negativa

Por otra parte, sikx=−iκ, κ∈R, la energ´ıa vendr´a dada porE=±v_f~

qk²_y−κ². Siguiendo el mismo recorrido de c´alculo que en el caso anterior se llega a la funci´on de onda

Ψ(x, y) =Be^ik^y^ye^κx 1

±i^q^k_k^y^−κ

y+κ

!

(3.17) dondeB es el factor de normalizaci´on. La funci´on de onda decae a medida que x decrece.

Ondas evanescentes, E = 0

Otra posibilidad de encontrar ondas evanescentes es cuando la energ´ıa incidente de la part´ıcu- la es nula (caso ideal)

E= 0→k²_y+k²_x= 0; kx =±ik_y (3.18) Las autofunciones que se obtienen para esta situaci´on son

Ψ(x, y) =Ae^ik^y^ye^−k^y^x 0 1

!

para k_x =ik_y (3.19)

Ψ(x, y) =Ae^ik^y^ye^k^y^x 1 0

!

parakx=−ik_y (3.20)

3.2. Flujo cu´ antico bidimensional

3.2.1. Expresi´on flujo bidimensional

Como se ha visto anteriormente, a partir de la ecuación de continuidad se obtiene una expresión del flujo, calculando las diferentes derivadas temporales de la función de onda (para un desarrollo más detallado, véase al Apéndice C).

Para el problema bidimensional, la expresi´on del flujo obtenida es

j≡ hˆji=v_f(hΨ|ˆσ_x|Ψiˆi+hΨ|ˆσ_y|Ψiˆj) (3.21)

(18)

3.2.2. Relaci´on entre espinores y el movimiento

Utilizando la expresión (3.21) estudiaremos el movimiento que sigue un electrón que se encuentre en los autoestados del grafeno. Nos restringiremos al primer cuadrante, ya que el formalismo para el resto de autofunciones es el mismo y restar´ıa importancia al análisis de la expresión obtenida.

La funci´on de onda que utilizaremos es Ψ(x, y) = 1

√2e^ikr 1 e^iφ

!

(3.22) Aplicando sobre ella la expresi´on del flujo se consigue:

j_x =v_fhΨ|ˆσ_x|Ψi=v_f1

2 e^−ikr1 e^−iφ 0 1 1 0

! 1 e^iφ

! e^ikr

!

=v_fcosφ (3.23)

j_y =v_fhΨ|ˆσ_x|Ψi=v_f1

2 e^−ikr1 e^−iφ 0 −i i 0

! 1 e^iφ

! e^ikr

!

=v_fsinφ (3.24) A diferencia del caso unidimensional, el flujo ya no se encuentra ´ıntimamente ligado al espinor en el que se halle el electrón; en el caso bidimensional, el flujo vendrá marcado por el ángulo que forman las componentes del vector de ondas.

3.2.3. Flujo de ondas evanescentes

Anteriormente se ha comentado que las ondas evanescentes carecen de importancia en el problema de scattering, ya que no llegan a transmitirse. Esto es debido a que el flujo asociado a estas ondas es nulo, impidiendo su propagaci´on.

Utilizando la expresión (3.21) es fácilmente demostrable que el flujo asociado a la dirección x (dirección en la que posteriormente aplicaremos un potencial constante) es totalmente nulo para ondas evanescentes (jx = 0), debido a que las componentes imaginarias se cancelan entre ellas. Para el caso E = 0 el movimiento asociado a los electrones es totalmente nulo en ambas direcciones (jx = 0,jy = 0).

(19)

Cap´ıtulo 4

Problema 2D. Potencial escal´ on y barrera

4.1. Potencial escal´ on. Autofunciones del grafeno dentro del po- tencial

Aplicaremos un potencial escalón constante únicamente en la dirreciónx. Esto supone añadir un término constante al Hamiltoniano del grafeno

Hˆ =v_fσˆpˆ+Vo(x); Vo(x) constante (4.1) Expresado de forma matricial

Hˆ =v_f 0 px−ipy

p_x+ip_y 0

!

+V_o1=v_f V_o⁰ px−ipy

p_x+ip_y V_o⁰

!

(4.2) donde se ha definido V_o⁰ =V_o/v_f.

La ecuaci´on de autovalores queda como v_f V_o⁰ px−ipy

p_x+ip_y V_o⁰

! Ψ₁(x, y) Ψ₂(x, y)

!

=E Ψ₁(x, y) Ψ₂(x, y)

!

(4.3) Las autofunciones dentro de la barrera de potencial son similares a las calculadas fuera de

´

esta (simplemente se ha añadido un término constante al Hamiltoniano); sólo se verá modificado el vector de ondas, ya que los autovalores serán distintos. Las funciones de onda dentro de la barrera potencial son:

Ψ(x, y) =Ae^iqr a b

!

(4.4) siendoA el vector de normalizaci´on,q el vector de ondas y a,b las componentes del espinor.

Los autovalores para las funciones de onda del grafeno dentro de la zona de potencial son:

E =Vo∓v_f~(q²_x+q_y²)^1/2 (4.5) Se procederá con el cálculo de las diferentes componentes del espinor de acuerdo a los valores energéticos (mayor o menor que el potencial) y el signo asociado a las componentes del vector de ondas.

Se utilizará diferentes parámetros del vector de ondas dependiendo de la energ´ıa. As´ı, el vector de ondas será definido como q para energ´ıas menores que el potencial y comol para energ´ıas mayores que el potencial.

(20)

4.1.1. Energ´ıas positivas. E < V_o

La energ´ıa toma el valorE =V_o−v_f~(q²_x+q²_y)^1/2. Operando el Hamiltoniano (4.1) sobre la funci´on de onda se llega al siguiente sistema de ecuaciones:

V_o⁰a+~(±q_x∓iq_y)b=E/v_fa

V_o⁰b+~(±q_x±iqy)a=E/v_fb (4.6) Utilizando los diferentes valores del vector de ondas obtenemos la expresi´on de la funci´on de onda

Ψ(x, y) = 1

√2e^iq^y^ye^iq^x^x 1

−e^iθ

!

, q_x>0, q_y >0 (4.7) Ψ(x, y) = 1

√2e^iq^y^ye^iq^x^x 1 e^−iθ

!

, q_x <0, q_y >0 (4.8) Ψ(x, y) = 1

√

2eîq^y^yeîq^x^x 1 eîθ

!

, qx <0, qy <0 (4.9) Ψ(x, y) = 1

√

2e^iq^y^ye^iq^x^x 1

−e^−iθ

!

, qx>0, qy <0 (4.10) donde el ´anguloθexpresa la relaci´on entre las componentes del vector de ondas, tanθ=|q_y|/|q_x|.

4.1.2. Energ´ıas positivas. E > V_o

La energ´ıa toma el valorE =Vo+v_f~(l²_x+l_y²)^1/2. Operando el Hamiltoniano (4.1) sobre la funci´on de onda se llega al siguiente sistema de ecuaciones:

V_o⁰a+~(±l_x∓ily)b=E/v_fa

V_o⁰b+~(±l_x±il_y)a=E/v_fb (4.11) Utilizando los diferentes valores del vector de ondas obtenemos la expresi´on de la funci´on de onda

Ψ(x, y) = 1

√

2eîl^y^yeîl^x^x 1 eîα

!

, lx >0, ly >0 (4.12) Ψ(x, y) = 1

√

2e^il^y^ye^il^x^x 1

−e^−iα

!

, lx<0, ly >0 (4.13) Ψ(x, y) = 1

√2e^il^y^ye^il^x^x 1

−e^iα

!

, lx<0, ly <0 (4.14) Ψ(x, y) = 1

√2e^il^y^ye^il^x^x 1 e^−iα

!

, l_x >0, l_y <0 (4.15) donde el ´anguloαexpresa la relaci´on entre las componentes del vector de ondas, tanα=|l_y|/|l_x|.

4.2. Problema de scattering aplicando un potencial escal´ on

Resolveremos el problema de scattering asociado a un potencial constante aplicado en la direcci´onx:

V(x) =

(Vo x≥0

0 x≤0 (4.16)

(21)

Como en el caso anterior, consideramos una onda propagante desde la izquierda, siendo f´ısi- camente imposible por tanto la aparici´on de una onda propagante incidente desde la derecha.

Como ya se ha dicho, a diferencia del caso 1Ddonde el flujo quedaba determinado por el autoestado, en 2Dhay asociado un ángulo dependiente del vector de ondas. As´ı pues, será necesario conocer el flujo de cada autofunción a fin de conocer el movimiento de ésta.

Debido a que el potencial aplicado únicamente afecta la dirección x de nuestro plano, podemos afirmar que la componente del vector de ondas en la dirección perpendicular y no se verá afectado por invariancia translacional. Esto permite formar una relación entre las componentes en las diferentes zonas de estudio, estableciendo una relación entre los ángulos.

4.2.1. Energ´ıa menor que el potencial, E < V_o

La componenteydel vector de ondas se mantendr´a inalterada por la aplicaci´on de un potencial constante. Esto permite fijar una igualdad entre las diferentes componentes y las energ´ıas:

k_y =q_y E

vf~ =^qk_x²+k²_y sinφ= k_y

qk_x²+k²_y

⇒ k_y = E vf~sinφ

−E−V_o vf~

=^qq_x²+q_y² sinθ= q_y

qq_x²+q_y²

⇒ q_y =−E−V_o vf~

sinθ (4.17)

Recordamos queφyθson los ángulos entre las dos componentes del vector de ondas en la región con V = 0 y V 6= 0, respectivamente. Pueden interpretarse como los ángulos de entrada y de salida del electrón. A partir de (4.17) obtenemos la siguiente igualdad entre los ángulos de cada zona

Esinφ= (Vo−E) sinθ (4.18)

Adem´as, la invariabilidad de la componenteynos restringe las funciones de onda que se pueden utilizar, ya que en el proceso de scattering no puede variar el signo de k_y. Las funciones que encontramos para este primer problema son:

Ψ(x <0, y) = 1

√2 1 e^iφ

!

e^ik^y^ye^ik^x^x+r 1

√2 1

−e^−iφ

!

e^ik^y^ye^−ik^x^x (4.19) Ψ(x >0, y) = t 1

√2 1 e^−iθ

!

e^iq^y^ye^iq^x^x (4.20)

Exigiendo continuidad en la funci´on de onda obtenemos el siguiente sistema 1 +r =t

e^iφ−re^−iφ=te^−iθ

(r = _e^e−iθ^iφ^−e+e^−iθ^−iφ

t= _e^e−iθ^iφ^+e+e^−iφ^−iφ

(4.21) Podemos apreciar la primera diferencia con el caso unidimensional, donde la transmisión era perfecta. En esta ocasión, habrá un parte de la onda que se verá reflejada. A partir de los flujos podemos calcular la transmisión y reflexión

T = jtrans

j_inc = cos (2φ) + 1 cos (φ−θ) + 1

cosθ

cosφ (4.22)

Cuando el ´angulo de incidencia sea nulo (φ= 0), la onda entra perpendicularmente al potencial establecido, obteniendo una transmisi´on perfecta, es decir, recuperamos el caso 1D.

(22)

4.2.2. Energ´ıa mayor que el potencial, E > V_o

Al igual que suced´ıa en el caso anterior, la componente y del vector de ondas se mantendr´a inalterada por la aplicaci´on de un potencial constante. Esto permite establecer una igualdad entre las diferentes componentes y las energ´ıas:

ky =ly

E v_f~

=^qk_x²+k²_y sinφ= k_y

qk_x²+k²_y

⇒ ky = E vf~sinφ E−V_o

vf~ =^ql²_x+l_y² sinα= l_y

ql²_x+l²_y

⇒ l_y = E−V_o vf~

sinα (4.23)

Obtenemos la siguiente igualdad entre los ángulos de cada zona, pudiéndose interpretar como los ángulos de entrada y de salida del electrón

Esinφ= (E−V_o) sinα (4.24)

La invariabilidad de la componente y restringe las funciones de onda permitidas en cada zona, ya que en el proceso de scattering no puede variar el signo dek_y. Las funciones que encontramos para el segundo problema son:

Ψ(x <0, y) = 1

√2 1 e^iφ

!

e^ik^y^ye^ik^x^x+r 1

√2 1

−e^−iφ

!

e^ik^y^ye^−ik^x^x (4.25) Ψ(x >0, y) = t 1

√2 1 e^iα

!

e^il^y^ye^il^x^x (4.26)

Exigiendo continuidad en la funci´on de onda obtenemos el siguiente sistema 1 +r=t

e^iφ−re^−iφ=te^iθ

(r= _eê_iαîφ_+e^−e_−iφîα t= _eêîφ_iα^+e_+e^−iφ−iφ

(4.27) Nuevamente, se observa como el coeficiente de reflexión no es nulo, existiendo una cierta probabilidad de que la onda se refleje. A partir de los flujos podemos calcular la probabilidad de transmisión y reflexión

T = j_trans

j_inc = cos (2φ) + 1 cos (φ+α) + 1

cosα

cosφ (4.28)

Cuando el ´angulo de incidencia sea nulo (φ= 0), la onda entra perpendicularmente al potencial establecido, obteniendo una transmisi´on perfecta (recuperamos el caso 1D).