Facultat de Ciències
Memòria del Treball de Fi de Grau
El mecanisme de mescla de fases (“phase mixing”) en plasmes inhomogenis.
Benet Llompart Ballester Grau de Física
Any acadèmic 2018-19
Treball tutelat per Roberto Soler Juan.
Departament de Física.
S'autoritza la Universitat a incloure aquest treball en el Repositori Institucional per a la seva consulta en accés obert i difusió en línia, amb finalitats exclusivament acadèmiques i d'investigació
Autor Tutor Sí No Sí No
X X
Paraules clau del treball:
Sol, Atmosfera solar, Magnetohidrodinàmica, Ones d’Alfvén, Dissipació, “Phase Mixing”.
ÍNDEX
1. Introducció 4
1. 1 Sol, atmosfera solar i plasmes ... 4
1. 2 Ones d’Alfvén ... 6
1. 3 Motivació del treball ... 7
2. Equacions bàsiques i desenvolupament 9
2. 1 Linealització ... 92. 2 Equació d’ona d’Alfvén en el cas ideal ... 10
2. 3 Equació d’ona d’Alfvén en el cas dissipatiu ... 12
2. 4 Equació de l’energia de les ones ... 12
3. Resultats en el cas ideal 14
3. 1 Comportament de l’ona per velocitats d’Alfvén uniformes i no uniformes ... 143. 2 Dependència de la longitud d’ona en 𝑥 amb el temps ... 15
3. 3 Comportament de l’ona dins una zona de transició ... 16
4. Resultats en el cas dissipatiu 19
4. 1 Comportament de l’ona per velocitats d’Alfvén no uniformes ... 194. 2 Estudi de la longitud d’ona en el cas dissipatiu ... 22
4. 3 Estudi de l’amplitud del camp 𝐵1𝑦 en el cas dissipatiu ... 23
4. 4 Evolució de l’energia ... 26
4. 5 Comportament de la pertorbació de la velocitat... 27
5. Conclusions 29
6. Referències 30
1. INTRODUCCIÓ
1.1 Sol, atmosfera solar i plasmes
El Sol
El Sol és un estel format bàsicament per plasma degut a la temperatura extrema, tant al seu interior com a la superfície i l’atmosfera. Degut a la proximitat respecte la Terra, aquest estel ha estat el més estudiat de la història. Cal dir que durant els primers estudis es veia el Sol com un cos homogeni. Els primers que varen trobar indicis de que no era així foren els ajudants d’Aristòtil, els quals observaren taques solars sobre la seva superfície aproximadament al 350 𝑎. 𝐶. Més tard, al segle XVI, Galileu va confirmar les evidències observades pels ajudants d’Aristòtil mitjançant telescopis. A mesura que la tecnologia evolucionava, amb ella els telescopis, de manera que les observacions eren cada vegada més precises, la qual cosa ens ha permès a dia d’avui conèixer en molta profunditat totes les característiques del Sol.
El que sabem avui és que el Sol és un estel de seqüència principal de tipus espectral G2 V, amb una composició donada per hidrogen (fracció en massa de 𝑋 = 0.74), heli (fracció en massa de 𝑌 = 0.24) i metalls (fracció en massa de 𝑍 = 0.02). Pel percentatge d’elements pesats que conté, el Sol es va formar a partir de pols d’altres estrelles, de manera que és una estrella de Població 𝐼.
La regió que millor podem observar del Sol és la seva superfície. Per entendre el que està passant a la superfície, però, hem d’estudiar primer el seu interior, el qual es divideix en tres zones: el nucli, la zona radiativa i la zona convectiva.
Al nucli, on apareixen les temperatures més elevades, es duen a terme reaccions termonuclears, produint-se energia per fusió nuclear. L’energia creada al nucli es transferida a l’exterior mitjançant la zona radiativa. A la zona convectiva existeix un gradient de temperatura molt elevat sobre el material present, produint així moviments convectius, la qual cosa fa impossible mantenir un equilibri estàtic i s’originen inestabilitats convectives que creen granulacions.
Com ja sabem, el camp magnètic juga un paper molt important tant al Sol com a la resta d’estrelles, sent crucial, per exemple, en la formació estel·lar, l’activitat estel·lar o les magnetosferes d’objectes compactes. La seva generació té lloc dins la zona convectiva per un procés anomenat dinamo solar, donat per la convecció i rotació. Entre d’altres coses, sabem que l’atmosfera del Sol és molt dinàmica i està altament estructurada degut al camp magnètic.
Atmosfera Solar
Aquesta atmosfera també es divideix en tres regions: la fotosfera solar, la cromosfera i la corona.
La fotosfera (aprox. 200 𝑘𝑚 d’espessor, amb una temperatura que va decreixent de 6.000 𝐾 a 4.300 𝐾 a la part més elevada) és la capa més baixa de l’atmosfera, on l’energia és transportada per radiació i convecció. També existeix un camp magnètic format en bona part per taques solars (sorgides d’una gran concentració de flux magnètic) i per “platges” (sorgides de fluxos magnètics més petits).
La cromosfera (aprox. 2.000 𝑘𝑚 d’espessor, amb una temperatura que va creixent de 4.300 𝐾 a 1.000.000 𝐾 a la part més elevada) condueix quasi tota l’energia per ones i radiació. A les capes més baixes, la major part de l’hidrogen és neutre, mentre que a les més altes està pràcticament ionitzat.
La corona (aprox.
1.000.000 𝑘𝑚 d’espessor, amb temperatures de l’ordre dels milions de Kelvin) és troba completament ionitzada. Les seves característiques fonamentals es poden observar en UV i raigs X. Com hem dit, el camp magnètic dóna lloc a una corona altament estructurada, per la qual cosa a aquesta regió es distingeixen zones tal com els bucles coronals (zones amb camp magnètic tancat), forats coronals (zones amb camp magnètic obert) i
“Coronal streamers”
(estructures radials compreses
entre 0.5 i 10 radis solars). Model semi-empíric de l’atmosfera solar VALC, proposat per Vernazza, Avrett & Loeser (1981).
Plasma
Els estats de la matèria propis de la Terra són el sòlid, líquid i gas. No obstant, el 99% de la matèria que existeix a l’Univers no correspon a cap d’aquest, sinó al plasma. A l’atmosfera solar, la matèria es troba en estat de plasma. Aquest estat de la matèria es coneix com un fluid elèctricament neutre format majoritàriament per electrons i ions que interaccionen amb molta freqüència, a més d’algunes molècules neutres i àtoms.
El plasma és capaç de suportar corrents elèctrics i de reaccionar amb camps magnètics degut a la seva composició (està format per partícules carregades). No obstant, les fluctuacions tèrmiques poden eliminar la neutralitat de la càrrega, creant d’aquesta manera camps elèctrics que donaran lloc a una acceleració de les partícules, de tal manera que les càrregues tornaran a l’equilibri.
Encara que elèctricament sigui neutre, hem de distingir entre el gas neutre i el plasma. Per una banda, al gas neutre predominen les forces fortes i de curt abast, mentre que pel plasma hi
intervenen forces
coulombianes febles i de llarg abast, tal com a un gas ionitzat.
Per tant, podem entendre el plasma com qualsevol estat de la matèria amb suficients partícules carregades, lliures,
tal que el seu comportament Observacions de bucles coronals en llum ultraviolada amb el satèl·lit SDO.
dinàmic es vegi dominat per forces electromagnètiques.
1.2 Ones d’Alfvén
Com hem explicat, a l’atmosfera solar el plasma es troba magnetitzat. Si només tenim en compte la pressió del gas, la pressió magnètica i la tensió, es poden considerar tres tipus d’ones:
les magnetoacústiques ràpides i lentes i les ones d’Alfvén. Assumint un anàlisi de Fourier en ones planes i linealitzant les equacions conegudes de la Magneto-hidrodinàmica, MHD (aquestes equacions es troben definides més abaix), es poden arribar a trobar les relacions de dispersió de les ones mencionades en un plasma infinit i uniforme.
Les ones magnetoacústiques ràpides i lentes es poden entendre, bàsicament, com ones compressibles que són les descendents de les ones acústiques presents en un gas neutre.
Les ones d’Alfvén corresponen a unes ones que no estan relacionades amb el canvi de pressió, temperatura ni densitat, és a dir, son incompressibles. Únicament la tensió magnètica permet que es puguin propagar de forma no dispersiva al llarg de les línies de camp estrictament, sent la seva velocitat de fase coneguda com velocitat d’Alfvén, 𝑣𝐴 . En aquest cas, la relació de dispersió d’aquestes ones és tal que:
𝑤 = 𝑘 𝑣𝐴 𝐶𝑜𝑠(𝜃)
On 𝑘 és el número d’ona, 𝜃 és l’angle entre 𝑘⃗ i 𝐵⃗ i 𝑣𝐴 correspon a 𝑣𝐴 = 𝐵0
√ , sent 𝐵0 la intensitat del camp magnètic, la permeabilitat magnètica i la densitat del plasma.
Les ones d’Alfvén són ones transversals, és a dir, estan polaritzades en la direcció perpendicular al camp magnètic.
Problema d’escalfament coronal
Com hem comentat, la corona solar es troba al voltant dels 1.000.000 𝐾 de temperatura, molt superior a les demés regions de l’atmosfera solar i, pot ser, semblant a l’interior solar. La possibilitat de que existeixin aquestes capes externes tan calentes és una pregunta que els físics solars varen començar a qüestionar-se als anys 50.
Observacions recents afirmen que les ones MHD transversals estan presents a l’atmosfera solar i, per tant, a la corona (De Pontieu et al. , 2007, 2012; Tomczyk et al. , 2007; Lin et al. , 2009;
McIntosh et al. , 2011;
Okamoto and de Pontieu , 2011; Kuridze et al. , 2012;
Morton and McLaughlin , 2013; Morton et al. , 2014).
Algunes d’aquestes
observacions s’han
interpretat com ones d’Alfvén. A més, existeixen
evidències de que
l’escalfament es podria produir amb l’energia que transporten ones associades al camp magnètic del Sol, produïdes a les capes
properes a la superfície solar. Observacions de bucles coronals en llum ultraviolada amb el satèl·lit TRACE.
D’aquesta manera , podem
pensar que la propagació d’aquestes ones i la seva dissipació juguen un paper important dins el transport de calor i energia que condueix a l’escalfament coronal (Cargill and de Moortel , 2011; McIntosh et al. , 2011; Parnell and de Moortel , 2012 ; Hahn and Savin , 2014).
1.3 Motivació del treball
A l’atmosfera solar, però, ens trobam amb l’inconvenient de que la dissipació no és eficient a escales espacials grans (Goedbloed and Poedts , 2004). A més, degut a les condicions del plasma dins l’atmosfera, la difusió òhmica que dóna lloc a la dissipació és molt petita (Priest , 2014).
Degut a aquest problema, ens interessa trobar un mecanisme que ens permeti obtenir una dissipació eficient. Per tant, necessitam d’un mecanisme que transfereixi l’energia de les ones des de escales espacials grans a escales petites. Un dels possibles mecanismes que ens permeten abordar aquest problema és el de mescla de fases o “phase mixing”, el qual es produeix quan el plasma en direcció transversal al camp magnètic no és uniforme, de manera que la velocitat d’Alfvén 𝑣𝐴 tindrà una dependència espacial. Sota aquesta condició, s’ha d’aconseguir que la
pertorbació que sofreix l’ona a través del camp magnètic amb una 𝑣𝐴 variable espacialment vagi desenvolupant escales espacials cada vegada més petites i de forma contínua per tal d’obtenir una dissipació eficient (Heyvaerts and Priest , 1983; Mann et al. , 1995).
Si som capaços d’obtenir una dissipació a escales espacials petites i, per tant, eficient, podríem considerar-la com un dels factors importants dins el procés d’escalfament coronal.
Model
Per estudiar d’una forma simple com la dissipació pot ser eficient mitjançant el procés de “phase mixing”, considerarem un model de plasma sota un medi acotat entre {𝑥 = 0, 𝑥 = 𝐿} i {𝑧 = 0, 𝑧 = 𝐻} , sent el medi infinit en 𝑦.
Considerarem un camp magnètic homogeni (𝐵⃗⃗⃗⃗ 0) en direcció 𝑧 (𝐵⃗⃗⃗⃗ = 𝐵0 0 𝑧̂). Per tal de desacoblar les ones d’Alfvén de les ones magnetoacústiques, no considerarem variacions espacials en la direcció 𝑦. A més, suposarem una densitat variable en la direcció x, de tal manera que la 𝑣𝐴 (donada per 𝑣𝐴 = √ 𝐵0 ) tingui una dependència espacial a través de la direcció del camp magnètic.
Aquesta configuració representa un model Cartesià molt idealitzat d’un bucle coronal, on els plans 𝑧 = 0 i 𝑧 = 𝐻 representarien els peus del bucle situats a la fotosfera, el pla 𝑥 = 0 passaria pel centre del bucle i el pla 𝑥 = 𝐿 correspondria a la frontera lateral del bucle amb el medi coronal extern. El camp magnètic està orientat longitudinalment al bucle coronal.
En aquest model idealitzat, la densitat varia en la direcció transversal al bucle (𝑥) però és uniforme en la direcció longitudinal (𝑧).
𝑧 = 𝐻
𝐵⃗⃗⃗⃗ 0
𝑦̂
𝑧 = 0
𝑥 = 0 𝑥 = 𝐿
Model idealitzat utilitzat en aquest treball.
2. EQUACIONS BÀSIQUES I DESENVOLUPAMENT
2.1 Linealització
Com ja hem dit, en presència d’un camp magnètic, 𝐵⃗ , el comportament macroscòpic d’un plasma es descriu utilitzant les equacions de la Magneto-hidrodinàmica (MHD). En el nostre cas, ja que volem estudiar només ones d’Alfvén, ens restringim a les equacions de la MHD incompressible, les quals tindran la forma següent:
• Equació de moment:
𝐷𝑣⃗ 𝐷𝑡 = − 𝑃 +1 ( × 𝐵⃗ ) × 𝐵⃗ , [2.1]
on és densitat, 𝑣 és la velocitat, 𝑃 el gradent de pressió i 1 ( × 𝐵⃗ ) × 𝐵⃗ la força magnètica, amb la permeabilitat magnètica.
• Equació d’inducció magnètica:
𝜕𝐵⃗
𝜕𝑡 = × (𝑣 × 𝐵⃗ ) +2𝐵⃗ , [2.2]
on és la resistivitat magnètica, la qual consideram un valor constant i uniforme. La resistivitat magnètica és un terme dissipatiu, el qual resulta ser l’únic efecte no ideal que consideram a les equacions de la MHD.
• Condició d’incompressibilitat:
· 𝑣 = 0 . [2.3]
• Llei de Maxwell (no existència de monopols magnètics):
· 𝐵⃗ = 0 . [2.4]
Les equacions de la MHD admeten solucions de tipus ona: les ones MHD que hem comentat abans. Per estudiar el comportament d’aquestes ones podem considerar una situació d’equilibri i pertorbar-la per observar la seva propagació. Aquesta pertorbació representarà només un petit desplaçament de la variable en equilibri, de manera que suposarem el règim lineal.
Aplicant aquesta situació a les variables físiques que tractam a les equacions anteriors (𝑃, 𝐵⃗ i 𝑣 ), obtenim:
{
𝑃 = 𝑃0+ 𝑃1, 𝐵⃗ = 𝐵⃗ 0+ 𝐵⃗ 1 𝑣 = 𝑣 0+ 𝑣 1, ,
on considerarem que el plasma d’equilibri és estàtic (𝑣 0 = 0) i 𝑃1 ≪ 𝑃0 , 𝐵⃗ 1 ≪ 𝐵⃗ 0 i 𝑣 1 ≪ 𝑣 0. A continuació, podrem linealitzar les equacions, de manera que si a cada equació tenim en compte només els termes lineals en la pertorbació, obtenim les equacions linealitzades:
• Equació de moment linealitzada:
𝜕𝑣𝜕𝑡⃗⃗⃗⃗ 1 = − 𝑃1+1 ( × 𝐵⃗⃗⃗⃗ ) × 𝐵1 ⃗⃗⃗⃗ 0 .
• Equació d’inducció magnètica linealitzada:
𝜕𝐵⃗⃗⃗⃗ 1
𝜕𝑡 = × (𝑣⃗⃗⃗⃗ × 𝐵1 ⃗⃗⃗⃗ ) +0 2𝐵⃗⃗⃗⃗ 1 .
• Condició d’incompressibilitat linealitzada:
· 𝑣⃗⃗⃗⃗ = 0 . 1
• Llei de Maxwell linealitzada:
· 𝐵⃗⃗⃗⃗ = 0 , 1 on hem de suposar que 𝑃0 i 𝐵0 són uniformes.
Per poder trobar una solució partint d’aquestes equacions, hem de introduir primer unes condicions sobre el sistema segons el model descrit abans:
1) Acotarem el medi en la direcció 𝑥 segons {𝑥 = 0, 𝑥 = 𝐿} i en la direcció 𝑧 segons {𝑧 = 0, 𝑧 = 𝐻}, sent aquest medi infinit en la direcció 𝑦.
2) Considerarem el camp magnètic homogeni (𝐵⃗⃗⃗⃗ 0) només en direcció 𝑧 (𝐵⃗⃗⃗⃗ = 𝐵0 0 𝑧̂), sent la pertorbació del camp magnètic (𝐵⃗⃗⃗⃗ 1) i pertorbació de la velocitat (𝑣⃗⃗⃗⃗ ) perpendiculars 1 a la direcció del camp magnètic, de manera que els considerarem en direcció 𝑦 (𝐵⃗⃗⃗⃗ = 𝐵1 1𝑦 𝑦̂ ; 𝑣⃗⃗⃗⃗ = 𝑣1 1𝑦 𝑦̂).
3) No considerarem les variacions espacials en direcció 𝑦 (𝜕𝑦𝜕 = 0).
Sota les condicions imposades, les equacions linealitzades es poden combinar fins arribar a dues equacions acoblades per les components 𝑦 de les pertorbacions del camp magnètic i la velocitat:
𝜕𝑣𝜕𝑡1𝑦= 𝐵0 𝜕𝐵𝜕𝑧1𝑦 , [2.5]
𝜕𝐵1𝑦
𝜕𝑡 = 𝐵0 𝜕𝑣𝜕𝑧1𝑦+ (𝜕𝜕𝑧2𝐵1𝑦2 +𝜕𝜕𝑥2𝐵1𝑦2 ) . [2.6]
Combinant ambdues equacions podem obtenir una equació única que ens descriurà el comportament de les pertorbacions.
2.2 Equació d’ona d’Alfvén en el cas ideal
Podem obtenir una equació d’ona partint de les equacions [2.5] i [2.6]. Per fer-ho, considerarem en primer lloc el cas ideal on no apareix el terme dissipatiu. És a dir, quan = 0 . Utilitzarem la pertorbació del camp magnètic , 𝐵1𝑦, com la nostra variable principal.
Sota aquesta condició, obtenim una equació per 𝐵1𝑦 tal com:
𝜕2𝐵1𝑦
𝜕𝑡2 = 𝐵02 𝜕𝜕𝑧2𝐵1𝑦2 , [2.7]
on 𝑣𝐴 és la velocitat d’Alfvén, la qual ve donada per:
𝐵02
= 𝑣𝐴2 . [2.8]
Tant si consideréssim una densitat homogènia en totes les direccions de l’espai com variable en 𝑥 [(x)] , en ambdós casos trobaríem una equació amb la mateixa forma. En canvi, si consideréssim una densitat variable en 𝑧, l’equació es tornaria molt més complicada. Per tant, considerarem únicament la possibilitat de que la densitat variï en la direcció 𝑥 , (x). L’equació [2.7] és una equació d’ones que descriu les anomenades ones d’Alfvén.
Suposant una dependència temporal harmònica i fent separació de variables, tindrem una expressió per la pertorbació del camp magnètic del tipus:
𝐵1𝑦(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑋(𝑥) 𝑍(𝑧) 𝑒−𝑖𝜔𝑡 , [2.9]
on 𝜔 és la freqüència.
Utilitzant les equacions [2.7] , [2.8] i [2.9] obtenim una equació diferencial [ 𝑍′′(𝑧) + (𝑣𝜔
𝐴)2𝑍(𝑧) = 0 ] que pel medi acotat segons {𝑧 = 0, 𝑧 = 𝐻} dóna lloc a una possible solució:
𝑍𝑛(𝑧) = {sin (𝑛𝐻𝑧)}
𝑛≥1 , [2.10]
sent la solució general:
𝑍(𝑧) = ∑ 𝐴𝑛
𝑛
𝑍𝑛(𝑧) ,
on 𝑣𝜔
𝐴 =𝑛𝐻 , de manera que s’obté:
𝜔𝑛 =𝑛𝐻 𝑣𝐴 . [2.11]
Podem veure que en el cas que la densitat variï en 𝑥, 𝑣𝐴(𝑥), i per tant 𝜔 depèn de la coordenada 𝑥. En el nostre medi, tots els punts amb 𝑥 constant tindran associada la mateixa freqüència de l’ona d’Alfvén.
Pel que fa a les funcions 𝑋(𝑥), podem assumir qualsevol forma que compleixi les condicions de contorn: 𝐵1𝑦 (𝑥 = 0, 𝑥 = 𝐿) = 0 i que correspongui amb el perfil de l’ona imposat 𝑡 = 0, de manera que la solució general és:
𝑋(𝑥) = ∑ 𝐶𝑚
𝑚
sin (𝑚𝑥 𝐿 ) ,
on les constants 𝐶𝑚 vindran donades per la forma imposada a 𝑡 = 0.
Per simplicitat, escollirem el perfil més senzill possible:
𝑋(𝑥) = sin (𝐿𝑥) . [2.12]
Amb les equacions [2.9] , [2.10] i [2.12] , la solució de l’equació d’ona en el cas ideal és:
𝑩𝟏𝒚(𝒙, 𝒛, 𝒕) = 𝐬𝐢𝐧 (𝑳𝒙) {𝐬𝐢𝐧 (𝒏𝑯𝒛)}
𝒏≥𝟏· 𝒆−𝒊𝜔𝒏(𝒙)𝒕 , [2.13]
on el mode fonamental ve donat per 𝑛 = 1.
2.3 Equació d’ona d’Alfvén en el cas dissipatiu
Per obtenir una solució per 𝐵1𝑦 en el cas ≠ 0 utilitzarem les equacions [2.5] i [2.6]
considerant novament que la densitat pot ser homogènia o variar espacialment en 𝑥 (no en 𝑧).
Utilitzant [2.5] i [2.6] i quedant-nos amb els termes del camp 𝐵1𝑦 s’obté:
𝜕2𝐵1𝑦
𝜕𝑡2 = (x)𝐵02 𝜕2𝜕𝑧𝐵1𝑦2 +𝜕𝑡𝜕 𝜕𝜕𝑧2𝐵1𝑦2 +𝜕𝑡𝜕 𝜕𝜕𝑥2𝐵1𝑦2 . [2.14]
Utilitzam novament el mètode de separació de variables. Amb [2.10] sabem que 𝑍(𝑧) = sin (𝑛𝐻𝑧), de manera que 𝑍′′(𝑧) = − (𝑛𝐻)2𝑍(𝑧). Per tant, podem considerar
𝜕2𝐵1𝑦
𝜕𝑧2 = = − (𝑛𝐻)2𝐵1𝑦 . Amb [2.8] sabem que 𝑣𝐴(𝑥)2 = (x)𝐵02 Així, l’equació diferencial resultant és:
𝝏𝟐𝑩𝟏𝒚
𝝏𝒕𝟐 = −𝒗𝑨(𝒙)𝟐 (𝟐𝑯)𝟐𝑩𝟏𝒚− (𝟐𝑯)𝟐 𝝏𝑩𝝏𝒕𝟏𝒚+𝝏𝒕𝝏𝝏𝟐𝝏𝒙𝑩𝟐𝟏𝒚 . [2.15]
Al contrari que en el cas ideal, l’equació d’ones en el cas dissipatiu no té solució analítica senzilla, de manera que la resoldrem numèricament.
2.4 Equació de l’energia de les ones
Per obtenir una equació de l’energia de les ones utilitzarem les equacions linealitzades [2.5] i [2.6] . Seguirem el procediment indicat per Walker (2005), tal que es fa el producte de [2.5] per 𝑣1𝑦 i el producte de [2.6] per 𝐵1𝑦 . Dels dos productes obtenim, respectivament:
• 𝜕𝑡𝜕 (12 (x) 𝑣1𝑦2) =𝐵0 𝑣1𝑦 𝜕𝐵𝜕𝑧1𝑦 ,
• 𝜕𝑡𝜕 (𝐵21𝑦2) =𝐵0 𝐵1𝑦 𝜕𝑣𝜕𝑧1𝑦+ [ 12(𝜕2(𝐵𝜕𝑥1𝑦22)+𝜕2(𝐵𝜕𝑧1𝑦22)) − (𝜕𝐵𝜕𝑥1𝑦)2− (𝜕𝐵𝜕𝑧1𝑦)2 ] .
La primera de les equacions anteriors descriu l’evolució de la densitat d’energia cinètica de les ones, mentre que la segona equació descriu l’evolució de la densitat d’energia magnètica.
Finalment, per obtenir l’equació de l’energia total hem de sumar les dues equacions anteriors.
L’equació que en resulta té la forma:
𝝏
𝝏𝒕𝑼 =· 𝝅 − 𝑯 . [2.16]
On 𝑈 és la densitat d’energia, 𝜋 el flux d’energia i 𝐻 la pèrdua d’energia per dissipació. Aquesta energia de l’ona dissipada actuaria com una font d’escalfament pel plasma. No obstant, ja que estam en el règim lineal, no podem estudiar aquest escalfament directament, ja que és un efecte no lineal. El que podem fer, però, és estudiar quina energia de les ones es dissipa.
Les expressions de les tres quantitats donades a l’equació de l’energia són:
1) 𝑈 =12 (x) 𝑣1𝑦2+𝐵21𝑦2 , [2.17]
on el primer terme correspon a la densitat d’energia cinètica, mentre que el segon correspon a la densitat d’energia magnètica.
2) · 𝜋 =𝜕𝑧𝜕 (𝐵0 𝐵1𝑦 𝑣1𝑦 ) +2 (𝜕2(𝐵𝜕𝑥1𝑦22)+𝜕2(𝐵𝜕𝑧1𝑦22)) , [2.18]
on es pot dividir el flux total en un flux en la direcció 𝑥 (𝜋𝑥) i un flux en la direcció 𝑧 (𝜋𝑧) tal que:
· 𝜋 =𝜕𝑥𝜕 𝜋𝑥+𝜕𝑧𝜕 𝜋𝑧 =𝜕𝑥𝜕 ( 𝐵1𝑦𝜕𝐵1𝑦𝜕𝑥
) +𝜕𝑧𝜕 (𝐵0 𝐵1𝑦 𝑣1𝑦
+ 𝐵1𝑦𝜕𝐵1𝑦𝜕𝑧
) .
3) 𝐻 =
[ (𝜕𝐵𝜕𝑥1𝑦)2+ (𝜕𝐵𝜕𝑧1𝑦)2] . [2.19]
A l’equació de l’energia apareixen les pertorbacions del camp magnètic 𝐵1𝑦 i de la velocitat 𝑣1𝑦. La pertorbació del camp magnètic l’obtindrem numèricament de l’equació [2.15].
Per la pertorbació de la velocitat, però, no necessitarem realitzar cap càlcul numèric una vegada coneguda la solució de 𝐵1𝑦.
Per trobar la pertorbació de 𝑣1𝑦 , tindrem en compte (a partir de [2.10] ) que la pertorbació del camp magnètic varia en 𝑧 com 𝐵1𝑦(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝐵1𝑦(𝑥, 𝑡) 𝑆𝑖𝑛 (𝑛𝐻𝑧) , de manera que
𝜕𝐵1𝑦(𝑥,𝑧,𝑡)
𝜕𝑧 = 𝐵1𝑦(𝑥, 𝑡) 𝑛𝐻 𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝐻𝑧) .
Aplicant-ho a l’equació [2.5] , es veu directament com 𝑣1𝑦(𝑥, 𝑧, 𝑡) = 𝑣1𝑦(𝑥, 𝑡) 𝐶𝑜𝑠 (𝑛𝐻𝑧), de manera que 𝜕𝑣1𝑦𝜕𝑧(𝑥,𝑧,𝑡)= −𝑣1𝑦(𝑥, 𝑡) 𝑛𝐻 𝑆𝑖𝑛 (𝑛𝐻𝑧). Introduint ara aquesta derivada a l’equació [2.6] , obtenim una equació independent de la variable 𝑧 on podem obtenir 𝑣1𝑦(𝑥, 𝑡) sent coneguda 𝐵1𝑦(𝑥, 𝑡):
𝒗𝟏𝒚(𝒙, 𝒕) = −𝒏𝑯 𝑩
𝟎
𝝏𝑩𝟏𝒚(𝒙,𝒕)
𝝏𝒕 +𝒏𝑯 𝑩
𝟎 (𝝏𝟐𝑩𝝏𝒙𝟏𝒚𝟐(𝒙,𝒕)− (𝒏𝑯)𝟐 𝑩𝟏𝒚(𝒙, 𝒕)) . [2.20]
3. RESULTATS EN EL CAS IDEAL
3.1 Comportament de l’ona per velocitats d’Alfvén uniformes i no uniformes
Per poder observar el comportament de l’ona en el cas ideal utilitzarem la solució de 𝐵1𝑦 donada per [2.13] considerant només el mode fonamental (𝑛 = 1) i quedant-nos només amb la part real de la solució, tal que:
𝐵1𝑦(𝑥, 𝑧, 𝑡) = sin (𝐿𝑥) sin (𝐻𝑧) 𝑐𝑜𝑠(𝑣𝐴𝐻𝑡) . [3.1]
Per aquesta solució veiem com la variable 𝑧 pot tenir diferents valors compresos entre 𝑧 = {0, 𝐻} segons el medi acotat. Observant que la dependència en 𝑧 ve donada per un sinus, és evident que al valor 𝑧 = 𝐻/2, l’amplitud de la funció [3.1] serà màxima, mentre que decreixerà progressivament cap a valors majors i menors, sent zero als extrems.
Com hem dit abans, podríem considerar una velocitat d’Alfvén 𝑣𝐴 uniforme o variable en 𝑥. Si consideréssim el primer cas, la solució [3.1] es comportaria com un sinus on cada punt oscil·laria coherentment amb els altres entre valors de ±1 i amb la mateixa freqüència 𝜔 independent de 𝑥. Per tant, l’evolució de l’ona en el cas 𝑣𝐴 uniforme no modifica el perfil espacial en 𝑥 imposat a 𝑡 = 0.
Per altra banda, si consideréssim el cas de 𝑣𝐴(𝑥) , la forma de la solució en 𝑥 canviaria en el temps. Anem a suposar una dependència particular de 𝑣𝐴 en 𝑥 per tal d’estudiar aquest fenòmen, tal que:
𝑣𝐴(𝑥) = 15 (10𝐿𝑥 + 1) , [3.2]
on hem utilitzat unitats adimensionalitzades. Obtindrem una solució de [3.1] segons es representa a la Fig.1 per a diferents valors de 𝑡.
Fig.1 : Evolució temporal de 𝐵1𝑦 enfront de 𝑥 per una 𝑣𝐴(𝑥) lineal en 𝑥. La solució blava correspon a 𝑧 = 𝐻/2, la solució groga correspon a 𝑧 = 𝐻/4. Resultats ideals.
L’animació corresponent a aquesta figura es pot trobar a: https://youtu.be/agxhq9KxtlY.
De la Fig. 1 podem concloure que el perfil espacial de la pertorbació en la direcció 𝑥 sofreix un canvi tal que la seva longitud d’ona disminueix amb el pas del temps. Aquest és, precisament, el procés conegut com “phase mixing” que volem estudiar. Cal dir que el perfil de l’ona en la direcció 𝑧 no es veu afectat i és el mateix que en el cas amb 𝑣𝐴 uniforme. Per tant, per 𝑣𝐴 variable en 𝑥, existeix una relació de proporcionalitat inversa entre la longitud d’ona en la direcció 𝑥, 𝜆𝑥, i el temps 𝑡.
3.2 Dependència de la longitud d’ona en 𝒙 amb el temps
Per obtenir una expressió que ens relacioni el canvi de 𝜆𝑥 amb 𝑡, compararem [3.1] (tenint en compte [3.2] ) amb l’expressió d’una ona plana 𝑣𝑝.
En primer lloc, per [2.11] 𝜔(𝑥) ja que 𝑣𝐴(𝑥). Donarem uns valors fixes 𝑧 = 𝐻/2 i 𝑥 = 𝐿/2 , quedant una expressió [3.3] que derivarem respecte 𝑥 per obtenir [3.4]:
𝐵1𝑦(𝑥, 𝑡) = [𝑒−𝑖𝜔(𝑥)𝑡]𝑥=𝐿/2 , [3.3]
𝒅𝑩𝟏𝒚
𝒅𝒙 = 𝒆−𝒊𝝎(𝒙)𝒕 (−𝒊𝝎′(𝒙)𝒕) = 𝑩𝟏𝒚 [−𝒊𝝎′(𝒙)𝒕]𝒙=𝑳/𝟐 . [3.4]
Pel cas de l’ona plana, tenim una expressió [3.5] que derivada respecte 𝑥 ens dóna [3.6]:
𝑣𝑝(𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) = 𝑣(𝑡) 𝑒−𝑖𝑘𝑥 , [3.5]
𝒅𝒗𝒑
𝒅𝒙 = 𝒗(𝒕) 𝒆−𝒊𝒌𝒙 (−𝒊𝒌) = 𝒗𝒑 [−𝒊𝒌] . [3.6]
On 𝑘 és el número d’ona, el qual ve donat per: 𝑘 =2𝜆
𝑥 .
Si comparem les expressions [3.4] i [3.6] , podem relacionar-les de tal manera que:
𝑘 = [𝜔′(𝑥)𝑡]𝑥=𝐿/2 =2𝜆
𝑥 → 𝝀𝒙 =𝒕 [𝝎′ 𝟐
(𝒙)]𝒙=𝑳/𝟐 . [3.7]
Aquesta dependència de 𝜆𝑥 amb 𝑡 ja s’havia obtingut en alguns articles de la literatura (Mann et al. , 1995). Podem veure, per tant, que 𝜆𝑥 és inversament proporcional a 𝑡 i al gradent de 𝜔(𝑥). Això vol dir que quan més abrupte sigui la variació de 𝜔(𝑥), més ràpidament es veurà reduït el valor de 𝜆𝑥.
3.3 Comportament de l’ona dins una zona de transició
Hem vist com la variació de la velocitat d’Alfvén en la direcció transversal al camp magnètic determina el comportament de l’ona dins el medi.
Anem a considerar un medi amb una velocitat d’Alfvén donada per:
𝑣𝐴 =
{
1, 𝑠𝑖 𝑥 ≤𝐿 2− 𝑙
2 , 𝑥
𝑙 + (3 2− 𝐿
2 𝑙) , 𝑠𝑖 𝐿 2− 𝑙
2< 𝑥 <𝐿 2+ 𝑙
2 2, 𝑠𝑖 𝑥 ≥𝐿
2+ 𝑙 2 ,
,
on, novament, empram unitats adimensionalitzades. En aquesta situació, el medi està format per dues regions amb 𝑣𝐴 uniforme, unides per una transició inhomogènia. Aquest model senzill pot representar la frontera d’un bucle coronal amb el medi coronal extern, on la velocitat d’Alfvén sofreix un canvi degut a la variació de la densitat del plasma.
A aquest cas existirà una zona inhomogènia determinada pel valor del paràmetre 𝑙 (l’amplada d’aquesta zona). Per tant, estudiarem aquest cas per diversos valors de 𝑙 : 𝑙 = 4 (resultats mostrats a la Fig.2) i 𝑙 = 8 (resultats mostrats a la Fig.3).
Recordam que estam utilitzant, en tots els casos, unitats adimensionalitzades.
Fig. 2: Evolució temporal de 𝐵1𝑦 enfront de 𝑥, on l’amplada de la zona inhomogènia és 𝑙 = 4. Resultats ideals. L’animació corresponent a aquesta figura es pot trobar a:
https://youtu.be/8YB3LsnBdL0.
A la Fig. 2 observam com les zones on 𝑣𝐴 és constant, la pertorbació oscil·la periòdicament a una certa freqüència però el perfil de l’ona no canvia (igual que al cas amb 𝑣𝐴 uniforme estudiat al principi d’aquesta secció), mentre que a la zona inhomogènia, la longitud d’ona disminueix progressivament en el temps, tal com s’espera de [3.7].
Fig. 3: Evolució temporal de 𝐵1𝑦 enfront de 𝑥, on l’amplada de la zona inhomogènia és 𝑙 = 8. Resultats ideals. L’animació corresponent a aquesta figura es pot trobar a:
https://youtu.be/Z3qw8ginUao.
De la Fig. 3, per ampliar les observacions de la Fig. 2, podem dir que la longitud d’ona a la zona inhomogènia (que segueix disminuint en el temps) és major al cas 𝑙 = 8 a un mateix instant de temps. Per tant, la longitud d’ona serà proporcional a 𝑙 i inversament proporcional a 𝑡.
Per obtenir una expressió que confirmi els resultats de les Fig.2 i Fig.3, partim de [3.7].
Recordem que la zona inhomogènia escollida ve donada per 𝑣𝐴 = 𝑥𝑙 + (32−2 𝑙𝐿). Per tant, de [2.11] sabem que 𝜔(𝑥) =𝐻 [𝑥𝑙 + (32−2 𝑙𝐿)] . Derivant aquesta expressió obtenim:
𝜔′(𝑥) =𝐻 𝑙 . [3.8]
Introduint [3.8] dins [3.7] , finalment s’obté:
𝒙 =𝟐 𝑯 𝒍𝒕 , [3.9]
on observam clarament com per la longitud d’ona es compleix la proporcionalitat directa en l’amplada de la zona inhomogènia 𝑙 i la proporcionalitat inversa en el temps 𝑡.
La dependència directa en 𝑙 ens indica que quan més abrupte sigui la transició en densitat, més petites seran les escales espacials generades pel procés de “phase mixing” a un temps donat.
Fins ara hem presentat resultats en el cas ideal, on no hi ha dissipació. Hem vist com el procés de “phase mixing” es desenvolupa quan 𝑣𝐴 és no uniforme transversalment al camp magnètic.
Escales més i més petites es van generant a mesura que evoluciona el temps, la qual cosa passaria de manera indefinida dins un escenari ideal.
A continuació, volem veure quin serà l’efecte de la dissipació sobre aquest procés.
4. RESULTATS EN EL CAS DISSIPATIU
4.1 Comportament de l’ona per velocitats d’Alfvén no uniformes
Per observar el comportament de l’ona al cas dissipatiu utilitzarem l’equació diferencial donada per [2.15] , tal que resolent numèricament aquesta equació podrem representar la pertorbació del camp magnètic 𝐵1𝑦 a través de 𝑥. Per resoldre [2.15] utilitzarem el programari Mathematica, en el qual emprarem la rutina de solució numèrica d’equacions diferencials NDSolveValue acotant l’equació diferencial sota les condicions imposades al nostre model i per un període finit de temps (𝑡 = {0, 𝑡𝑓𝑖𝑛}). D’aquí obtindrem 𝐵1𝑦 en forma d’una funció interpolada en 𝑥 i 𝑡 que passarem a representar per observar el seu comportament dins el medi donat.
El terme dissipatiu esperam que produeixi qualque efecte sobre la solució obtinguda, de manera que observarem com varia la solució en funció del valor que donarem a la resistivitat magnètica.
A més, representarem aquestes solucions enfront de la solució ideal (= 𝟎) per observar-ne les diferències.
Utilitzarem en cada cas la velocitat d’Alfvén on apareixia una zona inhomogènia tal que:
• 𝑣𝐴= {
1, 𝑠𝑖 𝑥 ≤𝐿2−2𝑙 ,
𝑥
𝑙+ (32−2 𝑙𝐿) , 𝑠𝑖 𝐿2−2𝑙 < 𝑥 <𝐿2+2𝑙 2, 𝑠𝑖 𝑥 ≥𝐿2+2𝑙 .
,
Estudiarem aquest cas per diferents valors de la resistivitat adimensionalitzada:
= 10−4, 10−3, 10−1. Per cada valor de la resistivitat tindrem en compte diferents casos en funció de l’amplada de la zona inhomogènia 𝑙:
Resistivitat: = 𝟏𝟎−𝟒
Fig. 4: Evolució temporal de 𝐵1𝑦 enfront de 𝑥 per = 10−4 i 𝑙 = 4. La solució blava correspon al cas ideal, la solució groga correspon al cas dissipatiu. L’animació corresponent a aquesta figura es pot trobar a: https://youtu.be/_-p6gF_Oeic.
Fig. 5: El mateix que la Fig.4, però per 𝑙 = 8. L’animació corresponent a aquesta figura es pot trobar a: https://youtu.be/Hy8BFEYlHQk.
La diferència més important que observam entre els resultats dissipatius i ideals és que en el cas dissipatiu l’amplitud de les pertorbacions decreix en el temps degut a la dissipació de la seva energia.
A les Fig. 4 i Fig. 5 observam com l’ona es dissipa amb el temps a la zona inhomogènia, encara que a les demés zones també s’observa una certa dissipació (no tan forta).
El grau de dissipació, a més, veim com és inversament proporcional al valor de 𝑙 i directament proporcional a 𝑡. Per tant, per zones inhomogènies més amples, l’ona trigarà més a dissipar-se completament.
Tornam a observar també que la longitud d’ona en 𝑥 és major per zones inhomogènies (𝑙) grans i per valors més petits del temps transcorregut, igual com passava en el cas ideal.
Per tant, podem veure que a mesura que el procés de “phase mixing” es desenvolupa i escales petites es generen, la dissipació es fa més eficient.
Estudiant el mateix cas per altres resistivitats, fixat un valor de 𝑙 = 4 obtenim:
Resistivitat: = 𝟏𝟎−𝟑
Fig. 6: El mateix que la Fig.4, però per = 10−3 . L’animació corresponent a aquesta figura es pot trobar a: https://youtu.be/m4CsUowmwLA.
Resistivitat: = 𝟏𝟎−𝟏
Fig. 7: El mateix que la Fig.4, però per = 10−1 . L’animació corresponent a aquesta figura es pot trobar a: https://youtu.be/jfVzcGmrAJw.
Comparant diferents valors de la resistivitat, a la Fig. 7 (valors majors de ) la solució és dissipa més ràpid i, per tant, la dissipació és major. També podem veure com la longitud d’ona no depèn de la , ja que la solució dissipada perd amplitud però manté la longitud d’ona de la solució ideal.
Tal com hem comentat per les Fig. 4 i Fig. 5 , existeix una petita dissipació a les zones homogènies. A la Fig. 7 es pot apreciar com aquesta dissipació és molt més important. Per tant, aquesta dissipació només serà despreciable per resistivitats molt petites. En qualsevol cas, la regió en la qual la dissipació sempre és més eficient és la zona inhomogènia.
4.2 Estudi de la longitud d’ona en el cas dissipatiu
Hem comprovat visualment com en el cas dissipatiu la generació d’escales petites degut al procés de “phase mixing” segueix el mateix comportament que en el cas ideal, descrit per [3.9].
Per veure com efectivament aquesta expressió la podem utilitzar tant en el cas ideal com en el dissipatiu, per un cert valor de resistivitat (= 10−4), realitzarem un ajust numèric de les oscil·lacions a la zona inhomogènia ( 𝐿2−2𝑙 < 𝑥 <𝐿2+2𝑙 ).
Per fer-ho, representarem 𝐵1𝑦 a través de 𝑥 per una certa amplada de la zona inhomogènia (𝑙 = 4). Després farem un ajust segons:
𝑎 𝑆𝑖𝑛 (𝑏𝑥 + 𝑐) , [4.1]
on 𝑎, 𝑏 i 𝑐 són paràmetres que canviaran en el temps. Per tant, a cada instant de temps podem obtenir diferents valors d’aquests paràmetres.
Sabem que una ona viatjera a través de 𝑥 ve donada per una expressió del tipus:
𝑦 (𝑥) = 𝐴 𝑆𝑖𝑛( 𝑘 (𝑥 − 𝑣𝑡)) , [4.2]
on 𝑘 és el número d’ona, el qual ve donat per: 𝑘 = 2
Relacionant [4.1] i [4.2] , 𝑘 ≡ 𝑏 , de manera que la longitud d’ona vendrà donada per:
𝒙 = 𝟐𝒃 . [4.3]
Per estudiar el canvi de longitud d’ona obtindrem un conjunt de punts {(𝑡𝑖, 𝑏𝑖)} , al quals aplicarem [4.3] per obtenir finalment un conjunt {(𝑡𝑖,𝑖)} que representarem gràficament enfront de l’expressió analítica [3.9] , on també donarem un valor de 𝑙 = 4:
Fig. 8: Evolució de enfront del temps comparant l’ajust numèric i una expressió analítica
Amb la Fig. 8 obtinguda podem concluir que l’expressió analítica defineix perfectament el comportament de la longitud d’ona a tota la zona inhomogènia per qualsevol instant de temps donat, tant en el cas ideal com en el dissipatiu.
4.3 Estudi de l’amplitud del camp 𝑩
𝟏𝒚en el cas dissipatiu
Com ja hem comentat, en el cas dissipatiu l’amplitud de l’ona en la zona no uniforme disminueix en el temps a causa del terme resistiu. Per quantificar aquest canvi de l’amplitud degut a la dissipació, Heyvaerts and Priest (1983) proposen una expressió analítica on l’amplitud 𝐴 de 𝐵1𝑦 varia segons:
𝐴 = 𝐴𝑚 exp [− 6 (𝑡 + 𝑡0)3 𝜔′(𝑥)2 ] , [4.4]
on 𝐴𝑚 i 𝑡0 són paràmetres d’ajust constants i 𝜔′(𝑥) és el gradent de la freqüència d’Alfvén, la qual ve definida en el nostre cas per [3.8] com:
𝜔′(𝑥) =𝐻 𝑙 . Per tant, l’expressió analítica [4.4] queda com:
𝑨 = 𝑨𝒎 𝐞𝐱𝐩 [− 𝟔 (𝒕 + 𝒕𝟎)𝟑 (𝑯 𝒍)𝟐 ] . [4.5]
Heyvaerts and Priest (1983) derivaren l’equació [4.5] sota les condicions d’esmorteïment feble i “phase mixing” fort. Això vol dir que, en principi, aquesta aproximació seria vàlida per valors de petits (esmorteïment feble) i temps llargs (“phase mixing” fort). Un dels nostres objectius és verificar la validesa d’aquesta aproximació.
Per veure com efectivament aquesta expressió defineix el canvi de l’amplitud en el temps i per tot valor de la resistivitat , realitzarem un ajust de la solució numèrica obtinguda a la zona inhomogènia ( 𝐿2−2𝑙 < 𝑥 <𝐿2+2𝑙 ).
Per fer-ho, representarem 𝐵1𝑦 a través de 𝑥 per una certa amplada de la zona inhomogènia (𝑙 = 4). Després farem un ajust segons [4.1] . Igual que abans, a cada instant de temps podem obtenir diferents valors dels paràmetres de l’ajust.
A aquest cas, el paràmetre que ens interessa per estudiar l’amplitud de l’ona serà l’amplitud 𝑎, de manera que per estudiar el canvi l’amplitud obtindrem un conjunt de punts {(𝑡𝑖, 𝑎𝑖)} , els quals representarem gràficament enfront de l’expressió analítica [4.5] , on també donarem un valor de 𝑙 = 4.
Tenint en compte que [4.5] conté una dependència en , representarem les comparatives entre l’ajust numèric i l’expressió analítica [4.5] per diversos valors de la resistivitat:
Fig. 9: Evolució de 𝐴 enfront del temps comparant l’ajust numèric i una expressió analítica.
A la Fig. 9 hem ajustat els paràmetres 𝐴𝑚 i 𝑡0 tal que l’expressió [4.5] ha quedat com:
𝐴 = 4.6 exp [− 6 (𝑡 + 1550)3 (10·4 )2 ] ,
on, novament, totes les quantitats s’expressen en unitats adimensionalitzades.
D’aquest resultat en podem concloure que l’expressió analítica defineix perfectament el comportament de l’amplitud a la zona inhomogènia per instants de temps grans, mentre que pels instants inicials no serà vàlida l’expressió.
Fig. 10: Evolució de 𝐴 enfront del temps comparant l’ajust numèric i una expressió analítica (= 10−4,= 10−3,= 10−2 𝑖 = 10−1 , respectivament).
A la Fig. 10 hem ajustat els paràmetres 𝐴𝑚 i 𝑡0 tal que l’expressió [4.5] ha quedat com:
• = 𝟏𝟎−𝟒: 𝐴 = 3.9 exp [− 6 (𝑡 + 150)3 (10·4 )2 ] ,
• = 𝟏𝟎−𝟑: 𝐴 = 2.8 exp [− 6 (𝑡 + 65)3 (10·4 )2 ] ,
• = 𝟏𝟎−𝟐: 𝐴 = 2.2 exp [− 6 (𝑡 + 28)3 (10·4 )2 ] ,
• = 𝟏𝟎−𝟏: 𝐴 = 2 exp [− 6 (𝑡 + 13)3 (10·4 )2 ] .
De la Fig. 10 observam com es segueix complint la premissa de que l’expressió analítica només serà vàlida a instants de temps grans. Pel fet de que a major resistivitat, més es dissipa l’ona, aquest instant de temps al qual començarà a ser vàlida l’expressió serà menor a mesura que la resistivitat augmenti. Això està d’acord amb les condicions imposades per Heyvaerts and Priest (1983) a l’hora de derivar la fórmula analítica.
Observant els resultats de l’ajust sobre 𝑡0 per diferents resistivitats, podem veure que existeix una certa relació entre 𝑡0 i . Tenim un conjunt de valors tal que:
10−1 10−2 10−3 10−4 10−7
𝒕𝟎 13 28 65 150 1550
Representant aquests valors en escala logarítmica, obtenim:
Fig. 11: Relació entre el paràmetre 𝑡0 i la resistivitat
A la Fig. 11 s’observa com existeix una relació lineal a escala logarítmica entre els dos termes.
Per tant, fent un ajust sobre el logaritme en base 10 dels dos termes, obtenim la relació lineal, dibuixada en blau a la Fig.11, tal que:
𝐿𝑜𝑔10 𝑡0 = 0.7667 − 0.3475 𝐿𝑜𝑔10 . [4.6]
Per tant, trobam que 𝑡0~𝜂−0.3475 ≈ 𝜂−1/3.
4.4 Evolució de l’energia
Per estudiar com evoluciona l’energia de les ones en presència de la dissipació, representarem en primer lloc la densitat d’energia 𝑈 utilitzant les expressions [2.17] , [2.8] i [2.20] amb la solució numèrica de [2.15] que hem estudiat anteriorment ( 𝐵1𝑦 (𝑥, 𝑡) ).
Donat un valor = 10−4 de la resistivitat, 𝜇 = 1 de la permeabilitat magnètica i 𝑙 = 4 de l’amplada de la zona inhomogènia, en un medi acotat per 𝐿 = 15 i 𝐻 = 10, la densitat d’energia canvia segons:
Fig. 12: Evolució temporal de 𝑈 enfront de 𝑥 per la resistivitat = 10−4. L’animació corresponent a aquesta figura es pot trobar a: https://youtu.be/KBwazL6FHDQ.
La Fig. 12 mostra com l’energia es dissipa en el temps a la zona inhomogènia molt més ràpid que a la zona homogènia. En aquest cas, la resistivitat es tan petita (= 10−4) que a la zona homogènia pràcticament no s’ha dissipat energia quan ja s’ha perdut tota l’energia a la zona inhomogènia. Si estudiam el mateix cas per un valor = 10−2 mantenint les demés condicions iguals, obtenim:
Fig. 13: Evolució temporal de 𝑈 enfront de 𝑥 per la resistivitat = 10−2. L’animació corresponent a aquesta figura es pot trobar a: https://youtu.be/MHvvp3W3yvI.
De la Fig. 13 hem vist com per una resistivitat major l’energia es dissiparà més ràpidament a la zona inhomogènia i, a més, la zona homogènia sofrirà una dissipació molt més apreciable.
Per estudiar la pèrdua d’energia per dissipació 𝐻, utilitzarem les expressions [2.19] i [2.10] amb la solució numèrica de [2.15] que hem estudiat anteriorment ( 𝐵1𝑦 (𝑥, 𝑡) ).
Donat un valor = 10−4 de la resistivitat, 𝜇 = 1 de la permeabilitat magnètica i 𝑙 = 4 de l’amplada de la zona inhomogènia, en un medi acotat per 𝐿 = 15 i 𝐻 = 10, el medi s’escalfarà segons:
Fig. 14: Evolució temporal de 𝐻 enfront de 𝑥 per la resistivitat = 10−4. L’animació corresponent a aquesta figura es pot trobar a: https://youtu.be/6tXTaNqMIqs.
L’escalfament es produeix principalment a la zona inhomogènia i augmenta progressivament fins a una amplitud màxima fins que l’ona es dissipa completament.
4.5 Comportament de la pertorbació de la velocitat
Hem obtingut una equació analítica [2.20] de 𝑣1𝑦(𝑥, 𝑡) sent coneguda la pertorbació del camp magnètic 𝐵1𝑦(𝑥, 𝑡) de la solució numèrica [2.15]. Fins ara només hem estudiat el comportament de la pertorbació del camp magnètic 𝐵1𝑦. Amb l’expressió [2.20], però, podem comparar el comportament de les dues pertorbacions.
Donat un valor = 10−4 de la resistivitat, 𝜇 = 1 de la permeabilitat magnètica i 𝑙 = 4 de l’amplada de la zona inhomogènia, en un medi acotat per 𝐿 = 15 i 𝐻 = 10, aquestes quantitats es comporten tal que:
Fig. 15: Evolució temporal de 𝑣1𝑦 i 𝐵1𝑦 enfront de 𝑥 per la resistivitat = 10−4. L’animació corresponent a aquesta figura es pot trobar a: https://youtu.be/gXuzfROIXmQ.
Podem observar com les longituds d’ona característiques 𝑣1𝑦 i 𝐵1𝑦 resulten ser la mateixa a tot instant de temps, de manera que la longitud d’ona de 𝑣1𝑦 complirà les relacions trobades per 𝐵1𝑦. No obstant, cal dir que ambdues quantitats no oscil·len en fase, sinó que 𝐵1𝑦 evoluciona lleugerament més tard que 𝑣1𝑦. Aquest fenòmen s’aprecia encara millor a les dues zones homogènies.
Quan 𝐵1𝑦 és màxima, 𝑣1𝑦 és zero i viceversa. Per tant, existeix un desfassatfe de 𝜋
⁄2 entre les dues pertorbacions.
5. CONCLUSIONS
El nostre objectiu era comprovar com mitjançant el mecanisme de “phase mixing” en un model simple de plasma inhomogeni aconseguim que les pertorbacions associades a les ones d’Alfvén desenvolupin escales petites espacialment quan la velocitat d’Alfvén 𝑣𝐴 és variable en la direcció perpendicular al camp magnètic.
Al nostre cas hem definit la velocitat d’Alfvén com una funció a trossos amb dues zones homogènies (𝑣𝐴 = 𝑐𝑡𝑒) i una zona inhomogènia (𝑣𝐴(𝑥)). El que preteníem estudiar era el comportament de l’ona dins aquesta zona inhomogènia, ja que és la que la que té una 𝑣𝐴 variable espacialment.
Al cas ideal hem vist que per una 𝑣𝐴 no uniforme transversalment al camp magnètic, el perfil espacial de la pertorbació en la direcció 𝑥 sofreix un canvi tal que la seva longitud d’ona disminueix amb el pas del temps, la qual cosa correspon al procés de “phase mixing”. Escales més i més petites es van generant a mesura que evoluciona el temps, la qual cosa passaria de manera indefinida dins un escenari ideal.
Al cas dissipatiu hem vist que per una 𝑣𝐴 on una zona és inhomogènia i les demés són homogènies, l’ona és dissipa amb el temps (molt més a la zona inhomogènia que a les homogènies), sent el grau de dissipació inversament proporcional a l’amplada de la zona inhomogènia. Per tant, podem veure que a mesura que el procés de “phase mixing” es desenvolupa i escales petites es generen, la dissipació es fa més eficient.
Estudiant la fluctuació d’energia en presència de la dissipació, veim com l’energia es dissipa en el temps a la zona inhomogènia molt més ràpid que a la zona homogènia. També comprovam com l’escalfament es produeix principalment a la zona inhomogènia. Per tant, la pèrdua d’energia per dissipació s’incrementa a la zona inhomogènia, la qual cosa concorda amb la major dissipació d’energia a aquesta zona.
En termes generals, per tant, podem concloure que tant la pertorbació del camp magnètic i la velocitat (𝐵⃗⃗⃗⃗ = 𝐵1 1𝑦 𝑦̂ i 𝑣⃗⃗⃗⃗ = 𝑣1 1𝑦 𝑦̂, respectivament) com l’energia del sistema 𝑈 dins la regió on 𝑣𝐴(𝑥) es dissipen espacialment en el temps, aconseguint així transferir l’energia de les ones des de escales espacials grans a escales petites, que són les que finalment són dissipades.
En el context de la corona solar, on les variacions espacials de la velocitat d’Alfvén ocorren de manera natural, hem d’esperar que el mecanisme de “phase mixing” actui contínuament i sigui un mecanisme que transporti eficientment l’energia de les escales grans cap a les escales petites.
Llavors, és en aquestes escales petites on la dissipació tindria lloc de manera eficient encara que els coeficients de difusivitat són molt petits en el plasma coronal.
Aquest treball es pot extendre en el futur de vàries maneres. Per exemple, es podrien considerar models més complexos, incloure altres mecanismes dissipatius (a més de la resistivitat magnètica) i estudiar el règim no lineal.
