Éléments finis mixtes minimaux sur les polyèdres

Dept. of Math./CMA Univ. of Oslo Pure Mathematics No 14 ISSN 0806–2439 June 2009

El´ements finis mixtes minimaux sur les poly`edres ´ ^∗

Snorre H. Christiansen

12 juin 2009

R´esum´e

Etant donn´´ e un complexe cellulaire constitu´e de poly`edres, plong´e dans un espace Eucli- dien, nous construisons des espaces d’´el´ements finis de formes diff´erentielles contenant celles qui sont polynomiales de degr´e maximal donn´e, ayant localement la propri´et´e de suite exacte et d’extension, de telle sorte que parmi tous les espaces ayant ces trois propri´et´es, ils ont la plus petite dimension. Plus g´en´eralement nous construisons, pour tout syst`eme d’´el´ements fi- nis inclus dans un syst`eme d’´el´ements finis compatible, un syst`eme d’´el´ements finis compatible interm´ediaire et de dimension minimale.

1 Cadre

SoitSun espace m´etrique compact. Une partie ferm´eeT deSsera appell´ee cellule de dimension l lorsqu’il existe une bijection bi-Lipschitzienne deT sur la boule unit´e ferm´ee B^ldeR^l. Le bord

∂T deT est alors par d´efinition l’image r´eciproque de la sp`ereS^l−1, et l’int´erieur deT estT\∂T. La dimension est bien d´efinie, et le bord ne d´epend pas du choix de la bijection.

Un complexe cellulaire surS est un ensemble fini T de cellules dans S tel que : – La r´eunion deT estS, etS porte la topologie induite.

– Deux cellules distinctes ont des int´erieurs disjoints.

– La fronti`ere de toute cellule est r´eunion de cellules.

La partie deT constitu´ee des cellules de dimensionl sera not´eeT^l.

Nous nous int´eressons `a la construction d’espaces de formes diff´erentielles (FDs) surS. Suivant [2][3] un syst`eme d’´el´ements finis (SEF) surT est la donn´ee pour chaque entier naturelket chaque T ∈ T, d’un espace vectorielA^k(T) dek-FD surT, de telle sorte que les deux propri´et´es suivantes soient satisfaites :

– La d´eriv´ee ext´erieure induit des applications d :A^k(T)→A^k−1(T).

– SiT⁰ ⊆T avec inclusioni, le retrotransport (“pullback”) induit une applicationi^?:A^k(T)→ A^k(T⁰). Pouru∈A^k(T) on noterai^?u=u|T⁰.

La trace sera dans la suite toujours entendue au sens du retrotransport par l’application inclusion.

Dans ces conditions nous notons, pour tout complexe cellulaireT⁰ inclus dansT :

A^k(T⁰) ={u= (uT)T∈T : ∀T, T⁰ ∈ T uT ∈A^k(T) etT⁰⊆T ⇒uT|T⁰ =uT⁰}. (1) Les ´el´ements de A^k(T) peuvent ˆetre identifi´es `a des FDs sur S ayant juste assez de continuit´e aux interfaces entre cellules pour que la d´eriv´ee ext´erieure au sens des distributions (ou courants) corresponde `a la d´eriv´ee ext´erieure prise par cellule.

Nous dirons qu’un SEFAest compatible lorsque les deux conditions suivantes sont remplies :

∗This work, conducted as part of the award “Numerical analysis and simulations of geometric wave equations”

made under the European Heads of Research Councils and European Science Foundation EURYI (European Young Investigator) Awards scheme, was supported by funds from the Participating Organizations of EURYI and the EC Sixth Framework Program.

†CMA, University of Oslo, PO Box 1053 Blindern, NO-0316 Oslo, Norway. email :[email protected]

– Suite exacte.Pour toute celluleT, la suite suivante est exacte :

0→R→A⁰(T)→A¹(T)→ · · · →A^dim(T)(T)→0. (2) La deuxi`eme fl`eche associe `a un r´eel, la fonction surT prenant cette valeur uniquement.

– Extension. Pour toute cellule T, si u∈ A^k(∂T), il existe au moins un v ∈ A^k(T) dont la trace sur ∂T est u.

On noteA^k₀(T) le sous-espace deA^k(T) constitu´e des ´el´ements ayant une trace nulle sur le bord.

Pour la d´emonstration des quatre propositions suivantes on pourra consulter [3].

Proposition 1.1. Pour un SEFA on a :

dimA^k(T)≤ X

T∈T

dimA^k₀(T), (3)

avec ´egalit´e lorsque la propri´et´e d’extension est satisfaite.

On choisit une orientation pour chaque cellule, qui permet en particulier d’int´egrer les formes de degr´e maximal. On noteC^•(T) le complexe de cochaines associ´e aT, muni de l’op´eration de cobord. AinsiC^k(T) =R^T

k. L’application de De Rhamµest d´efini sur A^k(T) par :

µu= ( Z

T

u_T)_T∈Tk∈C^k(T). (4)

Il s’agit d’un morphisme de complexesA^•(T)→C^•(T), en cons´equence du th´eor`eme de Stokes.

Proposition 1.2. Pour un SEF compatible, l’application de De Rham induit des isomorphismes en cohomologie.

Proposition 1.3. Pour un SEFAayant la propri´et´e d’extension, la propri´et´e de suite exacte (2) est ´equivalente `a la suivante (avec condition au bord homog`ene) :

– Pour toute cellule T, la suite suivante est exacte :

0→A⁰₀(T)→A¹₀(T)→ · · · →A^dim(T)(T)→R→0. (5) L’avant derni`ere fl`eche est l’int´egration.

Proposition 1.4. Soit un SEF Adont chaque espace A^k(T)est muni d’un produit scalaire not´e a. On suppose queT est une cellule telle que (5) est exacte. Pour chaqueα∈Ril existe un unique

´

el´ementudeA^dimT(T)tel que : Z

T

u=αet ∀v∈A^dim₀ ^T−1(T) a(u,dv) = 0. (6)

Fixons k < dimT. Toutu∈A^k(∂T) admettant une extension, admet une unique extension u∈ A^k(T)telle que :

∀v∈A^k₀(T) a(du,dv) = 0 et∀v∈A^k−1₀ (T) a(u,dv) = 0. (7) Un ´el´ement u de A^k(T) satisfaisant (7) sera dit harmonique. La proposition affirme donc l’existence et l’unicit´e d’une extension harmonique lorsqu’une extension existe. Si l’on a le choix entre plusieurs SEFs on parlera d’extensionA-harmonique. L’orthogonalit´e pourasera not´ee ⊥, de sorte que (7) s’´ecrit aussi :

du⊥dA^k₀(T) etu⊥dA^k−1₀ (T). (8)

2 Construction

On suppose que S est un domaine de Rⁿ et que chaque cellule T ∈ T est un poly`edre. Pour l < nles cellules de dimensionlne sont pas n´ecessairement plats (c`ad. inclus dans un sous-espace affine deRⁿ de dimensionl). Soitpun entier naturel.

Pour tout T ∈ T et toutk, notonsA^k(T) les FDs sur T qui sont trace surT d’unek-FD sur Rⁿ, polynomiale de degr´e au plusp. On note que lorsqueT ∈ T^l n’est pas plat, la dimension de A^k(T) peut ˆetre sup´erieure `a la dimension de l’espace des k-formes polynomiales de degr´epsur R<sup>l</sup>. Nous avons bien l`a un SEF, mais il est loin d’ˆetre compatible.

Choisissons un raffinement de T qui soit un complexe simplicial – souvent le raffinement barycentrique convient. Notons B^k(T) les k-FDs dites de Whitney sur T, relativement `a ce raf- finement et de degr´ep+ 1. Il s’agit de la premi`ere famille d’EF mixtes de N´ed´elec [5], g´en´eralis´ee aux FDs par Hiptmair [4], choisissant ceux compris entre les polynomes de degr´epet p+ 1. On pourra consulter [1] `a leur sujet. Nous avons l`a un SEF compatible surT, mais il est affreusement grand.

Notre but est de construire un SEF compatible surT, interm´ediaire entreAetB et aussi petit que possible. De fait nous en obtenons un qui est de dimension minimale sur chaque cellule et en tout degr´e, non seulement parmi ceux qui sont contenus dansB mais en g´en´eral.

Plus g´en´eralement nous supposons queA est un SEF, que B est un SEF compatible, et que A^k(T)⊆B^k(T) pour toutket T (voil`a ce qu’on entend un peu abusivement par l’inclusion deA dansB). La construction d´epend du choix d’un produit scalairea sur chaqueB<sup>k</sup>(T) (on pourra prendre si on veut le produit L<sup>2</sup>sur les FDs). Elle se fait en deux ´etapes, la premi`ere compl´etantA de sorte que la propri´et´e de suite exacte – sous la forme (5) – soit satisfaite, la deuxi`eme assurant la propri´et´e d’extension, sans nuire aux acquis. Le SEF obtenu est alors compatible d’apr`es la Proposition 1.3.

Premi`ere ´etape.Si k <dimT, posons :

E^k(T) ={u∈B₀^k(T) : du∈A^k+1₀ (T), du⊥dA^k₀(T) etu⊥dB₀^k−1(T)}. (9) Dans le cask= dimT, siA^k(T) contient unud’int´egrale 1, on poseE^k(T) = 0, sinon on pose :

E^k(T) ={u∈B^k(T) : u⊥dB^k−1₀ (T)}. (10) Remarquons queA^k(T)∩E^k(T) = 0 et posons :

A˜^k(T) =A^k(T)⊕E^k(T). (11)

On note que d :E^k(T)→H^k+1(A^•₀(T)) est un isomorphisme (si k= dimT interpr´eter la fl`eche comme l’int´egration) ce qui donne en particulier :

dimE^k(T) = dim H^k+1(A^•₀(T)). (12) Proposition 2.1. A˜ est un SEF contenantA tel que les suites :

0→A˜⁰₀(T)→A˜¹₀(T)→ · · · →A˜^dim(T)(T)→R→0, (13) sont exactes.

D´emonstration. Qu’il s’agisse d’un SEF contenantA est imm´ediat. De plus :

A˜^k₀(T) =A^k₀(T)⊕E^k(T). (14) Supposons quek <dimT,u∈A˜^k₀(T) et du= 0. Posonsu=v+wavecv∈A^k₀(T) etw∈E^k(T).

On a dv+ dw= 0 et dv⊥dw, donc dv= 0 et dw= 0. Il s’ensuit quew= 0.

Posons maintenant v = x+y avec x ∈ dA^k−1₀ (T) et y ⊥ dA^k−1₀ (T). Puisque dy = 0 nous pouvons choisirz∈B^k−1₀ (T) tel que dz=yet z⊥dB₀^k−2(T). Alorsz∈E^k−1(T), ce qui, in fine, prouve queu∈d ˜A^k−1₀ (T).

Supposons maintenantk= dimT,u∈A˜^k(T) etR

u= 0. ´Ecrivonsu=v+wavecv∈dA^k−1₀ (T) etw⊥dA^k−1₀ (T). Choisissonsx∈B^k−1₀ (T) tel que dx=wetx⊥dB₀^k−2(T). Alorsx∈E^k−1(T), doncu∈d ˜A^k−1₀ (T).

Deuxi`eme ´etape.Par abus on noteAle syst`eme ˜Aqu’on vient de construire, ou plus g´en´eralement un SEF inclus dans B ayant la propriet´e (5) de suite exacte avec condition au bord homog`ene.

Pour toute celluleT nous allons compl´eterA^•(T) pour assurer la propri´et´e d’extension surT tout en pr´eservant A^•₀(T). On commence par les cellules T de dimension 1, continue avec celles de dimension 2 et ainsi de suite.

Nous utilisons le r´esultat suivant o`u on note tr l’application traceB^•(T)→B^•(∂T).

Proposition 2.2. Fixons un k≤l. Toutu∈B^k(∂T)tel quedu∈trA^k+1(T)admet une unique extensionu∈B^k(T)telle que :

du∈A^k+1(T), du⊥dA^k₀(T)etu⊥dB₀^k−1(T). (15) D´emonstration. D’apr`es la Proposition 1.2, la suite suivante est exacte :

0→R→B⁰(∂T)→B¹(∂T)→ · · · →B^l(∂T)→R→0. (16) Existence. On suppose d’abordk < l. Soit d’abordvl’extensionA-harmonique de du. Puisque dv estA-harmonique et nulle au bord on a dv= 0. Choisissonsu⁰∈B^k(T) tel que du⁰=v. On a d(tru⁰−u) = 0, choisissons donc u⁰⁰∈B^k−1(T) tel que d tru⁰⁰= tru⁰−u. Alorsu⁰−du⁰⁰est une extension de ude d´eriv´ee ext´erieurev. Par ajout d’un ´el´ement de dB₀^k−1(T) on assure aussi son orthogonalit´e `a dB₀^k−1(T).

Supposons maintenant k = l. Soit v ∈ A^k+1(T) tel que R v = R

u et v ⊥ dA^k₀(T). Soit u⁰∈B^k(T) tel que du⁰=v. Par Stokes on aR

(tru⁰−u) = 0, choisissons doncu⁰⁰∈B^k−1(T) tel que d tru⁰⁰= tru⁰−u. Alorsu⁰−du⁰⁰ est comme avant une extension deude d´eriv´ee ext´erieure v et par ajout d’un ´el´ement de dB₀^k−1(T) on assure aussi son orthogonalit´e `a dB₀^k−1(T).

Unicit´e. Siu∈B₀^k(T) satisfait (15), alors du= 0 etu⊥dB₀^k−1(T) ce qui donneu= 0.

Supposons que nous avons rempli notre programme pour les cellules de dimension au plus l (l≥0), le SEF ´etendu ´etant not´e ˜A. On consid`ere une celluleT de dimensionl+ 1.

Pour k≤l posons :

F^k={u∈A˜^k(∂T) : u⊥trA^k(T) et du∈trA^k+1(T)}, (17) et notons ˜F^k les extensions des ´el´ements deF^k d´efinies par la Proposition 2.2 ci-dessus. On pose aussi :

G^k={u∈A˜^k(∂T) : du⊥trA^k+1(T) etu⊥ {v∈A˜^k(∂T) : du= 0}}, (18) et on note ˜G^k les extensionsB-harmoniques des ´el´ements deG^k. Finalement on pose :

A˜^k(T) =A^k(T) + ˜F^k+ ˜G^k. (19) On remarque que d ˜F^k ⊆A^k+1(T). Si k < l, d ˜G^k ⊆F˜^k+1(T) et sik =l, ˜G^k = 0. On a une d´ecomposition en somme directe :

A˜^k(∂T) = trA^k(T)⊕F^k⊕G^k. (20) Il s’ensuit en particulier que tr : ˜A^k(T)→A˜^k(∂T) est surjectif. De plus, si u∈A^k(T),v∈F˜^k et w∈G˜^k satisfont tr(u+v+w) = 0, alors trv= 0 et trw= 0, ce qui donnev= 0 etw= 0. Si en faitu+v+w= 0 on aura aussiu= 0. Ainsi la somme (19) est directe et :

A˜^k₀(T) =A^k₀(T). (21)

Pour k =l+ 1 on prend simplement ˜A^k(T) = A^k(T). Ceci ach`eve la construction ainsi que sa justification, en dimensionl+ 1.

Pour finir nous notons que si ˆA est un quelconque SEF compatible contenantAon a : dim ˆA^k₀(T)≥dimA^k₀(T) + dim H^k+1(A^•₀(T)), (22) puisque ˆApermet de construire des espaces ˜A^k₀(T)⊆Aˆ^k₀(T) tels que (12) et (14). La construction propos´ee donne l’´egalit´e dans (22) et donc la plus petite dimension possible d’apr`es la Proposition 1.1.

R´ ef´ erences

[1] D. N. Arnold, R. S. Falk, and R. Winther. Finite element exterior calculus, homological techniques, and applications. Acta Numer., 15 :1–155, 2006.

[2] S. H. Christiansen. A construction of spaces of compatible differential forms on cellular com- plexes. Math. Models Methods Appl. Sci., 18(5) :739–757, 2008.

[3] S. H. Christiansen. Foundations of finite element methods for wave equations of Maxwell type.

Department of Mathematics, University of Oslo, E-print, 5, 2009.

[4] R. Hiptmair. Canonical construction of finite elements. Math. Comp., 68(228) :1325–1346, 1999.

[5] J.-C. N´ed´elec. Mixed finite elements inR³. Numer. Math., 35(3) :315–341, 1980.