Emne:IRF 10011Matematikkl. Lærer: Øystein Holje og Kent Ryne Grupper: Diverse. Dato: 04.12.15 Tid: 9.00—13.00.
Antall oppgavesider:2. Antall vedleggsider:3, formelark.
Sensurfrist: .
5. t.
Hjelpemidler: Alt trykt og skrevet. Kalkulator av enhver type.
KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG Vis alle utregninger. Besvarelsen vurderes utfra kvalitetenpå begrunnelsene.
Alle deloppgaver teller likt. Oppgavesettet har 11 deloppgaver.
Oppgave 1
sin 2x Bestem grensen hvis den eksisterer: lim ,
x- x "
Oppgave 2
Beregn (2 + 3i)(1—2i) og 2+31
.Svaret skal være på normal form.
1+2i
Bestem tredjerøttene til .
Oppgave 3
Løs likningssystemet ved å få totalmatrisen på redusert trappeform x+2y+3z =2
( Gauss —Jordans metode ): x+3y+5z =3 . 2x+4y+7z = 5
x+2y+3z =2 Parameteren t er et reelt tall. Drøft likningssystemet x+ 3y +5z = 3
2x+4y+tz =5
og avgjør når systemet eventuelt har en løsning, uendelig mange løsninger eller ingen løsning.
Oppgave 4
Bestem alle løsningene til differensiallikningen y"+2y'-3y .12.
Oppgave 5
Bruk Simpsons metode med 4 delintervall til å bestemme tilnærmet verdi av integralet
11+ex2dx .
Svaret gis korrekt avrundet til fire desimaler.
Oppgave 6
Grafen til funksjonen y= f (x) =sinx,0 avgrenser sammen med x —aksen et flatestykke i 1. kvadrant.
Beregn volumet av legemet som framkommer når flatestykket dreies en gang om y —aksen.
Oppgave 7
Vis at grafene tily = cosx og y =2x skjærer i nøyaktig ett punkt og at skjæringspunktets x —koordinat må ligge i intervallet [0,1r2].
Bruk Newtons metode til å bestemme skjæringspunktets x —koordinat korrekt avrundet til fem desimaler.
Bestem også skjæringspunktets y —koordinat korrektavrundet til fem desimaler.
Oppgave 8
Vi befinner oss 3.5 km fra og i samme høyde som oppskytningsrampen til en rakett. Raketten beveger seg vertikalt oppover. I det øyeblikk vi betrakter
raketten, danner siktlinjen vinkelen 51° med den 3.5 km lange forbindelseslinjen mellom oss og oppskytningsrampen.
I samme øyeblikk øker denne vinkelen med 2.30 per sekund.
Bestem rakettens fart i dette øyeblikk.
Oppgave 9
Beregn integralet cos x dx . l+sin' x
2
Formelark i Matematikk 1.
Røtter av komplekse tall.
Et komplekst tall z =izie`° har de n komplekse røttene, som er løsningene av likningen wn=z, Wk = ,k = 0,1, , —1.
Newtons metode for å løse likningen f (x) =0 tilnærmet.
Starter med en verdi xosom er nær den korrekte løsningen.
f (xn)
Itererer neste tilnærming fra forrige ved x„, =x
(xn) *
Simpsons formel for å beregne tilnærmet verdi av integralet I= Jf (x) dx . Intervallbredde Ax=b—a , der n er antall intervaller området deles i, alltid partall. Tilnærmet verdi er:
= —(Ax f (x0)+4f (x1)+2f (x2) +4f (x3) + ...+2f (x2)+ 4f (x n_1)+f (x„)) . 3
M (b —a)5
Feilestimat: F = I- , der tallet M oppfyller f (4)
(x)1
m på180n4
intervallet [a,b] .
En fineær 1. ordens differensiallikning på standard form y'+ p(x)y = q(x) har løsningen y = eJ eP(t)q(x)dx ,der P(x)= p(x)dx .
Separabel 1. ordens differensiallikning på standard separert form
f (y)dy g(x)dx som etter integrasjon løses for y = y(x) .
En lineær homogen 2. ordens differensiallikning med konstante koeffisienter på standard form ay" + by' +cy =0 har karakteristisk likning
a22 + b2 + c = ,med løsning 2= = À.
Løsningen av differensiallikningen er da:
begge reelle y = y(x) C1e21x+ C2eÅ2x
)=2=2 reell y = y(x) (C1+ C2x)e'lx
2= a ± ifi kompleks y = y(x) = eax(C, cosfix + C2sin fix)
forsøkes valgt av tilsvarende type som f (x) når denne ikke inngår i løsningen av den homogene differensiallikningen, y„ .Ellers justeres valget opp en grad til det ikke lenger er en del av y .
Integrasjon.
f = tan (x) + C = arctan(x) + C 1+ x2
I
V dx
= sin-1(x) + C = arcsin(x)+ C 1 x2sin kx dx = cos Itx+ C
f
cos kx dx = -)7sin kx + Cf
ekcdx = ek + Cfxrd.x. xr+1 r +1
Infxf + C
x
f
adx= a+ CIntegrasjonsmetoder.
Delvis: JU'vdx= UV—JUv'dx.
Substitusjon/Variabelskifte: f (u(x))u' (x) dx = f (u) du .
Delbrøkoppspalting: Nevner inneholder faktor
i) ax + b gir delbrøk
Derivasjon.
(sin kx)' = k cos kx (cos —ksin kx (x')I rx'-1
ax + b (ax+ b)k gir delbrøk A 1+
ax + b (ax + b)2 ••• (ax +b)k Ax + B
x2+b2gir delbrøk 2 2. X +b
2
(ax)P= ax1na (eh )1= kek'
Derivasjonsmetoder.
Produkt: (un' =u'v+uv°
Brøk: (ul —u'v —Ur»
V ) V2
Kjerne: (f(u(x))° = (u)d , u = u(x)
Kurvelengde.
y = f (x), a x b gir L= 11+(fI (x))2 cbc.
Volum av omdreiningslegeme.
Om x —aksen: V = f (x))2
Omy —aksen: V = 274 xf (x)dx .
Lineær algebra
Lineært likningssystem A•x b .
Koeffisientmatrise A og totalmatrise T = [A b] .
Antall ukjente ern.
Rangdrøfting:
RangA =RangT = n , systemet har presis en løsning.
RangA =RangT < n , systemet har uendelig mange løsninger.
RangA <RangT ,systemet har ingen løsning.
Invers matrise:
A-1= adjA, jA =detA , der adjA = CT og kofaktormatrisen C=[co]er gitt ved minorene M. = Au= detA,1 som c,, Matrisen 4 framkommer ved å sløyfe rad iog kolonnej i matrisen A.
Alternativ Gauss-Jordan: A-1] .
