Euler-Lagrange equations

Side 1 av 4

NTNU Institutt for fysikk

Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk

Løsningsforslag til eksamen i

FY3452 GRAVITASJON OG KOSMOLOGI

Fredag 24. mai 2013 Dette løsningsforslaget er p˚a 4 sider.

Oppgave 1. Bevegelse utenfor et roterende legeme

Til laveste ikke-trivielle orden irM/rer linjeelementet utenfor et roterende legeme med masseMog dreieimpulsJ av formen

c²dτ²=

1−rM

r

c²dt²+ 2KJ

r²_M

r² sin²θ crdtdφ− 1 +rM

r

dr²−r² dθ²+ sin²θdφ²

. (1)

Her er

r_M =2GNM

c² , K_J= J

M c r_M, (2)

derGNer Newton’s konstant. Bevegelsen til en punktpartikkel utenfor dette legemet er bestemt av Lagrangefunk- sjonen

L=1

2gµνx˙^µx˙^ν, (3)

via Hamiltons prinsipp. Her betyr ˙ derivasjon med hensyn til egentidτ. Du kan velge ˚a bruke enheter derc= 1.

a) LagrangefunksjonenLavhenger ikke eksplisitt avt. Hvilken konservert størrelse gir dette opphav til?

The corresponding conserved quantity is ≡∂L

∂t˙ = 1−r_M

r

t˙+K_Jr_M²

r² sin²θ rφ.˙ (4) b) LagrangefunksjonenLavhenger ikke eksplisitt avφ. Hvilken konservert størrelse gir dette opphav til?

The corresponding conserved quantity is

`≡∂L

∂φ˙ =KJ

r_M²

r² sin²θ rt˙−r² sin²θφ.˙ (5) c) LagrangefunksjonenLavhenger ikke eksplisitt avτ. Hvilken konservert størrelse gir dette opphav til?

The corresponding conserved quantity is h≡ ∂L

∂t˙ t˙+∂L

∂r˙r˙+∂L

∂θ˙ θ˙+∂L

∂φ˙

φ˙−L= 2L−L=L, (6)

sinceLis homogeneous of degree two in the four-velocity ˙x^µ.

Løsning FY3452 Gravitasjon og kosmologi, 24.05.2013 Side 2 av 4 d) Anta atθ= ¹₂π, ˙θ= 0, dvs. bevegelse i ekvatorplanet, er en løsning av bevegelsesligningene. Sett derfor

sin²θ= 1, ˙θ= 0, og finn bevegelsesligningen forr(τ).

The Euler-Lagrange equation is d dτ

∂L

∂r˙

= ∂L

∂r. (7)

The quantities∂L/∂r˙ and∂L/∂rcan be computed directly from the original expression for L. However, these expressions depend on ˙tand ˙φwhich should be eliminated by use of (4) and (5) before proceeding.

Oppgave 2. Estimat av størrelsesorden

Bruk din generelle kunnskap om fysiske fenomener og fysiske sammenhenger til ˚a ansl˚a størrelsene nedenfor. Forklar hvordan du kom fram til anslagene.

a) ParameterenrM_⊕/r⊕, derM⊕er massen til jorda ogr⊕er jordas radius.

The acceleration of gravity (g≈9.81 m/s²), the original definition the meter (¹₂r_⊕= 10⁴km), and the speed of light (c= 3 10⁸m/s) allow us to findGNM_⊕.

b) ParameterenrM/r, derMer massen til sola ogrer solas radius.

The length of the year (365.25×24×60×60 seconds), and distance to the sun (150 million kilometers or 8 light-minutes) allow us to findG_NM. This next give us the ratioM/M_⊕. Since the density of normal matter does not vary much (the sun has a somewhat lower density than the earth) this further allow us to estimater. This quantity may also be estimated from its apparent size on the sky.

c) ParameterenKJ⊕=_M^J⊕

⊕c r_⊕ for jorda, derJ⊕er dreieimpulsen til jorda.

The angular momentumJ_⊕ =ω_⊕I_⊕, whereω_⊕ is the rotation speed (≈2π/24 hours) and I_⊕∝M_⊕r_⊕². The value of M_⊕ drops out in the combination.

d) ParameterenKJ=_M^J

c r for sola, derJer dreieimpulsen til sola.

The angular momentumJ =ωI, whereω is the rotation speed (≈2π/28 days) and I∝Mr². The value of M drops out in the combination.

Oppgave 3. Einstein’s gravitasjonsteori til laveste orden

I denne oppgaven skal du se litt p˚a Einstein gravitasjonsteori til første orden i avviket fra flatt rom. Dvs. at vi skriver linjeelementet p˚a formen

c²dτ²={η_µν+ε hµν(x)}dx^µdx^ν, (8) derηµν= diag (1,−1,−1,−1), og bare regner til første orden i parameterenε. Dette er tilstrekkelig til ˚a relativt enkelt kunne finne linjeelementer som f.eks. (1).

a) Anta at vi gjør en (liten) transformasjon av koordinater,

x^µ= ˜x^µ+εΛ^µ(˜x), (9)

og regn ut den tilhørende transformasjonen,

hµν(x)→¯hµν(˜x). (10)

We insert

dx^µ= d¯x^µ+ε ∂Λ^µ

∂˜x^λ

d˜x^λ, to find

c²dτ²=

η_µν+ε(h_µν+ Λ_µ,ν+ Λ_ν,µ) +O(ε²) d˜x^µd˜x^ν, (11)

Løsning FY3452 Gravitasjon og kosmologi, 24.05.2013 Side 3 av 4 where Λ_µ,ν≡_∂Λ

µ

∂x˜^ν

, and all terms on the right hand side is evaluated at ¯x. The difference betweenhµν(x) andhµν(¯x) is a contribution to the O(ε²)-terms. Hence we find

˜h_µν(˜x) =h_µν(˜x) + Λ_µ,ν(˜x) + Λ_ν,µ(˜x). (12) b) Vis at det er mulig ˚a velge Λ^µ(˜x) slik at

Vν(˜h)≡∂µ

˜h^µ_ν−1 2δ^µ_νh˜^λ_λ

= 0. (13)

I det følgende kan du anta at denne betingelsen allerede er oppfylt forhµν, dvs. atVν(h) = 0.

The requirement reduces to the equation

∂^µ∂_µΛ_ν+V_ν ≡Λ_ν+V_ν = 0, (14) whereVν=∂^µ hµν−¹₂ηµνh^λ_λ

. We may in principle always solve this equation for Λν. c) Bestem konneksjonskoeffisientene Γ^µ_νλtil første orden iε.

We find

Γ^µ_νλ= 1 2

h^µ_ν,λ+h^µ_λ,ν−∂^µh_νλ

ε+O(ε²). (15)

d) Vis at Riemann-tensoren kan uttrykkes p˚a formen R_µνλσ=1

2

h_µσ,νλ+h_νλ,µσ−h_νσµλ−h_µλ,νσ

ε+O(ε²). (16)

In matrix form the Riemann tensor is defined by the expression R_λσ=∂λΓ_σ−∂σΓ_λ+O(ε²), where

(R_λσ)^µ_ν≡R^µ_νλσ, (Γ_λ)^µ_ν ≡Γ^µ_νλ. Hence we find to orderε,

R^µ_νλσ =∂λΓ^µ_νσ−∂λΓ^µ_νλ=1 2

h^µ_σ,νλ+h_{νλ, σ}^µ −h_{νσ, λ}^µ −h^µ_λ,νσ ε,

and obtain (16) after lowering the µ-index.

e) Hver av de fire indeksene tilR_µνλσ kan ta fire verdier (0,1,2,3). Hvor mangeuavhengigekomponenter har R_µνλσfor en generell symmetriskhµν?

We see from (16) thatR_µνλσ is antisymmetric under the interchangeµν (keepingλ, σ fixed) andλσ(keepingµ, ν fixed), and symmetric under the interchange (µ, ν)(λ, σ).

For computation of independent components the pairs (µ, ν) and (λ, ν) may therefore be restricted to ¹₂×4×3 = 6 values each,

I, J= (0,1),(0,2),(0,3),(1,2),(1,3),(2,3),

and the Riemann tensor viewed as a symmetric 6×6 matrix RI,J. Such matrices has

1

2×6×7 = 21 independent elements. This is considered a sufficient answer.

Extra bonus to those who knows that there is one more independent restriction,

R₀₁₂₃+R₀₂₃₁+R₀₃₁₂= 0, (17) leaving20 independent components.

Løsning FY3452 Gravitasjon og kosmologi, 24.05.2013 Side 4 av 4 f ) Beregn Ricci-tensorenR_µν=R^λ_µλν. Bruk betingelsenVν(h) = 0 til ˚a forenkle uttrykket. Beregn Einstein-

tensorenG_µν=R_µν−η_µνR^λ_λmed den samme betingelsen.

By careful rewriting of indices, and contraction, we find from (16), R_µν =1

2

−h_µν+∂µVν(h) +∂νVµ(h)

ε. (18)

The last two terms vanishes when we use the conditionVν(h) = 0. Under the same condition we obtain

G_µν =−1

2ε¯h_µν+O(ε²), (19)

where

¯h_µν=h_µν−1

2η_µνh^λ_λ (20)

is called the trace-reversed metric. Note that the conditionV_ν(h) = 0 simplifies to∂_µ¯h^µ_ν= 0.

Some expressions which may be of use

Euler-Lagrange equations

The Euler-Lagrange equations for a field theory described by the LagrangianL=L(ϕa, ∂µϕa, x) are

∂µ

∂L

∂(∂µϕa)

= ∂L

∂ϕa

. (21)

The corresponding equations for point particle mechanics is obtained by restricting∂_µ to only a time derivative d/dt.

N¨ other’s theorem

Assume the action is invariant under the continuous transformations ϕa→ϕa+ε δϕa+O(ε²), more precisely thatL → L+ε ∂µΛ^µ+O(²) under this transformation. Then there is an associated conserved current,

J^µ= ∂L

∂(∂µϕa)δϕa−Λ^µ. (22)

I.e.,∂µJ^µ = 0. The corresponding expression for point particle mechanics is obtained by restricting

∂µ to only a time derivative d/dt.