Seksjonene 10.2-3: Vektorer

Seksjonene 10.2-3: Vektorer

Andreas Leopold Knutsen

22. mars 2010

Vektorer i R

Vektor= objekt med både størrelse (lengde) og retning.

Lengden til en vektorv betegnes med |v|

Nullvektoren0er vektoren med lengde null.

Eks. fra fysikk: fart, akselerasjon, kraft.

Vektorer i R

Vektor= objekt med både størrelse (lengde) og retning.

Lengden til en vektorv betegnes med |v|

Nullvektoren0er vektoren med lengde null.

Eks. fra fysikk: fart, akselerasjon, kraft.

Vektorer i R

Vektor= objekt med både størrelse (lengde) og retning.

Lengden til en vektorv betegnes med |v|

Nullvektoren0er vektoren med lengde null.

Eks. fra fysikk: fart, akselerasjon, kraft.

Vektorer i R

Vektor= objekt med både størrelse (lengde) og retning.

Lengden til en vektorv betegnes med |v|

Nullvektoren0er vektoren med lengde null.

Eks. fra fysikk: fart, akselerasjon, kraft.

Kan beskrives geometrisk med pil mellomstartpunktog endepunkt.

To vektorer er like⇐⇒de har samme lengde og retning.

(som f.eks. a,b,cover)

Konsekvens: startpunkt spiller ingen rolle, vi kan legge startpunkt i ethvert ønsket punkt, f.eks. origo.

Kan beskrives geometrisk med pil mellomstartpunktog endepunkt.

To vektorer er like⇐⇒de har samme lengde og retning.

(som f.eks. a,b,cover)

Konsekvens: startpunkt spiller ingen rolle, vi kan legge startpunkt i ethvert ønsket punkt, f.eks. origo.

Kan beskrives geometrisk med pil mellomstartpunktog endepunkt.

To vektorer er like⇐⇒de har samme lengde og retning.

(som f.eks. a,b,cover)

Konsekvens: startpunkt spiller ingen rolle, vi kan legge startpunkt i ethvert ønsket punkt, f.eks. origo.

Kan beskrives geometrisk med pil mellomstartpunktog endepunkt.

To vektorer er like⇐⇒de har samme lengde og retning.

(som f.eks. a,b,cover)

Konsekvens: startpunkt spiller ingen rolle, vi kan legge startpunkt i ethvert ønsket punkt, f.eks. origo.

Operasjon: vektoraddisjon

Addisjon av vektoreru+v.

Operasjon: vektoraddisjon

Addisjon av vektoreru+v.

Operasjon: Skalarmultiplikasjon

Multiplikasjon av vektorv med skalar(=reellt tall)c :

cv er vektoren med lengde|c||v|,med samme retning somv om c >0, og i motsatt retning omc <0.

F.eks. har vektoren(−1)u samme lengde som umen motsatt retning.

Vi skriver gjerne−uog kaller vektorenden motsatte vektoren tilu.

Operasjon: Skalarmultiplikasjon

Multiplikasjon av vektorv med skalar(=reellt tall)c :

cv er vektoren med lengde|c||v|,med samme retning somv om c >0, og i motsatt retning omc <0.

F.eks. har vektoren(−1)u samme lengde som umen motsatt retning.

Vi skriver gjerne−uog kaller vektorenden motsatte vektoren tilu.

Operasjon: Skalarmultiplikasjon

Multiplikasjon av vektorv med skalar(=reellt tall)c :

cv er vektoren med lengde|c||v|,med samme retning somv om c >0, og i motsatt retning omc <0.

F.eks. har vektoren(−1)u samme lengde som umen motsatt retning.

Vi skriver gjerne−uog kaller vektorenden motsatte vektoren tilu.

Operasjon: Skalarmultiplikasjon

Multiplikasjon av vektorv med skalar(=reellt tall)c :

cv er vektoren med lengde|c||v|,med samme retning somv om c >0, og i motsatt retning omc <0.

F.eks. har vektoren(−1)u samme lengde som umen motsatt retning.

Vi skriver gjerne−uog kaller vektorenden motsatte vektoren tilu.

Egenskaper til vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon

Kan vise at operasjonene oppfyller (u,v vektorer, k,l skalarer):

I u+v =v+u (kommutativitet)

I (u+v) +w=u+ (v+w) (assosiativitet)

I 0+u=u+0 (eksistens av nullvektor)

I u+ (−u) =0 (eksistens av negativ vektor)

I 1·u=u (eksistens av multiplikativ identitet)

I k(u+v) =ku+kv (distributive lover)

I (k+l)u=ku+lu

I k(lu) = (kl)u

Aksiomatisk definisjon (MAT121)

Egenskapene fra forrige side kan brukes som utgangspunkt for en aksiomatiskdefinisjon av vektorer:

Etvektorromer en mengde objekter, kalt vektorer, sammen med to operasjoner

I +mellom vektorer, som gir ny vektor som resultat; og

I ·mellom vektor og skalar, som også gir ny vektor som resultat og som oppfyller egenskapene over.

Skalarene kan være elementer fraR,C,Qo.l., og vi snakker da om vektorrom overR,C,Q osv.

Aksiomatisk definisjon (MAT121)

Egenskapene fra forrige side kan brukes som utgangspunkt for en aksiomatiskdefinisjon av vektorer:

Etvektorromer en mengde objekter, kalt vektorer, sammen med to operasjoner

I +mellom vektorer, som gir ny vektor som resultat; og

I ·mellom vektor og skalar, som også gir ny vektor som resultat og som oppfyller egenskapene over.

Skalarene kan være elementer fraR,C,Qo.l., og vi snakker da om vektorrom overR,C,Q osv.

Aksiomatisk definisjon (MAT121)

Egenskapene fra forrige side kan brukes som utgangspunkt for en aksiomatiskdefinisjon av vektorer:

Etvektorromer en mengde objekter, kalt vektorer, sammen med to operasjoner

I +mellom vektorer, som gir ny vektor som resultat; og

I ·mellom vektor og skalar, som også gir ny vektor som resultat og som oppfyller egenskapene over.

Skalarene kan være elementer fraR,C,Qo.l., og vi snakker da om vektorrom overR,C,Q osv.

Aksiomatisk definisjon (MAT121)

Egenskapene fra forrige side kan brukes som utgangspunkt for en aksiomatiskdefinisjon av vektorer:

Etvektorromer en mengde objekter, kalt vektorer, sammen med to operasjoner

I +mellom vektorer, som gir ny vektor som resultat; og

I ·mellom vektor og skalar, som også gir ny vektor som resultat og som oppfyller egenskapene over.

Skalarene kan være elementer fraR,C,Qo.l., og vi snakker da om vektorrom overR,C,Q osv.

Aksiomatisk definisjon (MAT121)

Egenskapene fra forrige side kan brukes som utgangspunkt for en aksiomatiskdefinisjon av vektorer:

Etvektorromer en mengde objekter, kalt vektorer, sammen med to operasjoner

I +mellom vektorer, som gir ny vektor som resultat; og

I ·mellom vektor og skalar, som også gir ny vektor som resultat og som oppfyller egenskapene over.

Skalarene kan være elementer fraR,C,Qo.l., og vi snakker da om vektorrom overR,C,Q osv.

Aksiomatisk definisjon (MAT121)

Egenskapene fra forrige side kan brukes som utgangspunkt for en aksiomatiskdefinisjon av vektorer:

Etvektorromer en mengde objekter, kalt vektorer, sammen med to operasjoner

I +mellom vektorer, som gir ny vektor som resultat; og

I ·mellom vektor og skalar, som også gir ny vektor som resultat og som oppfyller egenskapene over.

Skalarene kan være elementer fraR,C,Qo.l., og vi snakker da om vektorrom overR,C,Q osv.

Posisjonsvektor til punkt i R

•(a_x,a_y,a_z)

I Et punkt (a_x,a_y,a_z)definerer en vektor fra origo til punktet, som vi kaller posisjonsvektoren, og betegnes med

a=ha_x,a_y,a_zi.

I Lengden er|a|=q

a²_x+a_y²+a²_z.

I Kan skrive

a=a_xh1,0,0i+a_yh0,1,0i+a_zh0,0,1i=a_xi+a_yj+a_zk

Posisjonsvektor til punkt i R

•(a_x,a_y,a_z)

I Et punkt (a_x,a_y,a_z)definerer en vektor fra origo til punktet, som vi kaller posisjonsvektoren, og betegnes med

a=ha_x,a_y,a_zi.

I Lengden er|a|=q

a²_x+a_y²+a²_z.

I Kan skrive

a=a_xh1,0,0i+a_yh0,1,0i+a_zh0,0,1i=a_xi+a_yj+a_zk

Posisjonsvektor til punkt i R

•(a_x,a_y,a_z)

I Et punkt (a_x,a_y,a_z)definerer en vektor fra origo til punktet, som vi kaller posisjonsvektoren, og betegnes med

a=ha_x,a_y,a_zi.

I Lengden er|a|=q

a²_x+a_y²+a²_z.

I Kan skrive

a=a_xh1,0,0i+a_yh0,1,0i+a_zh0,0,1i=a_xi+a_yj+a_zk

Standardbasisvektorene

Vektorene

i=h1,0,0i j=h0,1,0i k=h0,0,1i kallesstandardbasisvektorenetilR³.

Alle vektorer iR³ kan uttrykkes som lineær kombinasjon av disse.

Standardbasisvektorene

Vektorene

i=h1,0,0i j=h0,1,0i k=h0,0,1i kallesstandardbasisvektorenetilR³.

Alle vektorer iR³ kan uttrykkes som lineær kombinasjon av disse.

Hvordan representere vektorer i R

?

Vektoren−−−→

P₁P₂ fra P₁(x₁,y₁,z₁)tilP₂(x₂,y₂,z₂) er gitt ved at

−−→OP₁+−−−→

P₁P₂=−−→

OP₂,dvs.

−−−→

P1P2 =−−→

OP2−−−→

OP1=hx₂−x1,y2−y1,z2−z1i.

Lengden er|−−−→ P1P2|=p

(x2−x1)²+ (y2−y1)²+ (z2−z1)²

Hvordan representere vektorer i R

?

Vektoren−−−→

P₁P₂ fra P₁(x₁,y₁,z₁)tilP₂(x₂,y₂,z₂) er gitt ved at

−−→OP₁+−−−→

P₁P₂=−−→

OP₂, dvs.

−−−→

P1P2 =−−→

OP2−−−→

OP1=hx₂−x1,y2−y1,z2−z1i.

Lengden er|−−−→ P1P2|=p

(x2−x1)²+ (y2−y1)²+ (z2−z1)²

Hvordan representere vektorer i R

?

Vektoren−−−→

P₁P₂ fra P₁(x₁,y₁,z₁)tilP₂(x₂,y₂,z₂) er gitt ved at

−−→OP₁+−−−→

P₁P₂=−−→

OP₂, dvs.

−−−→

P1P2 =−−→

OP2−−−→

OP1=hx₂−x1,y2−y1,z2−z1i.

Lengden er|−−−→ P1P2|=p

(x2−x1)²+ (y2−y1)²+ (z2−z1)²

Vektoroperasjoner i R

Regel: alt skjer komponentvis.

Hvisu=hu₁,u₂,u₃i og v=hv₁,v₂,v₃ier vektorer og c ∈Rer skalar, da er

I u+v=hu₁,u₂,u₃i+hv₁,v₂,v₃i=hu₁+v₁,u₂+v₂,u₃+v₃i;

I u−v=hu₁,u₂,u₃i − hv₁,v₂,v₃i=hu₁−v₁,u₂−v₂,u₃−v₃i;

I cu=hcu₁,cu₂,cu₃i.

Skalarprodukt

Skalarproduktetmellomu=hu₁,u₂,u₃i og v=hv₁,v₂,v₃i er u•v=u1·v1+u2·v2+u3·v3 ∈R.

Teorem 10.2.1:

u•v=|u| · |v|cosθ.

Spesielt:

u⊥v⇔u•v =0.

Skalarprodukt

Skalarproduktetmellomu=hu₁,u₂,u₃i og v=hv₁,v₂,v₃i er u•v=u1·v1+u2·v2+u3·v3 ∈R.

Teorem 10.2.1:

u•v=|u| · |v|cosθ.

Spesielt:

u⊥v⇔u•v =0.

Skalarprodukt

Skalarproduktetmellomu=hu₁,u₂,u₃i og v=hv₁,v₂,v₃i er u•v=u1·v1+u2·v2+u3·v3 ∈R.

Teorem 10.2.1:

u•v=|u| · |v|cosθ.

Spesielt:

u⊥v⇔u•v =0.

Egenskaper til skalarprodukt

Kan vise at skalarprodukt oppfyller følgende:

I u•v=v•u (kommutativitet)

I u•(v+w) =u•v+u•w (distributiv lov)

I u•u=|u|².

Eks: Arbeid i fysikk

Når kraft og forflytning skjer i samme retning er Arbeid=kraft·forflytning.

Generelt: KraftF og forflytningder vektorer og Arbeid=F·d=|F||d|cosθ.

Merk: |F|cosθ er lengden tilprojeksjonenav Flangs d.

Eks: Arbeid i fysikk

Når kraft og forflytning skjer i samme retning er Arbeid=kraft·forflytning.

Generelt: KraftF og forflytningder vektorer og Arbeid=F·d=|F||d|cosθ.

Merk: |F|cosθ er lengden tilprojeksjonenav Flangs d.

Eks: Arbeid i fysikk

Når kraft og forflytning skjer i samme retning er Arbeid=kraft·forflytning.

Generelt: KraftF og forflytningder vektorer og Arbeid=F·d=|F||d|cosθ.

Merk: |F|cosθ er lengden tilprojeksjonenav Flangs d.

Skalarprojeksjon

Skalarprojeksjonentilu langsv er scal_vu=|u|cosθ= u•v

|v|

Vektorprojeksjon

Vektorprojeksjonentilu langsv er vektoren med lengde scal_vui retningv, dvs.

proj_vu=u_v =scal_vu· v

|v| = u•v

|v| · v

|v| = u•v

|v|² v Merk: _|v|^v er vektor med lengde 1 langsv.

Vektorprojeksjon

Vektorprojeksjonentilu langsv er vektoren med lengde scal_vui retningv,dvs.

proj_vu=u_v =scal_vu· v

|v| = u•v

|v| · v

|v| = u•v

|v|² v Merk: _|v|^v er vektor med lengde 1 langsv.

Vektorprojeksjon

Vektorprojeksjonentilu langsv er vektoren med lengde scal_vui retningv, dvs.

proj_vu=u_v =scal_vu· v

|v| = u•v

|v| · v

|v| = u•v

|v|² v Merk: _|v|^v er vektor med lengde 1 langsv.

Vektorprojeksjon

Vektorprojeksjonentilu langsv er vektoren med lengde scal_vui retningv, dvs.

proj_vu=u_v =scal_vu· v

|v| = u•v

|v| · v

|v| = u•v

|v|² v Merk: _|v|^v er vektor med lengde 1 langsv.

Vektorprojeksjon

Vektorprojeksjonentilu langsv er vektoren med lengde scal_vui retningv, dvs.

proj_vu=u_v =scal_vu· v

|v| = u•v

|v| · v

|v| = u•v

|v|² v Merk: _|v|^v er vektor med lengde 1 langsv.

Vektorer i R

Alt vi har sagt hittil har sine naturlige generaliseringer til vektorer i Rⁿ, og til og med til vektorer i vilkårlige vektorrom. Men det som kommer nå (kryssprodukt) er kun definert iR³.

Motivasjon: dreiemoment=torque τ .

“Dreiekraften” τ avhenger av

I størrelsen på kraftenF som vi virker med;

I lengden |r|;

I vinkelenθ mellomF ogr.

Resultat: τ står normalt på både F og r, i retningen slik at r,F og τ danner et høyrehåndssystem og har lengde

|τ|=|F||r|sinθ.

Motivasjon: dreiemoment=torque τ .

“Dreiekraften” τ avhenger av

I størrelsen på kraftenF som vi virker med;

I lengden |r|;

I vinkelenθ mellomF ogr.

Resultat: τ står normalt på både F og r, i retningen slik at r,F og τ danner et høyrehåndssystem og har lengde

|τ|=|F||r|sinθ.

Motivasjon: dreiemoment=torque τ .

“Dreiekraften” τ avhenger av

I størrelsen på kraftenF som vi virker med;

I lengden |r|;

I vinkelenθ mellomF ogr.

Resultat: τ står normalt på både F og r, i retningen slik at r,F og τ danner et høyrehåndssystem og har lengde

|τ|=|F||r|sinθ.

Motivasjon: dreiemoment=torque τ .

“Dreiekraften” τ avhenger av

I størrelsen på kraftenF som vi virker med;

I lengden |r|;

I vinkelenθ mellomF ogr.

Resultat: τ står normalt på både F og r, i retningen slik at r,F og τ danner et høyrehåndssystem og har lengde

|τ|=|F||r|sinθ.

Motivasjon: dreiemoment=torque τ .

“Dreiekraften” τ avhenger av

I størrelsen på kraftenF som vi virker med;

I lengden |r|;

I vinkelenθ mellomF ogr.

Resultat: τ står normalt på både F og r, i retningen slik at r,F og τ danner et høyrehåndssystem og har lengde

|τ|=|F||r|sinθ.

Kryssprodukt i R

(kun i R

!!)

Kryssproduktetu×v er den entydige vektoren slik at

I u×v står normalt på både u og v, dvs.

(u×v)•u= (u×v)•v=0;

I u,v,u×v danner høyrehåndssystem;

I |u×v|=|u| |v| sinθ.

Spesielt: ukv⇔u×v=0.

Kryssprodukt i R

(kun i R

!!)

Kryssproduktetu×v er den entydige vektoren slik at

I u×v står normalt på både u og v, dvs.

(u×v)•u= (u×v)•v=0;

I u,v,u×v danner høyrehåndssystem;

I |u×v|=|u| |v| sinθ.

Spesielt: ukv⇔u×v=0.

Kryssprodukt i R

(kun i R

!!)

Kryssproduktetu×v er den entydige vektoren slik at

I u×v står normalt på både u og v, dvs.

(u×v)•u= (u×v)•v=0;

I u,v,u×v danner høyrehåndssystem;

I |u×v|=|u| |v| sinθ.

Spesielt: ukv⇔u×v=0.

Kryssprodukt i R

(kun i R

!!)

Kryssproduktetu×v er den entydige vektoren slik at

I u×v står normalt på både u og v, dvs.

(u×v)•u= (u×v)•v=0;

I u,v,u×v danner høyrehåndssystem;

I |u×v|=|u| |v| sinθ.

Spesielt: ukv⇔u×v=0.

Kryssprodukt i R

(kun i R

!!)

Kryssproduktetu×v er den entydige vektoren slik at

I u×v står normalt på både u og v, dvs.

(u×v)•u= (u×v)•v=0;

I u,v,u×v danner høyrehåndssystem;

I |u×v|=|u| |v| sinθ.

Spesielt: ukv⇔u×v=0.

Utregning av kryssprodukt i R

Teorem 10.3.2

u×v =hu₁,u₂,u₃i×hv₁,v₂,v₃i=hu₂v₃−u₃v₂,u₃v₁−u₁v₃,u₁v₂−u₂v₁i

=

i j k

u₁ u₂ u₃ v1 v2 v3

for de som kjenner til determinanter (MAT121).

Utregning av kryssprodukt i R

Teorem 10.3.2

u×v =hu₁,u₂,u₃i×hv₁,v₂,v₃i=hu₂v₃−u₃v₂,u₃v₁−u₁v₃,u₁v₂−u₂v₁i

=

i j k u₁ u₂ u₃ v1 v2 v3

for de som kjenner til determinanter (MAT121).

Egenskaper til kryssprodukt

Kan vise at kryssprodukt oppfyller følgende:

I u×v =−v×u(antikommutativitet)

I u×(v+w) =u×v+u×w (distributiv lov)

I (u+v)×w=u×w+v×w (distributiv lov)

I (cu)×v=u×(cv) =c(u×v)