Additive og subadditive funksjoner og Auslander-Reiten-quiver

Sammendrag

I denne oppgaven studerer vi Cartanmatriser, additive og subadditive funksjoner og trans- lasjonsquivre. Spesielt vil vi se hvordan additive og subadditive funksjoner er definert b˚ade for Cartanmatriser og for translasjonsquivre, og hvordan disse funksjonene gir re- striksjoner for Cartanklassen til et stabilt valuert sammenhengende translasjonsquiver som inneholder et periodisk hjørne. Videre vil vi bruke denne informasjonen til ˚a bevise at Cartanklassen til en komponent i det stabile Auslander-Reiten-quiveret over en Artinsk algebra som inneholder periodiske moduler er enten et Dynkindiagram ellerA_∞.

Summary

In this thesis we study Cartan matrices, additive and subadditive functions and translation quivers. In particular, we will show how additive and subadditive functions are defined for both Cartan matrices and translation quivers, and how these functions restricts the Cartan class of a stable valued connected translation quiver containing a periodic vertex.

We will then use this information to prove that the Cartan class of a component of the stable Auslander-Reiten quiver over an Artin algebra containing periodic modules is either a Dynkin diagram orA_∞.

Forord

Denne oppgaven markerer slutten p˚a min tid som student ved Lektorutdanningen i realfag p˚a NTNU.

Først og fremst vil jeg rette en stor takk til professor Øyvind Solberg for hjelp med ˚a velge et spennende og interessant tema til oppgaven, og for veldig god veiledning under- veis. Jeg er imponert over din t˚almodighet og din evne til ˚a gi gode forklaringer n˚ar det er ting jeg ikke har forst˚att.

Jeg vil ogs˚a takke gode venner p˚a Matteland for hjelp med ˚a holde holde humøret oppe underveis i prosessen.

Til slutt vil jeg takke mamma og pappa for god oppfølging i oppveksten. Uten dere er det ikke sikkert jeg hadde kommet s˚a langt som jeg har kommet.

Sigurd G. Lyngroth Trondheim, 27.11.16

Innhold

Innledning 1

1 Moduler 3

1.1 Radikal, idempotenter og ikke-dekomponerbare moduler . . . 3 1.2 Projektive og injektive moduler . . . 10

2 Introduksjon til quivre 15

2.1 Quiver . . . 15 2.2 Representasjoner og anvendelser . . . 18

3 Introduksjon til Dynkindiagrammer 25

3.1 Cartanmatriser og diagrammer . . . 25 3.2 Resultater . . . 29

4 Auslander-Reiten-teori 33

4.1 Nesten splitte eksakte sekvenser . . . 33 4.2 Auslander-Reiten-translasjonen og eksistens av

nesten splitte eksakte sekvenser . . . 39 4.3 Auslander-Reiten-quiver . . . 45

5 Anvendelser 53

5.1 Translasjonsquivre uten valuasjon . . . 53 5.2 Translasjonsquivre med valuasjon . . . 56 5.3 Cartanklassen til et translasjonsquiver . . . 59

A Kategorier og funktorer 63

Bibliography 67

Innledning

Hovedm˚alet med denne oppgaven er ˚a bevise at Cartanklassen til en komponent i det stabile Auslander-Reiten-quiveret over en Artinsk algebra som inneholder periodiske mo- duler enten er et Dynkindiagram ellerA_∞.

Det forventes at leseren er kjent med grunnleggende egenskaper ved ringer og moduler, tilsvarende faget MA3201 Ringer og moduler p˚a NTNU. Det vil si at leseren m˚a ha vært borti temaer som homomorfier, direktesummer, eksakte sekvenser, Noeterske og Artinske ringer og moduler, Wedderburn-Artin-teoremet, komposisjonsrekker og Jordan-H¨older- teoremet.

De tre første kapitlene i oppgaven har som m˚al ˚a gi en grunnleggende forst˚aelse av henholdsvis moduler, quivre og Dynkindiagrammer. Her presenteres teori som vil bli brukt i de to siste kapitlene.

Kapittel 4 vil gi en innføring i nesten splitte eksakte sekvenser og hvordan disse kan brukes til ˚a konstruere Auslander-Reiten-quivre. Vi vil ogs˚a se p˚a konkrete eksempler der vi konstruerer slike.

I kapittel 5 vil vi starte med ˚a se p˚a flere egenskaper ved translasjonsquivre, før vi til slutt ser hvordan additive og subadditive funksjoner for translasjonsquiveret gir be- grensninger for Cartanklassen til et stabilt valuert sammenhengende translasjonsquiver som inneholder et periodisk hjørne. Vi vil s˚a anvende dette p˚a en komponent i det stabile Auslander-Reiten-quiveret over en Artinsk algebra som inneholder periodiske moduler.

En kort innføring i kategorier og funktorer finnes i Tillegg A. Hvis leseren ikke har vært borti kategorier og funktorer tidligere, anbefales det ˚a lese Tillegg A før resten av oppgaven leses.

Kapittel 0. Innledning

Kapittel 1

Moduler

I dette kapittelet beskriver vi grunnleggende egenskaper ved moduler. Vi starter med ˚a se p˚a radikalet til en modul og til en algebra, før vi fortsetter med ˚a se p˚a idempotenter, ikke-dekomponerbare moduler og projektive og injektive moduler.

Gjennom hele dette kapittelet vilK være en algebraisk lukket kropp og A en K- algebra hvis ikke noe annet er oppgitt.

1.1 Radikal, idempotenter og ikke-dekomponerbare mo- duler

Vi innleder denne delen med ˚a beskrive noen grunnleggende morfier for moduler. Tidligere har vi sett homomorfier og isomorfier. Vi vil n˚a definere monomorfi, epimorfi, isomorfi, endomorfi og automorfi. Disse vil g˚a igjen gjennom hele oppgaven.

Definisjon 1.1.1. LaM ogNvære moduler iModA, ogh:M −→Nogg:M −→M toA-modulhomomorfier.

(a) Lah:M −→N være enA-modulhomomorfi. Vi sier ather enmonomorfi(eller epimorfi) hvis den er injektiv (eller surjektiv). Dersomhb˚ade er en monomorfi og en epimorfi, erhenisomorfi.

(b) Lag:M −→Mvære enA-modulhomomorfi. Vi sier atger enendomorfi. Dersom ger en isomorf avbildning fraM tilM, sier vi atger enautomorfi.

Vi forsetter med ˚a se p˚a radikalet til en algebra og radikalet til en modul.

Definisjon 1.1.2. LaAvære enK-algebra.Radikalet til en algebraradAer snittet av alle de maksimale høyre idealene iA.

Vi larr= radAbetegne radikalet tilA.

Definisjon 1.1.3. LaMvære en modul iModA.Radikalet til en modulradM er snittet av alle de maksimale undermodulene tilM.

Kapittel 1. Moduler

Den neste proposisjonen viser nyttige sammenhenger mellom radikalet til en algebra og radikalet til en modul.

Proposisjon 1.1.4. Anta atL,M ogNer moduler imodA.

(a) Et elementm∈M tilhørerradM hvis og bare hvisf(m) = 0for hvilken som helst f ∈HomA(M, S)og hvilken som helst simpel modulS.

(b) rad(M ⊕N) = radM⊕radN.

(c) Hvisf ∈Hom_A(M, N), s˚a erf(radM)⊆radN.

(d) MradA= radM.

(e) Anta atLogM erA-undermoduler avN. HvisL⊆radNogL+M =N, s˚a er M =N.

Bevis. Vi ser p˚a hvert punkt for seg.

(a) Følger direkte fra definisjonen, sidenL ⊆M er en maksimal undermodul hvis og bare hvisM/Ler simpel.

(b) Følger direkte fra (a).

(c) Følger direkte fra (a).

(d) Vi viser dette ved først ˚a vise at MradA ⊆ radM og deretter at radM ⊆ MradA. Lam∈M og definer en homomorfifm:A−→M av høyreA-moduler ved formelenfm(a) =mafora∈A. Det følger fra (c) at fora∈radAf˚ar vi

ma=f_m(a)∈f_m(radA)⊆radM, og derfor erMradA⊆radM.

For ˚a vise inklusjonenradM ⊆MradAmerker vi oss først at(M/MradA) radA

= 0. Det følger atA-modulenM/MradAer en modul over algebraenA/radA med respekt p˚a virkningen

(m+MradA)·(a+ radA) =ma+MradA.

Det følger fra Wedderburn-Artin-teoremet at algebraenA/radAer semisimpel og at den endeligdimensjonaleA/radA-modulen M/MradA er en direktesum av simple moduler. Siden radikalet til hvilken som helst simpel modul er null, følger det fra (b) atrad(M/MradA) = 0. Ved (c) vet vi at den kanoniskeA-modulepimorfien π: M −→M/MradAsenderradM til null, det vil si at

radM ⊆Kerπ=MradA, og vi er ferdige.

(e) Anta atL⊆radN ogL+M =N, og at dette girM 6=N. SidenN er endelig- dimensjonal, erM en undermodul av en maksimal undermodulX 6=NtilN. Det følger atL⊆radN ⊆X og vi f˚ar

N =L+M ⊆X+M =X, som strider mot antagelsen v˚ar.

1.1 Radikal, idempotenter og ikke-dekomponerbare moduler

Senere vil radikalet bli mye brukt i ulike resultater og beviser. En modulMog radikalet tilM bestemmer sammen toppen tilM.

Definisjon 1.1.5. LaM være en modul. Modulen topM =M/radM kallestoppentilM.

Vi vet at komposisjonsrekka til en endeliggenerert modul er entydig bestemt. Den neste definisjonen viser hvordan vi bruker dette til ˚a definere lengden til en modul.

Definisjon 1.1.6. LaM være en modul imodAogSen simpelA-modul. La videreF være en komposisjonsrekke forM. Vi definerer

m^F_s(M) =|{i|M_i/M_i+1∼=S}|

og

l(M) =X

[S]

m^F_S(M).

Vi kallerl(M)forlengden tilM.

Siden komposisjonsrekka til M er entydig bestemt, er ogs˚a lengden tilM entydig bestemt. Vi ønsker n˚a ˚a g˚a nærmere inn p˚a dekomponeringen av moduler. Vi starter med ˚a definere ikke-dekomponerbare moduler.

Definisjon 1.1.7. LaM 6= (0)være en modul iModA. ModulenMkallesikke-dekomponerbar hvis

M =M1⊕M2

impliserer atM1= (0)ellerM2= (0).

Senere vil vi se metoder for ˚a finne ulike typer ikke-dekomponerbare moduler. Vi vil ogs˚a se p˚a Auslander-Reiten-quivre, der hjørnene er ikke-dekomponerbare moduler og pilene er spesielle homomorfier mellom disse. Før vi g˚ar videre med moduler m˚a vi se p˚a en spesiell type elementer iA.

Definisjon 1.1.8. Et elemente ∈ Akalles en idempotenthvise² = e. Hvis vi har to idempotentere1, e2 ∈A, sier vi ate1oge2erortogonaledersome1e2 =e2e1 = 0. En idempotent kallesprimitivdersom den ikke kan skrives som en sume=e1+e2, hvore1

oge2er ikke-null ortogonale idempotetenter iA.

SidenAer en endeligdimensjonal algebra, kan modulenM_A dekomponeres i en di- rektesum av ikke-dekomponerbare maksimale idealer (se [1, side 18]). Vi f˚ar

M_A=P₁⊕ · · · ⊕P_n,

derP_ier er ikke-dekomponerbare høyre idealer fori= 1, . . . , n. Ved ˚a bruke idempotenter iA, ser vi atP1 =e1A, . . . , Pn =enA, hvore1, . . . , ener primitive, parvis ortogonale idempotenter iA, slik at1 =e1+· · ·+en.

Kapittel 1. Moduler

Definisjon 1.1.9. En mengde idempotenter som beskrevet over kalles enfullstendig meng- deav primitive ortogonale idempotenter iA.

En fullstendig mengde av primitive ortogonale idempotenter gir opphav til en spesiell type algebra.

Definisjon 1.1.10. Anta atA er enK-algebra med en fullstendig mengde av primitive ortogonale idempotenter. AlgebraenAkallesbasiskhvise_iAe_jAfor allei6=j.

Den neste proposisjonen viser noen sammenhenger vi vil ha bruk for senere.

Proposisjon 1.1.11. LaB =A/radA.De følgende p˚astandene holder:

(a) Hvert høyre idealIiBer en direktesum av simple høyre idealer p˚a formeneB, hvor eer en primitiv idempotent iB. Spesielt er den høyreB-modulenBBsemisimpel.

(b) Hvilken som helst modulNimodBer isomorf med en direktesum av simple høyre idealer p˚a formeneB, hvoreer en primitiv idempotent iB.

(c) Hvis e ∈ A er en primitiv idempotent i A, s˚a er B-modulen topeA simpel og radeA=eradA⊂eAer den entydige maksimale ekte undermodulen tileA.

Bevis. Se [1, Theorem I.4.5].

Vi ser p˚a et resultat om sammenhengen mellom lokale ringer og idempotenter før vi vender tilbake til ikke-dekomponerbare moduler.

Proposisjon 1.1.12. En lokal ringAhar 0 og 1 som de eneste idempotentene.

Bevis. LaAvære en lokal ring med entydig maksimalt idealJ. Hvert element som ikke ligger iJ er en enhet, og hvisa∈J, s˚a er1−aen enhet. Lae∈Avære en idempotent.

Da er0 =e²−e=e(e−1). Hvise∈Js˚a er1−een enhet og dermed ikke en nulldivisor.

Dermed ere= 0. Hvise6∈J s˚a ereen enhet og dermed ikke en nulldivisor. Dermed er 1−e= 0, s˚ae= 1.

V˚art neste m˚al er ˚a bevise at alle moduler kan dekomponeres p˚a en entydig m˚ate. Før vi kan bevise dette trenger vi noen flere resultater.

Lemma 1.1.13. LaAvære en ring,M enA-modul medl(M)≤ ∞ogφ∈EndM. Da finnesn∈Nslik at

M = Imφⁿ⊕Kerφⁿ.

Bevis. Sidenl(M)<∞, vet vi atM er Artinsk og Noethersk. Det vil si at kjedene Imφ⊇Imφ²⊇. . . ,

og

Kerφ⊆Kerφ²⊆. . . blir stasjonære. Det m˚a derfor finnesn∈Nslik at

Imφⁿ= Imφⁿ⁺¹=. . .

1.1 Radikal, idempotenter og ikke-dekomponerbare moduler og

Kerφⁿ= Kerφⁿ⁺¹=. . . .

Siden Imφⁿ,Kerφⁿ ⊆ M, m˚a vi ha l(Imφⁿ) < ∞. Derfor har vi l(Imφⁿ) = l(Imφ²ⁿ). I tillegg vet vi atφⁿ: Imφⁿ −→ Imφ²ⁿ er surjektiv. Sammen gir dette at φⁿ: Imφⁿ −→Imφ²ⁿer en isomorfi, og vi larψ: Imφ²ⁿ−→Imφⁿ være inversen til φⁿ.

N˚a ønsker vi ˚a vise atM = Imφⁿ+ Kerφⁿ. Lam∈M. Vi kan skrive m=ψφⁿ(m) +m−ψφⁿ(m).

Her ser vi atψφⁿ(m)∈Imφⁿ. I tillegg ser vi at

φⁿ(m−ψφⁿ(m)) =φⁿ(m)−φⁿψφⁿ(m)) =φⁿ(m)−φⁿ(m) = 0.

Alts˚a erm−ψφⁿ(m) ∈Kerφⁿ. Vi har n˚a vist atM = Imφⁿ+ Kerφⁿ. For ˚a vise at dette er en direktesum, m˚a vi ogs˚a vise atImφⁿ∩Kerφⁿ = (0). Lam∈Imφⁿ∩Kerφⁿ. Da erm=φⁿ(m⁰)for noenm⁰∈M. Vi vet ogs˚a atm∈Kerφⁿ, s˚a

0 =φⁿ(m) =φ²ⁿ(m⁰)

⇒m⁰ ∈Kerφ²ⁿ= Kerφⁿ

⇒m=φⁿ(m⁰) = 0.

Dermed er lemmaet bevist.

Det neste teoremet viser sammenhengen mellom en ikke-dekomponerbar modulMog endomorfismeringenEndM.

Teorem 1.1.14. LaAvære en høyre Artinsk ring ogM en endeliggenerertA-modul. Da erM ikke-dekomponerbar hvis og bare hvisEndM er lokal.

Bevis. Vi begynner med ˚a vise atEndMer lokal impliserer atMer en ikke-dekomponerbar modul. HvisMkan dekomponeres somM =X1⊕X2, der verkenX1ellerX2er nullmo- dulen, finnes det projeksjonerp_i:M −→X_iog injeksjoneru_i:X_i−→M (fori= 1,2), slik atu₁p₁+u₂p₂ = 1_M. Siden b˚adeu₁p₁ogu₂p₂er ikke-null idempotenter iEndM, er algebraenEndM ikke lokal. Hvis dette ikke var tilfellet ville1_M tilhøre det entydige maksimale idealet tilEndM, en motsigelse.

Videre ser vi p˚a det motsatte tilfellet. Anta at M er ikke-dekomponerbar. La φ ∈ EndM være ikke-inverterbar. Da erl(Imφ) < l(M), og for alleψ ∈ EndM er kom- posisjonenψφikke-inverterbar. Da erl(Im(ψφ))≤l(Imφ).Fra Lemma 1.1.13 vet vi at M = Im(ψφ)ⁿ⊕Ker(ψφ)ⁿ. SidenM er ikke-dekomponerbar, m˚a vi enten ha

Im(ψφ)ⁿ= (0) og Ker(ψφ)ⁿ=M eller

Im(ψφ)ⁿ=M og Ker(ψφ)ⁿ= (0).

Kapittel 1. Moduler

Sidenl(Imφ)< l(Im(M)), m˚a vi haIm(ψφ)ⁿ(M. Dette betyr at vi m˚a haIm(ψφ)ⁿ= (0)ogψφer nilpotent.

⇒1M −ψφer inverterbar iEndM for alleψ∈EndM

⇒φ∈rad EndM ⊆ {ikke-inverterbare elementer iEndM}

⇒EndM er lokal.

Vi er n˚a klare for ˚a bevise at dekomponeringen av endeliggenererte moduler er entydig.

Teorem 1.1.15. LaAvære en høyre Artinsk ring ogMen modul imodA.

(a) M kan skrives som en endelig direktesum av ikke-dekomponerbare moduler, dvs.

M =

n

M

i=1

M_i, medMidekomponerbar for allei.

(b) Komposisjonen avM til ikke-dekomponerbare moduler er entydig opp til isomorfi og rekkefølge.

Bevis. (a) Vi bruker induksjon p˚a l(M). Hvis l(M) = 1, er M simpel og dermed ikke-dekomponerbar. Dermed er p˚astanden i (a) sann. Anta at (a) er sann for alle A-modulerX, medl(X) < n. Antal(M) = n. HvisM er ikke-dekomponerbar, er vi ferdige. Hvis derimotM lar seg dekomponere, slik atM =M1⊕M2, har vi l(Mi)< l(M)fori= 1,2. Da vet vi at (a) gjelder forM1ogM2, og (a) følger ved induksjon.

(b) Vi bruker induksjon p˚al(M)her ogs˚a. Anta at M =

n

M

i=1

M_i =

m

M

j=1

N_j,

medMi og Nj ikke-dekomponerbare for alle i, j. Hvisl(M) = 1er p˚astanden sann, sidenMer simpel og derfor ikke-dekomponerbar. Anta at utsagnet er sant for alle modulerX, medl(X)< n. Lal(M) =n. La henholdsvisφsrogψrsbetegne komposisjonene

M_r,→

n

M

i=1

M_i=

m

M

j=1

N_jN_s og

N_s,→

m

M

j=1

N_j =

n

M

i=1

M_iM_r. Da er

m

X

s=1

ψisφsi= 1M_i.

1.1 Radikal, idempotenter og ikke-dekomponerbare moduler SidenEndM_ier lokal, finnesjslik atψ_ijφ_jier en isomorfi. Hvis

φjiψij: Nj−→Nj

er irad EndNj, s˚a følger det fra Lemma 1.1.13 at det finnest∈Nslik atφjiψijer nilpotent,(φjiψij)^t= 0. Da er

(ψ_ijφ_ji)^t+1=ψ_ij(φ_jiψ_ij)^tφ_ji= 0.

Dette er en motsigelsen, s˚a vi f˚ar dermed atψijφjier en isomorfi og videre at b˚ade φjiogψijer isomorfier. Vi har

M

n

L

r=1

M_r

m

L

s=1

N_s M

Mi⊕Mˆi Nj⊕Nˆj

Mi⊕Mˆi Nj⊕Nˆj

1M = (φji)

B =

φji a b c

A C=

1M_i −φ⁻¹_ji a 0 1M˜_i

∼ ∼

1N_j 0

−bφ⁻¹_ji 1N˜i

=D

Her har vi laget avbildningenea: ˆM_i −→ N_j,b: M_i −→Nˆ_j ogc: ˆM_i −→ Nˆ_j. Siden

n

M

r=1

Mr=Mi⊕Mˆi

og

m

M

s=1

Ns=Nj⊕Nˆj,

ogφjier en isomorfi mellom dem, ser vi atBm˚a være en isomorfi. Videre ser vi at Am˚a være en isomorfi sidenB,CogDer isomorfier.

A=

1_Nj 0

−bφ⁻¹_ji 1N˜_i

φji a b c

1Mi −φ⁻¹_ji a 0 1M˜i

=

1N_j 0

−bφ⁻¹_ji 1N˜i

φji 0 b −bφ⁻¹_ji a+c

=

φji 0 0 −bφ⁻¹_ji a+c

Her erφjiogc˜=−bφ⁻¹_ji a+cisomorfier, og˜c: ˆMi −→Nˆj. Siden i tilleggl( ˆMi)<

l(M)vet vi at p˚astanden er sann forMˆi. SidenMi∼=Njer teoremet bevist.

Kapittel 1. Moduler

1.2 Projektive og injektive moduler

I denne delen skal vi se p˚a definisjonen av projektive og injektive moduler. Før vi kan sette i gang med dette trenger vi litt om eksakte sekvenser.

Definisjon 1.2.1. La h: M −→ N og u: L −→ M være homomorfier av høyre A- moduler. Vi kaller enA-homomorfis:N −→Mensplitt monomorfitilhhvishs= 1N, og vi kaller enA-homomorfir:M −→Lensplitt epimorfitiluhvisru= 1L.

Hvisser en splitt monomorfi tilh, s˚a erhsurjektiv,sinjektiv, og det finnes en direk- tesumdekomposisjon

M = Ims⊕Kerh∼=N⊕Kerh,

ogher en splitt epimorfi tils. P˚a samme m˚ate, hvisrer en splitt epimorfi tilu, s˚a errsur- jektiv,uinjektiv,uer en splitt monomorfi tilrog det finnes en direktesumdekomposisjon

M = Imu⊕Kerr∼=L⊕Kerr.

Vi ser med dette ath:M −→Ner en splitt monomorfi (eller splitt epimorfi) hvishtillater en splitt epimorfi (eller splitt monomorfi).

Vi har tidligere sett generelle eksakte sekvenser. N˚a vil vi se p˚a en mer spesifikk type.

Definisjon 1.2.2. En sekvens

· · · −→X_n−1^h−→ⁿ⁻¹Xn h_n

−→Xn+1 h_n+1

−→ Xn+2−→ · · ·

(endelig eller uendelig) av høyreA-moduler forbundet medA-homomorfier kalles enek- sakt sekvenshvisKerhn= Imhn−1for allen. Spesielt kalles

0−→L−→^u M −→^r N −→0

enkort eksakt sekvenshvisuer en monomorfi,rer en epimorfi ogKerr= Imu.

Merk at homomorfienutillater en splitt epimorfip: M −→ L hvis og bare hvisr tillater en splitt monomorfiv:N −→M.

Definisjon 1.2.3. La

0−→L−→^u M −→^r N −→0

være en kort eksakt sekvens, og lap:M −→Lvære en splitt epimorfi foruogv:N −→

M være en splitt monomorfi forr. Da finnes det en direktesumdekomposisjon M = Imu⊕Kerp= Imv⊕Kerr

avM, og vi sier at den korte eksakte sekvensensplitter.

Vi vil komme tilbake til eksakte sekvenser i Kapittel 4. Disse vil spille en viktig rolle i konstruksjon av Auslander-Reiten-quiveret til en endeligdimensjonal algebra.

Vi er n˚a klare for ˚a definere projektive moduler. Presentasjonen som blir gitt i dette kapittelet er veldig kort, og bare de mest grunnleggende egenskapene blir presentert.

1.2 Projektive og injektive moduler Definisjon 1.2.4. LaP være en modul iModA. ModulenP erprojektivhvis det for enhver epimorfi h: M −→ N av A-moduler og enhver A-homomorfi f: P −→ N, finnes en homomorfif⁰:P−→M slik at

P

M N 0

f

h f⁰

kommuterer.

Vi ønsker n˚a ˚a presentere noen egenskaper knyttet til projektive moduler. Vi begynner med ˚a definere en spesiell type epimorfier.

Definisjon 1.2.5. LaM ogN være moduler imodA. Da kallesf:M −→N enessen- siell epimorfihvisf er en epimorfi og hvisg:X −→M er slik atf g:X −→Ner p˚a, s˚a erg:X −→M ogs˚a p˚a.

X

A f B

g f g

Det er mulig ˚a vise atf er en essensiell epimorfi hvis og bare hvisKerf ⊆rM, der r= radA(se [2, Proposition I.3.6]). Dette gjør det enklere ˚a undersøke omfer essensiell.

Definisjon 1.2.6. Laf:P −→M være enA-homomorfi. Vi sier atf: P −→ M er et projektivt dekke tilM hvisPer projektiv ogfer en essensiell epimorfi.

LaA være en endeligdimensjonalK-algebra og laA_A = e₁A⊕ · · · ⊕e_nA, hvor {e1, . . . , en}er en fullstendig mengde av primitive ortogonale idempotenter iA. Det er mulig ˚a vise at det for en projektiv modulPimodAalltid finnes et projektivt dekke og at dette er entydig bestemt avP(se [1, Theorem I.5.8]).

Definisjon 1.2.7. En eksakt sekvens

P₁−→^p1 P₀−→^p0 M −→0

imodAkalles enminimal projektiv presentasjontil enA-modul hvisA-modulhomomorfien p₀: P₀ −→ M og den induserte avbildningen avp₁gitt vedP₁ −→Imp₁ = Kerp₀er projektive dekker.

Vi vil n˚a se p˚a injektive moduler.

Kapittel 1. Moduler

Definisjon 1.2.8. LaIvære en modul iModA. Vi sier atIerinjektivhvis det for enhver monomorfi u: L −→ M, medL, M ∈ ModA, og enhver A-homomorfi g: L −→ I, finnes en homomorfig⁰:M −→Islik at

0 L M

I u

g g⁰

kommuterer.

Vi fortsetter med noen flere definisjoner.

Definisjon 1.2.9. LaB ⊆X væreA-moduler.

(a) Da erBenessensiell undermodul tilX, hvis vi for hver ikke-null undermodulC avXhar atB∩C6= (0).

(b) En monomorfii: B −→ X eressensiellhvisi(A)er en essensiell undermodul til X.

(c) En monomorfii:B −→Ier eninjektiv innhylninghvis b˚adeIer injektiv ogier en er en essensiell epimorfi.

Det siste vi definerer i dette kapittelet er sokkelen til en modul.

Definisjon 1.2.10. LaM være en høyreA-modul. Summen av alle de simple undermo- dulene tilM kallessokkelentilM, og den betegnes medsocM.

Vi skal n˚a se at det vi vet om egenskapene til en modul gir nyttig informasjon om egenskapene til dualet til modulen.

Teorem 1.2.11. LaD: modA−→modA^opvære standarddualitetenD(−) = Hom_K(−, K).

Da holder følgende p˚astander.

(a) En sekvens

0−→L−→^u N −→^h M −→0 imodAer eksakt hvis og bare hvis sekvensen

0−→D(M)^D(h)−→ D(N)^D(u)−→ D(L)−→0 er eksakt imodA^op.

(b) En modul E i modA er injektiv hvis og bare hvis modulen D(E) er projektiv i modA^op. En modulP i modAer projektiv hvis og bare hvis modulenD(P)er injektiv iA^op.

(c) En modulSimodAer simpel hvis og bare hvis modulenD(S)er simpel imodA^op.

1.2 Projektive og injektive moduler (d) En monomorfiu: M −→ E imodAer en injektiv innhylning hvis og bare hvis epimorfienD(u) :D(E)−→D(M)er et projektivt dekke imodA^op. En epimorfi h:P −→ M imodAer et projektivt dekke hvis og bare hvisD(h) :D(M) −→

D(P)er en injektiv innhylning imodA^op. Bevis. Se [1, Theorem I.5.13].

Projektive og injektive moduler blir en viktig del av denne oppgaven. Metoden for ˚a regne ut de ikke-demponerbare projektive og injektive modulene blir presentert i Kapittel 2. Vi avslutter dette kapittelet med et teorem som vil være til stor nytte n˚ar vi skal regne ut denne typen moduler.

Korollar 1.2.12. Anta atAA = e1A ⊕ · · · ⊕enA er en dekomposisjon avA i ikke- dekomponerbare undermoduler.

(a) Enhver simpel høyreA-modul er isomorf med ´en av modulene S(1) = tope₁A, . . . , S(n) = tope_nA.

(b) Enhver ikke-dekomponerbar projektiv høyreA-modul er isomorf med ´en av modu- lene

P(1) =e1A, . . . , P(n) =enA Videre ereiA∼=ejAhvis og bare hvisS(i)∼=S(j).

(c) Enhver ikke-dekomponerbar injektiv høyreA-modul er isomorf med ´en av modulene I(1) =D(Ae1)∼=E(S(1)), . . . , I(n) =D(Aen)∼=E(S(n)),

derE(S(j))er den injektive innhylningen til en simpel modulS(j).

Bevis. Se [1, Corollary I.5.17].

Kapittel 1. Moduler

Kapittel 2

Introduksjon til quivre

I dette kapittelet vil vi presentere et annet nyttig verktøy; quivre. Vi vil se p˚a hvordan quiverne kan hjelpe oss med ˚a visualisere abstrakte konsepter, og at vi vil bruke quivre til

˚a bestemme ikke-dekomponerbare projektive og injektive moduler.

2.1 Quiver

Vi starter med ˚a definere hva et quiver er.

Definisjon 2.1.1. EtquiverQ = (Q₀, Q₁, s, t)er en orientert graf, derQ₀er mengden av alle hjørnene til grafen ogQ₁er mengden av alle pilene mellom hjørner. Vi har ogs˚a for hvert quiver to avbildningers, t:Q₁−→Q₀som for hver pilα∈Q₁gir henholdsvis pilaskildes(α)∈Q0ogm˚alt(α)∈Q0. Vi sier at quiveret erendeligdersom b˚adeQ0

ogQ1er endelige mengder.

N˚ar vi beskriver et quiver pleier vi som regel ˚a skriveQ = (Q₀, Q₁)eller bareQi stedet forQ= (Q₀, Q₁, s, t).Dersom en pilα∈Q₁har kildes(α) =aog m˚alt(α) =b, er det vanlig ˚a bare skriveα:a−→b. Det er da underforst˚att at pila starter i hjørneaog ender i hjørneb.

Eksempel 2.1.2. Vi vil n˚a se p˚a to enkle quivre.

(a) 1−→^α 2−→^β 3 (b)

1

2 3

4

α β

γ δ

Kapittel 2. Introduksjon til quivre

Vi ser at quiveret i (a) harQ₀ ={1,2,3}ogQ₁ ={α, β}. Quiveret i (b) harQ₀ = {1,2,3,4}ogQ₁={α, β, γ, δ}.

Definisjon 2.1.3. Et underquiver til et quiverQ = (Q0, Q1, s, t) er et quiverQ⁰ = (Q⁰₀, Q⁰₁, s⁰, t⁰)slik atQ⁰₀ ⊆ Q₀,Q⁰₁ ⊆ Q₁ og hvis α: a −→ b er en pil iQ₁ slik at α∈Q⁰₁oga, b∈Q⁰₀, s˚a ers⁰(α) =aogt⁰(α) =b, Et slikt underquiver kallesfullthvis Q⁰₁er lik mengden av alle piler iQ₁som b˚ade har kilde og m˚al iQ⁰₁, dvs. at

Q⁰₁={α∈Q₁|s(α)ogt(α)∈Q₀}.

Det er ikke alltid vi er interessert i orienteringen til en pilα:a−→b∈Q1mellom to hjørnera, b∈Q₀. Vi lar daQbetegne quiveret derQ₀ =Q₀og hver pil iQer byttet ut med kant iQ.

Definisjon 2.1.4. Et quiverQkallessammenhengendehvis alle hjørner i den tilhørende grafen er knyttet sammen.

Vi vil n˚a definere hva vi vil mene med en vei i et quiver.

Definisjon 2.1.5. LaQ = (Q0, Q1)være et quiver, og laa, b ∈Q0. Det finnes to typer veieriQ:

(a) Enikke-triviell veiαav lengdel≥1med kildeaog m˚alb, er en sekvens av piler α₁, α₂, . . . , α_l∈Q₁

a= 1−→^α1 2−→ · · ·^α2 −→^αl l=b,

slik ats(α₁) =a,t(α_k) =s(α_k+1)for1≤k < logt(α_l) =b. Vi bruker vanligvis notasjonen

α= (b|α_l, . . . , α₂, α₁|a) for ˚a beskrive en ikke-triviell vei fraatilb.

(b) Entriviell veiav lengdel= 0. Det finnes for hvert hjørnei∈Q₀en triviell vei, og denne veien betegnese_i. Sidene_i har lengdel = 0, ers(e_i) = i =t(e_i). For en triviell vei bruker vi notasjonen

e_i= (i||i).

Hvis vi ser tilbake p˚a Eksempel 2.1.2, ser vi at vi i (a) har de trivielle veienee₁, e₂og e₃og de ikke-trivielle veieneαogβ av lengdel = 1ogβα = (3 |β, α | 1)av lengde l= 2. Tilsvarende ser vi for (b) at vi har de ti veienee₁, e₂, e₃, e₄, α, β, γ, δ, γαogδβ.

Definisjon 2.1.6. LaQvære et quiver. Vi sier atQ

(a) har enloop dersom det finnes en vei av lengdel = 1fra et hjørnei ∈ Q0 til det samme hjørneti∈Q0.

(b) hardobbelpilerdersom det finnes mer enn ´en vei av lengde l = 1 fra et hjørne i∈Q₀til et annet hjørnej∈Q₀.

(c) ersykliskhvis det finnes en veiαav lengdel≥1slik ats(α) =t(α).

2.1 Quiver (d) erasykliskhvis det ikke er syklisk.

Vi skal n˚a se p˚a eksempler p˚a quivre med disse egenskapene.

Eksempel 2.1.7.

(a)

1 α 2

β

γ

(b)

1 2

3 4 5

α β γ δ

ε (c)

5

1 α 2 β 3 γ 4 6

δ ε

Quiveret i (a) har en loopγ: 2−→2og dobbelpilerα: 1−→2,β: 1−→2. Vi ser at quiveret er syklisk, sidens(γ) =t(γ) = 2.

Quiveret i (b) er syklisk siden hjørne 1 b˚ade er kilde og m˚al for veien(1|δ, γ, β, α|1) av lengdel= 4.

Quiveret i (c) er asyklisk siden det ikke inneholder noen vei av lengdel ≥ 1slik at startpunktet og endepunktet for veien er det samme. Et slikt asyklisk quiver uten dobbel- piler kalles etrettet tre. Vi vil komme tilbake til rettede trær senere.

LaQvære et quiver, og la x ∈ Q₀. Da bruker vi betegnelsen x⁻ p˚a mengden av startpunkter til piler med endepunktx, ogx⁺p˚a mengden av endepunkter til piler med startpunktx.

Definisjon 2.1.8. LaQvære et quiver. La b˚adex⁻ogx⁺være endelige mengder for alle x∈Q0, slik figuren viser for ett hjørney∈Q0.

1 1⁰

2 2⁰

y

n m

α₁ α2

αn

β1

β₂ βm

Kapittel 2. Introduksjon til quivre Da sier vi at quiveret erlokalt endelig.

Veiene i et quiverQbestemmer en algebra som vi vil se nærmere p˚a n˚a.

Definisjon 2.1.9. LaQvære et quiver.VeialgebraenKQtilQerK-algebraen med det underliggende K-vektorrommet bestemt at basisen best˚aende av mengden av alle veier (b|α_l, . . . , α₁|a)med lengdel ≥0iQ. Produktet av to basisvektorer(b|α_l, . . . , α₁| a)og(d|β_k, . . . , β₁|c)er definert ved

(b|αl, . . . , α1|a)(d|βk, . . . , β1|c) =δcb(b|αl, . . . , α1, βk, . . . , β1|c).

Her erδcbKronecker-delta, ogδcb= 1hviss(α1) =t(βk)og null ellers. Vi utvider dette ved ˚a bruke distributivitet.

Identiteten til veialgebraenKQover et endelig quiverQer1 = P

a∈Q₀

εa(se [1, Corol- lary II.1.5)]).

Definisjon 2.1.10. LaQvære et endelig og sammenhengende quiver. Det tosidige idealet til veialgebraenKQgenerert av pilene iQkallespilidealettilKQog betegnesRQ.

Ved ˚a bruke pilidealet tilKQkan vi definere en ny algebra.

Definisjon 2.1.11. LaQvære et endelig quiver og laR_Q være pilidealet til veialgebraen KQ. Et tosidig idealIiKQkallestillatelighvis det finnes et heltallm≥2slik at

R^m_Q ⊆ I ⊆R²_Q.

HvisI er et tillatelig ideal iKQ, kalles paret(Q,I)etquiver med relasjoner. Kvotien- talgebraenKQ/Ikalles algebraen til quiveret(Q,I), eller bare enquiveralgebra.

Vi avslutter denne delen med ˚a se p˚a generatorene til et tillatelig ideal.

Definisjon 2.1.12. LaQ være et quiver. En relasjoni Q med koeffisienter iK er en K-lineær kombinasjon av veier med lengdel ≥2som alle har samme kilde og alle har samme m˚al. Alts˚a er en relasjonρet element iKQslik at

ρ=

m

X

i=1

λ1wi,

derλier skalarer (ikke alle null) ogwier veier iQav lengdel ≥2slik at hvisi6=j, s˚a harw_iogw_jsamme kilde og samme m˚al.

2.2 Representasjoner og anvendelser

Vi vil n˚a bevege oss over til ˚a se p˚a hvordan vi kan bruke quivre til ˚a visualisere moduler.

M˚alet med denne delen er ˚a vise hvordan man enkelt kan regne ut de ikke-dekomponerbare projektive og injektive modulene ved hjelp av quivre.

2.2 Representasjoner og anvendelser Definisjon 2.2.1. LaQvære et endelig quiver. EnrepresentasjonM avQdefineres p˚a følgende m˚ate:

(a) For hvert hjørnea∈Q₀tilordner vi etK-vektorromM_a.

(b) For hver pilα:a−→b∈Q1tilordner vi enK-lineær avbildningϕα:Ma −→Mb. En slik representasjon som beskrevet over betegnesM = (Ma, ϕα). Representasjonen kalles endeligdimensjonal dersom alle vektorrommeneMa er endeligdimensjonale. Hvis vi har to vektorromM = (Ma, ϕα)ogM⁰ = (M_a⁰, ϕ⁰_α), har vi en morfif:M −→M⁰, derf = (fa)a∈Qer en familie avK-lineære avbildninger(fa: Ma−→M_a⁰)a∈Q₀. Vi har ogs˚a for hver pilα: a−→bat det følgende diagrammet kommuterer:

Ma Mb

M_a⁰ M_b⁰ ϕ_α

ϕ⁰_α

Hvis vi n˚a har to morfierf:M −→M⁰ ogg:M⁰ −→M⁰⁰, ser vi at komposisjonengf av de to er en morfi fraM tilM⁰⁰.

Definisjon 2.2.2. LaQvære et endelig quiver ogM = (M_a, ϕ_α)være en representasjon av Q. For hvilken som helst ikke-triviell veiw = α_l. . . α₂α₁ fraatil b i Qdefinerer vievaluasjonentilM p˚a veienwtil ˚a være denK-lineære avbildningen fraM_atil M_b definert ved

ϕ_w=ϕ_αlϕ_αl−1. . . ϕ_α2ϕ_α1

Vi vil fra n˚a av bruke betegnelsenRep(Q)for kategorien avK-lineære representasjo- ner avQ. For den fulle underkategorien avRep(Q)som best˚ar av de endeligdimensjonale reprsentasjonene vil vi bruke betegnelsenrep(Q). I det neste teoremet introduserer vi en ny funktor mellom kategorien av moduler og kategorien av representasjoner.

Teorem 2.2.3. LaA=KQ/I, hvorQer et endelig sammenhengende quiver ogI er et tillatelig ideal iKQ. Det finnes enK-lineær ekvivalens av kategorier

F: ModA−→^∼ Rep_K(Q,I) som restringeres til en ekvivalens av kategorier

F: modA−→^∼ rep_K(Q,I).

Bevis. Se [1, Theorem III.1.6].

Gjennom resten av denne delen vil vi alltid la(Q,I)være et endelig sammenhengende quiverQmed|Q0|=nhjørner ogIet tillatelig ideal iKQ. Vi larAvære quiveralgebraen A=KQ/I.

Kapittel 2. Introduksjon til quivre

La n˚aa ∈ Q₀. Vi bruker notasjonenS(a)om representasjonen(S(a)_b, ϕ_α)definert som følger

S(a)_b =

(0hvisb6=a Khvisb=a ϕα= 0for alleα∈Q1

Vi har en representasjonS(a)av(Q,I), og vi har følgende lemma.

Lemma 2.2.4. LaA=KQ/Ivære quiveralgebraen til(Q,I).

(a) For hvilken som helsta∈Q0erS(a)(som enA-modul) isomorf med toppen til den ikke-dekomponerbare projektiveA-moduleneaA.

(b) Mengden{S(a)|a∈Q₀}er en komplett mengde av representanter for isomorfiklas- sene til de simpleA-modulene.

Bevis. For hvilken som helsta∈ Q0erK-vektorrommetS(a)endimensjonalt, og defi- nerer dermed en simpel representasjon av(Q,I)og en simpelA-modul. Siden vi har

HomA(eaA, S(a))∼=S(a)ea∼=S(a)a 6= 0,

m˚a det finnes en ikke-nullA-modulhomomorfi fra den ikke-dekomponerbare projektiveA- moduleneaAp˚a den simpleA-modulenS(a). Dette beviser (a), sideneaAhar en simpel topp.

Motsatt, hvisa6=b, er det klart atHomA(S(a), S(b)) = 0og spesielt erS(a)S(b).

Dermed er de simple modulene S(a), a ∈ Q0, parvis ikke-isomorfe. Siden det finnes en bijeksjon mellom en fullstendig mengde av primitive ortogonale idempotenter og en fullstendig mengde av parvis ikke-isomorfe simpleA-moduler, gitt vedea 7→top(eaA), følger (b).

Det neste lemmaet gir det siste vi trenger før vi er klare for ˚a presentere metoden for ˚a regne ut de ikke-dekomponerbare projektive og injektiveA-modulene.

Lemma 2.2.5. LaM = (Ma, ϕα)være en representasjon av(Q,I).

(a) ModulenMer semisimpel hvis og bare hvisϕα= 0for enhverα∈Q1. (b) SokkelensocM =N, hvorN= (Na, ψα), medNa=Mahvisaer et sluk, og

Na = \

α:a→b

Ker(ϕα:Ma−→Mb)

hvisaikke er et sluk, ogψα=ϕα|Na= 0for enhver pilαmed kildea.

(c) RadikaletradM =J, hvorJ = (J_a, γ_α)med Ja = X

α:b→a

Im(ϕα:Mb−→Ma) ogγα=ϕα|J_afor enhver pilαmed kildea.

2.2 Representasjoner og anvendelser

(d) ToppentopM =L, hvorL= (L_a, ψ_α), medL_a=M_ahvisaer en kilde, og L_a=M_a

X

α:b→a

Im(ψ_α:M_b −→M_a)

hvisaikke er en kilde ogψα= 0for enhver pilαmed kildea.

Bevis. Vi beviser punkt for punkt.

(a) Første del følger fra atϕα= 0for hverα∈Q1hvis og bare hvis M ∼= M

a∈Q0

S(a)^dimKMa.

(b) ModulenNer en undermodul avM sidenψα=ϕα|N_a. Sidenψα= 0for hverα, erN semisimpel. LaSAvære en simpel undermodul avM. Det finnesa∈Q0slik atS∼=S(a). Dermed har vi, for hverα: a−→b, et kommutativt diagram

K S(a)_a S(a)_b 0

Ma Mb

ϕα

Dermed erS(a)a⊆Kerϕαfor hverα:a−→b,s˚a vi harS(a)a⊆Na. Dette viser atS(a)⊆Nog derforN = socM.

(c) LaRQvære pilidealet tilKQ. SidenradA=RQ/Ier generert som et tosidig ideal ved restklassene moduloIav pileneα∈Q1, følger det fra Proposisjon 1.1.4 at

J = radM =M·radA=M·(R/I) = X

α∈Q1

M α,

hvorα=α+I.Dermed har vi, for hvilken som helsta∈Q0, atJa =P

α:b−→aM α, hvor det summeres over alle piler med m˚ala. For en slik pil,α:b −→a, f˚ar vi fra definisjonen av funktorenFat

M α=M ebα=Mbα=ϕα(Mb) = Imϕ,

siden virkningen av ϕα svarer til høyremultiplikasjon med α. Dermed erJa = P

α:b−→aIm(ϕα:Mb −→ Ma). SidenJ er en undermodul tilM, har viγα = ϕα|J_a.

(d) Følger fra (c), sidenL=M/(MradA) =M/radM.

Kapittel 2. Introduksjon til quivre

Vi vil n˚a vise hvordan man regner ut de ikke-dekomponerbare projektiveA-modulene.

Vi har en basisk algebraAog en fullstendig mengde av primitive ortogonale idempotenter {e_a|a∈Q₀}tilA, s˚a dekomposisjonen

AA= M

a∈Q0

eaA

avAAer en direktesum av parvis ikke-isomorfe ikke-dekomponerbare projektiveA-moduler.

Vi ønsker ˚a beskrive moduleneP(a) =eaA, meda∈Q0.

Lemma 2.2.6. La(Q,I)være et quiver,A=KQ/IogP(a) =eaA, hvora∈Q0. (a) HvisP(a) = (P(a)b, ϕβ), s˚a erP(a)bK-vektorrommet med basis mengden av alle

w=w+I, derwer en vei fraatilb, og for en pilβ:b−→c, er denK-lineære avbildningenϕβ:P(a)b−→P(a)cgitt ved høyremultiplikasjon medβ=β+I.

(b) LaradP(a) = (P⁰(a)_b, ϕ⁰_β). Da erP⁰(a)_b = P(a)_b for b 6= a, P⁰(a)_a er K- vektorrommet med basis mengden av allew=w+I, medwen ikke-triviell vei fra atila,ϕ⁰_β=ϕ_βfor hvilken som helst pilβmed kildeb6=aogϕ⁰_α=ϕ_α|_P0(a)_afor hvilken som helst pilαmed kildea.

Bevis. (a) Det følger fra definisjonen av funktoren F at representasjonen som viaF svarer tilA-modulenP(a)_A=e_aAer slik at vi for hverb∈Q₀har

P(a)b=P(a)eb=eaAeb =ea(KQ/I)eb= (εa(KQ)εb)/(εaIεb).

Videre har vi at hvisβ:b−→cer en pil iQ, s˚a erϕβ: eaAeb −→eaAecgitt ved høyremultiplikasjon med restklasseneβ =β+I. Det betyr at hviswer restklassene til en veiwfraatilb, s˚a erϕ_β(w) =wβ.

(b) Følger fra (a) og Lemma 2.2.5.

Vi vil n˚a vise et eksempel der vi finner de ikke-dekomponerbare projektive modulene.

Eksempel 2.2.7. LaQvære quiveret

1 α 2,

β

med relasjoneneαβ= 0ogβα= 0. Vi f˚ar da de ikke-dekomponerbare projektive modu- lene

P(1) =K K 1 0 og

P(2) =K K 0 1

2.2 Representasjoner og anvendelser Vi ser at vi har radikaleneradP(1) = 0ogradP(2) = 0.

Vi vil n˚a vise hvordan man regner ut de ikke-dekomponerbare injektiveA-modulene.

Det følger fra Korollar 1.2.12 at en fullstendig liste av parvis ikke-isomorfe ikke-dekomponerbare injektivA-moduler er gitt ved moduleneI(a) =D(Ae_a)(meda∈Q₀), hvorDer duali- tetsfunktoren.

Lemma 2.2.8. (a) Gitta∈Q0, s˚a er den simple modulenS(a)isomorf med den simple sokkelen tilI(a).

(b) HvisI(a) = (I(a)_b, ϕ_β), s˚a erI(a)_bdet duale avK-vektorrommet med basis meng- den av allew=w+I, derwer en vei frabtila, og for en pilβ:b−→c, er den K-lineære avbildningen ϕ_β: I(a)_b −→ I(a)_c gitt ved det duale av avbildningen gitt ved venstremultiplikasjon medβ =β+I.

(c) LaI(a)/S(a) = (Lb, ψβ). Da erLbkvotientrommet tilI(a)butspent av restklasse- ne av veier frabtilaav lengde høyst ´en, ogψβden induserte avbildningen.

Bevis. (a) Vi kan dualisere Lemma 2.2.4(a) og f˚a isomorfiene socI(a)∼=P(a)/radP(a)∼=S(a) av høyreA-moduler.

(b) Siden det finnes isomorfier

I(a)b =I(a)eb =D(Aea)eb∼=D(ebAea)∼=D(εb(KQ)εa/εbIεa), følger første p˚astand fra Lemma 2.2.6. P˚a en lignende m˚ate har vi at hvisβ:b−→c er en pil, s˚a er denK-lineære avbildningen

ϕ_β:D(ε_b(KQ)ε_a/ε_bIε_a)−→D(ε_c(KQ)ε_a/ε_cIε_a) definert som følger: la

µ_β: (ε_c(KQ)ε_a/ε_cIε_a)−→(ε_b(KQ)ε_a/ε_bIεa)

være venstremultiplikasjonw7→βw. Da erϕ_β=D(µ_β)gitt vedϕ_β(f) =f µ_βfor f ∈D(ε_b(KQ)ε_a/ε_bIεa). Med andre ord erϕ_β(f)(w) =f(βw).

(c) Følger fra (b).

Vi avslutter dette kapittelet ved ˚a se p˚a et eksempel der vi finner de ikke-dekomponerbare injektive modulene.

Eksempel 2.2.9. LaQvære quiveret 1

2 3

α β

Kapittel 2. Introduksjon til quivre

De ikke-dekomponerbare injektive modulene erI(2) =S(2),I(3) =S(3)og K

I(1) =

K K

1 1

I tillegg har vi atI(2)/S(2) = 0,I(3)/S(3) = 0ogI(1)/S(1) =S(2)⊕S(3).

Kapittel 3

Introduksjon til Dynkindiagrammer

I dette kapitlet vil vi se p˚a Cartanmatriser, diagrammer bestemt av Cartanmatriser, additive og subadditive funksjoner og til slutt noen resultater om slike diagrammer og funksjoner.

3.1 Cartanmatriser og diagrammer

Vi starter med ˚a definere hva en Cartanmatrise er. I Kapittel 5 vil Cartanmatriser være til stor hjelp n˚ar vi skal bevise hovedresultatene i denne oppgaven.

Definisjon 3.1.1. LaIvære en mengde, og lai, j∈I. LaC_ijvære et element i en matrise C, derisvarer til radiogjsvarer til kolonnej. Vi kaller funksjonenC:I×I−→Zfor CartanmatrisenoverIhvis følgende krav tilCijer oppfylt:

(a) Cii = 2for allei∈I.

(b) Cij ≤0for allei6=jiI.

(c) Cij = 0hvis og bare hvisCji= 0.

Enhver Cartanmatrise har en tilhørende graf. Hjørnene til grafen er elementene iI, og to hjørneri, j∈I, i6=jer forbundet med en kant dersomCij 6= 0. Ved hver kant skrives tallpar (|Cij|,|Cji|)s˚a lenge vi harCij ·Cji 6= 1. Under følger eksempler p˚a Dynkin- diagrammer, Euklidske diagrammer og uendelige diagrammer. Merk at et Dynkindiagram Xnharnhjørner, mens et Euklidsk diagramX˜nharn+ 1hjørner.

Dynkindiagrammer:

A_n:

1 2 3 n-2 n-1 n

Bn:

1 (1,2) 2 3 n-2 n-1 n

Kapittel 3. Introduksjon til Dynkindiagrammer C_n:

1 (2,1) 2 3 n-2 n-1 n

Dn:

1

2

3 4 n-2 n-1 n

E6:

1 2 3

6

4 5

E7:

1 2 3

7

4 5 6

E₈:

1 2 3

8

4 5 6 7

Euklidske diagrammer:

A˜_n:

1 2 3 n-2 n-1 n

n+1

B˜n:

1 (1,2)

2 3 n-1 n

(2,1) n+1

3.1 Cartanmatriser og diagrammer C˜_n:

1 (2,1)

2 3 n-1 n

(1,2) n+1 D˜n:

1

2

3 4 n-2 n-1

n

n+1 E˜6:

1 2 3

6 7

4 5

E˜₇:

8 1 2 3

7

4 5 6

E˜8:

1 2 3

8

4 5 6 7 9

Uendelige diagrammer:

A_∞:

1 2 3 n-2 n-1 n

B_∞:

1 (1,2) 2 3 n-1 n n+1

C∞:

1 (2,1) 2 3 n-1 n n+1

Kapittel 3. Introduksjon til Dynkindiagrammer

D_∞:

1

2

3 4 n-1 n n+1

A^∞_∞:

n-1 n n+1

Vi vil n˚a introdusere en spesiell type funksjoner for Cartanmatrisene. I neste del vil vi se at disse funksjonene legger begrensninger p˚a diagrammene bestemt av Cartanmatriser.

Definisjon 3.1.2. LaCvære en Cartanmatrise overI. Ensubaddivtiv funksjonforCer en funksjond: I−→Nslik at

X

i∈I

diCij ≥0 for allej∈I. Hvis vi har

X

i∈I

d_iC_ij = 0 for allej∈Ikallesdenadditivfunksjon forC.

Vi viser et eksempel der vi med utgangspunkt i en Cartanmatrise finner det tilsvarende diagrammet og en additiv funksjon.

Eksempel 3.1.3. LaCvære Cartanmatrisen









2 −2 0 0

−1 2 −1 0

0 −1 2 −1

0 0 −2 2









Vi ser at denne Cartanmatrisen svarer til det Euklidske diagrammetC˜₃:

(2,1) (1,2)

For ˚a finne den additive funksjonen tilC, ser vi p˚ad= [d0 d1 d2 d3]. For atdskal være additiv, m˚a vi ha:

d1 d2 d3 d4









2 −2 0 0

−1 2 −1 0

0 −1 2 −1

0 0 −2 2









=

0 0 0 0 .

Dette gir2d1 =d2 =d3 = 2d4, s˚a enten erd= [1 2 2 1] eller et naturlig tall-multiplum av denne.

Ved ˚a benytte denne metoden kan vi finne (sub)additive funksjoner for alle de Euklids- ke diagrammene.

3.2 Resultater

3.2 Resultater

Form˚alet med denne delen er ˚a se p˚a hvordan additive og subadditive funksjoner legger føringer p˚a hvilke diagrammer vi kan ha. Dette vil være til hjelp n˚ar vi skal bevise hoved- resultatene i denne oppgaven. Vi starter med et lemma om Euklidske diagrammer.

Lemma 3.2.1. LaCvære et Euklidsk diagram. Da er hvilken som helst subadditiv funk- sjon forCadditiv.

Bevis. LaC^T være den transponerte avC, slik atC_ij^T =Cjifor allei, j ∈I. SidenCer Euklidsk m˚a ogs˚aC^T være det. Laδvære en additiv funksjon forC^T, slik atδC^T = 0. La dvære en subadditiv funksjon forC. Da erδ(dC)^T =δ(C^Td^T) = (δC^T)d^T = 0, siden δer en additiv funksjon forC^T. Dette gir atδ(dC)^T = 0, som m˚a bety at(dC)^T = 0 sidenδi >0for allei∈I. Sidender en subadditiv funksjon forC, er(dC)i≥0for alle i∈I. For ˚a oppfylledC = 0m˚a derfordvære en additiv funksjon forC. Dette betyr at alle subadditive funksjoner er additive for Euklidske diagrammer.

Før vi kan g˚a videre m˚a vi definere hva vi mener med at en Cartanmatrise er mindre enn en annen.

Definisjon 3.2.2. LaCogC⁰være to Cartanmatriser over henholdsvisIogI⁰. Da sier vi atC⁰ermindreennCdersomI⁰⊆Iog|C_ij⁰ | ≤ |Cij|for allei, j∈I⁰. En Cartanmatrise kallessammenhengendehvis alle hjørner i den tilhørende grafen er knyttet sammen.

Det neste lemmaet viser hvordan vi ut fra en Cartanmatrise med kjent subadditiv funk- sjon, kan finne den subadditive funksjonen til en mindre Cartanmatrise.

Lemma 3.2.3. LaCogC⁰ være to forskjellige Cartanmatriser, derC⁰er mindre ennC.

Ladvære en subadditiv funksjon forC. Da erd|I⁰ en subadditiv funksjon forC⁰som ikke er additiv.

Bevis. Sidender en subadditiv funksjon forC, har viP

i∈IdiCij ≥0for allej∈I. La j∈I⁰. Da er

X

i∈I

diCij =djCjj+X

i∈I i6=j

diCij ≥0.

SidenCer en Cartanmatrise erCjj = 2, og vi har 2d_j ≥X

i∈Ii6=j

d_i|C_ij| ≥X

i∈I⁰ i6=j

d_i|C_ij| ≥X

i∈I⁰ i6=j

d_i|C_ij⁰ |,

som viser at d|I⁰ er en subadditiv funksjon for C⁰. Siden C ogC⁰ er forskjellige Cart- anmatriser og C⁰ er mindre ennC, vet vi atI⁰ ( I eller at det finnesi, j ∈ I⁰ slik at

|C_ij⁰ |<|Cij|. AntaI⁰ (Iog velgk∈I\I⁰. Da er P

i∈I i6=j

d_i|Cij|=d_k|Ckj|+ P

i∈I i6=j,k

d_i|Cij|> P

i∈I⁰ i6=j

d_i|Cij|.

Anta at det finnesi, j∈I⁰slik at|C_ij⁰ |<|Cij|. Da er

Kapittel 3. Introduksjon til Dynkindiagrammer P

i∈I⁰ i6=j

d_i|Cij|> P

i∈I⁰ i6=j

d_i|C_ij⁰ |.

Alts˚a vil alltid minst ´en av ulikhetene være ekte, s˚ad|I⁰ er en subadditiv funksjon forC⁰ som ikke er additiv.

Det siste lemmaet i denne delen tar for seg uendelige diagrammer.

Lemma 3.2.4. Enhver subadditiv funksjon for hvilken som helst avA^∞_∞, B_∞, C_∞ eller D_∞er additiv og begrenset.

Bevis. Start medA^∞_∞. LaI=Zmed kanter{i, i+ 1}. For en subadditiv funksjondfinnes det eni∈ Zhvordhar sin laveste verdi. Dette gird_i−1 ≥d_iogd_i+1 ≥ d_i. Sidender subadditiv, er2di≥d_i−1+di+1. Sammen gir detted_i−1 =di=di+1, som viser atder konstant og begrenset.

Videre ser vi p˚a den subadditive funksjonen forB_∞:

d₁ d₂ d₃ d₄ · · ·























2 −1 0 0 0 · · ·

−2 2 −1 0 0 · · · 0 −1 2 −1 0 · · · 0 0 −1 2 . .. 0 0 0 . .. . .. . ..

... ... ... . .. . ..























=

2d1−2d2 −d1+ 2d2−d3 −d2+ 2d3−d4 · · ·

≥

0 0 0 · · · Dette gir ulikhetene

2d₁−2d₂≥0⇒2d₁≥2d₂

−d1+ 2d2−d3≥0⇒2d2≥d1+d3

−d2+ 2d3−d4≥0⇒2d3≥d2+d4

...

Denne subadditive funksjonen er ogs˚a en subadditiv funksjon forA^∞_∞:

· · ·—d4—d3—d2—d1—d2—d3—d4—· · · Vi ser at vi f˚ar de samme ulikhetene som forB_∞, nemlig

2d1≥d2+d2= 2d2

2d₂≥d1+d₃ 2d3≥d2+d4

...

3.2 Resultater Dette viser at siden en subadditiv funksjon forA^∞_∞m˚a være additiv og begrenset, m˚a ogs˚a en subadditiv funksjon forB_∞være det.

Samme fremgangsm˚ate forC∞gir ulikhetene:

2d₁−d₂≥0⇒2d₁≥d₂

−2d1+ 2d2−d3≥0⇒2d2≥2d1+d3

−d2+ 2d3−d4≥0⇒2d3≥d2+d4

...

Denne subadditive funksjonen er ogs˚a en subadditiv funksjon forA^∞_∞:

· · ·—d4—d3—d2—2d1—d2—d3—d4—· · · Ulikhetene blir de samme som forC_∞:

4d1≥d2+d2= 2d2⇒2d1≥d2

2d₂≥2d₁+d₃ 2d3≥d2+d4

...

Til slutt ser vi at vi kan gjøre det samme forD_∞. Vi f˚ar ulikhetene 2d₁≥d₃,2d₂≥d₃⇒2d₁+ 2d₂≥2d₃

2d3≥d1+d2+d4

2d₄≥d₃+d₅ ...

som er en subadditiv funksjon forA^∞_∞ved ˚a velge

· · ·—d5—d4—d3—d1+d2—d3—d4—d5—· · ·

Dette viser at enhver subadditiv funksjon for hvilken som helst avA^∞_∞, B∞, C∞eller D_∞er additiv og begrenset.

Det neste teoremet avslutter dette kapittelet, og følger fra de tre foreg˚aende lemmaene.

Teorem 3.2.5. LaCvære en sammenhengende Cartanmatrise ogden subadditiv funksjon forC.

(a) Cer Cartanmatrisen til enten et Dynkindiagram, et Euklidsk diagram eller ´en av A^∞_∞, A_∞, B_∞, C_∞, D_∞.

(b) Hvisdikke er additiv, s˚a erCCartanmatrisen til et Dynkindiagram ellerA∞. (c) Hvisder ubegrenset, s˚a erCCartanmatrisen tilA_∞.