Eksamensoppgave FY6016 Mekaniske bølger og eksperimentelt arbeid

Institutt for lærerutdanning

Eksamensoppgave

FY6016 Mekaniske bølger og eksperimentelt arbeid

Faglig kontakt under eksamen: Astrid Johansen

Tlf.: 918 22 404

Eksamensdato: 20.12.2017 Eksamenstid (fra-til): kl.09.00 – 13.00

Tillatte hjelpemidler: Kalkulator uten nettkontakt eller kommunikasjon, vinkelmåler, linjal, formelvedlegg (vedlagt denne oppgaveteksten)

Annen informasjon: Vurderingskriterier: se s.2

Målform/språk: Bokmål

Antall sider: 12

Antall sider vedlegg:

s. 5 Vedlegg 1: Noen konstanter, enheter og fysiske størrelser s. 7 Vedlegg 2: Noen formler i fysikk

s.12 Vedlegg 3: Noen formler i matematikk

Kontrollert av:

____________________________

Dato Sign

Side 2 av 12 Vurderingskriterier

Vurderingen baseres på hvordan du

• viser kunnskap om fysiske fenomener og sammenhenger

• begrunner og formidler resonnementer

• gjør kvalitative vurderinger

• gjør kvantitative beregninger

• presentere besvarelsen

Prosentene på hver oppgave indikerer hvor mye den teller i det endelige resultatet for hele denne eksamensoppgaven.

Side 3 av 12

Oppgave 1

(Vekt: 30%) En transversell bølge er gitt ved

( ) ( )

2 1 1

( , ) 2,0 10 m sin2 2,5 m 50 s y x t = ⋅ ⁻ ⋅ π^ ⁻ x+ ⁻ t^ a) Hva er bølgens bølgelengde, periode og fart?

Den ene enden av en horisontal streng er festet til en mekanisk vibrator som svinger med en gitt frekvens. Den andre enden av strengen går over en trinse, og i enden henger et lodd på 5,0 kg.

Strengen har en masse per lengdeenhet på 0,018kg/m.

b) Hva er farten til de transverselle bølgene på strengen?

Dersom betingelsene er riktige, kan det oppstå stående bølger på strengen Den stående bølgen ys

kan beskrives matematisk ved ( , ) 2 sin siny x t_s = A kx ωt.

c) Hvordan kan man se karakteristiske trekk til en stående bølge ut fra dette uttrykket?

Lengden til strengen er 65 cm.

d) Finn de laveste tre frekvenser som den mekaniske vibratoren kan ha som vil gi stående bølger på strengen.

Oppgave 2

(Vekt: 30%)

En kloss med masse m kan bevege seg på et horisontalt underlag og er festet mellom to identiske fjærer. Fjærene følger Hookes lov både ved sammenpressing og utstrekning og har fjærkonstant k.

Se figuren under.

Klossen trekkes ut en avstand x fra likevektsstilling og slippes. Vi ser bort fra friksjon.

a) Begrunn hvorfor vinkelfrekvensen for systemet er gitt som 2k ω= m .

Klossen har masse 1,20 kg og fjærkonstantene er 10,5 N/m. Vi trekker klossen 25,0 cm til høyre for likevektposisjonen og slipper.

b) Bestem den maksimale farten og akselerasjonen klossen får i bevegelsen som oppstår etter at den er sluppet. Hvor skjer dette? Begrunn.

Side 4 av 12

Nå fyller vi vann mellom sideveggene. Når klossen svinger nå, vil den bli utsatt for en bremsende kraft fra vannet. Vi antar at bremsekrafta er proporsjonal med farten, dvs. R= −bv.

Vi slipper klossen fra samme utgangsposisjon som i b). Når farten til klossen er 0,350 m/s, er den bremsende kraften R=1,40 N. Se bort fra oppdriften.

c) Hva blir vinkelfrekvensen til svingningene?

d) Hvor lang tid tar det før amplituden er redusert til 20% av den opprinnelige amplituden?

Oppgave 3

(Vekt: 40%)

Figuren under viser partikkelutsvinget til i en lydbølge i luft ved 20°C som funksjon av posisjonen. De små, blå sirklene under grafen illustrerer luftpartikler som ikke er påvirket av lyden.

a) Bruk figuren over til å bestemme hvor lydtrykket er størst og minst. Forklar hvordan du tenker.

b) Begrunn hvorfor det er rimelig at lydtrykket er gitt som p x t( , ) B y x t( , ) x

= − ∂

∂ .

c) Partikkelutsvinget i figuren er gitt på formen ( , )y x t A= cos(kx−ωt)der amplituden er 1,00 10 m⋅ ⁻6 . Bestem k og ω. Hva blir frekvensen?

d) Utled et uttrykk for lydtrykket og vis at det maksimale lydtrykket denne lydbølgen har er 8,92 Pa.

Intensiteten er uttrykk for den midlere effekten per arealenhet. Dvs. vi kan skrive

( )

( , )

( , )x t P x t^av p x t v x t( , ) ( , )_{y av}

= A = ⋅

I .

e) Vis at intensiteten kan skrives 1 ² 2B kAω

=

I .

f) Hvilket lydnivå har vi i dette tilfellet?

Side 5 av 12

Vedlegg 1:

Formler, noen konstanter, enheter og fysiske størrelser

Noen SI – enheter:

Navn Enheter Navn Enheter Navn Enheter

meter m newton N = kg m/s⋅ ² weber Wb V s= ⋅

kilogram kg joule J = N m⋅ tesla T Wb m= ⋅ ^-2

sekund s watt W Js= ^{-1 ohm} Ω =VA^-1

kelvin K pascal Pa Nm= ^{-2 volt} V JC= ⁻¹= kg m s A⋅ ²⋅ ⁻³⋅ ⁻¹

ampere A hertz Hz s= ^-1 coloumb C A s= ⋅

Noen fysiske størrelser og verdier

Lydfart

(omtrentlige verdier) Materiale: Symbol: v

Luft (20°) 343 m/s

Vann (20°) 1481 m/s

Stål (stainless) 5,8 10 m/s⋅ ³

Diamant 12 10 m/s⋅ ³

Bulk modulus

(omtrentlige verdier) Materiale: Symbol: B

Glass 5 10 Pa⋅ ¹⁰

Stål 16 10 Pa⋅ ¹⁰

Vann 2,2 10 Pa⋅ ⁹

Luft (adiabatisk) 1,42 10 Pa⋅ ⁵ Youngs modulus

(omtrentlige verdier) Materiale: Symbol: Y

Stål 20 10 Pa⋅ ¹⁰

Kobber 11,7 10 Pa⋅ ¹⁰

Molar varmekapasitet: Materiale: Symbol: C, enhet: J/mol^.K

Is 37,8

Vann 75,4

Smeltevarme: Materiale: Symbol: Lf, enhet: J/kg

Vann (ferskvann) 334 x 10³

Fordampningsvarme: Materiale: Symbol: LV, enhet: J/kg Vann (ferskvann) 2256 x 10³

Tetthet: Materiale Symbol: ρ, enhet: kg/m³

Luft (20°) 1,20

Vann (ferskvann) 1000

Vanndampens

metningstrykk: Temperatur i °C Pd(T) i Pa Fukt (g/m³)

-10 260 2,14

20 2335 17,29

Side 6 av 12

Noen fysiske konstanter

Permeabiliteten i vakuum µ₀ =4π⋅10 Tm/A⁻⁷

Permittiviteten i vakuum

^ε

^{0 =8,85419 10⋅ −12C / Nm2}

(

²

)

Elementærladningen

e = 1, 6019 10 ⋅

⁻¹⁹

C

Elektronmassen m_e=9,109 10⋅ ⁻³¹kg Tyngdeakselerasjonens standardverdi

g = 9,807 m/s

²

Gravitasjonskonstanten

γ = 6, 67 10 ⋅

⁻¹¹

Nm /kg

^{2 2} Lysfarten i vakuum

c = 3, 00 10 m/s ⋅

⁸

Gasskonstanten R=8, 314 J/(mol K)⋅

Normalt lufttrykk

p

₀

= 1, 01 10 Pa ⋅

⁵ Boltzmanns konstant

k = 1, 381 10 ⋅

⁻²³

J/K

Plancks konstant

h = 6, 626 10 ⋅

⁻³⁴

Js

Stefan-Boltzmanns konstant

σ = 5, 67 10 W/(m K ) ⋅

^{−8 2 4} Konstanten i Wiens forskyvningslov

a = 2, 90 10 mK ⋅

⁻³

Solarkonstanten

S = 1, 37 10 W/m ⋅

^{3 2}

Dekadiske prefikser

Navn Prefiks Verdi Navn Prefiks Verdi

yokto y 10⁻²⁴ kilo k 10³

zepto z 10⁻²¹ mega M 10⁶

Atto a 10⁻¹⁸ giga G 10⁹

femto f 10⁻¹⁵ tera T 10¹²

piko p 10⁻¹² peta P 10¹⁵

nano n 10⁻⁹ exa E 10¹⁸

mikro μ 10⁻⁶ zetta Z 10²¹

milli m 10⁻³ yotta Y 10²⁴

Side 7 av 12

Vedlegg 2:

Noen formler i fysikk

Mekanikk

v = v

0

+ at

_{0 0}

1

²

x = x + v t + 2 at

v

²

= v

₀²

+ 2 ( a x − x

₀

)

v r=

ω

_rad =v² =

ω

²

a r

r

1 2 k 2

E = mv

b b

a a

W=

∫

F dl^⋅ ^=

∫

F dl^{ P=dW}_dt ^{= ⋅F v  p mv= }

Mekaniske svingninger og bølger

d

dt

ω= θ 2 f 2 T

ω= π = π F= −kx v=λf k 2π

= λ

2

2 0 ( ) cos( ) der

d x k x x t A t k

dt +m = ⇒ = ω ω = m

2

2 0

d x b dx k

dt +m dt m+ = ⇒

2 2

2 2

2 2 2 2

1 2

2 : ( )

b b t b b t

m m m m

b km x t C e C e

ω ω

       

− −  − ⋅ − +  − ⋅

       

   

> = +

1 2 2

2 : ( ) ( ) ^{b tm}

b= km x t = C t C e+ ⋅ ^{− ⋅}

( )

^{2 2}

2 : ( ) 2 cos ' der '=

2

b tm b

b km x t Ae t

ω φ ω ω m

− ⋅  

< = + −  

1 2 p 2

E = kx 1 ²

tot 2

E = kA dE bv²

dt = −

( , ) cos( )

y x t A= kx−ωt v x t_y( , ) y x t( , ) t

=∂

∂ a x t_y( , ) ²y x t( , )₂ t

=∂

∂

Side 8 av 12

2 2

2

2 2

( , ) ( , )

y x t v y x t

t x

∂ = ⋅∂

∂ ∂ v F

= µ v B

= ρ B Vp

V

= −∆∆

( , ) ( , ) ( , ) y x t y x t P x t F

x t

∂ ∂

= − ⋅ ⋅

∂ ∂ 1 ^{2 2}

av 2

P = µ ωF A ( , )x t P x t( , ) p x t v x t( , ) ( , )_y

= A = ⋅

I

12 2

0 0

10 log der 10 W/m

β= ⋅ I = ⁻

I I L ^L S

S

f v v f v v

= + ⋅

+

Fluidmekanikk og varmelære

p dF

dA

= ⊥

p = p

₀

+ ρ gh

n = antall mol N = antall molkyler

9 32

F

5

C

T = T + 273,15

trippel

T p

= ⋅ p L α L

0

T

∆ = ∆

∆ = V β V

₀

∆ T

pV = nRT = NkT

3

tr

2

K = nRT

3

rms

v kT

= m

₂

4 2

V r N

λ

⁼

π

( )

2 2

p an V nb nRT V

 

+ − =

 

 

f f

Q = ⋅ m L

Q

_v

= ⋅ m L

_v

W p V

∆ = ∆

²

1

W = ∫ pdV

^p

V

C γ = C 1, 67

γ =

for en enatomig ideell gass og

γ = 1, 40

for en toatomig ideell gass

p V

C = C + R

∆ = − U Q W

Q = mc T ∆ = nC T ∆

dU = nC dT

V

pV

^γ

= konst

TV

^γ−1

= konst

p

1^−γ

T

^γ

= konst

H

e W

= Q

_Carnot:

1

^C

H

e T

= − T Q

C

K = W

Carnot: ^C

H C

K T

T T

= −

^Entropi:

2

1

S dQ

∆ = ∫ T

Side 9 av 12

Damptrykksformelen: ⁰

1 1

( ) 0

Lm

R T T

p T p e

 − 

 

 

 

= Relativ fuktighet: ²

100%

( )

H O d

p ϕ = p T ⋅

Fouriers lov:

( ) dT

x A

κ dt

Φ = −

Varmemotstanden:

L

R ⁼ κ ⋅ A

Konveksjon:

Φ = hA T (

_v

− T

_l

)

Stefan – Boltzmanns lov:

j

_S

= σ T

⁴

Plancks fordelingslov:

Wiens forskyvningslov:

Elektromagnetisme

Coulombs lov: ¹₂²

0

1 4 F q q

πε r

=

₂

0

1 4

E q r

πε r



=



Elektrisk dipolmoment: 

p = qd



(fra – til +) Dreiemoment på en elektrisk dipol:

τ

  

= × p E

Potensiell energi til en elektrisk dipol:

U = − ⋅

 

p E

Elektrisk fluks: Φ =_E

∫

E d A^{ }⋅

Elektrisk potensiell energi: ⁰

0

1 4 U qq

πε r

=

Elektrik potensial fra en punktladning:

0

1 4 V q

πε r

=

Potensialforskjellen mellom to punkter: V_a −V_b =

∫

^{ }E dl⋅ Kraft på en ladning i bevegelse:

F



= q E (

  

+ × v B )

Magnetisk kraft på en strømførende leder: F= I dl ×B Dreiemoment på ei strømsløyfe:

τ µ

  

= × B

Potensiell energi til en magnetisk dipol:

U = − ⋅ µ

 

B

Hall – effekten: ^{x y}

z

nq J B E

= −

2

5 /

2 1

( , )

hc kT

1 F T hc

e

^λ

λ π

= λ

−

λ

_maks

⋅ = T a

Side 10 av 12 Magnetfelt fra punktladning m/ konstant fart: ⁰ ₂

4 B qv r

r µ

π

=

 

×



Biot – Savarts lov: ⁰ ₂

4

Id l r

d B r

µ π

=

 

×



Magnetisk fluks: Φ =_B

∫

^{ }B d A⋅

Faradays lov: d ^B

ε

= − dt^Φ

Indusert ems i en lukket strømsløyfe som beveger seg i et magnetfelt:

ε

=

 ∫

(v^{ }×B)⋅d l^ Maxwells likninger

1. Gauss lov for

E 

:

0 encl E

E d A Q Φ =  ∫

^{ }

⋅ = ε

2. Gauss lov for

B 

:

 ∫

B d A^{ }⋅ =0

3. Amperes lov: _{0 C 0} ^E

encl

B d l i d

µ ^ ε dt ^{Φ }

⋅ =   +  

∫

^{ }



4. Faradays lov: d ^B

E d l

dt

⋅ = − Φ

∫

^{ }



Elektromagnetiske bølger, lys og optikk

max max

E = cB

Farten i vakuum:

0 0

c 1

= ε µ

Poynting vektor:

0

S 1 E B

= µ ×

  

Intensiteten: ^max

2

0

E B

ax

I µ

= ⋅

Brytningsindeksen:

c

n = v

Snells lov:

n

_a

sin θ

_a

= n

_b

sin θ

_b

Malus’s lov:

I = I

_max

cos

²

φ

Side 11 av 12

Brewsters lov:

tan

_p ^b

a

n θ = n

Speilformelen for sfæriske speil: 1 1 2 1

'

s+ s = R = f Brytning i sfærisk flate:

'

a b b a

n n n n

s s R

+ = −

Lateral forstørrelse: y'

m= y

Linseformelen: 1 1 1

' s+s = f Linsemakerens formel:

1 2

1 1 1

(n 1)

f R R

 

= −  − 

 

Intensitet i interferens fra to spalter: ₀

cos

²

I ₌ I φ 2

hvor

2

_{2 1}

( r r ) φ π

= λ −

Konstruktiv refleksjon fra tynn film, ingen relative faseskift:

2 t = m λ ( m = 0,1, 2,...)

Intensitet fra diffraksjon i enkeltspalt:

2 0

sin / 2 I I β / 2

β

 

=  

 

^hvor

2 π a sin

β θ

= λ

Intensitetsmaksima fra mange spalter:

d sin θ = m λ ( m = ± ± ± 0, 1, 2, 3,...)

Kromatisk oppløsning:

R λ Nm

= λ =

∆

Braggs betingelse for konstruktiv interferens:

2 sin d θ = m λ ( m = 1, 2,3,...)

Side 12 av 12

Vedlegg 3:

Noen formler fra matematikk

Potensregning

( )

1

( )

m n m n

m

m n n

n n n

n n

n

m n m n

n n

a a a

a a

a

a b a b

a a

b b

a a

a a

+

−

⋅

⋅ =

=

⋅ = ⋅

  =

   

=

=

Derivasjon

( ) '( ) 0

f x = ⇒ a f x =

( ) '( )

f x = ax b + ⇒ f x = a

( )

^r

'( )

^r 1

f x = ax ⇒ f x = ⋅ ⋅ a r x

⁻

( ) = sin( ) ⇒ ′ ( ) = cos( )

f x ax f x a ax

( ) = cos( ) ⇒ ′ ( ) = − sin( )

f x ax f x a ax

( ) = ⋅

^kx

⇒ '( ) = ⋅

^kx

f x a e f x a ke

( ) = ( ( )) ⇒ ′ ( ) = ′ ( ) ⋅ ′ ( ) f x f u x f x f u u x

Trigonometri

2 2

sin x + cos x = 1

sin( u v ± = ) sin cos u v ± sin cos v u

cos( u v ± = ) cos cos u v  sin sin u v

tan sin

= cos x x x

Integrasjon axdx=a xdx

∫ ∫

1

1

, 1

1

r r

x dx x C r

r

=

+

+ ≠ −

∫ +

kx

1

kx

e dx e C

= k +

∫

1 dx ln x C , x 0

x = + >

∫

Vektorregning

( )

cos ,

⋅ =

 

∠



  

a b a b a b

× =

 

a b c der

, og danner et høyrehåndssystem

a b  c

( )

sin ,

× =

 

∠



  

a b a b a b

Logaritmer

log 10^a

a= x ⇔ x= loga^x =xloga

( )

log a b⋅ =loga+logb log a loga logb

  =b −

  