MAXIMAL ENTROPY SOLUTIONS FOR SCALAR CONSERVATION LAWS WITH DISCONTINUOUS FLUX

(1)

"!#$%'&(*)$ +, -.

/1020+435'3'6798:<;'.=)< ><?#@833'6

ACBEDEFAGBEHJILKNM%OQPSRTVU"PQH,WXM%F?PSKYU[Z\PSO]BVU"^BEHBEO

^_PQKYU`ILObacBM%F?PQKVH,Bed dfFgM%hjiXF?Uk^_PSKNM%FgKNWNPSWNU[ZbH,WXD

l?monknqp"rkstupurwvmxlp"sur

ykz'{1|'}<~$|,k'c*'xL*ue'qb\ue'k<

''¡ $'¢e'g?'£',¤',* '¥

t

',x'b'¦x1 §

¨L(©<eg 'b§¨¢'¤kg¤g¦'q"'u2¥qª«1

b§¬¢'¤1'1e g\bgx¬`''2¥ t '`?'kq§

®''u'`g¢u9kb'©<ª'¢®?x§x¯k'¨¤$`'bg¥ r '

'¤°ee9g¤g¦'q"''%'ueq¤?

`¥ t 'uee'g¤\'(e?b('ug¤g

'¤<¦`'°'g?'kg±°'£'u\ $£''®'¥

²³e´µ¶·(¸u¹"ºu»¶(¼o¸"µ

½w¾%¿$À¾LÁ±Â2Ã¾?À¾ÄÃ¾?ÅÆÁÂXÃÇÈ¾ÉoÊË±ËÊ<ÌbÁ±ÂÍ@ÊÂ¾%ÅÁ±Î_¾ÂÈÄÁ±ÊÂÈ¿Ë`ÄÁ±ÂÍË±¾¦ÏgÊ9ÂÈÄ¾?ÀÐ<¿$ÃÁ±ÊÂEË¬¿'Ì¦Ñ

Ò

²³±²Ó Ô«Õ(Ö

Ò×qÒØÒoÙ

ÓÚ

Ô

ÓÓÛ Ü Ý

Ô

ÒoÙ

ÚÝ9Ó Ü

Ô«Þ ÒxÙ

Ó

½ßÁÃÇ

Ô

¿ÄÃÇÈ¾LàÈÂáÂÊ<ÌbÂ`Ñ

×

¿9Ä,ÃÇ¾LâÈàãÆ¿ÂÈÅ

Ø

¿Äb¿@ÄäÈ¿<ÃÁ±¿ËË±åQÅ¾ä«¾ÂÅ¾Â2ÃcÏgÊ¾æSÏÁ¾?Â2Ã

ÌbÇÁ¬ÏÇ_ÎS¿'å%ç¾eÅÁ±ÄÏgÊ9Â9ÃÁÂàÊ9àÈÄ

³kè

Ç¾eÄÁ±Î@äÈË¾ÄÃ£ÉoÊ9ÀÎGÊÉ

Ò

²³±²Ó

Á¬ÄqÃÇÈ¾cÄÊé1Ï?¿$Ë±Ë¾Åêë\âÈàãÏ?¿Ä¾

Í9ÁÐ9¾ÂEçå9Ñ

Ò

²³

ê Ó Ô Õ Ö

ÒxìíÒxÙ

Ó

×qÒ

Ô Ó Ö Ò ² ë ìíÒoÙ ÓÓ1î

ÒÔ

ÓÓ Û ÜßÝ

½ßÇ¾?À¾

ì

Á¬ÄbÃÇ¾¡ïc¾?¿'ÐÁ±ÄÁ¬Å¾ÉoàÂÈÏgÃÁ±ÊÂ ³eð ÊÀbÃÇ¾¡À¾?ÄÃeÊ$ÉqÃÇÈÁ±ÄäÈ¿$ä«¾ÀÑÈÌ¾¦ÌbÁ±ËËqÏgÊ9ÂÈÄÁ¬Å¾?À

Ò

²³ê Ó ÉoÊ9ÀÄÁÎ_äË±Á¬ÏgÁÃå ³°ñ Ë±Ë(À¾ÄàÈËòÃÄ°ÊçÃ¿$Á±Â¾Å_ÉoÊÀÁòÃbÏ¿ÂQç«¾¾¿ÄÁË±å¡ÃÀ¿ÂÈÄÉo¾À¾?Å@ÃÊ

Ò

²9³²'Ó³£ó ¾¾

ôõ<ö

ÉoÊ9ÀeÅ¾gÃ¿$Á±Ë±Ä ³

÷,ø2àÈ¿$ÃÁ±ÊÂÈÄÊ$ÉuÃÇ¾Ãåä¾

Ò

²9³²'Ó ¿ÀÁ¬Ä¾cÁÂX¿¡ÌbÁ¬Å¾LÐ'¿ÀÁ±¾gÃå_ÊÉ"¿$ääÈËÁ¬Ï¿$ÃÁ±ÊÂÈÄËÁ±á¾cÃÌÊéäÈÇÈ¿Ä¾

âÈÊ<ÌeÄ\Á±ÂN¿_Ç¾gÃ¾ÀÊÍ9¾Â¾?ÊàÈÄä«ÊÀÊàÈÄ\Î_¾?ÅÁàÎùÑÃÇ¾¡ÄÁÎàË¬¿<ÃÁ±ÊÂXÊ$ÉkÃÇÈ¾úË±¿ÀÁûÈ¾Àéè ÇÁ±Ïá9¾Â¾?À

àÂÈÁòÃQàÈÄ¾?ÅüÁ±ÂýÌ¿9ÄÃ¾XÌ\¿<Ã¾À_ÃÀ¾¿<ÃÎ_¾?Â9ÃQäÈË±¿Â9ÃÄS¿$ÂÈÅüÁ±ÂüÃÀ¿<æQÏÆâÈÊ<ÌþÊ9Â4ÇÈÁÍ9Ç2Ì\¿'åÄ@ÌbÁòÃÇ

ÏÇÈ¿ÂÍÁ±ÂÍ@ÄàÀÉx¿Ï¾LÏÊÂÈÅÁòÃÁÊ9ÂÈÄ

³£ñ

Å¾Ã¿$Á±Ë±¾?ÅX¿ÏÏÊàÂ2Ã\Ê$É"¿ääË±Á±Ï?¿<ÃÁÊ9ÂÈÄÁ±Ä\äÀÊ<ÐÁ±Å¾?ÅSÁ±Â ô

²?Ý ö³

è

Ç¾SÎS¿$Á±ÂwÁ±ÄÄàÈ¾?ÄÁ±ÂYÃÇ¾QÄÃàÈÅåÊÉ

Ò

²³±²Ó

Á±Ä¦ÃÊXÉoÊÀÎ¡àË¬¿<Ã¾@¿ùÄàÁÃ¿$çÈË¾SÏgÊ9ÂÈÏg¾?äÃ¦Ê$É\¾Âé

ÃÀÊ9ä2åSÄÊË±àÃÁ±ÊÂÄ,ÉoÊ9À,ÃÇ¾?Ä¾¾?ø2àÈ¿$ÃÁ±ÊÂÈÄ¿$ÂÈÅQÃÊ_Á±Â2Ð9¾?ÄÃÁ±Í9¿$Ã¾eÃÇ¾L¾gãÁ±ÄÃ¾?ÂÈÏg¾¿$ÂÅEÄÃ¿$çÈÁË±ÁòÃåEÊ$É

¾?Â9ÃÀÊ9äåQÄÊ9ËàÃÁÊ9ÂÈÄ

³°ñ

ÂÊÃÇ¾?ÀcÏgÀàÈÏgÁ¬¿$ËÁ¬ÄÄà¾¦Á¬Ä\ÃÊ_Å¾ÀÁÐ9¾ÄàÁÃ¿çË¾¦ÂàÎ_¾?ÀÁ¬Ï¿Ë`ÄÏÇ¾?Î_¾?Ä\ÃÊ

¿ääÀÊ'ãÁ±ÎS¿<Ã¾cÃÇ¾%¾Â2ÃÀÊ9ä2åÆÄÊ9ËàÃÁÊ9ÂÈÄ ³,ñ Ë±Ê$ÃeÊ$ÉqäÈ¿ä¾?ÀÄbÁ±ÂùÀ¾Ïg¾?Â9Ãeå9¾?¿ÀÄ\ÇÈ¿'Ð9¾¦¿ÅÅÀ¾?ÄÄ¾?Å

ÃÇ¾?Ä¾ø2à¾ÄÃÁÊ9ÂÈÄeÁ±ÂÍÀ¾?¿$ÃÅ¾Ã¿$Á±ËÑ(Ä¾¾ ôÿ$ö

Ñô<ö Ñô² ö Ñ

ôö

Ñô

²² öÑô² ê ö

¿ÂÈÅùÃÇ¾À¾gÉo¾?À¾?ÂÈÏg¾Ä\ÃÇÈ¾À¾Á±Â

ÃÊ@Â¿$Î_¾àÈÄÃL¿¡Éo¾?Ì ³

Â¾\Á±Â9Ã¾À¾?ÄÃÁ±ÂÍLÉo¾?¿$ÃàÀ¾bÊ$É

Ò

²³±²Ó Ì\¿ÄkÃÇ¾eÅÁ¬ÄÏÊ<Ð¾ÀåLÃÇÈ¿$Ã°ÁòÃ,Ï?¿$Â@ÍÁ±Ð¾\ÀÁ±Ä¾ÃÊ¦ÅÁ«¾?À¾?Â9Ã

ÏË±¿9ÄÄ¾?ÄÊ$ÉqÎ_¾?¿$ÂÈÁÂÍÉoàË¾Â2ÃÀÊ9ä2åQÄÊË±àÃÁÊ9ÂÈÄÁÂùÅÁ«¾?À¾?Â9ÃeäÈÇ2åÄÁ±Ï?¿$Ë(À¾ÍÁ±Î_¾?Ä ³ ÂùäÈ¿ÀÃÁ±ÏàË¬¿$ÀÑ

ÃÇ¾XÄ¾Î_ÁéÍ9ÀÊ9àäíÁ¬Å¾Â2ÃÁòûÈ¾Å Á±Â ô'ö

Á±Â4ÃÇ¾NÏgÊ9Â2Ã¾gãÃ_Ê$É¿ Ð<¿$ÂÁ¬ÄÇÁÂÈÍ ÐÁ¬ÄÏÊ9ÄÁòÃå Ë±ÁÎ_ÁÃ_Ì\¿Ä

ÅÁ(¾À¾Â2Ã\ÉoÀÊ9Î ÃÇÈ¾¦ÊÂ¾Á¬Å¾Â2ÃÁûÈ¾ÅÆÁ±Â ô² ö

ÌbÇÁ¬ÏÇùÏÊÀÀ¾Ää«ÊÂÅ¾?ÅQÃÊ@ÃÇ¾¦äÈÇ2åÄÁ±Ï?¿$Ë±ËåEÎ@¾¿$Âé

Á±ÂÍ$ÉoàÈËÈÄÊ9ËàÃÁ±ÊÂÈÄqÉoÊ9À£ÃÌÊ$é1äÇÈ¿Ä¾âÈÊ<ÌeÄ£Á±ÂSÇ¾gÃ¾ÀÊÍ9¾Â¾?ÊàÈÄkä«ÊÀÊàÈÄ£Î_¾ÅÁ±¿ ³kè ÇÈÁ±ÄÄàÀäÀÁ±ÄÁ±ÂÍ

Éo¾¿<ÃàÈÀ¾%Ì\¿ÄbÉoÊÀÎ_¿ËÁ¾ÅXÉoÊÀ

Ò

²³ê Ó ÌbÁòÃÇYÏgÊ9ÂÐ¾gãÆâÈàã¾?ÄcÁÂ ôê ö

³Â ôê ö

ÑÃÇ¾@¿$àÃÇÊÀÄbÌ¾À¾

¿çË¾\ÃÊ¦Á±Å¾Â2ÃÁÉoåÁ±ÂûÈÂÈÁòÃ¾Ë±å@ÎS¿Â2åÄÃ¿çË¾eÄ¾Î_ÁéÍ9ÀÊ9àäÈÄqÊÉ(¾?Â2ÃÀÊäå¡ÄÊË±àÃÁ±ÊÂÈÄ£ÉoÊÀ

Ò

²³±²Ó³

÷¿ÏÇ ÊÉÃÇ¾?Ä¾Ä¾Î_Áòé1ÍÀÊàÈäÈÄ@Ì¿9ÄSÏÇÈ¿$À¿ÏgÃ¾ÀÁ¾?Å ÁÂüÃ¾ÀÎ_Ä_ÊÉ¿ Á±Â2Ã¾?ÀÉx¿9Ïg¾NÏgÊ9ÂÂ¾?ÏgÃÁ±ÊÂ ³

(2)

÷°ãÁ¬ÄÃ¾ÂÏg¾eÌ\¿ÄäÀÊ<Ð¾?Å_çåSÄÇÊ<ÌbÁÂÈÍ¡ÏgÊ9Â2Ð9¾ÀÍ¾?ÂÈÏg¾\ÉoÊ9À¿LÊÅàÂÊ<Ð@Ãåä¾ÄÏÇÈ¾Î_¾¿ÂÈÅQÄÃ¿<é

çÁ±Ë±ÁòÃåÆÌ¿9Ä\çÈ¿Ä¾?ÅÆÊÂù¿SÅÊàÈçËÁ±ÂÍSÊÉ"Ð<¿$ÀÁ±¿çË±¾?Äb¿$ÀÍàÈÎ@¾?Â2Ã ³°è Ç¾%¿àÃÇÊ9ÀÄ¾ã2Ã¾ÂÈÅ¾?ÅÆÃÇ¾Ä¾

À¾?ÄàËÃÄÃÊ_Í9¾Â¾?À¿Ëâàã¾?ÄbÁ±Â ô'ö

¿$ÂÈÅEÃÊ_ÃÇ¾¦Î_ÊÀ¾LÍ9¾Â¾?À¿Ë(¾?ø2àÈ¿<ÃÁÊ9Â

Ò

²³±²Ó Á±Â ôõ$ö

³

ïe¾?ÂÈÏg¾9ÑÃÇ¾Ã¿9Äá_ÊÉ`ÉoÊÀÎ¡àË¬¿<ÃÁÂÈÍ¿¡ÄàÁÃ¿çË¾ÏgÊ9ÂÈÏg¾?äÃÊÉu¾Â2ÃÀÊ9ä2å_ÄÊË±àÃÁ±ÊÂEÉoÊÀ\¿%ÍÁ±Ð¾?Â

äÇåÄÁ±Ï?¿$ËcÀ¾Í9ÁÎ_¾ À¾ÅàÈÏg¾ÅýÃÊüÏÇÊÊ9ÄÁÂÈÍ ¿ ÄàÁÃ¿$çÈË¾ ÏgÊ9ÂÂ¾?ÏgÃÁ±ÊÂ ³ Â ôê ö

ÑeÃÇ¾w¿àÃÇÈÊÀÄ

äÀÊä«Ê9Ä¾?Å ¿ ÏgÊ9ÂÈÏg¾?äÃ@ÊÉk¾Â2ÃÀÊ9ä2å ÄÊË±àÃÁ±ÊÂÈÄ¡ÉoÊÀ

Ò

²9³ ê Ó

ç¿Ä¾?Å Ê9ÂíÊäÃÁÎ_ÁÁ±ÂÍ ¿

ÄàÁÃ¿$çÈË¾XÉoàÂÈÏgÃÁ±ÊÂÈ¿Ëe¿<Ã_ÃÇÈ¾NÁÂ2Ã¾?ÀÉx¿9Ïg¾

³ýè

ÇÈÁ±Ä@ÉoàÂÏÃÁ±ÊÂ¿$ËbÌ\¿ÄS¿ Î@¾¿ÄàÀ¾XÊÉcÃÇ¾ùÃÊÃ¿$Ë

Ð<¿$ÀÁ¬¿<ÃÁ±ÊÂLÊ$ÉÃÇ¾ÄÊË±àÃÁ±ÊÂ

Ò

Î@¾¿ÄàÀ¾?ÅÁ±ÂÃ¾ÀÎSÄ`ÊÉ¿bÄÁ±ÂÍàË¬¿$ÀuÎ_¿ääÁ±ÂÍ Ó ¿$ÂÈÅLÃÇ¾°À¾?ÄàËòÃÁÂÈÍ

Ê9äÃÁ±Î_Á?ÁÂÍùÏgÊ9ÂÂ¾ÏÃÁ±ÊÂ ÃàÈÀÂ¾ÅYÊ9àÃÃÊùç«¾@àÈÂÁ±ø2à¾S¿ÂÈÅ ÏÊÁ±ÂÈÏgÁ¬Å¾ÅYÌbÁÃÇ ÃÇ¾_äÇåÄÁ±Ï?¿$Ë±Ëå

À¾Ë±¾Ð<¿$Â2ÃeÂÊ9Âé1àÂÈÅ¾?ÀÏÊÎ_äÀ¾?ÄÄÁ±Ð¾¦ÄÊË±àÃÁ±ÊÂùÉoÊ9ÀeÃÌÊ$é1äÇÈ¿Ä¾âÈÊ<ÌeÄcÁÂä«ÊÀÊàÄbÎ_¾?ÅÁ¬¿ ³ ¾Ã?Ñ

Ê9Â¾NàÂÈÅ¾ÄÁ±À¿$çË±¾XÉo¾?¿<ÃàÀ¾NÊ$ÉÃÇ¾YÁÂ2Ã¾?ÀÉx¿9Ïg¾XÉoàÂÈÏgÃÁ±ÊÂÈ¿ËcÌ\¿Ä@ÃÇÈ¿<ÃEÁÃÆÅ¾?ä¾?ÂÈÅ¾ÅýÊÂüÃÇ¾

Ð<¿$ÀÁ¬¿<ÃÁ±ÊÂùÊÉkÃÇ¾¡ÄÊË±àÃÁ±ÊÂ¿ÂÈÅNÅÁ¬ÅÂ ÃÀ¾Ë±åEÊ9Â¿$ÂåE¾?Â9ÃÀÊ9äåÆÏgÀÁÃ¾ÀÁ¬¿ ³\è ÇÁ±Ä¿$ääÈÀÊ2¿ÏÇùÁ±Ä

¿Ë±ÄÊÅÁæQÏgàËÃbÃÊ_¾ã2Ã¾ÂÈÅ¾?ÅEÉoÊÀbÎ_ÊÀ¾Í9¾Â¾?À¿ËÈâàãEÍ¾?ÊÎ_¾gÃÀÁ±¾?Ä ³°ó ¾¾ ô'ö

ÉoÊÀe¿@ÅÁ¬ÄÏàÈÄÄÁ±ÊÂ ³

½w¾SäÀÊ9äÊ2Ä¾S¿XÂ¾?Ì ¿$äÈäÀÊ2¿ÏÇYÃÊ¿ÅÈÅÀ¾ÄÄÃÇ¾Q¿$ç«Ê<Ð¾@äÀÊçË±¾Î Á±ÂwÃÇÁ¬Ä¦äÈ¿ä¾?À ³ àÀ

¿ääÀÊ9¿ÏÇ¡Á±ÄqçÈ¿9Ä¾Å¡Ê9Â@Å¾gûÈÂÁ±ÂÍ%¿LÂ¾?ÌíÉoàÂÈÏgÃÁ±ÊÂÈ¿ËÈÅ¾?ä¾?ÂÈÅÁ±ÂÍ¦ÊÂÃÇ¾b¾?Â2ÃÀÊäå%ÅÁ¬ÄÄÁä¿<Ã¾Å

¿9ÏgÀÊ9ÄÄÃÇ¾%Á±Â2Ã¾?ÀÉx¿9Ïg¾¡¿ÂÈÅùÌ¾Å¾ÎS¿$ÂÅXÃÇÈ¿$ÃÂÊÃcÊÂË±åXÁ±Äc¾Â2ÃÀÊäåÆÅÁ±ÄÄÁ±äÈ¿$Ã¾?ÅN¿9ÏgÀÊ9ÄÄÃÇ¾

Á±Â2Ã¾ÀÉx¿Ï¾ÑçàÃcÌ¾%¿Ë±ÄÊSÏÇÊÊ9Ä¾LÃÇ¾%ÏÊÂÂ¾ÏÃÁÊ9ÂÆÃÇÈ¿<ÃLÅÁ±ÄÄÁäÈ¿$Ã¾ÄÃÇ¾%ÎS¿$ãÁ±Î¡àÈÎ ¾Â2ÃÀÊ9ä2å

¿9ÏgÀÊ9ÄÄÈÃÇ¾°Á±Â2Ã¾ÀÉx¿Ï¾ ³kð ÊÀ"ÏgÊÂÐ9¾gãeâÈàã¾ÄÑ?ÃÇÈÁ±ÄuË¾¿ÅÄ(ÃÊc¿\àÂÁ¬ø2à¾,ÏÇÊ9Á±Ï¾£Ê$É2ÃÇ¾,Î_¿$ãÁÎ_Á¾À

ÌbÇÁ¬ÏÇ¡ÏÊÀÀ¾Ää«ÊÂÈÅÈÄÃÊcÃÇ¾!#"$%&¾?Â9ÃÀÊ9äåLÄÊË±àÃÁ±ÊÂÄ`ÉoÊ9À Ò

²³

ê

Ó³kè

Ç¾Î_¿$ãÁÎS¿$Ë2¾Â2ÃÀÊ9ä2å

ÄÊË±àÃÁ±ÊÂÄQ¿$À¾N¾?¿9Äå ÃÊí¾ã2Ã¾ÂÈÅüÃÊ Î_ÊÀ¾Í¾?Â¾À¿$Ë\âÈàã¾ÄE¿ÂÈÅßÏgÊ9ÁÂÈÏÁ±Å¾NÌbÁòÃÇßÃÇ¾YÂÊÂé

àÂÅ¾ÀÏgÊ9Î@äÈÀ¾ÄÄÁÐ9¾ÄÊË±àÃÁ±ÊÂ¡ÃÇÈ¿$Ã£Á±ÄqäÇåÄÁ±Ï?¿$Ë±Ëå¦Î_¾?¿ÂÁ±ÂÍ$ÉoàËÁ±ÂÃÇ¾eÏÊÂ2Ã¾ã2ÃqÊ$ÉÃÌÊéäÈÇÈ¿Ä¾

âÈÊ<ÌeÄ\Á±ÂN¿@Ç¾gÃ¾ÀÊÍ¾?Â¾Ê9àÈÄäÊ9ÀÊ9àÈÄ\Î_¾?ÅÁ±àÎ ³ ÂXÉx¿9ÏÃ?ÑÈÌ¾¦ç«¾Ë±Á¾?Ð¾LÃÇ¿<Ãc¿@ÃÀ¿'Ð¾?ËÁ±ÂÍ@Ì¿'Ð9¾

¿ÂÈ¿$Ë±åÄÁ¬Ä£ÌbÁ±ËËË¾¿Å_ÃÊ¦ÃÇ¾LÄ¿Î_¾e¾Â2ÃÀÊäå@ÏgÀÁòÃ¾ÀÁ±¿¦¿ËòÃÇÊàÍ9Ç_ÃÇ¾LÏ¿Ë±ÏàË±¿$ÃÁ±ÊÂÈÄ,¿$À¾eç¾?åÊ9ÂÈÅ

ÃÇ¾%ÄÏÊä«¾Ê$ÉuÃÇÁ¬ÄbäÈ¿$ä«¾À ³

è Ç¾QÄÁòÃàÈ¿<ÃÁÊ9Â ¿$ç«Ê<Ð¾_Á±Ä¡ÄÁ±Î_ÁË¬¿$À¦ÃÊùÃÇ¾SÊ9Â¾S¾ÂÏgÊàÈÂ9Ã¾À¾?Å ÌbÇÁ±Ë¾EÅ¾?¿$Ë±Á±ÂÍùÌbÁòÃÇ ÂÊÂé

ÏË±¿9ÄÄÁ±Ï?¿$ËÈÄÇÊÏáÄ£À¾?ÄàËòÃÁÂÈÍ¦ÉoÀÊ9Î Ð<¿ÂÁ±ÄÇÁ±ÂÍÅÁ(àÈÄÁÊ9Âé1ÅÁ±ÄÄÁ±äÈ¿$ÃÁ±ÊÂ_ËÁ±Î_ÁòÃÄ,ÊÉuÏgÊ9ÂÈÄ¾?ÀÐ<¿$ÃÁ±ÊÂ

Ë¬¿'ÌeÄ ³ ó ¾¾ ô'<ö

ÉoÊÀ_Î_ÊÀ¾XÅ¾Ã¿ÁË¬Ä ³ Â ô''ö

Ñ°ÃÇÈ¾À¾X¿À¾XÁÂûÈÂÁÃ¾Ë±åíÎS¿$ÂåíÄÃ¿çË¾ùÄÊË±àÃÁ±ÊÂÈÄ

¿ÂÈÅÃÇ¾SäÇåÄÁ¬Ï¿ËË±åÀ¾Ë±¾Ð<¿$Â2Ã%ÄÊË±àÃÁ±ÊÂ Á¬Ä¦Ä¾?Ë¾ÏÃ¾Åwç2å ¿ùÎ_¿$ãÁÎ_Á?¿<ÃÁÊ9Â ÊÉÃÇ¾S¾Â2ÃÀÊ9ä2å

ÅÁ¬ÄÄÁ±äÈ¿<ÃÁÊ9ÂÆÎ_¾¿ÄàÀ¾ ³kè ÇÈÁ±ÄbÎ_ÊÃÁ±Ð'¿$Ã¾Ä\àÈÄ\ÃÊ_àÈÄ¾%¿_ÄÁ±Î_ÁË¬¿$Àe¿ääÀÊ9¿9ÏÇQÉoÊÀ

Ò

²³±²Óg³

ñ ÂÈÊ$ÃÇÈ¾À¡ÂÈÊ<Ð¾Ë°Éo¾?¿<ÃàÀ¾QÊ$É\ÃÇÈÁ±Ä¡äÈ¿$ä«¾ÀÁ±Ä%ÃÊYÅ¾?ÀÁ±Ð¾Q¿YÄàÁÃ¿çË±¾QÎ_ÊÅÁòûÏ?¿<ÃÁÊ9Â Ê$É\ÃÇ¾

÷,ÂÈø2àÁ±ÄÃé

ÄÇ¾À¦ÄÏÇ¾Î_¾_ÉoÊÀ%¿ääÀÊ'ãÁÎS¿<ÃÁÂÈÍù¿ÂåYÄ¾?Î_Áòé1ÍÀÊàäwÊ$É\¾Â2ÃÀÊ9ä2å ÄÊ9ËàÃÁÊ9ÂÈÄLÉoÊÀ

Ò

²³ê Ó³ Â ôê ö

ÑÁÃbÌ¿9ÄÎ_¾?Â9ÃÁÊ9Â¾?ÅQÃÇÈ¿$ÃbÌ¾LÂ¾¾Å)(eÁ¾?Î_¿ÂÂùÄÊ9ËÐ9¾ÀÄ£ÃÊ_ç«¾¦¿$çË±¾cÃÊ@¿ääÀÊ'ãé

Á±ÎS¿<Ã¾LÃÇ¾?Ä¾ÁÂûÂÁòÃ¾%ÏgË¬¿ÄÄ¾Ä,ÊÉqÄÊË±àÃÁÊ9ÂÈÄçàÃbÃÇÈ¾LÎ_ÊÅÁûÏ¿$ÃÁ±ÊÂÈÄ\ÊÉuÃÇ¾¦÷°ÂÈø2àÁ¬ÄÃé

ÄÇ¾?À

âÈàã¡ÄàÍ9Í¾ÄÃÄÃÇ¿<ÃqÌ¾Ï¿$ÂÌÊ9ÀáLÌbÁÃÇ%ûÂÁòÃ¾bÅÁ(¾À¾ÂÏg¾ÄÏÇ¾?Î@¾ÄkÁÂ@¿$ääÀÊ'ãÁÎS¿$ÃÁ±ÂÍ\ÃÇ¾Ä¾

Á±ÂûÈÂÁÃ¾Ä¾?Î@Áé1ÍÀÊàäÈÄeÊ$É°ÄÊ9ËàÃÁ±ÊÂÈÄ

³è

ÇÈ¾%À¾ÄÃÊ$ÉqÃÇÁ¬Äeä¿$ä«¾ÀcÁ¬ÄeÊ9ÀÍ2¿$ÂÁ¾ÅÆ¿9ÄbÉoÊ9ËË±Ê<ÌeÄÑ

Â

Ä¾?ÏgÃÁ±ÊÂ

Òê Ó ÑÌ¾XÄÃ¿$Ã¾XÃÇÈ¾XÇåä«Ê$ÃÇÈ¾?ÄÁ±Ä@Ê$ÉÃÇ¾XâÈàã¾Ä_¿$ÂÈÅ4Á±Å¾Â2ÃÁÉoå ÃÇÈ¾XÁ±ÂûÈÂÈÁòÃ¾ÏgË¬¿ÄÄ¾Ä

ÊÉ¾?Â9ÃÀÊ9äåYÄÊ9ËàÃÁ±ÊÂÈÄLÉoÊ9À

Ò

²9³

ê

Ó³Æè

ÇÈ¾Q÷°ÂÈø2àÁ¬ÄÃé ÄÇ¾?ÀâÈàã Á¬Ä%äÈÀÊ9äÊ2Ä¾Å ¿ÂÈÅ ÄÇÊ<ÌbÂwÃÊ

ÏÊÂÐ¾?ÀÍ9¾LÁ±ÂYÄ¾?ÏgÃÁ±ÊÂ Ò

Ó ¿ÂÈÅXÃÇÈ¾@ÏÊÂÈÏ¾äÃcÊÉ°ÎS¿<ãÁÎS¿Ëu¾Â2ÃÀÊ9ä2åùÄÊË±àÃÁ±ÊÂÈÄcÁ±ÄLÅ¾ÄÏÀÁ±ç¾Å

Á±ÂXÄ¾?ÏgÃÁ±ÊÂ Òoõ

Ó³ ½w¾%ÏgÊ9ÂÈÏgË±àÈÅ¾ÌbÁÃÇNÄÊ9Î_¾LÂàÎ_¾?ÀÁ¬Ï¿Ë¾gãä¾?ÀÁ±Î_¾Â2ÃÄ\Á±ÂNÄ¾ÏÃÁÊ9Â

Ò

Ó³

ê

³*,+.-0/µ¶·(¸214365¸272º¶¼o¸"µ25

8`¾Ãeë:9<;>=@?>AB;C9

³ ½ ¾eÏÊÂÈÄÁ¬Å¾ÀkÃÇÈ¾\âÈàã¾?Ä

× Ñî

ÌbÁòÃÇÃÇ¾\ÉoÊË±Ë±Ê<ÌbÁÂÍLÇåäÊÃÇ¾ÄÁ¬ÄÑ

ì ³ ×

ÚîED 8`Á±ä ô= Ú A ö³

ì ³

×qÒ

= Ó°Üßî Ò= ÓgÚ

×qÒ

A Ó°Üýî ÒA Ó³

ì%F

³°î(Ú

×

ÇÈ¿'Ð¾¦¿<ÃeÎ_Ê2ÄÃbÊÂÈ¾¦Î@Á±ÂÁ±Î¡àÎ

Ò

À¾?Ää ³ ÎS¿$ãÁ±Î¡àÈÎ Ó ¿ÂÈÅXÂÊ_ÎS¿<ãÁÎS¿

Ò

À¾Ää ³

Î_ÁÂÁ±ÎS¿ Ó Á±Â ô= Ú A ö³

è Ç¾e¿çÊ<Ð9¾Çåä«Ê$ÃÇÈ¾?ÄÁ±Ä°¿À¾bÄÃ¿ÂÈÅ¿$ÀÅ¡ÉoÊÀqâÈàã¾ÄqÃÇÈ¿$Ã¿$ÀÁ¬Ä¾\Á±ÂÃÌÊ$é1äÇÈ¿9Ä¾âÈÊ<ÌeÄ£¿9ÏgÀÊ9ÄÄ

Ò

(3)

ÃÇ¾¦ÄÃ¿$ÂÈÅ¿ÀÅXÅ¾ûÈÂÁÃÁ±ÊÂùÊ$ÉkÌ¾¿$áQÄÊË±àÃÁ±ÊÂÈÄ\ÊÉ

Ò

²³ê Ó ¿$ÂÈÅÆÃÇ¾¦ÄÃ¿$ÂÈÅ¿ÀÅÀà áÇÊ<Ð@Ãåä¾

Á±Â2Ã¾ÀÁ±ÊÀe¾?Â9ÃÀÊ9äåXÏÊÂÈÅÁÃÁ±ÊÂÄ ³ó ¾¾@Ä¾ÏÃÁ±ÊÂYêQÊ$É ôê ö

Ñ«Å¾gûÈÂÁÃÁ±ÊÂÄê² ¿$ÂÈÅYê

³ ½w¾¡áÂÊ<Ì

ÃÇÈ¿<Ã£ÃÇ¾bÁÂ2Ã¾ÀÁÊ9Àk¾?Â2ÃÀÊäå%ÏgÊ9ÂÈÅÁÃÁ±ÊÂÈÄ°¿À¾ÂÊÃ°¾ÂÊ9àÍÇÃÊ¦Í9àÈ¿$À¿$Â2Ã¾?¾,àÂÈÁ±ø2à¾?Â¾?ÄÄ ³ ïe¾?ÂÈÏg¾

¿9Ä\ÁÂ ôê ö

ÑÈÌ¾äÀÊÏg¾¾ÅQÃÊSÅ¾gûÈÂÈ¾Ñ

s B A θ f θ g α θ g B A S

Connection

Convex−Convex fluxes (Under Compressive Case)

f

g

¼uºu· /Ló ÇÈ¿ä¾¦ÊÉ"âàã¾?Ä

× Ñî ¿$ÂÈÅXÏgÊ9ÂÂ¾?ÏgÃÁ±ÊÂÈÄ

i "!"#$%#'&!)(*'+*-, ../10#2.43657.4028/ :9/<;>= "/?8

×

2.@

î

8#8ACB :9/D9B 9/78 8

E¨ì

Ú ì Ú ì%F?FHG

9JIKDLC/9/M=. 'N7=/ :. O=4 PA

×

2.@MI%QRLC/:.S 9/M=. 'N7=/ :. O=4

TA îDU :9/7. 9/ &:V

Ò

*%Ú+ÓD ô= Ú A ö

8>8#'@ <LC/ <0 ../C0#. AW8# 8:X>/?89/A& G :.S U

EPYCF[Z

î Ò

*Ó°Ü

×qÒ

+@Ó

Z

E]\7F[Z

* ?^I%Q U 2.@<IKR_ + Z

5 8H8#'@E `L1/a=.@b/7V10& Vc/7818 :d2/@A * ;IeQ 2.@ +)f IK

Z

ó Ê9Î@¾¦¾ã¿$Î_äË±¾?Ä\Ê$ÉqÏgÊ9ÂÂ¾?ÏgÃÁ±ÊÂÈÄb¿À¾¦ÄÇÊ<ÌbÂEÁ±ÂXûÈÍàÈÀ¾

Ò

²'Ó

i "!"#$%#'&!g(*:(*h5?. ]/VA[0C/i/. jV0BWAC=.02.k7lmn3po 2V!.B />q U G / 28C8C=4/::9

9/%jV0b01/78%& 9/%:. ]/VA[0C/

Ôsr Òq ÓLÜ

Ô ÒÝ ë Ú q Ó .@

Ôt Òq ÓcÜ

Ô ÒÝ Ö Ú qÓ /0"$8 Zvu

9/. U G /

@b/'Xw./9/xA G

:. Sy57. z/7VAb01//. jV0BHAC=.02.{V1/&:d2/) :9/D0 2.|./C02.

Ò

*¡Ú0+Ó

28

Ò ê ³±²Ó

k lm

Òq Ó,Ü 8 }S.

ÒÔ r Òq Ó ë *Ó

Òî ÒÔ r Òq ÓÓ ë î Ò

*ÓÓ ë~8 }S[.

ÒÔ t Òq Ó ë +@Ó Ò×qÒ

Ô t ÒqÓÓ ë

×qÒ

+ÓÓ

eÊ<Ì¦ÑÌ¾%¿$À¾LÁÂùä«Ê9ÄÁòÃÁÊ9ÂEÃÊQÅ¾gûÈÂÈ¾Ñ

i "!"#$%#'&!(**D5?. ]/VA[0C/6>. VB, 2.@&.3y/69 de/ 9/RA& G

:.S6:. ]/VA[0C/

/. jV0BD02.@&.V1/&:d2/.)D0 2.|./C02.

Ò

*¡Ú0+Ó?U

Ò ê ³ê Ó k lm

Òq Ó _ Ý q

eÊÃ¾ÃÇÈ¿$Ã\ÃÇÁ¬Ä\ÏgÊÂÅÁòÃÁÊ9ÂEÁ¬Ä\Å¾gûÈÂÈ¾?ÅÆÌbÁòÃÇÆÀ¾?Ää¾ÏÃÃÊ@¾?¿9ÏÇEÏgÊ9ÂÂ¾?ÏgÃÁ±ÊÂ

Ò

*%Ú+Óg³ eÊ<Ì

ÉoÊ9Àe¾Ð9¾ÀåEÏÇÊÁ¬Ïg¾¦ÊÉ°ÏgÊÂÈÂ¾?ÏgÃÁ±ÊÂ

Ò

*¡Ú0+Ó ÑÌ¾%¿$À¾¦Á±ÂNäÊ2ÄÁÃÁ±ÊÂXÃÊÆÅ¾gûÈÂÈ¾¦ÃÇ¾ *,+ é1¾Â2ÃÀÊ9ä2å

ÄÊË±àÃÁ±ÊÂù¿ÄÑ

i "!"#$%#'&!(** *:+>. V0 B8#}=4.3AC=.0# 2.

Ô D W

ÒÒ

ë:9 Ú 9 Óx

ô

ÝÈÚ 9 Ó 8

EPY[Z\F Ò

(4)

A& G

:.S9 @e8 U

YbZ

Ô

8.

G / 8#=42. PA EPY[Z\F[Z

\Z

Ô

8#8:X>/?8 9/.:. z/7V Va/7. VBD0 [email protected] U 2.@

Z Ô

8#&8XW/78:9/ :. ]/VA[0C/H/. jV0Ba0.@&. E]\ Z\F

Vc/# :de/: 9/J0 2../C02.

Ò

*%Ú+Ó

Z

½w¾%ÄÃ¿<Ã¾ÃÇ¾ÉoÊË±Ë±Ê<ÌbÁÂÍ@¾gãÁ¬ÄÃ¾ÂÈÏ¾¦¿$ÂÈÅùÄÃ¿$çÈÁË±ÁòÃåQÃÇ¾?ÊÀ¾Î=ÉoÀÊÎ ôê

öÒ

ÌbÁÃÇÈÊàÃeäÀÊÊ$É Óg³

M"&2 (*'+*/# 9/w;W= "/78x8#8ACB:9/n9B &:9/?8 8 ì Ú ì

2.@

ì F

2.@:9/ /# 9/

:. &@

Ô«Þ D W

Ò= Ú A Ó+

Ò= Ú A ÓCU 9/.hA2Vh/ [0C90C9 &'0C/:TAh0../10# 2.

Ò

*¡Ú0+@ÓCU 9/

0 2V?V1/?8 2.@&:. S *:+ /. jV0B8#=42.8O/0"$8 .@ 2Vc/O=. 'N7=/

Z

o=V :9/7V 2Vc/ U /#

Ô

Ú LC/

9/ *,+D /7. V0 B8#&=4.8O0 2V?V1/?8 2.@&:. S)`@$

Ô«Þ Ú

Þ U 9/. 9/WA G

:. S /?8 %&]/

9 @28 U

Ò ê ³ Ó

r

Ô

ÒoÙ

Ú q Ó ë ÒoÙ

Ú q Ó Ù ?

r

Ô«Þ

ÒxÙ

Ó ë Þ ÒxÙ

Ó Ù

è Ç¾4äÀÊÊÉ@ÊÉ@ÃÇ¾4¿çÊ<Ð9¾ ÃÇ¾?ÊÀ¾Î]Á±ÄYäÀ¾?Ä¾Â2Ã¾Å Á±ÂCÅ¾Ã¿ÁËÁÂ

ôê ö³ ÷£ãÁ¬ÄÃ¾ÂÈÏ¾íÁ±Ä

äÀÊ<Ð¾Åüç2åýÄÇÊ<ÌbÁÂÈÍ ÏgÊ9Â2Ð9¾ÀÍ¾?ÂÈÏg¾XÉoÊÀ LÊÅàÂÊ<Ð2éÃå2ä«¾YÄÏÇ¾Î_¾ÄE¿$ÂÅ ÄÃ¿$çÁ±Ë±ÁòÃå4ÉoÊË±ËÊ<ÌeÄ

çåN¿`Àà ?á2ÇÈÊ<ÐQÃåä¾_ÅÊ9àçË±ÁÂÍXÊ$ÉÐ'¿ÀÁ¬¿$çÈË¾Äc¿$ÀÍàÈÎ@¾?Â2Ã ³ ÂÃÇ¾ÂÈ¾gãÃÄ¾?ÏgÃÁ±ÊÂ`Ñ(Ì¾äÈÀÊé

ÐÁ¬Å¾N¿$Âß¿$ËÃ¾?ÀÂÈ¿$ÃÁ±Ð¾X¾gãÁ¬ÄÃ¾ÂÈÏ¾NäÀÊÊÉçå4ÄÇÊ<ÌbÁ±ÂÍwÏÊÂÐ¾?ÀÍ9¾ÂÈÏ¾EÉoÊ9ÀQ¿ ÷°ÂÈø2àÁ¬ÄÃé ÄÇ¾?À

Ãåä«¾ÄÏÇ¾?Î@¾ ³

³Lµ"º`¼5g¶-5 /·í¶ 3 1 / 5» /:/

½w¾%ÄÃ¿$ÀÃ\ÌbÁÃÇN¿@Éo¾?Ì Å¾ûÈÂÁÃÁ±ÊÂÈÄ?Ñ

i "!"#$%#'&!-*'+* s/#"! D $#&%

ô= Ú A ö

LC/:JS :de/.JAC=.02.

ZOu

9/. U :9/x8 2.@ Vc@Jp.N=48

' 8c9/V{;>= "D0 2V?Vc/78 .@&:. S)(! 8nS :de/.-LB U

Ò

³±²Ó

ì Ò

«Ú*)gÓ°Ü

²

ê Ò! Ò

Ó

Ö ! Ò

)gÓ ë ,+

-

!.

Ò0/

Ó / Ó

ð Ê9ÀqÃÇ¾bÄä¾ÏgÁ¬¿$ËÏ?¿Ä¾ÌbÇ¾?À¾!@ÇÈ¿9Äq¿<Ã£Î_Ê9ÄÃqÊ9Â¾\Î_ÁÂÁ±Î¡àÈÎI D ô= Ú A ö

¿ÂÈÅÂÊÎ_¿$ãÁÎS¿Ñ

Ò

³±²Ó ÇÈ¿Äb¿@Ð9¾ÀåEÄÁ±Î_äË±¾ÉoÊ9ÀÎþÍÁ±Ð¾?ÂEçåÑ

Ò

³ê Ó ì Ò

«Ú*)gÓ£Ü ! Ò ÎS¿<ã

Ò

«ÚI ÓÓ

Ö ! Ò Î_ÁÂ

ÒI Ú1)gÓÓ ë2!

ÒI Ó

e¾ãÃeÌ¾Â¾?¾?ÅÆÃÊQÅ¾ûÈÂ¾¦¿@âÈàãX¿<ÃbÃÇÈ¾¦ÁÂ2Ã¾?ÀÉx¿9Ïg¾ç«¾Ë±Ê<Ì¦Ñ

i "!"#$%#'&! *(*J57. z/7VAb0C/Hp.N=48 ' 8c9/Vho = "3 s/

Ò

*¡Ú0+Ó LC/ `0 2../C02. A2V@9/

;>= "/?8

×

2.@ î 8&8ACB:.S 9/R9B 9/78 8 E¨ì

Úì Ú ì%F?F

U 9/. 9/E:. z/7VAb0C/Rp.N=48

' 8c9/V{;>= "3"lm 8a@[/X{./1@)e8

Ò

³ Ó 3

lm Ò

«Ú1)gÓ°Üýî

Ò

ÎS¿$ã

Ò

Ú*ÓÓ

Ö

×qÒ

Î_ÁÂ

Ò

)'Ú+ÓÓ ë î Ò

*LÓ

eÊÃ¾ ÃÇÈ¿<ÃNÃÇ¾ ¿$ç«Ê<Ð¾wÁ±Â9Ã¾ÀÉx¿Ï¾ âÈàã Á¬Ä¿ýÄÁÎ_äË±¾ Î_ÊÅÁòûÏ?¿<ÃÁÊ9Â ÊÉÃÇ¾íÄÃ¿$ÂÅ¿$ÀÅ

÷,ÂÈø2àÁ±ÄÃé ÄÇ¾ÀqâÈàãÃÊ¦ÃÇÁ¬Ä,ÄÁÃàÈ¿$ÃÁ±ÊÂ ³ ÉÌ¾eÃ¿$á9¾

Ò

*¡Ú0+ÓÜ

ÒI Q Ú I K Ó Ñ9ÃÇÈ¾ÂSÌbÇ¾?Â

×

Üßî Ñ

Ò

³ Ó À¾?ÅàÈÏg¾Ä,ÃÊ¡ÃÇ¾ÄÃ¿$ÂÈÅ¿ÀÅE÷°ÂÈø2àÁ¬ÄÃé

ÄÇ¾?À°âÈàãSÃÇàÈÄäÀ¾Ä¾?ÀÐÁ±ÂÍ%ÃÇ¾L¾?ÄÄ¾?Â9ÃÁ±¿Ë«ÏÊÂé

ÄÁ±ÄÃ¾?ÂÈÏgå ³

½w¾LÅÁ¬ÄÏgÀÁòÃÁ?¾Á±ÂÆÄäÈ¿Ï¾cÊ9ÂE¿¡àÈÂÁòÉoÊ9ÀÎ Í9ÀÁ¬ÅQÌbÁÃÇÆÎ@¾ÄÇÆäÈ¿$À¿$Î_¾Ã¾ÀÄ4! f4Ý ¿$ÂÈÅQÅ¾gûÈÂ¾

ÃÇ¾%Ää¿Ïg¾LÍÀÁ¬ÅEä«ÊÁ±Â2ÃÄ Ù5

¿ÄÉoÊ9ËË±Ê<ÌeÄ ³

Ù 5

Ü76 ê8#`ë

² ! ÉoÊÀ #w_

²Ú Ù 5

Ü76 ê:#

Ö ² ! ÉoÊÀ # ? ë ²

(5)

ó Á±Î_ÁË¬¿$ÀË±å Ì¾ùÅÁ¬ÄÏÀ¾ÃÁ¾XàÂÁÉoÊÀÎ@Ë±å Á±Â ÃÁÎ_¾ùÌbÁòÃÇ ÃÇ¾XÃÁ±Î_¾ùÄÃ¾?äOq¡¿ÂÈÅüÅ¾ÂÊÃ¾ÆÃÇ¾

ÅÁ¬ÄÏgÀ¾gÃ¾LÃÁÎ_¾¦Ë±¾Ð¾?Ë±Äb¿9Äpq ³°è Ç¾¡ú ð 8 ÏgÊÂÅÁòÃÁÊ9ÂÆÁ¬ÄbÍ9ÁÐ9¾ÂXç2å9Ñ

ê

Oq

!

? ²

ÌbÇ¾?À¾

Ü ÎS¿<ã #&%

Ò×

ÓgÚ #% Ò

îÓ 2³"è Ç¾%÷,ÂÈø2àÁ±ÄÃé ÄÇ¾ÀbÄÏÇ¾Î_¾Á±ÄbÃÇ¾?ÂXÍ9ÁÐ9¾ÂÆç2å9Ñ

Ò

³õ Ó Ô t

5 Ü Ô 5 ë Ò3 ÒÔ 5 Ú Ô 5t Ó ë 3 ÒÔ 5r ÚÔ 5 ÓÓ

ÁòÉ #{_ßê

Ô t

Ü Ô

ë

Ò3 ÒÔ Ú Ô Ó ë 3 lm

ÒÔ r ÚÔ

ÓÓ

Ô t

r Ü Ô r

ë Ò3"lm ÒÔ r Ú Ô Ó

ë ÒÔ r ÚÔ r

ÓÓÚ

Ô t

5 Ü Ô 5 ë

Ò ÒÔ 5 Ú Ô 5t Ó ë

ÒÔ 5r ÚÔ 5 ÓÓ ÁòÉ # ? ëcê

½ßÇ¾?À¾ 3 Ú ¿$À¾eÃÇ¾¦ÄÃ¿$ÂÈÅ¿ÀÅÆ÷°ÂÈø2àÁ¬ÄÃé

ÄÇ¾?À,âàã¾?Ä\ÏgÊ9ÀÀ¾?ÄäÊ9ÂÈÅÁ±ÂÍ¦ÃÊ

×

¿$ÂÈÅ î À¾gé

Ää¾ÏÃÁÐ9¾Ë±å¡¿$ÂÈÅ3 lm Á±ÄqÃÇ¾bÁ±Â9Ã¾ÀÉx¿Ï¾âàã

³

½w¾e¿$Ë¬ÄÊÂ¾?¾?Å¡ÃÇ¾e¿ääÀÊ'ãÁÎS¿<ÃÁÂÈÍcÉoàÂÏÃÁ±ÊÂÄÑ

Ò

³ Ó

Ô ÒxÙ

Ú q ÓÜ

Ô 5 ÉoÊ9À

ÒoÙ

Ú qÓD ôÙ 5

r Ú Ù 5t

Óp

ô

Oq Ú Ò

Ö

²Ó Oq ÓÚ #Ü Ý

½w¾¦ÇÈ¿'Ð¾LÃÇÈ¾ÉoÊË±ËÊ<ÌbÁ±ÂÍ_ÏgÊÂÐ9¾ÀÍ¾ÂÏg¾eÃÇ¾Ê9À¾?ÎùÑ

M"&2 *'+*Jo 2V !

füÝU /#

Ô

LC/.:9/a0 2V?Vc/78 .@&:. S0 0=4z/C@R8#}=4.S :de/.-LB

Ò

³õ ÓCU

u

9/.:9/7V1/M/0"$8 '8n8C=L78/CN7=/.0C/ !

Ý

8?=0C9@9 &

Ô

0.d2/7VjSb/78

Z/ Z G /

8#}=4.

Ô

TA

Ò

²9³ ê Ó

8#8ACB:. S:. ]/V 2Vx/. jV0BO0 2.@2.

Z

=$ 28/ 9/H@802. :.|=4'/78

TA>/de/V?B [AC=.0#.

Ô

PA

Ô

8i@&807Vc/#z/p8/2TA |80C9 x0=V?de/78 29/.

Ô

:.

>

!#"%$

ÒÒ

ÝÚ 9 ÓgÚ

!&"%$

Ò

ë:9 Ú 9 ÓÓ e8 !' ÝU 2.@

Ô

8#8XW/78 :9/!:. z/7VAb01/i/. jV0 BO0 2.@2.

Ò ê ³ê Ó Vc/#&:d2/ %9/ 0 2.|./C02.

Ò

*¡Ú0+Ó

Z

[/#]0C9CTA 9/)(>V0PA73 è Ç¾NäÈÀÊÊ$ÉÊ$É%ÏÊÂÐ¾?ÀÍ9¾ÂÈÏ¾ÆÁ¬ÄQçÈ¿9Ä¾ÅüÊÂ ¿ W ¾ÄÃÁÎS¿<Ã¾ =>?

Ô 5 ? A ÌbÇÁ¬ÏÇíÉoÊ9ËË±Ê<ÌeÄ%ÉoÀÊÎ ¿ Á±Â2Ð<¿ÀÁ¬¿$Â2ÃÀ¾Í9ÁÊ9ÂíäÀÁÂÏgÁ±äË¾ ³íè Ç¾ùá¾?å ÄÃ¾?ä Á¬Ä@ÃÊwàÈÄ¾

ÃÇ¾cÄÁÂÍ9àË¬¿$À£ÎS¿$ääÈÁÂÍ¦Î_¾ÃÇÊÅ@ÃÊÏgÊÂ2ÃÀÊ9ËÃÇ¾eÐ<¿ÀÁ¬¿<ÃÁÊ9Â@ÊÉÃÇ¾c¿ääÀÊ'ãÁ±ÎS¿<Ã¾\ÄÊË±àÃÁÊ9ÂÈÄ

³

è

ÇÁ¬Ä\Á¬ÄbäÀ¾?Ä¾Â2Ã¾ÅEÁ±ÂNÅ¾gÃ¿$Á±Ë`ÁÂXÃÇ¾¦äÈ¿$ä«¾À ô*'ö ÉoÊ9À\ÃÇ¾÷°ÂÈø2àÁ¬ÄÃé ÄÇ¾?À\ÄÏÇ¾?Î@¾

³£ñ Âù¾?¿9Äå

Î_ÊÅÁûÏ¿$ÃÁ±ÊÂ¦Ê$ÉÃÇ¾\¿$ÀÍàÎ_¾Â2ÃÄÁÂ ô*<ö ¿ääË±åLÁ±Â¦ÃÇÁ±ÄqÏ?¿Ä¾

³uè

Ç¾Å¾gÃ¿$Á±Ë±Ä"Ê$ÉÃÇ¾Ï?¿$Ë¬ÏgàË¬¿<ÃÁÊ9Â

¿À¾LÂÊ$ÃeäÈÀ¾Ä¾?Â9Ã¾?ÅÆÇ¾À¾

³ õ

³+-,/.u¼0,27 /µ¶·«¸ 1 3C5?¸ 72º¶¼o¸uµ25

è Ç¾?ÊÀ¾Î

Òê ³±²Ó Í9ÁÐ9¾?ÄÃÇÈ¾%¾gãÁ¬ÄÃ¾ÂÈÏ¾¦Ê$ÉqÁÂûÂÁòÃ¾Ë±åÆÎS¿Â2åXÄÃ¿$çË±¾%Ä¾Î_Áòé1ÍÀÊàÈäÈÄÊ$É£ÄÊ9Ëàé

ÃÁÊ9ÂÈÄLÉoÊÀ

Ò

²³ê Óg³Eè Ç¾SäÀÊçË±¾Î Ê$ÉbÏÇÊÊ9ÄÁÂÍùÊ9Â¾_Ê$ÉÃÇ¾Ä¾SÁ±ÂûÈÂÁÃ¾ÆÏgË¬¿ÄÄ¾ÄÁ¬Ä¦ÇÈ¿ÀÅ ¿ÂÈÅ

Å¾?ä¾?ÂÈÅÄSÊ9ÂüÃÇ¾äÈÇ2åÄÁ±Ï?¿$ËbÀ¾Í9ÁÎ_¾Nç«¾Á±ÂÍíÏgÊ9ÂÈÄÁ¬Å¾?À¾Å ³ ñ ÄEäÊ9ÁÂ2Ã¾?ÅüÊàÃQÁ±ÂýÃÇÈ¾ÁÂ2ÃÀÊé

ÅàÏÃÁ±ÊÂuÑuÌ¾@ÌbÁ±Ë±Ë,ç«¾SäÀ¾Ä¾?Â2ÃÁ±ÂÍN¿ÆÂÈ¾Ì ÏgÊÂÏg¾äÃ%Ê$ÉÄÊË±àÃÁÊ9ÂÈÄébÃÇ¾QÄÊÏ¿$Ë±Ë±¾?Å Î_¿$ãÁÎS¿$Ë

¾?Â9ÃÀÊ9äåÄÊË±àÃÁ±ÊÂÈÄ ³qè Ç¾cá9¾å_ÄÃ¾äQÁ¬Ä£ÃÇÈ¿<ÃÁÂSÃÇ¾cäÈÀÊÊ$ÉÊÉuÄÃ¿$çÁ±ËÁÃå

Ò

Ç¾?ÂÈÏg¾àÂÁ¬ø9àÈ¾Â¾ÄÄ Ó Ñ

Ì¾ÂÈ¾¾?ÅX¿_ÄÁ±ÍÂXÊÂEÃÇ¾¦Á±Â2Ã¾?ÀÉx¿9Ïg¾L¾Â2ÃÀÊäå_ÉoàÂÈÏgÃÁ±ÊÂÈ¿Ëk7lm

Ò

Ä¾¾ Òê

³±²ÓÓg³£è

ÇÁ±ÄÉoàÈÂÈÏÃÁÊ9ÂÈ¿$Ë

Î_¾?¿9ÄàÈÀ¾ÄbÃÇÈ¾¡¾Â2ÃÀÊ9ä2åNÅÁ¬ÄÄÁ±äÈ¿<Ã¾?Å¿9ÏgÀÊ9ÄÄ\ÃÇÈ¾Á±Â2Ã¾ÀÉx¿Ï¾%ÉoÊ9Àc¾?¿9ÏÇYÏÇÊ9Á±Ï¾¡Ê$É,ÏÊÂÂÈ¾?ÏÃÁÊ9Â

¿ÂÈÅÌ¾Ì\¿$Â2ÃÁòÃÃÊÆç«¾_ÂÊÂé1Â¾?Í9¿<ÃÁÐ9¾¦ÉoÊÀ¾¿ÏÇ ¿9ÅÎ_Á±ÄÄÁçË±¾_ÏgÊÂÈÂ¾?ÏgÃÁ±ÊÂYÁ±ÂwÊÀÅ¾ÀÃÊXÊçé

Ã¿$Á±Â àÂÁ¬ø9àÈ¾Â¾ÄÄ ³ ÃÁ¬Ä¦ÃÇ¾ÂíÀ¾?¿9ÄÊ9ÂÈ¿$çÈË¾_ÃÊYÅ¾ÎS¿ÂÈÅwÃÇÈ¿$ÃÁ±ÂÈÄÃ¾?¿9Å Ê$É àÈÄÃ@¿9ÄáÁ±ÂÍùÉoÊÀ

ÂÊ9Âé1Â¾Í2¿<ÃÁ±ÐÁòÃå9Ñ(Ì¾@Ì¿Â2ÃÃÊXÎS¿$ãÁ±Î_Á?¾¡ÃÇ¾_ÎS¿<ãÁÎàÎ ¾?Â9ÃÀÊ9äåùÅÁ±ÄÄÁ±äÈ¿$Ã¾?Å ¿ÏÀÊ2ÄÄcÃÇ¾

Á±Â2Ã¾ÀÉx¿Ï¾¦ÉoÊÀL¾?¿9ÏÇYÏgÊ9ÂÂ¾ÏÃÁ±ÊÂ ¿$Î_ÊÂÍX¿$Ë±Ëk¿9ÅÎ_Á±ÄÄÁçË±¾ÏÊÂÂÈ¾?ÏÃÁÊ9ÂÈÄ ³Lè ÇÁ¬ÄÍÁ±Ð¾?ÄÀÁ±Ä¾%ÃÊ

ÃÇ¾EÏgÊ9ÂÈÏg¾?äÃ¡ÊÉb¿ùÎS¿$ãÁ±ÎS¿$Ë,ÏÊÂÂÈ¾?ÏÃÁÊ9ÂíÅ¾gûÂ¾?Å ç«¾Ë±Ê<Ì ³Nð Á±ÀÄÃ%Ì¾QÂ¾?¾?ÅwÃÊ Å¾gûÈÂÈ¾SÃÇ¾

¿9ÅÎ_Á±ÄÄÁ±çË±¾¦ÏgË¬¿ÄÄÊÉ"ÃÀ¿9Ïg¾Ð<¿$Ë±à¾?Ä?Ñ

i "!"#$%#'&!^s*'+*Hn@8C8 'L/jV0b01/783

u

9/ &:V

Ôsr

Ú

Ôt

D ô= Ú A ö

2Vc/ @[/X{./C@)28 [@8

8 'L#/@jV0b01/78{A2V EPY[Z\FG

:96Vc/78/C0# 9/ 0../10#2.

Ò

*%Ú+Ó

A@:9/wA& G

:.S9 @e8

U

²³î

Ò

Ôr Ó°Ü

×qÒ

Ôt Ó Z

ê ³ k

lm ÒÔ r ÚÔ t Ó _ Ý

u G Ò

(6)

i "!"#$%#'&!)*:(* #"$n0 2.|./C0#.3v 0 2../C02.

Ò* Þ

Ú0+

Þ Ó 86@b/'Xw./C@ gLC/

#"$s/. jV0BD0 2../C02. A :9/{A& G

:.SD9 &@e8 U

Òxõ

³±²Ó ÎS¿$ã

k l m ÒÔ r Ú Ô t

Ó°Ü ÎS¿<ã

l m

ÎS¿<ã

k lm

ÒÔ r Ú Ô t Ó

u

9/x0V?Vc/78 2.@:.S

* Þ + Þ

/7. VBx8#=4 2.%8>@b/'Xw./C@ e8 9/ #"$/. jV0Bh8#=4 2.

TA EzYbZ\7F[Z

è Ç¾?À¾ÉoÊÀ¾Ñ"ÉoÊÀ¡¾¿ÏÇ ÏÇÊ9Á±Ï¾QÊ$Ée¿ÅÎ@Á¬ÄÄÁ±çË±¾EÏgÊ9ÂÂ¾?ÏgÃÁ±ÊÂ Ì¾QÎ_¾?¿9ÄàÀ¾_ÃÇÈ¾EÎS¿<ãÁ±Î¡àÎ

¾?Â9ÃÀÊ9äåÆÅÁ¬ÄÄÁ±äÈ¿<Ã¾?ÅN¿<ÃÃÇ¾ÁÂ2Ã¾ÀÉx¿Ïg¾¿$ÂÈÅXÃÇ¾Â Î_¿$ãÁÎ_Á¾¦ÃÇÁ±ÄLø2àÈ¿$Â2ÃÁòÃåù¿ÏÀÊ2ÄÄe¿ËËk¿Åé

Î_Á¬ÄÄÁçÈË¾ÏgÊÂÈÂ¾?ÏgÃÁ±ÊÂÈÄ

³"è

Ç¾\ÏÇÈ¿À¿9ÏÃ¾?ÀÁ?¿$ÃÁ±ÊÂÊ$ÉÈÃÇ¾ÎS¿<ãÁÎS¿Ë9¾?Â9ÃÀÊ9äåÄÊË±àÃÁÊ9ÂÈÄuÁ¬ÄqÅÊÂÈ¾

Á±ÂEÃÇ¾ÉoÊË±Ë±Ê<ÌbÁÂÍ@ÃÇ¾Ê9À¾?ÎXÑ

M"&2 s*'+*s/#

×

Úî 8#8ACB :9/a9B 9/78 8 ì Úì

2.@

ì F U o2Va8 ,'0#B U e8

8?=4/ 9 î ÒI Q Ó _

×qÒ

I K ÓCU 9/. 9/Vc/ /0"$8 '8@=. 'N7=/.#"$%&s0 2.|./C02.S&:d2/.-LB U

Ò* Þ

Ú0+

Þ

ÓÜ

ÒI Q ÚI K Ó

G

9/7Vc/ I K f I K 8?=019 :9 î ÒI Q Ó,Ü

×qÒ

I K Ó

eÊÃ¾_ÃÇÈ¿<Ã%ÃÇ¾SÎS¿<ãÁ±Î_¿Ë°¾Â2ÃÀÊ9ä2å ÄÊ9ËàÃÁÊ9ÂwÏÊÁ±ÂÈÏgÁ¬Å¾Ä¦ÌbÁòÃÇ ÃÇ¾SäÈÇ2åÄÁ±Ï?¿$Ë±ËåYÀ¾?Ë¾?Ð'¿Â2Ã

Ð<¿$ÂÈÁ±ÄÇÁ±ÂÍeÏ¿äÁË±Ë¬¿$ÀÁòÃåcÄÊË±àÃÁÊ9ÂÉoÊ9ÀÃÌÊ$é1äÇÈ¿Ä¾"âÈÊ<ÌeÄÁ±Â%¿\Ç¾gÃ¾ÀÊÍ¾?Â¾Ê9àÈÄ«äÊ9ÀÊ9àÈÄÎ_¾?ÅÁàÎ

³

−4 −2 0 2 4

0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6

x

u

h = 0.1: o o o o o o h = 0.01:−−−−−−−−−−−−

t = 0.5

−4 −2 0 2 4

0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6

x

u

h = 0.1: o o o o o o h = 0.01:−−−−−−−−−−−−

t = 1

¼uº`· /ñ ääÀÊ'ãÁÎS¿$Ã¾ÆÄÊË±àÃÁÊ9ÂÈÄ¡çå ÃÇ¾X÷,ÂÈø2àÁ¬ÄÃé ÄÇ¾À@ÄÏÇÈ¾Î_¾

ÉoÊÀ¦ÃÇ¾SÎS¿<ãÁ±Î_¿Ë£¾Â2ÃÀÊäåYÄÊË±àÃÁÊ9ÂÈÄÌbÁòÃÇ ! Ü Ý ² ¿$ÂÈÅ2! Ü Ý ÝÈ² ¿$Ã

ÃÁ±Î_¾?ÄMq Ü Ý XÒ

Ë¾É¨Ã Ó ¿ÂÈÅDq ÜG²

Ò

ÀÁ±ÍÇ2Ã Ó

(>V TA

Z ð Á±ÀÄÃbÌ¾¦ÏÇÈ¿À¿9ÏÃ¾?ÀÁ¾ÃÇÈ¾%¿ÅÎ_Á¬ÄÄÁçÈË¾LÃÀ¿Ï¾?Ä\Á±ÂEÃÇ¾%ÏgË¬¿$Á±Î ç«¾Ë±Ê<Ì ³

, &R3 É

Ôsr

Ú

Ôt D 1

lm

ÑÃÇ¾?Â î Ò

Ôsr Ó _ î Ò

*Óg³

Â ÊÀÅ¾?ÀÃÊNäÀÊ<Ð¾@ÃÇÈ¾Q¿$ç«Ê<Ð¾SÏgË¬¿$Á±ÎùÑ"Ì¾SäÀÊÏ¾¾ÅYçå ÏÊÂ2ÃÀ¿ÅÁ±ÏgÃÁ±ÊÂ ³ 8u¾gÃ î ÒÔ r Ó ;

î Ò

*LÓ³°è Ç¾?Âù¿9Ä

Ò

Ôsr

Ú

Ôt Ó D

1lmeÑÌ¾ÇÈ¿'Ð9¾LÃÇÈ¿$Ã

k7lm

ÒÔ r Ú Ô t

Ó,Ü

Ò

ÄÁ±ÍÂ ÒÔ r ë

*Ó ëwÄÁÍ9Â

ÒÔ t ë

+ÓÓ

Òî ÒÔ r Ó ë î Ò

*LÓÓ _ Ý

è

ÇÁ¬Ä°Á±Î_äËÁ±¾?Ä,ÃÇ¿<Ã

Ô

*

¿ÂÈÅ

Ôt

f +E³

àÃ¿Ä

î

Á¬Ä,Å¾ÏgÀ¾?¿ÄÁ±ÂÍÁÂ Ò=

Ú*Ó

Ñ9ÃÇÁ¬Ä°Á±Î@äÈËÁ±¾?Ä

ÃÇÈ¿<Ã

î ÒÔ r Ó>f î Ò

*LÓ

ÌbÇÁ¬ÏÇXÁ¬Äb¿_ÏgÊ9Â9ÃÀ¿9ÅÁ¬ÏÃÁ±ÊÂEÃÇàÈÄbäÈÀÊ<ÐÁ±ÂÍ¡ÃÇ¾%ÏgË¬¿$Á±Î

³

Ã"Á¬Ä`¾¿ÄåcÃÊcÏÇ¾ÏácÃÇÈ¿<Ã`ÉoÊ9Àu¾¿ÏÇ%ÏgÊ9ÂÂ¾ÏÃÁ±ÊÂ

Ò

*%Ú+Ó

¿ÂÈÅÉoÊ9À`ÃÇÈ¾°ÍÁ±Ð¾?ÂâÈàã¦Í¾?ÊÎ_¾gÃÀå9Ñ

Ì¾ÇÈ¿'Ð¾

Î_¿$ã

k lm

ÒÔ r Ú Ô t

Ó°Ü ÎS¿$ã î Ò= ÓgÚî

ÒA Ó ë î Ò

*LÓ

(7)

eÊ<Ì¦ÑbÌbÇÈ¾Â Ì¾NÎS¿<ãÁÎ_Á¾Ê<Ð9¾ÀE¿ËËLÏgÊ9ÂÂ¾?ÏgÃÁ±ÊÂÈÄ

Ò

*¡Ú0+Ó ÑeÌ¾ÊäÃÁÎ_Á¾NÃÇ¾ ¿çÊ<Ð9¾

ø2àÈ¿Â9ÃÁòÃåYÌbÇ¾Â

* Ü I Q ³ ïc¾ÂÈÏ¾

ÒI Q Ú I K Ó

Á¬ÄLÃÇ¾SÎS¿$ãÁ±ÎS¿$Ë£¾?Â9ÃÀÊ9äåÏgÊÂÈÂ¾?ÏgÃÁ±ÊÂwÁÂwÃÇÈÁ±Ä

Ï?¿Ä¾

³

³@º :/·¼o»,27 0.21 /È·¼,/µ¶ 5

½w¾¦äÀ¾Ä¾?Â2Ãb¿_ÄÁÎ_äË±¾¦ÂàÎ_¾ÀÁ±Ï?¿$Ë¾ãä«¾ÀÁ±Î@¾?Â2Ã\ÌbÁÃÇXÃÇ¾ÉoÊË±ËÊ<ÌbÁ±ÂÍ@âÈàã¾Äb¿$ÂÈÅùÅ¿$Ã¿Ñ

×qÒ

Ô Ó Ü r

t

Úfî ÒÔ

ÓVÜ

r

Ô

ÒoÙ

ÚÝ9Ó Ý

è Ç¾@¿$ç«Ê<Ð¾âÈàã¾ÄeÀ¾äÀ¾?Ä¾Â2ÃbâÈÊ<ÌeÄ¿ÏgÀÊ9ÄÄÃÌÊQÀÊÏá2éÃå2ä«¾?ÄÉoÊ9ÀeÃÌÊQäÇÈ¿9Ä¾Ä¾?äÈ¿$À¿<Ã¾?Å

¿$Ã

Ù

Ü[Ý³è ÇÈ¾Á±ÂÁÃÁ¬¿$Ë£Î_ÁòãÃàÀ¾_ÊÉäÇÈ¿9Ä¾ÄLÁ±ÄLÀ¾?ÅÁ¬ÄÃÀÁ±çàÃ¾?Å çåNÍÀ¿'Ð2ÁÃå ³ ½w¾SÄÇÈÊ<Ì ÃÇ¾

ÄÊË±àÃÁ±ÊÂÄ¡Ê9çÃ¿ÁÂ¾Å ÌbÁÃÇ4¿Â4÷,ÂÈø2àÁ±ÄÃé

ÄÇ¾À@ÄÏÇ¾?Î_¾

Ò ³õ Ó ÉoÊ9ÀÃÇ¾XÎ_¿$ãÁÎS¿$Ë¾Â2ÃÀÊ9ä2å

ÏÊÂÂ¾ÏÃÁÊ9ÂXÁ±ÂNûÈÍ9àÀ¾

Òê Ó³eñ Äc¾gãä«¾?ÏÃ¾?ÅÑ«ÃÇ¾¡ÄÏÇ¾Î_¾?ÄcÍÁ±Ð¾ÄbÍÊÊÅùÀ¾ÄÊ9ËàÃÁ±ÊÂN¿$ÂÈÅNÏÊÂé

Ð9¾ÀÍ¾?Ä,ÃÊ_ÃÇ¾¦ÎS¿<ãÁ±Î_¿Ë`ÄÊ9ËàÃÁ±ÊÂ ³ / /· /µu»/ 5

r '''¦¥g,'¥ n ¥¤'¤<ku<¥k?''L¨¤$b''k l *('x§

u("È?b±'L''ue'£¤<q* g¥! #"%$'&)(+*%,)-/.102(3"%4576(8

9;:<

1=>+1?A@

§:7B7C :7B7BA9 ¥

: r ''' l ''<x' v 'k'D¥n ¥«1¤'¤'ku<¥?¯k¤eg¤'È±§

*uu'g''u<¥+&)E7,F045;6EHGJILKM3(+NLOPJ(3QSR24TU(V :<W9

=>X?

C ? §C7Y7C :7B7B7Z ¥

Y r

'''

l

'<<

v

'1°'¥

n ¥¤'¤</ku<¥('L*u("e<b''§

'g''"c'£¤<°* 'q§

mxmm t

'£¢'¥\[]0#.#M\0O^4_

:7B7B7Z

¥

9 r

'''

l

'<<

v

''`¥

n

¥a1¤'¤<ku<¥b(gg¢'Lk''_¨?¤$

b''e±c'xN*ucuX¤<*Q?'¢_<E±''¥cEd5M;MF.e570fO^4g$h57_Wi!(

j

E;-kM

Z s ¥lLm¢1n¥p ¥n£o,¥p ¥s 'u'/'¥n ¥t ¥¡§¨¤$'qprs'gg¢'

$h57_Wi!(8 @;?

<

1=>

:7Z

§wv

Z :7B7BA9

¥

v t ¥kb,'ho,¥p ¥s '¥ l %]'1g%¤' ' qe'x*wu¦§

''`<e''2¥3! #"%$x&)(a$h57_Wi!(3"%4576 :7Y<yY => v Y7Z §wv 9;C 2@7@ : ¥

?1

n¥ p ¥n£3o,¥p ¥s z'¥n ¥t (¥+{S|bx1 '¨%g¤?"''

'¢'1b¤<1 $\gg§¨''_®?''°u%'?'}bg¥~A02(b/(

*E702(kOW.24TH(+3.16TH(Y :7B7B7Y 9 @

¤<¢¥

C

¥1U?2¥ p ?¤$ $(?b$'*u

> t «x,$*''?§¨*

'etb`g¥l(t<'1l :7B7B7: ¥

@

=e>

Z7Z

@ § Z

?7?

:7B7B7Z ¥

B l ¥ v '1¥ r <?'ou'b¤'¤'e@u'xS*u°"@''

?}bL[bi;Nc+i).2TeOWT#

m

'*

m

'x

l

'7\l'¢g;

:7B7B7Z

¥

7 '¥

n ¥t

¥(g¢'eu9b1'b£'x_*uqu''

<¥\! #"%$x&)(a*%,)-u.202(+"J4576V(V

Y7C)<:

=e>v C §wv @ C

:7B7B7B

¥

: '¥

n ¥ t

¥

r

''"1'b`±'e*""e£'g''('?§±'"''§

gg¥\! H"J$x&!(+*L,)-/.102(3"J45;6(8

Y @

<W9

=e>J72@;? § : C

:7B7B ¥

<l

''<x'

v

' =

|'} \ ~?|) F ~|!*'{ ; }¦yJF*~?|)\ {] yL

}${e|) {e

3 !`A ¡¢ A£ }

¤k¥ F¡A¦D {e ¢ ¤ }1§~