Løysingsframlegg/skisse Eksamen TFY 4210 Kvanteteorien for

(1)

Løysingsframlegg/skisse Eksamen TFY 4210 Kvanteteorien for

mangepartikkelsystem 24. mai 2011

May 24, 2011

Oppgave 1

1) Ein global fasetransformasjon er p˚a forma

ψ→ψe^iα ψ^†→ψ^†e^−iα, (1) derαer ein konstant. Invariansen følgjer ved innsetting: Sidanψogψ^†opptrer i par ogαer uavhengig av rom og tid vil fasene kansellere i alle ledd. Lagrange- funksjonen er i tillegg invariant under Lorentztranformasjonar.

2) Det elektriske feltet er

E = −∇A⁰−∂A

∂t

= 0, (2)

sidanA⁰=^∂A_∂t = 0. Vidare har vi

B = ∇ ×A. Dette gjev

B =

i j k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

0 Bx 0

.

= Bk. (3)

Sidan Hamiltonfunksjonen inneheld eit ledd som avheng avxogpx=−i_∂x^∂ , vil [H, px]6= 0. Liknande argument gjev at [H, py] = 0.

1

(2)

3) Dirac-likninga er

(iγ^µDµ−m)ψ = 0. (4)

Dersom vi brukerγ⁰ =σ3, γ¹ =iσ2, andγ²=−iσ1 ogA^µ = (0,0, Bx), f˚ar vi likning (3) i oppg˚avesettet. Ved innsetting avψ kan vi skrive likningssettet

(E−m)f +

i ∂

∂x+ ∂

∂y−iqBx)

g(x) = 0, (5)

−i ∂

∂x + ∂

∂y −iqBx)

f(x)−(E+m)g(x) = 0. (6) Vi løyser den andre likninga med omsyn p˚ag(x) og substituerer resultatet i den første likninga. Litt omstokking gjev d˚a

"

−∂_x²+ (qB)²

x− k qB

2#

f(x) = (E²−m²+qB)f(x). (7) Dette er likninga for ein harmonisk oscillator med sentrum ix=k/qB, dersom vi deler p˚a 2mog identifiserer ¹₂mω²↔(qB)²/2mogE↔(E²−m²+qB)/2m.

Sidan spekteret til oscillatoren erEn=ω(1/2 +n), finn vi E_n²−m²+qB

2m = qB

m(n+ 1/2), (8)

eller

E_n²=m²+ 2qBn . (9)

Oppgave 2

1) Nei, Lagrangetettheiten er ikkje Lorentzinvariant. Dei kovariant deriverte som inneheldµbryt symmetrien mellom tid og rom. Vi har imidlertid rotasjon- sinvarians i rommet. Den fysiske forklaringa er atµ6= tyder at vi har materie tilstades og kvilesystemet til materien er spesielt (føretrekt) inertialsystem.

2) VerknadenS er gjeve ved

S = Z

d⁴xL. (10)

Den klassiske verknaden f˚ar ein ved ˚a ignorere alle kvantefelt. For konstantφ0

gjev dette

S = Z

d⁴x

−1

2(m²−µ²)φ²₀− λ 24φ⁴₀

. (11)

SidanS=R

d⁴x[−V0] f˚ar vi V0 = 1

2(m²−µ²)φ²₀+ λ

24φ⁴₀. (12)

(3)

3) Minimumspunkta forV0 finnast ved ˚a løyse likninga dV0

dφ0

= φ0(m²−µ²) +λ 6φ³₀

= 0. (13)

Dette gjev

φ0= 0, φ0=

r6(µ²−m²)

λ . (14)

Dersomµ²< m² finst det berre det trivielle ekstremalpunktetφ0= 0. Dersom µ²> m² erφ0 = 0 eit lokalt maksimum ogφ0=

q6(µ²−m²)

λ er eit lokalt minimum. Dette tilsvarer eit potensial som ein meksikansk hatt.

4) Dispersjonsrelasjonen er gjeve ved nullpunkta til determinanten til matrisa gjeve i oppg˚ava. I impulsrommet er dette

D =

−p²+M₁² −2iµp0

2iµp0 −p²+M₂²

. (15)

Dispersjonsrelasjonen finn ein ved ˚a rekne ut detD = 0. Vi m˚a skilje mellom φ= 0 ogφ06= 0.

I det første tilfellet gjev detD= 0

(p²−M₁²)²−4µ²p²₀ = 0, (16) der vi harM₁²=M₂²=m²−µ². Vi f˚ar da

p⁴₀−2p²₀(p²+m²+µ²)−(p²+M₁²)² = 0 (17) eller

p²₀ = p²+m²+µ²±2p

p²+m²

= p

p²+m²±µ²

. (18)

Dei positive løysingane er da

p0 = p

p²+m²±µ . (19) Dette er dispersjonsrelasjonane vi har utleia p˚a førelesningane og gjeld form²>

µ².

For tilfelletφ06= 0, det vil seie forµ²> m²gjev detD= 0

p²(p²−M₁²)−4µ²p²₀ = 0, (20) der vi har nytta atM₂²= 0 i det klassiske minimumet. Dette gjev

p⁴₀−p²₀(4µ²+ 2p²+M₁²) +p²(p²+M₁²) = 0. (21) Denne likninga løyser vi med omsyn p˚a p²₀ og nyttar at M₁² = 2(µ²−m²) i klassisk minimum. Dette gjev

p²₀ = p²+ 3µ²−m²±p

(3µ²−m²)²+ 4µ²p²

= p²+ 3µ²−m²±(3µ²−m²) s

1 + 4µ²p²

(3µ²−m²)² . (22)

(4)

For sm˚ap² kan vi rekkeutvikle og f˚ar

p²₀≈p²+ 6µ²−2m², p²₀≈ µ²−m²

3µ²−m²p². (23) Den andre dispersjonsrelasjonen er lineær for sm˚a |p|:

p0 = s

µ²−m²

3µ²−m²|p|. (24)

Vi har s˚aleis eit Goldstone boson forµ² > m². Dette er i samsvar med Gold- stones teorem sidan rotasjonssymmetrien blir broten avφ06= 0. Massen til den andre moden er 2µ²+ 2M₁²>0.

Oppgave 3

1) Det første leddet er det klassiske bidraget til den frie energien og det andre leddet er første kvantekorreksjon (“one-loop correction”). Den frie energien kan skrivast

F = −µ² 2g + 1

4m Z d²p

(π)²pp

p²+y², (25) dery= 4mµ. Vi bruker formelen gjeve i oppg˚avesettet og f˚a

F = −µ²

2g −mµ² 8π

1

ǫ + lnΛ² µ +C

. (26)

Dersom vi i det første leddet substituererg→g+δ og rekkeutviklar til første orden iδg f˚ar vi

F = −µ² 2g + µ²

2g²δg−mµ² 8π

1

ǫ + lnΛ² µ +C

. (27)

For ˚a kansellere polen iǫ, m˚a ein veljeδg =mg²/4πǫ. Den renormaliserte frie energien blir d˚a

F = −µ²

2g −mµ² 8π

lnΛ²

µ +C

. (28)

2) Fr˚a formelsamlinga har vi ρ = −∂F

∂µ

= µ

g

1 + mg 4π

lnΛ²

µ +K

, (29)

(5)

derK=C−¹₂. Vi inverterer likninga over til første orden ig. Dette gjev

µ = gρ

1 + ^mg_4π

ln^Λ_gρ² +K

≈ gρ

1−mg 4π

lnΛ²

gρ +K

, (30)

der vi i korreksjonsleddet har brukt resultatetµ=gρ som er korrekt til leiande orden. Innsetting i uttrykketE=F+µρ, gjev d˚a

E = 1 2gρ²

1−gm

4π

lnΛ² gρ +C

, (31)

der vi har eliminertµtil fordel forgρsidan E er ein funksjon avρ.

3) Loopintegral som er divergente er kutta av med ein ultravolet cutoff Λ. Det tyder at vi ignorerer bidrag til integrala som impuls større enn Λ. Dimensjonell regularisering er ein gaugeinvariant regulator. Logaritmiske divergensar dukkar opp som polar iǫmedan potensdivergensar automatisk er eliminert.