Repetisjon fra forelesning 14. mars

(1)

16.03.2016

1

Repetisjon fra forelesning 14. mars

Uegentlige integraler (5.5)

Type 1:

Integrasjonsintervallet er ubegrenset

Type 2:

Integranden er ubegrenset

(2)

16.03.2016

2

Antiderivasjon

Integrasjon ved substitusjon

Integral på formen

! " #($) #^% $ &$

Ved å identifisere #($)kan dette skrives

! " # &#

Oppskrift:

1) Velg #($).

2) Siden #^% $ = &#/&$, erstattes &$med &#/#'($) 3) _$-ene som er igjen i integranden skrives om til et

uttrykk i #og det resulterende integralet løses (hvis mulig, ellers gå tilbake til (1) og prøv på nytt)

(3)

16.03.2016

3

Delvis integrasjon

Kan brukes dersom vi har integral på formen

* # $ +

^%

$ &$

Produktregelen for derivasjon gir at

! # $ +

^%

$ &$ = # $ + $ , ! #' $ + $ &$

Hensikt: Velg #($) og +'($) slik at

* #' $ + $ &$

er lettere å løse enn

* # $ +

^%

$ &$

Oppgaver

1. Regn ut *

_-^.₀₁₂₃⁰ ₄

&$ . Hint: *

₀₁₃⁰ ₄

&$ = arctan $

2. Regn ut *

₀₁₃⁵³₄

&$

3. Regn ut * $ sin $ &$

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

16.03.2016

4

I dag

• Anvendelser av integrasjon

–Volum av omdreiningslegemer (6.1) –Buelengde (6.2)

Volum av omdreiningslegemer

Sirkulær symmetri: vi kan

bruke integraler til å

beregne volum

(9)

16.03.2016

5

Volum av omdreiningslegemer

Sirkulær symmetri: vi kan bruke integraler til å beregne volum

Rotasjon om x-aksen:

skivemetoden

Rotasjon om y-aksen:

sylinderskallmetoden

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)