Optimal kontroll i diskontinuerlige problemer

Masterroppgave for 5-årig masterproogram i saamfunnsøkkonomi

Opt

i dis

tima

skontin

S

Depart Un

al k

uerlige

Sigve Stab

August 0

tment of E iversity o

konttroll

proble

brun

07

Economic of Oslo

mer

l

cs

Forord 

Denne masteroppgaven er et bidrag til et kommende memorandum fra økonomisk institutt ved  Universitetet i Oslo ”Discontinuous control systems” av A.Seierstad og S. Stabrun (2007). 

Jeg vil benytte denne anledningen til å takke Atle Seierstad. Alltid tilgjengelig og med en unik evne til  å rettlede og overføre kunnskap er jeg meget takknemmelig for at han har bidratt som veileder for  denne oppgaven.  

Jeg vil også rette en takk til Petter Asskildt for god hjelp med utarbeidelse av grafer, Fredrik Dehlin  for gode innspill og konstruktive diskusjoner og til Jannicke Horntvedt for uvurderlig  støtte gjennom  hele prosessen. 

Eventuelle feil eller mangler er ene og alene undertegnedes ansvar. 

   

Oslo, august 2007  Sigve Stabrun  

   

Innholdsfortegnelse 

Forord ____________________________________________________________________ ii  Innholdsfortegnelse ________________________________________________________ iii  Figuroversikt ______________________________________________________________ iv  1.  Innledning _____________________________________________________________ 1  2.  Optimal kontrollteori ____________________________________________________ 3  2.1  Standardproblemet ________________________________________________________ 3  2.2  Diskontinuerlige problemer _________________________________________________ 5  3.  Diskontinuerlige problemer _______________________________________________ 7  3.1  Økonomisk vekst: __________________________________________________________ 7  3.1.1  Modellbeskrivelse _______________________________________________________________ 7  3.1.2  Løsningsforslag – konstant vekstrate _________________________________________________ 8  3.1.3  Løsningsforslag – diskontinuitet i differensiallikningen _________________________________ 10  3.1.4  Oppsummering _________________________________________________________________ 17  3.1.5  Investeringsstrategi _____________________________________________________________ 20  3.2  Oljeutvinning ____________________________________________________________ 21  3.2.1  Modellbeskrivelse ______________________________________________________________ 21  3.2.2  Løsningsforslag _________________________________________________________________ 22  3.2.3  Oppsummering _________________________________________________________________ 28  3.2.4  Utvinningsstrategi ______________________________________________________________ 30  3.3  Vekstmodell med negativ ekstern virkning ____________________________________ 31  3.3.1  Modellbeskrivelse ______________________________________________________________ 31  3.3.2  Løsningsforslag _________________________________________________________________ 32  3.3.3  Oppsummering _________________________________________________________________ 43  3.3.4  Investeringsstrategi _____________________________________________________________ 45  3.4  Økonomisk vekst med inntektsskatt _________________________________________ 46  3.4.1  Modellbeskrivelse ______________________________________________________________ 46  3.4.2  Løsningsforslag – uten inntektsskatt ________________________________________________ 46  3.4.3  Løsningsforslag ‐ med inntektsskatt ________________________________________________ 49  3.4.4  Oppsummering _________________________________________________________________ 60  3.4.5  Investeringsstrategi _____________________________________________________________ 64  4.  Oppsummering og konklusjon ____________________________________________ 65  5.  Litteraturliste __________________________________________________________ 67 

 

 

Figuroversikt 

Figur 1: Optimal bane for x(T) – kontinuerlig vs. diskontinuerlig. ___________________________ 19  Figur 2: Optimal bane for x(t) ‐ kontinuerlig ___________________________________________ 19  Figur 3: Optimal bane for x(t) ‐ diskontinuerlig _________________________________________ 20  Figur 4: Endring i oljemengden x(t) ___________________________________________________ 29  Figur 5: Optimal utvinningsrate u(t) __________________________________________________ 30  Figur 6: Optimal bane for x(T) _______________________________________________________ 44  Figur 7: Optimal bane for p2(t) ______________________________________________________ 45  Figur 8: Optimal bane for x(T) ‐ diskontinuerlig vs. kontinuerlig ___________________________ 63  Figur 9: Optimal bane for p(t) når T=2,65 ______________________________________________ 63 

1. Innledning 

Optimal kontrollteori er en matematisk metode som ofte anvendes i økonomiske analyser. 

Hovedresultatet i denne teorien er maksimumsprinsippet, som gir de nødvendige betingelsene for  optimalitet i generelle dynamiske optimeringsproblemer. De nødvendige betingelsene bygger på en  antakelse om at tilstandsvariabelen, og dermed også den adjungerte funksjonen, er kontinuerlig. I  mange av de problemene og sammenhengene økonomer er opptatt av, hender det likevel at  systemet endrer seg dersom tilstandsvariabelen krysser en grense. Matematisk kan en slik endring  medføre diskontinuitet i det aktuelle problemet. Det finnes mange eksempler på økonomiske  systemer som har denne karakteristikken.  

Konsumenter og bedrifter kan pålegges skatt dersom inntekten eller formuen overstiger en gitt  grense. Produksjonen(produktfunksjonen) kan endre seg hvis teknologien når et visst nivå. Et firma  som forringer miljøet med negative utslipp må enten legge om produksjonen eller betale avgifter  dersom utslippene overstiger en bestemt grense. Økonomisk politikk kan endre rammebetingelsene i  både mikro‐ og makroøkonomiske problemer som igjen kan medføre sprang i den observerte 

tilstanden eller sprang i dynamikken. Avtagende tilgang på innsatsfaktorer kan begrense 

produksjonen for et selskap dersom tilgangen til ressursen krysser en kritisk grense. Grunnlaget for  videre produksjon av godet kan også forsvinne helt dersom tilgangen krysser et minimumsnivå.  

En endring i systemet som fører til diskontinuitet i kontrollproblemet bryter med de antakelsene  maksimumsprinsippet bygger på. For å kunne analysere økonomiske systemer som rammes av  diskontinuitet, må vi derfor utvide teorien og tilføre maksimumsprinsippet noen tilleggsbetingelser. I  et kommende memorandum fra økonomisk institutt ved Universitetet i Oslo(Seierstad og Stabrun,  2007) er det utarbeidet noen betingelser som skal ta høyde for sprang i tilstandsvariabelen når  denne krysser en grense eller når vi opplever diskontinuitet i differensiallikningen og/eller kriteriet. 

Disse betingelsene er ment å være et supplement til de betingelsene vi allerede kjenner fra optimal  kontrollteori, og ikke en erstatning for eksisterende resultater. 

Denne oppgaven tar utgangspunkt i den teorien som omhandler kontrollproblemer med 

diskontinuitet i differensiallikningen og/eller kriteriet. Oppgavens formål er å belyse den nye teorien  og undersøke om den gjør det praktisk mulig å løse diskontinuerlige kontrollproblemer.  

I kapitel to presenteres de nødvendige betingelsene for optimalitet i det vi betegner som 

standardproblemet før jeg presenterer de tilleggsbetingelsene som er nødvendige ved diskontinuitet. 

I problemer som rammes av diskontinuitet i differensiallikningen og/eller kriteriet vil 

tilstandsvariabelen fremdeles være kontinuerlig, men den adjungerte funksjonen kan gjøre et sprang  på det tidspunktet tilstanden krysser en grense. Et av de viktigste elementene i det nye teorien er  derfor sprang‐betingelsen som beskriver endringen til den adjungerte funksjonen på det tidspunktet  systemet endrer seg.  

I kapitel tre ser vi på fire økonomiske problemer som rammes av diskontinuitet i differensiallikningen  eller kriteriefunksjonen. For hvert av eksemplene presenterer jeg kort den økonomiske modellen før  jeg presenterer løsningsforslaget og dermed anvendelsen av de nye betingelsene. Løsningsforslagene  som presenteres er ment å være fullstendige og generelle. I et par av eksemplene presenteres det  også et løsningsforslag av modellen uten diskontinuitet.  Dette for å kunne belyse de endringene  diskontinuiteten medfører sammenlignet med standardproblemet. Hvert eksempel avsluttes med en  oppsummering, og en kort konklusjon på den matematiske analysen. Siden modellene er teoretiske  har det ikke vært behov for datasett eller matematisk programvare i forbindelse med beregningene  utført i oppgaven. 

I kapitel fire oppsummeres en del av de resultatene som har kommet frem i analysen. Det viktigste  resultatet i denne oppgaven er at de fire eksemplene som presenteres viser at tilleggsbetingelsene i  den nye teorien er et tilstrekkelig supplement for å løse kontrollproblemer som rammes av 

diskontinuitet. Løsningssettet blir gjerne mer omfattende, og det bringer nye aspekter til den  optimale løsningen sammenlignet med standardproblemet. Flere av disse endringene kommenteres  avslutningsvis og i tilknytning til hvert enkelt eksempel. 

2. Optimal kontrollteori 

Hovedresultatet i optimal kontrollteori er maksimumsprinsippet. Maksimumsprinsippet gir de  nødvendige betingelsene for optimalitet i generelle dynamiske optimeringsproblemer. Teorien er  derfor mye brukt blant økonomer fordi den kan anvendes innenfor mange av de problemstillingene  vi økonomer er opptatt av. 

I dette kapitelet vil jeg kort presentere de nødvendige betingelsene for optimalitet i det vi anser som  standardproblemet innen kontrollteori. Deretter presenterer jeg de tilleggsbetingelsene vi trenger  for å løse problemer som rammes av diskontinuitet i differensiallikningen og/eller kriteriet. 

2.1 Standardproblemet

¹

 

Vi betrakter problemet: 

∫

¹

0

gitt )) ( ), ( ,

0

(

t

t

dt t t t f

maks

x u

. ,...., 1 ,

)),

( t x (t

₀

) x

⁰

i n t

t R

U

t ∈ ⊂

x^•

=

f x u _i

=

_i

=

u

m l

i x t

x_i(₁)≥ _i¹, = +1,....,

n

) ),

,...,

( f

₁

f

_{n n}

=

f

) ,..., ,

, _{1 0} ¹

0 t x xn

p

0

) , ( )

, ( )

, , ,

( t

x u p

p

₀

f

₀

t

x,u p f

t

x,u

H

(1)    

(2)  

( ) , ( , ( ),

 

med følgende terminalbetingelser pålagt    (i)  x_i(t₁)=x_i¹, i =1,....,l 

(3)  (ii)   

(iii) 

m

 

i fri t

x

_i

(

₁

) , = + 1 ,...., ,..., ( ), ,..., (

x

= x

₁

x

_n u

= u

₁

u

 

Her er t =(x₁⁰,...,x⁰_n) og x₁ =(x₁¹  faste tall, og U er kontrollregionen. 

For dette ”standardproblemet” holder de nødvendige betingelsene for optimalitet som er gitt ved  maksimumsprinsippet. 

Vi lar   være de adjungerte funksjonene tilordnet differensiallikningene i (2) og lar    være en konstant. Hamilton‐funksjonen H definerer vi ved: 

) ,..., ( p

₁

p

_n

=

p

⋅

(4) 

= +

       

 

   

 

1 Sydsæter K., A. Seierstad og A. Strøm (2002) 

Maksimumsprinsippet²: 

Lar (x*(t),u*(t)) være et optimalt par som løser problemet (1)‐(3). Da eksisterer det en konstant    og en kontinuerlig og stykkevis deriverbar funksjon 

p

0

)) ( ),..., ( ( )

( t = p

₁

t p

_n

t

p som for alle   

oppfyller: 

[ ^t

₀

^,t

₁

]

t ∈

(5) 

( p

₀

,

p

( t )) ≠ 0

 

(6)  H(t,x*(t),u*(t),p(t))≥ H(t,x*(t),u,p(t)) for alleu∈U 

(7) 

p t H t t t t i n

 

xi

i

( ) = −

^'

( ,

x

* ( ),

u

* ( ),

p

( )), = 1 ,..., 1

eller

0 =

= p

p

•

l i

t

p

_i

(

₁

) ingen betingelse 1 ,...,

(8)  _{0 0}  

Svarende til terminalbetingelsene i (3) er det en tilhørende transversalitetsbetingelse: 

=

 

  (i’) 

l i x

) x*(t )

p(t t

p

_i

(

₁

) ≥ 0 (med

₁

= 0 hvis

₁

>

₁

) = + 1 ,..., m

  (9)  (ii’) 

n m

i t

p

_i

(

₁

) = 0 = + 1 ,...,

  (iii’)   

 

Merknad 1 

0

= 0

Kun ved degenererte problemer er 

p p

₀

= 1

) (t

p

_i

p

_i

(t )

) (t x

_i

dt

*(t) t t f t

t V

t

) ), (

* , ( )

, , , (

1

0 1

0 1

0 x x u

x

⁼ ∫

) (t p

_i

       

. Derfor er det vanlig at økonomer benytter  .  Merknad 2 

En økonomisk tolkning det kan være verdt og merke seg, er tolkningen av den adjungerte funksjonen  . Verdien av  er nemlig tilnærmet lik den endringen en ville fått i den optimale 

verdifunksjonen ved å øke   med en enhet. Her er den optimale verdifunksjonen gitt ved: 

t₀

  

I mange økonomiske problemer får derfor den adjungerte funksjonen en pristolkning, som for  eksempel i problemer med profittmaksimering der   kan tolkes som en ”skyggepris” på  kapitalbeholdningen. 

Ved diskontinuitet kan denne tolkningen opprettholdes. Den vil fremdeles gjelde i alle punkter der V  er deriverbar. 

   

 

2 Sydsæter K., A. Seierstad og A. Strøm (2002) 

2.2 Diskontinuerlige problemer

³

 

 

Diskontinuitet i differensiallikningen og/eller kriteriet 

I økonomiske problemer hender det at systemet eller modellen man studerer endrer seg dersom  tilstandsvariabelen krysser en grense. I kontrollproblemer vil en slik endring medføre diskontinuitet  som bryter med de antakelsene vi så langt kjenner fra teorien.  

 

{ }

) ,...

(

_{1 k}

La 

φ = φ φ

være gitte reelle 

C

¹

− funksjoner

 i (t,x)‐planet, og la Γj = (t,x):

φ

j(t,x)=0 , 

der 

U

_j ^j  , se 

x,

,

0

( t f Γ

= Γ

u) x, u

x, u

), f

_0x

( t , ),

Merknad 3 s.6 for et eksempel.  

Anta så at   er kontinuerlige funksjoner av (t,x,u) 

bortsett fra for 

f u) x, ,

f(

t og

_x

( t ,

Γ

∈ ) ,x

j

( . (For mer presise differensierbarhetsbetingelser se vedlegg 1. Disse  betingelsene viser at grensene i (10) og (11) finnes).  Anta videre at det maksimalt er en funksjon 

t

φ

  lik 0 for enhver(t,x)∈Γ. 

t))∈Γj

(

*

Hvis (t,x , da skjærer virkelig x*(t) gjennom grensen Γ_j(presiseres i betingelsen (NT)  under). (NT) innebærer at en optimal løsning kun skjærer igjennom grensen Γ_j et endelig antall  ganger på intervallet 

t ∈ [ t

₀

, t

₁

]

0

* ,

(t =

j x

. 

Gitt at   så gjelder de nødvendige betingelsene i maksimumsprinsippet også her, men  vi kan risikere at den adjungerte funksjonen p(t) gjør et sprang der 

Γ

∉ )) (

* , ( t

₁

x t

₁

))

φ

(t . Et slikt  krysningspunkt betegner vi ved 

τ

. 

{

t _j t t j 1,...,k

}

j*= : (, *( )) 0, der =

Γ

∈ x

Vi har at spranget til p(t) der 

τ φ

=  er gitt ved følgende  betingelse: 

[

p f x u p f x u

]

μ

μ p

p

+ ′ +

+

⋅ +

−

−

−

−

⋅ +

′ + +

u x

u

x

− − − + +

−

(10) 

′ − − ′ + =

)) (

* ), (

* , ( ) ( )) (

* ), (

* , ( ) (

))]

(

* )

( ) (

τ τ

τ τ τ

τ τ

τ

), (

* , 0 ( )) (

* ), (

* , 0 (

0 [ τ τ τ τ τ τ

τ

τ p f f

   

) ,..., ( μ

₁

μ

_n

=

μ  bestemt ut fra følgende sammenheng: 

Her er n‐vektoren 

0 )) (

* , ( ))]

(

* ), (

* , ( )) (

* , ( )) (

* , (

[

φ

_jt

τ

− x

τ

− +

φ τ

_jx x

τ

− ⋅f

τ

− x

τ

− u

τ

−

μ

_i +

φ τ

_jxi x

τ

− = j =1,....,

  (11)  

k og i=1,....,n   

Betingelsen som sier at, hvis (t,x*(t))∈Γ_j, så skjærer x*(t) virkelig igjennom Γ_j , er gitt ved: 

(

* ±) 0 ),

(

* , ( )) (

* , ( )) (

* , (

, >

(12)  (NT) 

φ

_j(t x*(t))=0⇒

φ

_jt t x t +

φ

_jx t x t f t± x t u t   som gjelder både for t+ og t−. 

       

  Betingelsen (NT) sies å holde selv om ulikhetstegnet > erstattes av <. 

 

 

3 Seierstad A. og S. Stabrun (2007) 

En løsning av problemet (1)‐(3) som tilfredsstiller (11) oppfyller de nødvendige betingelsene for  optimalitet (5)‐(10).  

 

Merknad 3 

x1

La oss anta at vi betrakter et endimensjonalt problem.  Hvis systemet endrer seg når  tilstandsvariabelen x(t) krysser grensen  vil 

φ

‐funksjonen være gitt ved 

φ

(x,t)=x-x₁.    Merknad 4 

I et tilstrekkelighetsargument for optimalitet vil jeg i standardproblemet henvise til de tilstrekkelige  betingelsene gitt ved Mangasarian⁴  eller Arrow⁵. Ved diskontinuitet holder ikke disse betingelsene i  et tilstrekkelighetsargument. Enkelte eksistenssetninger vil i mange tilfeller likevel sikre at det finnes  en optimal løsning av problemet. Her vil jeg henvise til Seierstad og Stabrun(2007). 

   

      

4 Setning 13.1.2 s. 412 Sydsæter K., A. Seierstad og A. Strøm (2002) 

5 Setning 13.1.3 s. 412 Sydsæter K., A. Seierstad og A. Strøm (2002) 

3. Diskontinuerlige problemer 

I dette kapitelet tar jeg for meg fire problemer med diskontinuitet i differensiallikningen eller  kriteriefunksjonen. For hvert av eksemplene presenterer jeg kort den økonomiske modellen før jeg  presenterer løsningsforslaget og dermed anvendelsen av de nye betingelsene. Løsningsforslagene er  ment å være fullstendige og generelle. Hvert eksempel avsluttes med en oppsummering, og en kort  konklusjon på den matematiske analysen. I et par av eksemplene presenterer jeg også 

løsningsforslaget  for det kontinuerlige tilfellet av problemet.  Dette for å belyse hvor store  endringene i det diskontinuerlige problemet blir sammenlignet med standardproblemet. 

I de problemene der x(T)fri vet vi at p₀=1. Jeg har ikke presentert en løsning for p₀=0 i de resterende  tilfellene. Grunnen til dette er at p₀=0 ikke hadde gitt en fornuftig løsning av problemene. 

3.1 Økonomisk vekst: 

I dette eksempelet betrakter vi en enkel modell innen økonomisk vekstteori. 

3.1.1 Modellbeskrivelse 

x u u

x t

f ( , , ) (1 ) 0

Vi betrakter en bonde som produserer korn. Bondens produksjon er gitt ved k(x)=x og er dermed  proporsjonal med kapitalbeholdningen x=x(t) som tilsvarer dyrket areal.  For ethvert tidspunkt t må  bonden avgjøre hvor mye av det han produserer som skal konsumeres og hvor mye som skal 

reinvesteres. Konsum pr. tidsenhet er gitt ved  = − , der u=u(t) er investeringsraten. 

Investeringene går til å fore hester som igjen blir brukt til å bryte nytt land til kornproduksjon. 

Bonden eier to landområder som kan gjøres om til dyrkbar mark. Det ene er relativt enkelt å bryte  for hestene, det andre er steinete og krever en større innsats.  

Pr. enhet korn som hestene fores med, bryter de et område som gir to enheter korn på det beste  feltet og en enhet på det steinete. Med andre ord vil en enhet korn som investeres øke det dyrkede  arealet med to enheter på det beste området og en enhet på det steinete. 

Vi antar derfor at bonden vil bryte hele det beste landområdet til dyrket mark før han investerer i det  mindre lukrative feltet. Den maksimale produksjonen bonden kan komme opp i før han må begynne  å bryte det steinete feltet er  tonn med korn. Da vil veksten i bondens produksjon og 

kapitalbeholdning være gitt ved:   

x

1

⎩ ⎨

⎧

≥

= <

•

=

1 1

) ( hvis

) ( hvis 2

x t x ux

x t x uax ux

x

1 1

1 0

0

) , ( 0

0 1

x(t)-x t

x x , x x

) uax, x(

x

u)x dt (

maks

T

=

>

=

=

−

•

∫

φ

0 ) x

0

x( =

For en gitt periode ønsker bonden å finne den investeringsstrategien som maksimerer hans  totalkonsum. Da må han løse følgende kontrollproblem med diskontinuitet i differensiallikningen: 

 

[ ]

2

1 1

0 hvis x(t) ) hvis x(t , a

, i, u

⎩⎨

⎧

<

= ≥

∈ , x(T) fr

Her er   det initiale arealet av det beste området som er dyrket. 

x e x =

0

Vi antar i denne oppgaven at 1 .   

3.1.2 Løsningsforslag – konstant vekstrate 

Skal innledningsvis se om vi finner en optimal løsning av problemet hvis vi antar at bonden står  ovenfor en konstant vekstrate gitt ved x^• =2ux. 

Hamilton funksjonen blir da: 

pux ux

x

H = − +2  

(i)   Ut fra hamilton funksjonen ser vi at 

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

<

>

=

2 0 1

1 2

hvis p hvis p u*

⎧ 1

1 2 2

1 p hvis u

pu u H

p

^'

⎧ − =

=

− +

−

=

−

•

=

 

(ii)   

avtagende strengt

negativ alltid

0 1

p(t) p

u hvis

x

⇒

⇒

⎩ ⎨ − =

•

⎨ ⎧ =

=

•

= 2 1

2 x hvis u

ux x

(iii)   

⎩ 0 hvis u = 0

 

Alternativ 1: 

Vurderer først tilfellet der 

[ 0 ) Umulig fordi 0 2

1 ∈ ⇒ =

> ,t ,T p(T)

p

  

 

Alternativ 2: 

Ser deretter på muligheten med 

^{p ,t} [ ] ^{0 ,T}

2

1 ∈

<

siden 1

0 siden )

( 0

0

₀

−

=

⇒

−

=

⇒

=

=

⇒

=

⇒

=

⇒

•

•

t T p(t) p

x ) x(

x t x x

u

. 

0

0

= p(T)

   

[ ]

Dette innebærer at 

2

≤ 1

⇒ T T , 0 2 , 1 2

p(t) < 1 ⇒ T − t ≤ t ∈

.  

Med 

2

≤ 1 T

0 ) (t = u

 har vi en mulig løsning på problemet gitt ved: 

, 

x ( t ) = x

₀og p(t)=T −t   

   

Alternativ 3: 

Med 

2

> 1

T

 må det derfor finnes en 

( ) [ )

( ]

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

∈

<

∈

>

∈

t*,T ,t

,t*

,t p(t) T

t

2 1 2 0 1 der

, , 0

*

 

Tar for meg de to intervallene: 

[ )

( ]

[ )

t

t t

Be t p p p

e x t x x A x x Ae t x x x

t u

t t

2

2 0 0

0 2

) ( 2

) ( )

0 ( , )

( 2

1 ) (

:

* , 0

• −

•

=

⇒

−

=

=

⇒

=

⇒

=

=

⇒

=

=

∈

 

T-t p(t) T

D D, p(T)

t p(t) p

e x t x C e x t

x t x C t x x

t u

T t t

t t

=

⇒

=

⇒

= +

=

⇒

−

=

=

⇒

=

⇒

=

=

⇒

=

=

∈

•

+

−

•

0 1

) ( )

( ) ( , ) ( 0

0 ) (

:

*,

* 2 0

* 2 0

*

*  

Vet at p(t) er kontinuerlig og krysser 1/2 i t* når vi ikke har diskontinuitet og vi kan dermed løse ut for  t* og B: 

2

* 1 2

* 1 2

) 1

(

₊^*

= ⇒ − = ⇒ = −

+

−

T t t

T t

p

* , 0 ,

*) ( ) (

*) (

* )

( )

( t

^*

= p t

^*

⇒ Be

^−2*

= T − t ⇒ B = T − t e

^2*

⇒ p t = T − t e

^2(*−)

t ∈ t

p

^{t t t t}

 

Med 

t * = T − 2 1

 og 

T > 2 1

 har vi følgende mulige løsning på problemet: 

[ )

( ] [ )

( ]

[ )

( ]

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

∈

<

−

⎪⎩ =

⎪ ⎨

⎧

∈

= ∈

⎩ ⎨

⎧

∈

= ∈

₋

t*,T , t

t T

,t*

, t e

, p(t) t*,T

, t e x

,t*

, t e , x(t) x

t*,T , t

,t*

u(t) , t

T t

2 1

2 0 0 2

0 0 1

1 2 0

2 0

⎧ 1

₂^T−₂^t−₁

> 1 ∈

[ ^∞ )

∈ 0 ,

)

0

( )

2

( ⇒ H = x t = x

 

Løsningsforslag (2) og (3) oppfyller alle de nødvendige betingelsene i maksimumsprinsippet for å  være en optimal løsning. Løsningene er entydige siden de ikke sammenfaller på et intervall og de  dekker hele løsningsintervallet 

T

. 

For å undersøke de tilstrekkelige betingelsene for optimalitet er oppfylt ser jeg på  hamilton‐funksjonen for de to løsningsforslagene: 

 

som er lineær og dermed konkav. 

1 2

) 0

3

( ⇒H = x e ^T−

 

som også er lineær og konkav 

De tilstrekkelige betingelsen er dermed også oppfylt og vi kan konkludere med at vi har funnet den  optimale løsningen av problemet. 

3.1.3 Løsningsforslag – diskontinuitet i differensiallikningen 

Betrakter nå det opprinnelige problemet.  

Hamilton funksjonen blir her: 

puax x

u p

H =

₀

( 1 − ) + puax ux

x

H = − +

⇒

=

= 1 fordi x(T) fri og transvers alitetsbet ingelsen sier da at p(T) 0 p

er

Her

₀  

(i) Ut fra hamilton‐funksjonen ser vi at 

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧ 1

<

>

=

hvis p a hvis p a

u* 1

0 1

1 u hvis

'

⎧ − =

•

pa

x

1

 

(ii)  

ig kontinuerl er

p(t) der r intervalle alle

på avtagende strengt

er p(t) negativ

alltid

0 u hvis 1 1

⇒

⇒

⎩ ⎨ − =

=

− +

−

=

−

= p

•

pua u H

p

_x

⎧ =

•

ax hvis u 1

(iii)  

⎩ ⎨ =

=

= uax 0 hvis u 0 x

(iv) Hvis x(t) virkelig krysser grensen   vil (NT) være oppfylt. Tidspunktet der grensen krysses  definerer vi ved t=

τ

. 

 

Alternativ 1: 

Vurderer først om vi finner en løsning med 

^{> 1 , t ∈} [ ] ^{0 , T ⇒ Umulig fordi p(T) = 0}

p(t) a

  

 

Alternativ 2: 

Ser deretter på muligheten med 

^,t [ ] ^,T

p(t) < a 1 ∈ 0

, siden x 2

) ( 0 0

1 0

0

<

=

⇒

=

⇒

=

⇒

=

⇒ ^•

x a

x t x x

u

.  siden x(0) =x₀

  0

p(T) siden )

( 1

p^• =− ⇒ p t =T −t =

 

[ ] ^,T

,t t T p(t)

p(t) < 1 ⇒ < 1 ⇒ − ≤ 1 ∈ 0

.  

a 2 2

   

]

 er derfor kun mulig med 

2

≤ 1

T

 og gitt ved: 

En løsning der 

^,t [ ^,T

p a 1 0

∈

<

T-t , p(t) x

, x(t) , u(t)

a = 2 = 0 =

₀

=

 

 

Alternativ 3: 

 For 

2

> 1

T

 antar jeg derfor at det finnes en 

( ) [ )

( ]

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

∈

<

∈

>

∈

T t a t

t a t

T t

*, 1 ,

* , 0 1 , p(t) der , , 0

*

 

Tar for meg de to intervallene: 

[ )

t u

t t

=

∈ 1 ) (

:

* , 0

( ]

0 ) (

:

*,

=

∈ t u

T t t

[ ) [ )

at at

Be t p pa p

Ae t x ax x

• −

•

=

⇒

−

=

=

⇒

=

) ( )

(

 

 

t - T p(t) T

D 0 p(T) , )

( 1

) ( 0

=

⇒

=

⇒

= +

−

=

⇒

−

=

=

⇒

=

•

•

D t t p p

C t x

x

 

 

Satt sammen får vi: 

[ )

( ] ( ] ₍ ]

[ )

[ ]

τ,T

^{, hvis x( t) krysser grensen x , ellers a} , t

,τ a , t

, t*,T , t

t a T t , p t*,T C, t

t , x t*,T t , t

u

1 2

0 2

) 1 ( )

0 ( ) (

1

=

⎩ ⎨

⎧

∈

= ∈

⎪ ⎪

⎩

⎨

∈

<

−

⎩ =

⎨ ∈

⎩ =

⎨ ∈

=

,t*

a , t ,t* Be

, t ,t* Ae

, t

^{at at}

1 0

0 0

1 ⎪⎪

⎧ > ∈

⎧ ∈

⎧ ∈

⁻

)

1

( T x x <

 

  3.A  

Antar først at  . 

[ 0 , * )

, 2 )

( t

^*

Ae

^*

x

₁

a t t

x

₋

=

^at

< ⇒ = ∈

x

0

x(0)

  Da må: 

=

:  Vet at x(t) er kontinuerlig på hele intervallet og at 

t 2

x(0)=Ae0 =x₀ ⇒ A=x₀ ⇒x(t)=x₀e  

t.

intervalle hele

på 2 )

( )

(t^*₋ =x t^*₊ ⇒x₀e^2* =C<x₁⇒a=

x ^t  

 

Videre finner jeg at restriksjonen på t* blir: 

2

* 1 2 ln

* 1 ln

* 2

0 1 0

1 0

* 1 2 1

* 2

0

< ⇒ < ⇒ < ⇒ < ⇒ <

⇒ t

x t x

x t x

x e x x e

x

^{t t}  

Siden x(t) ikke krysser grensen   vil den adjungerte funksjonen p(t) også være kontinuerlig på hele  intervallet. Når vi i tillegg vet at p(t) krysser grensen 

x

1

2

1

i t*, kan vi nå finne et uttrykk for B og t*: 

[ )

2

* 1 2

* 1 2

) 1

(

₊^*

= ⇒ − = ⇒ = −

+

−

T t t

T t

p

* , 0 ,

*) ( ) (

*) (

* )

( )

( t

^*

= p t

^*

⇒ Be

^−2*

= T − t ⇒ B = T − t e

^2*

⇒ p t = T − t e

^2(*−)

t ∈ t

p

^{t t t t}

)

1

( T x x <

 

 

Ved å teste for de ulike restriksjonene som er pålagt funksjonene finner jeg følgende løsning på  problemet der  : 

[ ]

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

⎥⎦ ⎤

⎜ ⎝

∈ ⎛

<

−

⎟ ⎠

⎢⎣ ⎞

∈ ⎡

>

=

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

⎥⎦ ⎤

⎜ ⎝

∈ ⎛

⎟ ⎠

⎢⎣ ⎞

∈ ⎡

=

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

⎥⎦ ⎤

⎜ ⎝

∈ ⎛

⎟ ⎠

⎢⎣ ⎞

∈ ⎡

=

∈

=

⎠

⎝

⎠

⎝

−

−

−

T t , t T- ,T

,T- , t

e , p(t) ,T

T- , t e x

,T- , t

e x , x(t) ,T

T- , t

,T- , t

u(t)

,T , t a

t T

T t

2 1 2

1

2 0 1 2

1 2

1

2 1

2 0 1

2 0 1

2 0 1 1

0 2

2 2

2

2 1 2

1 2 0

2 0

⎟ ⎞

⎜ ⎛

⎟ ∈

⎜ ⎞

∈ ⎛

−

= T , T , , t* ,

t* 1

0 1 1

1

 

  3.B 

τ

>

⇒

> * )

( T x

₁

t x

x

1

  Tar så for meg alternativet der 

Her vil betingelsen (NT) være oppfylt. Tilstandsvariabelen x(t) krysser virkelig grensen   ved  tidspunkt 

τ

. 

Da har vi: 

[ ) [ ]

[ )

( ]

[ )

[ )

( ]

[ )

[ )

( ] ^,

1 1

2 0 1 0

0 0 1

2 2 1

2 2 1

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

∈

<

−

∈

>

∈

>

⎪ =

⎩

⎪ ⎨

⎧

∈

∈

∈

⎩ =

⎨ ⎧

∈

= ∈ 1

0 2

⎩ ⎨

⎧

= ∈

−

−

t*,T , t

t T

τ,t*

, t e

B

,τ , t e

B , p(t) t*,T

C, t

τ,t*

, t e A

,τ , t e A , x(t) t*,T

, t ,t*

u(t) , t

,

τ,T

, t

,τ a , t

t t

t t

∈

 

 

   

x(t) er kontinuerlig på hele intervallet, så vi kan løse ut for 

A

₁

, A

₂

, C og τ :

 

[

,τ

)

,t e x x(t) x

A x e A )

x(0 = ₁ ⁰ = ₀ ⇒ ₁ = ₀ ⇒ = ₀ ^2t ∈ 0  

[

, *

)

, )

( )

( )

( x x₀e A₂e A₂ x₀e x t x₀e t t

x

τ

₋ =

τ

₊ ⇒ ^2τ = ^τ ⇒ = ^τ ⇒ = ^τ+t ∈

τ

 

2 1

1 x

2 ln )

(

0 1 1

2 0

1

⇒ = ⇒ = ⇒ =

−

= τ τ

τ

^τ

x x e x x

x

 

(

t T

]

t e x t x C e

x t

x t

x( ^*₋)= ( ₊^*)⇒ ₀ ^τ+t* = ⇒ ( )= ₀ ^τ+t*, ∈ *,

: t*

2

og B

[ )

1

* 1

* 1

) (

* , 0 ,

*) ( ) (

* )

( ) (

*

)

* ( 2

* 2

*

*

−

=

⇒

=

−

⇒

=

∈

−

=

−

=

⇒

−

=

⇒

=

₊ ^{− −}

−

T t t

T t

p

t t e t T t

T B t T e B t

p t

p

^{t t t}

   

p(t) er kontinuerlig og lik 1 i t*, så vi kan løse ut for   

(

*) e

^t*

⇒ p t

+

B

1

   

Har foreløpig ikke funnet et uttrykk for   og jeg ønsker også å finne spranget p(t) gjør i 

t = τ

.  

μ

: 

Finner først  (11) 

φ τ φ τ τ τ

[

^τ

] ^{μ μ}

_τ

τ τ φ μ τ

2 0 2

0 2

0 1 1 ) 2 1 ( 0

0 )) (

* , ( ))]

(

* ), (

* , ( )) (

* , ( )) (

* , ( [

e e x

x

x u

x t f x

x

t _{x x}

t

−

=

⇒

= +

× +

⇒

− − + − =

− +

−

[ τ τ τ τ τ τ τ τ ] μ

 

Så kan jeg løse ut for 

B

₁:  (10) 

μ τ τ

τ τ

τ τ τ

τ

)) (

* ), (

* , ( ) ( )) ( (

* , ( )

( + − ), * − − + + +

))]

(

* ), (

* , 0 ( )) (

* ), (

* , 0 ( 0 [ ) ( )

( − − p + = p f x − u − − f x + u + +

p

u

 

x

f p x

f p

[ ]

u

[ ]

[ ) τ

τ , 0,

2 ) 1 (

2

2 1 1

∈

=

⇒

=

⇒

− +

− t

e t p B e

t T τ

τ τ τ τ

τ

τ τ

τ τ

τ τ

τ τ

2 2

2 ) ( 1 )) )(

((

)) 2

)(

((

2 ) ( 1 0 0 1

1

1 2

1 1

1 2

1

2 0 2

0 1 2

0 1 2

0 1

2 1

=

⇒

−

=

−

⇒

−

− +

−

−

=

−

⇒

+

−

−

− −

−

− −

−

−

−

−

−

−

−

−

−

e e e B

e e B

e e x

x e

e x e e

e x e B

T

T T

T

T T

T

 

τ

=

t

er da gitt ved: 

Spranget til p(t) i 

τ τ

τ

τ

τ

₁

− −

₁

+ =

⁻¹⁻

−

⁻¹⁻

= −

⁻¹⁻

2 1 2

) 1 ( )

( p e

^T

e

^T

e

^T

p

 

 

   

Ved å teste for de ulike restriksjonene pålagt funksjonene finner jeg at en mulig løsning på problemet 

der 

2

* > 1

t

 vil være gitt ved:  

2 T 3 2, 1 , 1

*=T −

τ

= >

t  

[ )

( ]

( ] ⁽ ]

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎧

∈

−

⎟⎠

⎢⎣ ⎞

∈⎡

⎟⎠

⎢⎣ ⎞

∈⎡

=

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎧

∈

⎟⎠

⎢⎣ ⎞

∈⎡

⎟⎠

⎢⎣ ⎞

∈⎡

=

⎩⎨

⎧

∈

= ∈

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥⎦⎤

⎜⎝

∈⎛

⎟⎠

⎢⎣ ⎞

∈⎡

=

−

−

−

−

− +

t*,T t

t, T

,t*

, t e

, , t e

, p(t)

t*,T , t

e x

,t*

, t e x

, , t e x

x(t)

t*,T , t

,t*

, t t)

u(

, ,T

, t , , t a

t T

t T

T t

t

2 1

2 0 1 2

1

2 1 2 0 1

0

0 1

2 1 1

2 0 1 2

1 2 2 1

2 1 0

2 1 0

2

0  

  3.C 

τ

Så vurderer jeg tilfellet der 

t * =

⇒

=

₀

0 ) x x(

 

Vet at  x(0)= Ae⁰ = x₀ ⇒ A=x₀ ⇒x(t)= x₀e^at 

[

0,t*

)

∈ , )

( t

alle for

2 x t x₀e² t

a= < ⇒ = ^t

⇒

<

τ τ

for x

x(t)< ₁ t  

Med 

τ

=

*

t

 innebærer dette at 

x ( t

₋^*

) = x ( t

^*₊

) = x

₁ fordi vi vet at 

x ( τ ) = x

₁  Hvis 

Dette gir oss: 

τ

=

=

⇒

=

⇒

−

=

* 2 x

)

( t x

_{1 0}

e

^2*

x

₁

t

x

^t

x

1

*

1

 

1 1

*

)

( t x C x

x

₊

= ⇒ =

 

 

Ser her at x(t) ikke krysser grensen   på intervallet 

^{t ∈} [ ] ^{0 , T}

, og da gjelder ikke punkt(iv). 

Betingelsen (NT) forteller oss dermed at 

t * = τ

 ikke gir en mulig løsning på problemet for x(T) fri. 

Forsøker derfor å endre endebetingelsen i problemet til x(T) =   for å se om problemet har mulige  løsninger for alle 

x

1

[ ∞ )

∈ 0 ,

T

.  

Alternativ 4:

[ ]

x e og x

x ) hvis x(t

=

⎩ ⎨ <

1

1 1

1 0

2 hvis x(t ) x x(t)-x , a

, , u x , x(T) x

) uax, x(

x

u)x dt (

maks

T

⎧ ≥ =

=

∈

=

>

=

=

−

•

∫

1 0

t) (x, 1 ,

1 0 0

0 1

φ