fxxxfxxx ()43'()2422 =−++⇒=−+=−⋅− 7.7 Funksjonsdrøfting

7.7 Funksjonsdrøfting

Oppgave 7.70 a)

( )

( ) 2 4 3

'( ) 2 4 2 2

f x x x

f x x x

= − + + ⇒

= − + = − ⋅ −

( )

(2) 22 4 2 3 4 8 3 7

Funksjonen har toppunktet 2,7

Funksjonen er voksende når 2 Funksjonen er minkende når 2

f

x x

= − + ⋅ + = − + + =

<

>

b)

( )

( ) ( )

3

2 2

( ) 3

'( ) 3 3 '( ) 3 1

'( ) 3 1 1

f x x x

f x x f x x

f x x x

= − ⇒

= − ⇔ = ⋅ −

= ⋅ + ⋅ −

–2 –1 0 1 2 x 3

x – 1 x +1

'( ) f x f

–1 0 1 2 3 x –2

x-2 '( ) f x f

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

- 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6

x y

- 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

x y

( ) ( )

( )

( )

3

3

( 1) 1 3 1 1 3 2

Funksjonen har toppunktet 1, 2 (1) 1 3 1 1 3 2

Funksjonen har bunnpunktet 1, 2

Funksjonen er voksende når 1 og når 1 Funksjonen er minkende når 1 1

f

f

x x

x

− = − − ⋅ − = − + =

−

= − ⋅ = − = −

−

< − >

− < <

c)

( )

( ) ( )

4 3 2

Nullpunkter 2 og 1

3 2 2

( ) 3 4 12 2

'( ) 12 12 24 12 2

'( ) 12 2 1

x x

f x x x x

f x x x x x x x

f x x x x

= =−

= − − + ⇒

= − − = ⋅ ⋅ − −

⇔ = ⋅ ⋅ − ⋅ +

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

4 3 2

4 3 2

4 3 2

( 1) 3 1 4 1 12 1 2 3

(2) 3 2 4 2 12 2 2 48 32 48 2 30 Funksjonen har bunnpunktene 1, 3 og 2, 30

(0) 3 0 4 0 12 0 2 2 Funksjonen har toppunktet 0, 2

Funksjonen er voksende når 1 0 og nå f

f

f

x

− = ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − + = −

= ⋅ − ⋅ − ⋅ + = − − + = −

− − −

= ⋅ − ⋅ − ⋅ + =

− < < r 2 Funksjonen er minkende når 1 og når 0 2

x

x x

>

< − < <

–2 –1 0 1 2 x 12

x x – 2 x +1

'( ) f x f

- 3 2 - 3 0 - 2 8 - 2 6 - 2 4 - 2 2 - 2 0 - 1 8 - 1 6 - 1 4 - 1 2 - 1 0 - 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

x y

Oppgave 7.71 a)

( ) ( )

3 2

1 3

Nullpunkter 3 og 1 2

( ) 3 9

'( ) 2 3 3 1

x x

f x x x x

f x x x x x

= =−

= − − + ⇒

=− − = − ⋅ +

( ) ( ) ( )

( )

3 2 32

1

3 3

3 2

1 3

( 1) 1 1 3 1 9

Funksjonen har toppunktet 1,32 3

(3) 3 3 3 3 9 0 Funksjonen har bunnpunktet 3, 0

f

f

− = ⋅ − − − − ⋅ − + =

⎛− ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= ⋅ − − ⋅ + =

b)

- 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

x y

–2 –1 0 1 2 3

x x - 3

x +1 '( ) f x f

c)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

3 2 25

1

3 3

Stigningstallet til tangenten: '( 2) 2 2 2 3 5 Da vet vi at tangenten er gitt ved likningen 5

2 ( 2) 2 2 3 2 9 Tangeringspunkt: 2,25

3 Konstantleddet bestemmes ved å

a f

y x b

x y f

b

= − = − − ⋅ − − =

= +

⎛ ⎞

= − ⇒ = − = ⋅ − − − − ⋅ − + = ⎜⎝− ⎟⎠

( )

sette inn koordinatene til tangeringspunktet.

25 25 55

5 2 10

3 3 3

Likninga for tangenten er 5 55 3

b b b

y x

= ⋅ − + ⇔ + = ⇔ =

= +

d)

Lommeregner

2 2

3 2 7

1

3 3

At de to tangentene er parallelle, betyr at de har samme stigningstall.

'( ) 5 2 3 5 2 8 0 2 4

(4) 4 4 3 4 9 Det andre tangeringspunktet er 4,7 3 Konstantleddet bes

f x x x x x x x

f

b

= ⇒ − − = ⇔ − − = ⇔ = − ∨ =

⎛ ⎞

= ⋅ − − ⋅ + = ⎜⎝ ⎟⎠

temmes ved å sette inn koordinatene til tangeringspunktet.

7 7 53

5 4 20

3 3 3

Likninga for den andre tangenten er 5 53 3

b b b

y x

= ⋅ + ⇔ − = ⇔ = −

= −

Oppgave 7.72 a)

( )

Nullpunkt 1 3

2 3

2 3 3

1 2 2 2

( ) 2 2 '( ) 2 2 2

x

f x x x x f x x x

x x x

=

− − −

= + = + ⇒ = + − ⋅ = − =

( )

2

(1) 2 1 1 2 1 3 1

Funksjonen har bunnpunktet 1, 3 f = ⋅ + = + =

–2 –1 0 1 2 3

x 2x³ – 2

x³ '( ) f x f

b)

Oppgave 7.73

a) P^{Nullpunkt 1}

1 1 1

( ) 2 '( ) 1 2 1

2

x

f x x x f x x

x x x

=

= − ⇒ = − ⋅ = − = −

( )

(1) 1 2 1 1 2 1

Funksjonen har bunnpunktet 1, 1 f = − = − = −

− b)

- 2 - 1 0 1 2 3 4

- 1 0 1 2 3 4 5 6 7

x y

0 1 2 3 4 5 x 1

x− x '( ) f x f

- 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 10 12

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

x y