Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Andreas Leopold Knutsen
14. februar 2012
Funksjonsrekker
En rekke på formen
∞
X
n=1
fn(x)der fn er en funksjon, kalles en funksjonsrekke.
For alle x slik at rekken konvergerer, får vi en funksjon f(x) =
∞
X
n=1
fn(x).
Funksjonsrekker
En rekke på formen
∞
X
n=1
fn(x)der fn er en funksjon, kalles en funksjonsrekke.
For alle x slik at rekken konvergerer, får vi en funksjon f(x) =
∞
X
n=1
fn(x).
Funksjonsrekker
En rekke på formen
∞
X
n=1
fn(x)der fn er en funksjon, kalles en funksjonsrekke.
For alle x slik at rekken konvergerer, får vi en funksjon f(x) =
∞
X
n=1
fn(x).
Motivasjon(?)
I Mange funksjoner i naturvitenskap er kun gitt som funksjonsrekker og ikke med vanlige funksjonsuttrykk.
I Dersom vi klarer å skrive en funksjon som en funksjonsrekke, så kan vi ofte nne tilnærmede funksjonsverdier ved å kappe av summen etter et visst antall ledd.
I Ved hjelp av funksjonsrekker kan vi denere mange nye funksjoner med interessante egenskaper. F.eks. gjelder dette Weierstrassfunksjonen
f(x) =
∞
X
n=0
ancos(bnπx),
der 0<a<1, b∈N og ab>1+32π. Det er nemlig et eksempel på en kontinuerlig, men ingensteds derivérbar funksjon.
Motivasjon(?)
I Mange funksjoner i naturvitenskap er kun gitt som funksjonsrekker og ikke med vanlige funksjonsuttrykk.
I Dersom vi klarer å skrive en funksjon som en funksjonsrekke, så kan vi ofte nne tilnærmede funksjonsverdier ved å kappe av summen etter et visst antall ledd.
I Ved hjelp av funksjonsrekker kan vi denere mange nye funksjoner med interessante egenskaper. F.eks. gjelder dette Weierstrassfunksjonen
f(x) =
∞
X
n=0
ancos(bnπx),
der 0<a<1, b∈N og ab>1+32π. Det er nemlig et eksempel på en kontinuerlig, men ingensteds derivérbar funksjon.
Motivasjon(?)
I Mange funksjoner i naturvitenskap er kun gitt som funksjonsrekker og ikke med vanlige funksjonsuttrykk.
I Dersom vi klarer å skrive en funksjon som en funksjonsrekke, så kan vi ofte nne tilnærmede funksjonsverdier ved å kappe av summen etter et visst antall ledd.
I Ved hjelp av funksjonsrekker kan vi denere mange nye funksjoner med interessante egenskaper. F.eks. gjelder dette Weierstrassfunksjonen
f(x) =
∞
X
n=0
ancos(bnπx),
der 0<a<1, b∈N og ab>1+32π. Det er nemlig et eksempel på en kontinuerlig, men ingensteds derivérbar funksjon.
Motivasjon(?)
I Mange funksjoner i naturvitenskap er kun gitt som funksjonsrekker og ikke med vanlige funksjonsuttrykk.
I Dersom vi klarer å skrive en funksjon som en funksjonsrekke, så kan vi ofte nne tilnærmede funksjonsverdier ved å kappe av summen etter et visst antall ledd.
I Ved hjelp av funksjonsrekker kan vi denere mange nye funksjoner med interessante egenskaper. F.eks. gjelder dette Weierstrassfunksjonen
f(x) =
∞
X
n=0
ancos(bnπx),
der 0<a<1, b∈N og ab>1+32π. Det er nemlig et eksempel på en kontinuerlig, men ingensteds derivérbar funksjon.
Motivasjon(?)
I Mange funksjoner i naturvitenskap er kun gitt som funksjonsrekker og ikke med vanlige funksjonsuttrykk.
I Dersom vi klarer å skrive en funksjon som en funksjonsrekke, så kan vi ofte nne tilnærmede funksjonsverdier ved å kappe av summen etter et visst antall ledd.
I Ved hjelp av funksjonsrekker kan vi denere mange nye funksjoner med interessante egenskaper. F.eks. gjelder dette Weierstrassfunksjonen
f(x) =
∞
X
n=0
ancos(bnπx),
der 0<a<1, b∈N og ab>1+32π. Det er nemlig et eksempel på en kontinuerlig, men ingensteds derivérbar funksjon.
Motivasjon(?)
I Mange funksjoner i naturvitenskap er kun gitt som funksjonsrekker og ikke med vanlige funksjonsuttrykk.
I Dersom vi klarer å skrive en funksjon som en funksjonsrekke, så kan vi ofte nne tilnærmede funksjonsverdier ved å kappe av summen etter et visst antall ledd.
I Ved hjelp av funksjonsrekker kan vi denere mange nye funksjoner med interessante egenskaper. F.eks. gjelder dette Weierstrassfunksjonen
f(x) =
∞
X
n=0
ancos(bnπx),
der 0<a<1, b∈N og ab>1+32π. Det er nemlig et eksempel på en kontinuerlig, men ingensteds derivérbar funksjon.
Dens graf:
Bevis i høstkurset MAT211-Reell analyse.
Dens graf:
Bevis i høstkurset MAT211-Reell analyse.
Potensrekker
I MAT112: kun funksjonsrekker på formen
∞
X
n=0
an(x−c)n=a0+a1(x −c) +a2(x −c)2+a3(x −c)3+· · ·
der c er en konstant, som kalleskonvergenssentrum.
En slik rekke kallespotensrekke om c elleri potenser av x−c.
For de x slik at rekken konvergerer, denerer rekken en funksjon som vi kallersummen til rekken.
Potensrekker
I MAT112: kun funksjonsrekker på formen
∞
X
n=0
an(x−c)n=a0+a1(x −c) +a2(x −c)2+a3(x −c)3+· · ·
der c er en konstant, som kalleskonvergenssentrum.
En slik rekke kallespotensrekke om c elleri potenser av x−c.
For de x slik at rekken konvergerer, denerer rekken en funksjon som vi kallersummen til rekken.
Potensrekker
I MAT112: kun funksjonsrekker på formen
∞
X
n=0
an(x−c)n=a0+a1(x −c) +a2(x −c)2+a3(x −c)3+· · ·
der c er en konstant, som kalleskonvergenssentrum.
En slik rekke kallespotensrekke om c elleri potenser av x−c.
For de x slik at rekken konvergerer, denerer rekken en funksjon som vi kallersummen til rekken.
Potensrekker
I MAT112: kun funksjonsrekker på formen
∞
X
n=0
an(x−c)n=a0+a1(x −c) +a2(x −c)2+a3(x −c)3+· · ·
der c er en konstant, som kalleskonvergenssentrum.
En slik rekke kallespotensrekke om c elleri potenser av x−c.
For de x slik at rekken konvergerer, denerer rekken en funksjon som vi kallersummen til rekken.
Potensrekker
I MAT112: kun funksjonsrekker på formen
∞
X
n=0
an(x−c)n=a0+a1(x −c) +a2(x −c)2+a3(x −c)3+· · ·
der c er en konstant, som kalleskonvergenssentrum.
En slik rekke kallespotensrekke om c elleri potenser av x−c.
For de x slik at rekken konvergerer, denerer rekken en funksjon som vi kallersummen til rekken.
Potensrekker
I MAT112: kun funksjonsrekker på formen
∞
X
n=0
an(x−c)n=a0+a1(x −c) +a2(x −c)2+a3(x −c)3+· · ·
der c er en konstant, som kalleskonvergenssentrum.
En slik rekke kallespotensrekke om c elleri potenser av x−c.
For de x slik at rekken konvergerer, denerer rekken en funksjon som vi kallersummen til rekken.
Eksempel vi allerede har sett
∞
X
n=0
xn= 1
1−x når −1<x <1 (geometrisk rekke) (Her er alle ai =1 og c =0.)
Sier at:∞ X
n=0
xn er en potensrekkerepresentasjon av funksjonen 1−1x på intervallet(−1,1).
Eksempel vi allerede har sett
∞
X
n=0
xn= 1
1−x når −1<x <1 (geometrisk rekke) (Her er alle ai =1 og c =0.)
Sier at:∞ X
n=0
xn er en potensrekkerepresentasjon av funksjonen 1−1x på intervallet(−1,1).
Eksempel vi allerede har sett
∞
X
n=0
xn= 1
1−x når −1<x <1 (geometrisk rekke) (Her er alle ai =1 og c =0.)
Sier at:∞ X
n=0
xn er en potensrekkerepresentasjon av funksjonen 1−1x på intervallet(−1,1).
Eksempel vi allerede har sett
∞
X
n=0
xn= 1
1−x når −1<x <1 (geometrisk rekke) (Her er alle ai =1 og c =0.)
Sier at:∞ X
n=0
xn er en potensrekkerepresentasjon av funksjonen 1−1x på intervallet(−1,1).
Eksempel vi allerede har sett
∞
X
n=0
xn= 1
1−x når −1<x <1 (geometrisk rekke) (Her er alle ai =1 og c =0.)
Sier at:∞ X
n=0
xn er en potensrekkerepresentasjon av funksjonen 1−1x på intervallet(−1,1).
Konvergensområder
Spørsmål: For hvilke x konvergerer
∞
X
n=0
an(x−c)n? Ihvertfall for x=c, der summen er a0.
Teorem 9.5.17Tre muligheter:
(1) rekken konvergerer kun for x =c;
(2) rekken konvergerer for alle x ∈(−∞,∞);
(3) det nnes en R >0 slik at rekken konvergerer for
x ∈(c−R,c +R), divergerer for x <c−R og x >c+R og oppførselen i endepunktene x =±R kan variere.
I alle tilfellene er konvergensen absolutt bortsett fra muligens i endepunktene x=±R.
Tallet R i (3) kalleskonvergensradius. Vi sier gjerne at R =0 i (1) og R =∞i (2).
Intervallet der rekken konvergerer i (2) og (3) kalles konvergensintervallet.
Konvergensområder
Spørsmål: For hvilke x konvergerer
∞
X
n=0
an(x−c)n? Ihvertfall for x=c, der summen er a0.
Teorem 9.5.17Tre muligheter:
(1) rekken konvergerer kun for x =c;
(2) rekken konvergerer for alle x ∈(−∞,∞);
(3) det nnes en R >0 slik at rekken konvergerer for
x ∈(c−R,c +R), divergerer for x <c−R og x >c+R og oppførselen i endepunktene x =±R kan variere.
I alle tilfellene er konvergensen absolutt bortsett fra muligens i endepunktene x=±R.
Tallet R i (3) kalleskonvergensradius. Vi sier gjerne at R =0 i (1) og R =∞i (2).
Intervallet der rekken konvergerer i (2) og (3) kalles konvergensintervallet.
Konvergensområder
Spørsmål: For hvilke x konvergerer
∞
X
n=0
an(x−c)n? Ihvertfall for x=c, der summen er a0.
Teorem 9.5.17Tre muligheter:
(1) rekken konvergerer kun for x =c;
(2) rekken konvergerer for alle x ∈(−∞,∞);
(3) det nnes en R >0 slik at rekken konvergerer for
x ∈(c−R,c +R), divergerer for x <c−R og x >c+R og oppførselen i endepunktene x =±R kan variere.
I alle tilfellene er konvergensen absolutt bortsett fra muligens i endepunktene x=±R.
Tallet R i (3) kalleskonvergensradius. Vi sier gjerne at R =0 i (1) og R =∞i (2).
Intervallet der rekken konvergerer i (2) og (3) kalles konvergensintervallet.
Konvergensområder
Spørsmål: For hvilke x konvergerer
∞
X
n=0
an(x−c)n? Ihvertfall for x=c, der summen er a0.
Teorem 9.5.17Tre muligheter:
(1) rekken konvergerer kun for x =c;
(2) rekken konvergerer for alle x ∈(−∞,∞);
(3) det nnes en R >0 slik at rekken konvergerer for
x ∈(c−R,c +R), divergerer for x <c−R og x >c+R og oppførselen i endepunktene x =±R kan variere.
I alle tilfellene er konvergensen absolutt bortsett fra muligens i endepunktene x=±R.
Tallet R i (3) kalleskonvergensradius. Vi sier gjerne at R =0 i (1) og R =∞i (2).
Intervallet der rekken konvergerer i (2) og (3) kalles konvergensintervallet.
Konvergensområder
Spørsmål: For hvilke x konvergerer
∞
X
n=0
an(x−c)n? Ihvertfall for x=c, der summen er a0.
Teorem 9.5.17Tre muligheter:
(1) rekken konvergerer kun for x =c;
(2) rekken konvergerer for alle x ∈(−∞,∞);
(3) det nnes en R >0 slik at rekken konvergerer for
x ∈(c−R,c +R),divergerer for x <c−R og x >c+R og oppførselen i endepunktene x =±R kan variere.
I alle tilfellene er konvergensen absolutt bortsett fra muligens i endepunktene x=±R.
Tallet R i (3) kalleskonvergensradius. Vi sier gjerne at R =0 i (1) og R =∞i (2).
Intervallet der rekken konvergerer i (2) og (3) kalles konvergensintervallet.
Konvergensområder
Spørsmål: For hvilke x konvergerer
∞
X
n=0
an(x−c)n? Ihvertfall for x=c, der summen er a0.
Teorem 9.5.17Tre muligheter:
(1) rekken konvergerer kun for x =c;
(2) rekken konvergerer for alle x ∈(−∞,∞);
(3) det nnes en R >0 slik at rekken konvergerer for
x ∈(c−R,c +R), divergerer for x <c−R og x >c+R og oppførselen i endepunktene x =±R kan variere.
I alle tilfellene er konvergensen absolutt bortsett fra muligens i endepunktene x=±R.
Tallet R i (3) kalleskonvergensradius. Vi sier gjerne at R =0 i (1) og R =∞i (2).
Intervallet der rekken konvergerer i (2) og (3) kalles konvergensintervallet.
Konvergensområder
Spørsmål: For hvilke x konvergerer
∞
X
n=0
an(x−c)n? Ihvertfall for x=c, der summen er a0.
Teorem 9.5.17Tre muligheter:
(1) rekken konvergerer kun for x =c;
(2) rekken konvergerer for alle x ∈(−∞,∞);
(3) det nnes en R >0 slik at rekken konvergerer for
x ∈(c−R,c +R),divergerer for x <c−R og x >c+R og oppførselen i endepunktene x =±R kan variere.
I alle tilfellene er konvergensen absolutt bortsett fra muligens i endepunktene x=±R.
Tallet R i (3) kalleskonvergensradius. Vi sier gjerne at R =0 i (1) og R =∞i (2).
Intervallet der rekken konvergerer i (2) og (3) kalles konvergensintervallet.
Konvergensområder
Spørsmål: For hvilke x konvergerer
∞
X
n=0
an(x−c)n? Ihvertfall for x=c, der summen er a0.
Teorem 9.5.17Tre muligheter:
(1) rekken konvergerer kun for x =c;
(2) rekken konvergerer for alle x ∈(−∞,∞);
(3) det nnes en R >0 slik at rekken konvergerer for
x ∈(c−R,c +R), divergerer for x <c−R og x >c+R og oppførselen i endepunktene x =±R kan variere.
I alle tilfellene er konvergensen absolutt bortsett fra muligens i endepunktene x=±R.
Tallet R i (3) kalleskonvergensradius. Vi sier gjerne at R =0 i (1) og R =∞i (2).
Intervallet der rekken konvergerer i (2) og (3) kalles konvergensintervallet.
Konvergensområder
Spørsmål: For hvilke x konvergerer
∞
X
n=0
an(x−c)n? Ihvertfall for x=c, der summen er a0.
Teorem 9.5.17Tre muligheter:
(1) rekken konvergerer kun for x =c;
(2) rekken konvergerer for alle x ∈(−∞,∞);
(3) det nnes en R >0 slik at rekken konvergerer for
x ∈(c−R,c +R), divergerer for x <c−R og x >c+R og oppførselen i endepunktene x =±R kan variere.
I alle tilfellene er konvergensen absolutt bortsett fra muligens i endepunktene x=±R.
Tallet R i (3) kalleskonvergensradius. Vi sier gjerne at R =0 i (1) og R =∞i (2).
Intervallet der rekken konvergerer i (2) og (3) kalles konvergensintervallet.
Konvergensområder
Spørsmål: For hvilke x konvergerer
∞
X
n=0
an(x−c)n? Ihvertfall for x=c, der summen er a0.
Teorem 9.5.17Tre muligheter:
(1) rekken konvergerer kun for x =c;
(2) rekken konvergerer for alle x ∈(−∞,∞);
(3) det nnes en R >0 slik at rekken konvergerer for
x ∈(c−R,c +R), divergerer for x <c−R og x >c+R og oppførselen i endepunktene x =±R kan variere.
I alle tilfellene er konvergensen absolutt bortsett fra muligens i endepunktene x=±R.
Tallet R i (3) kalleskonvergensradius. Vi sier gjerne at R =0 i (1) og R =∞i (2).
Intervallet der rekken konvergerer i (2) og (3) kalles konvergensintervallet.
Konvergensområder
Spørsmål: For hvilke x konvergerer
∞
X
n=0
an(x−c)n? Ihvertfall for x=c, der summen er a0.
Teorem 9.5.17Tre muligheter:
(1) rekken konvergerer kun for x =c;
(2) rekken konvergerer for alle x ∈(−∞,∞);
(3) det nnes en R >0 slik at rekken konvergerer for
x ∈(c−R,c +R), divergerer for x <c−R og x >c+R og oppførselen i endepunktene x =±R kan variere.
I alle tilfellene er konvergensen absolutt bortsett fra muligens i endepunktene x=±R.
Tallet R i (3) kalleskonvergensradius. Vi sier gjerne at R =0 i (1) og R =∞i (2).
Intervallet der rekken konvergerer i (2) og (3) kalles konvergensintervallet.
Konvergensområder
Spørsmål: For hvilke x konvergerer
∞
X
n=0
an(x−c)n? Ihvertfall for x=c, der summen er a0.
Teorem 9.5.17Tre muligheter:
(1) rekken konvergerer kun for x =c;
(2) rekken konvergerer for alle x ∈(−∞,∞);
(3) det nnes en R >0 slik at rekken konvergerer for
x ∈(c−R,c +R), divergerer for x <c−R og x >c+R og oppførselen i endepunktene x =±R kan variere.
I alle tilfellene er konvergensen absolutt bortsett fra muligens i endepunktene x=±R.
Tallet R i (3) kalleskonvergensradius. Vi sier gjerne at R =0 i (1) og R =∞i (2).
Intervallet der rekken konvergerer i (2) og (3) kalles konvergensintervallet.
Konvergensområder
Spørsmål: For hvilke x konvergerer
∞
X
n=0
an(x−c)n? Ihvertfall for x=c, der summen er a0.
Teorem 9.5.17Tre muligheter:
(1) rekken konvergerer kun for x =c;
(2) rekken konvergerer for alle x ∈(−∞,∞);
(3) det nnes en R >0 slik at rekken konvergerer for
x ∈(c−R,c +R), divergerer for x <c−R og x >c+R og oppførselen i endepunktene x =±R kan variere.
I alle tilfellene er konvergensen absolutt bortsett fra muligens i endepunktene x=±R.
Tallet R i (3) kalleskonvergensradius. Vi sier gjerne at R =0 i (1) og R =∞i (2).
Intervallet der rekken konvergerer i (2) og (3) kalles konvergensintervallet.
Hvordan nne konvergensområdet?
Finner det som oftest ved forholdstesten:
ρ= lim
n→∞
an+1(x −c)n+1 an(x −c)n
= lim
n→∞
an+1
an x −c
Konvergens omρ <1 og divergens omρ >1 (ρ kan være∞).
Dette gir oss konvergensintervallet, bortsett fra endepunktene der ρ=1, som vi må sjekke spesielt.
(Noen ganger kan det være lurere å bruke andre tester, f.eks.
rottesten.)
Hvordan nne konvergensområdet?
Finner det som oftest ved forholdstesten:
ρ= lim
n→∞
an+1(x −c)n+1 an(x −c)n
= lim
n→∞
an+1
an x −c
Konvergens omρ <1 og divergens omρ >1 (ρ kan være∞).
Dette gir oss konvergensintervallet, bortsett fra endepunktene der ρ=1, som vi må sjekke spesielt.
(Noen ganger kan det være lurere å bruke andre tester, f.eks.
rottesten.)
Hvordan nne konvergensområdet?
Finner det som oftest ved forholdstesten:
ρ= lim
n→∞
an+1(x −c)n+1 an(x −c)n
= lim
n→∞
an+1
an x −c
Konvergens omρ <1 og divergens omρ >1 (ρ kan være∞).
Dette gir oss konvergensintervallet, bortsett fra endepunktene der ρ=1, som vi må sjekke spesielt.
(Noen ganger kan det være lurere å bruke andre tester, f.eks.
rottesten.)
Hvordan nne konvergensområdet?
Finner det som oftest ved forholdstesten:
ρ= lim
n→∞
an+1(x −c)n+1 an(x −c)n
= lim
n→∞
an+1
an x −c
Konvergens omρ <1 og divergens omρ >1 (ρ kan være∞).
Dette gir oss konvergensintervallet, bortsett fra endepunktene der ρ=1, som vi må sjekke spesielt.
(Noen ganger kan det være lurere å bruke andre tester, f.eks.
rottesten.)
Hvordan nne konvergensområdet?
Finner det som oftest ved forholdstesten:
ρ= lim
n→∞
an+1(x −c)n+1 an(x −c)n
= lim
n→∞
an+1
an x −c
Konvergens omρ <1 og divergens omρ >1 (ρ kan være∞).
Dette gir oss konvergensintervallet, bortsett fra endepunktene der ρ=1, som vi må sjekke spesielt.
(Noen ganger kan det være lurere å bruke andre tester, f.eks.
rottesten.)
Hvordan nne konvergensområdet?
Finner det som oftest ved forholdstesten:
ρ= lim
n→∞
an+1(x −c)n+1 an(x −c)n
= lim
n→∞
an+1
an x −c
Konvergens omρ <1 og divergens omρ >1 (ρ kan være∞).
Dette gir oss konvergensintervallet, bortsett fra endepunktene der ρ=1, som vi må sjekke spesielt.
(Noen ganger kan det være lurere å bruke andre tester, f.eks.
rottesten.)
Abels teorem
Teorem 9.5.20Summen av en potensrekke er en kontinuerlig funksjon overalt i konvergensintervallet
(også i eventuelle endepunkter, noe vi vil benytte oss av i ere eksempler).
Abels teorem
Teorem 9.5.20Summen av en potensrekke er en kontinuerlig funksjon overalt i konvergensintervallet
(også i eventuelle endepunkter, noe vi vil benytte oss av i ere eksempler).
Abels teorem
Teorem 9.5.20Summen av en potensrekke er en kontinuerlig funksjon overalt i konvergensintervallet
(også i eventuelle endepunkter, noe vi vil benytte oss av i ere eksempler).
Abels teorem
Teorem 9.5.20Summen av en potensrekke er en kontinuerlig funksjon overalt i konvergensintervallet
(også i eventuelle endepunkter, noe vi vil benytte oss av i ere eksempler).
Algebraiske operasjoner (c = 0 for enkelhets skyld)
Teorem 9.5.18
I Mult. med konstant
∞
X
n=0
(Kan)xn=K
∞
X
n=0
anxn Samme konvergensradius.
I Addisjon
∞
X
n=0
(an+bn)xn=
∞
X
n=0
anxn+
∞
X
n=0
bnxn
Konvergensradius til rekken til venstre er minst like stor som den minste av radiene til de to rekkene til høyre.
Multiplikasjon av rekker (Cauchyprodukt): les selv!
Algebraiske operasjoner (c = 0 for enkelhets skyld)
Teorem 9.5.18
I Mult. med konstant
∞
X
n=0
(Kan)xn=K
∞
X
n=0
anxn Samme konvergensradius.
I Addisjon
∞
X
n=0
(an+bn)xn=
∞
X
n=0
anxn+
∞
X
n=0
bnxn
Konvergensradius til rekken til venstre er minst like stor som den minste av radiene til de to rekkene til høyre.
Multiplikasjon av rekker (Cauchyprodukt): les selv!
Algebraiske operasjoner (c = 0 for enkelhets skyld)
Teorem 9.5.18
I Mult. med konstant
∞
X
n=0
(Kan)xn=K
∞
X
n=0
anxn Samme konvergensradius.
I Addisjon
∞
X
n=0
(an+bn)xn=
∞
X
n=0
anxn+
∞
X
n=0
bnxn
Konvergensradius til rekken til venstre er minst like stor som den minste av radiene til de to rekkene til høyre.
Multiplikasjon av rekker (Cauchyprodukt): les selv!
Algebraiske operasjoner (c = 0 for enkelhets skyld)
Teorem 9.5.18
I Mult. med konstant
∞
X
n=0
(Kan)xn=K
∞
X
n=0
anxn Samme konvergensradius.
I Addisjon
∞
X
n=0
(an+bn)xn=
∞
X
n=0
anxn+
∞
X
n=0
bnxn
Konvergensradius til rekken til venstre er minst like stor som den minste av radiene til de to rekkene til høyre.
Multiplikasjon av rekker (Cauchyprodukt): les selv!
Algebraiske operasjoner (c = 0 for enkelhets skyld)
Teorem 9.5.18
I Mult. med konstant
∞
X
n=0
(Kan)xn=K
∞
X
n=0
anxn Samme konvergensradius.
I Addisjon
∞
X
n=0
(an+bn)xn=
∞
X
n=0
anxn+
∞
X
n=0
bnxn
Konvergensradius til rekken til venstre er minst like stor som den minste av radiene til de to rekkene til høyre.
Multiplikasjon av rekker (Cauchyprodukt): les selv!
Algebraiske operasjoner (c = 0 for enkelhets skyld)
Teorem 9.5.18
I Mult. med konstant
∞
X
n=0
(Kan)xn=K
∞
X
n=0
anxn Samme konvergensradius.
I Addisjon
∞
X
n=0
(an+bn)xn=
∞
X
n=0
anxn+
∞
X
n=0
bnxn
Konvergensradius til rekken til venstre er minst like stor som den minste av radiene til de to rekkene til høyre.
Multiplikasjon av rekker (Cauchyprodukt): les selv!
Algebraiske operasjoner (c = 0 for enkelhets skyld)
Teorem 9.5.18
I Mult. med konstant
∞
X
n=0
(Kan)xn=K
∞
X
n=0
anxn Samme konvergensradius.
I Addisjon
∞
X
n=0
(an+bn)xn=
∞
X
n=0
anxn+
∞
X
n=0
bnxn
Konvergensradius til rekken til venstre er minst like stor som den minste av radiene til de to rekkene til høyre.
Multiplikasjon av rekker (Cauchyprodukt): les selv!
Derivasjon og integrasjon (c = 0 for enkelhets skyld)
Anta f(x) =
∞
X
n=0
anxn for x ∈(−R,R).
Teorem 9.5.19
I f0(x) =
∞
X
n=0
d dx
anxn
=
∞
X
n=1
nanxn−1 for x ∈(−R,R)
I
Zx 0
f(t)dt =
∞
X
n=0
Zx 0
anxn
=
∞
X
n=0
an
n+1xn+1 for x ∈(−R,R).
Moralen er: vi kan derivére og integrére leddvis, så lenge vi er i det indre av konvergensintervallet(−R,R). Det kan imidlertid skje ting i endepunktene: vi kan miste konvergens når vi derivérer og vinne konvergens når vi integrérer. Dette følger fra Abels teorem: vi skal ikke vise dette generelt, men vise det i konkrete eksempler.
Derivasjon og integrasjon (c = 0 for enkelhets skyld)
Anta f(x) =
∞
X
n=0
anxn for x ∈(−R,R).
Teorem 9.5.19
I f0(x) =
∞
X
n=0
d dx
anxn
=
∞
X
n=1
nanxn−1 for x ∈(−R,R)
I
Zx 0
f(t)dt =
∞
X
n=0
Zx 0
anxn
=
∞
X
n=0
an
n+1xn+1 for x ∈(−R,R).
Moralen er: vi kan derivére og integrére leddvis, så lenge vi er i det indre av konvergensintervallet(−R,R). Det kan imidlertid skje ting i endepunktene: vi kan miste konvergens når vi derivérer og vinne konvergens når vi integrérer. Dette følger fra Abels teorem: vi skal ikke vise dette generelt, men vise det i konkrete eksempler.
Derivasjon og integrasjon (c = 0 for enkelhets skyld)
Anta f(x) =
∞
X
n=0
anxn for x ∈(−R,R).
Teorem 9.5.19
I f0(x) =
∞
X
n=0
d dx
anxn
=
∞
X
n=1
nanxn−1 for x ∈(−R,R)
I
Zx 0
f(t)dt =
∞
X
n=0
Zx 0
anxn
=
∞
X
n=0
an
n+1xn+1 for x ∈(−R,R).
Moralen er: vi kan derivére og integrére leddvis, så lenge vi er i det indre av konvergensintervallet(−R,R). Det kan imidlertid skje ting i endepunktene: vi kan miste konvergens når vi derivérer og vinne konvergens når vi integrérer. Dette følger fra Abels teorem: vi skal ikke vise dette generelt, men vise det i konkrete eksempler.
Derivasjon og integrasjon (c = 0 for enkelhets skyld)
Anta f(x) =
∞
X
n=0
anxn for x ∈(−R,R).
Teorem 9.5.19
I f0(x) =
∞
X
n=0
d dx
anxn
=
∞
X
n=1
nanxn−1 for x ∈(−R,R)
I
Zx 0
f(t)dt =
∞
X
n=0
Zx 0
anxn
=
∞
X
n=0
an
n+1xn+1 for x ∈(−R,R).
Moralen er: vi kan derivére og integrére leddvis, så lenge vi er i det indre av konvergensintervallet(−R,R). Det kan imidlertid skje ting i endepunktene: vi kan miste konvergens når vi derivérer og vinne konvergens når vi integrérer. Dette følger fra Abels teorem: vi skal ikke vise dette generelt, men vise det i konkrete eksempler.
Derivasjon og integrasjon (c = 0 for enkelhets skyld)
Anta f(x) =
∞
X
n=0
anxn for x ∈(−R,R).
Teorem 9.5.19
I f0(x) =
∞
X
n=0
d dx
anxn
=
∞
X
n=1
nanxn−1 for x ∈(−R,R)
I
Zx 0
f(t)dt =
∞
X
n=0
Zx 0
anxn
=
∞
X
n=0
an
n+1xn+1 for x ∈(−R,R).
Moralen er: vi kan derivére og integrére leddvis, så lenge vi er i det indre av konvergensintervallet(−R,R). Det kan imidlertid skje ting i endepunktene: vi kan miste konvergens når vi derivérer og vinne konvergens når vi integrérer. Dette følger fra Abels teorem: vi skal ikke vise dette generelt, men vise det i konkrete eksempler.
Derivasjon og integrasjon (c = 0 for enkelhets skyld)
Anta f(x) =
∞
X
n=0
anxn for x ∈(−R,R).
Teorem 9.5.19
I f0(x) =
∞
X
n=0
d dx
anxn
=
∞
X
n=1
nanxn−1 for x ∈(−R,R)
I
Zx 0
f(t)dt =
∞
X
n=0
Zx 0
anxn
=
∞
X
n=0
an
n+1xn+1 for x ∈(−R,R).
Moralen er: vi kan derivére og integrére leddvis, så lenge vi er i det indre av konvergensintervallet(−R,R). Det kan imidlertid skje ting i endepunktene: vi kan miste konvergens når vi derivérer og vinne konvergens når vi integrérer. Dette følger fra Abels teorem: vi skal ikke vise dette generelt, men vise det i konkrete eksempler.
Derivasjon og integrasjon (c = 0 for enkelhets skyld)
Anta f(x) =
∞
X
n=0
anxn for x ∈(−R,R).
Teorem 9.5.19
I f0(x) =
∞
X
n=0
d dx
anxn
=
∞
X
n=1
nanxn−1 for x ∈(−R,R)
I
Zx 0
f(t)dt =
∞
X
n=0
Zx 0
anxn
=
∞
X
n=0
an
n+1xn+1 for x ∈(−R,R).
Moralen er: vi kan derivére og integrére leddvis, så lenge vi er i det indre av konvergensintervallet(−R,R). Det kan imidlertid skje ting i endepunktene: vi kan miste konvergens når vi derivérer og vinne konvergens når vi integrérer. Dette følger fra Abels teorem: vi skal ikke vise dette generelt, men vise det i konkrete eksempler.
Derivasjon og integrasjon (c = 0 for enkelhets skyld)
Anta f(x) =
∞
X
n=0
anxn for x ∈(−R,R).
Teorem 9.5.19
I f0(x) =
∞
X
n=0
d dx
anxn
=
∞
X
n=1
nanxn−1 for x ∈(−R,R)
I
Zx 0
f(t)dt =
∞
X
n=0
Zx 0
anxn
=
∞
X
n=0
an
n+1xn+1 for x ∈(−R,R).
Moralen er: vi kan derivére og integrére leddvis, så lenge vi er i det indre av konvergensintervallet(−R,R). Det kan imidlertid skje ting i endepunktene: vi kan miste konvergens når vi derivérer og vinne konvergens når vi integrérer. Dette følger fra Abels teorem: vi skal ikke vise dette generelt, men vise det i konkrete eksempler.
Derivasjon og integrasjon (c = 0 for enkelhets skyld)
Anta f(x) =
∞
X
n=0
anxn for x ∈(−R,R).
Teorem 9.5.19
I f0(x) =
∞
X
n=0
d dx
anxn
=
∞
X
n=1
nanxn−1 for x ∈(−R,R)
I
Zx 0
f(t)dt =
∞
X
n=0
Zx 0
anxn
=
∞
X
n=0
an
n+1xn+1 for x ∈(−R,R).
Moralen er: vi kan derivére og integrére leddvis, så lenge vi er i det indre av konvergensintervallet(−R,R). Det kan imidlertid skje ting i endepunktene: vi kan miste konvergens når vi derivérer og vinne konvergens når vi integrérer. Dette følger fra Abels teorem: vi skal ikke vise dette generelt, men vise det i konkrete eksempler.
For spesielt interesserte: Dette teoremet gjelder ikke for funksjonsrekker som ikke er potensrekker.
F.eks. konvergerer
∞
X
n=1
sin(n3x)
n2 absolutt for alle x (HVORFOR?), mens rekken vi får ved leddvis derivasjon
∞
X
n=1
n cos(n3x) divergerer for alle x.
For spesielt interesserte: Dette teoremet gjelder ikke for funksjonsrekker som ikke er potensrekker.
F.eks. konvergerer
∞
X
n=1
sin(n3x)
n2 absolutt for alle x (HVORFOR?), mens rekken vi får ved leddvis derivasjon
∞
X
n=1
n cos(n3x) divergerer for alle x.
For spesielt interesserte: Dette teoremet gjelder ikke for funksjonsrekker som ikke er potensrekker.
F.eks. konvergerer
∞
X
n=1
sin(n3x)
n2 absolutt for alle x (HVORFOR?), mens rekken vi får ved leddvis derivasjon
∞
X
n=1
n cos(n3x) divergerer for alle x.
For spesielt interesserte: Dette teoremet gjelder ikke for funksjonsrekker som ikke er potensrekker.
F.eks. konvergerer
∞
X
n=1
sin(n3x)
n2 absolutt for alle x (HVORFOR?), mens rekken vi får ved leddvis derivasjon
∞
X
n=1
n cos(n3x) divergerer for alle x.
Taylor- og Maclaurinrekker
Anta f er uendelig mange ganger derivérbar i punktet c, dvs. at f(n) eksisterer for alle n=0,1,2,3, . . ..
Potensrekken ∞
X
n=0
f(n)(c)
n! (x −c)n
kallesTaylorrekken til f om c (elleri potenser av x −c.) Vi sier gjerneMaclaurinrekkenhvis c =0.
Merk at den n-te delsummen til rekken er Taylorpolynomet av orden n:
Pn(x) =
n
X
j=0
f(j)(c)
j! (x −c)j
Taylor- og Maclaurinrekker
Anta f er uendelig mange ganger derivérbar i punktet c, dvs. at f(n) eksisterer for alle n=0,1,2,3, . . ..
Potensrekken ∞
X
n=0
f(n)(c)
n! (x −c)n
kallesTaylorrekken til f om c (elleri potenser av x −c.) Vi sier gjerneMaclaurinrekkenhvis c =0.
Merk at den n-te delsummen til rekken er Taylorpolynomet av orden n:
Pn(x) =
n
X
j=0
f(j)(c)
j! (x −c)j
Taylor- og Maclaurinrekker
Anta f er uendelig mange ganger derivérbar i punktet c, dvs. at f(n) eksisterer for alle n=0,1,2,3, . . ..
Potensrekken ∞
X
n=0
f(n)(c)
n! (x −c)n
kallesTaylorrekken til f om c (elleri potenser av x −c.) Vi sier gjerneMaclaurinrekkenhvis c =0.
Merk at den n-te delsummen til rekken erTaylorpolynomet av orden n:
Pn(x) =
n
X
j=0
f(j)(c)
j! (x −c)j
Taylor- og Maclaurinrekker
Anta f er uendelig mange ganger derivérbar i punktet c, dvs. at f(n) eksisterer for alle n=0,1,2,3, . . ..
Potensrekken ∞
X
n=0
f(n)(c)
n! (x −c)n
kallesTaylorrekken til f om c (elleri potenser av x −c.) Vi sier gjerneMaclaurinrekkenhvis c =0.
Merk at den n-te delsummen til rekken er Taylorpolynomet av orden n:
Pn(x) =
n
X
j=0
f(j)(c)
j! (x −c)j
Taylor- og Maclaurinrekker
Anta f er uendelig mange ganger derivérbar i punktet c, dvs. at f(n) eksisterer for alle n=0,1,2,3, . . ..
Potensrekken ∞
X
n=0
f(n)(c)
n! (x −c)n
kallesTaylorrekken til f om c (elleri potenser av x −c.) Vi sier gjerneMaclaurinrekkenhvis c =0.
Merk at den n-te delsummen til rekken erTaylorpolynomet av orden n:
Pn(x) =
n
X
j=0
f(j)(c)
j! (x −c)j
Taylor- og Maclaurinrekker
Anta f er uendelig mange ganger derivérbar i punktet c, dvs. at f(n) eksisterer for alle n=0,1,2,3, . . ..
Potensrekken ∞
X
n=0
f(n)(c)
n! (x −c)n
kallesTaylorrekken til f om c (elleri potenser av x −c.) Vi sier gjerneMaclaurinrekkenhvis c =0.
Merk at den n-te delsummen til rekken er Taylorpolynomet av orden n:
Pn(x) =
n
X
j=0
f(j)(c)
j! (x −c)j
Viktig teorem
Teorem 9.6.21Hvis f(x) =
∞
X
n=0
an(x−c)nfor x ∈(c−R,c+R), R >0, da er dette Taylorrekken til f om c.
Bevis: Bare derivér rekken n ganger og få at an= f(nn)!(c). Denisjon:f kalles analytisk i c dersom
I f har en Taylorrekke om c (dvs. f er uendelig mange ganger derivérbar i c) og
I Taylorrekken konvergerer mot f i et åpent intervall om c.
OBS! For en ikke-analytisk funksjon: selv om Taylorrekken
konvergerer, trenger den ikke konvergere mot f . Se Oppg. 9.6.40.
Viktig teorem
Teorem 9.6.21Hvis f(x) =
∞
X
n=0
an(x−c)nfor x ∈(c−R,c+R), R >0, da er dette Taylorrekken til f om c.
Bevis: Bare derivér rekken n ganger og få at an= f(nn)!(c). Denisjon:f kalles analytisk i c dersom
I f har en Taylorrekke om c (dvs. f er uendelig mange ganger derivérbar i c) og
I Taylorrekken konvergerer mot f i et åpent intervall om c.
OBS! For en ikke-analytisk funksjon: selv om Taylorrekken
konvergerer, trenger den ikke konvergere mot f . Se Oppg. 9.6.40.
Viktig teorem
Teorem 9.6.21Hvis f(x) =
∞
X
n=0
an(x−c)nfor x ∈(c−R,c+R), R >0, da er dette Taylorrekken til f om c.
Bevis: Bare derivér rekken n ganger og få at an= f(nn)!(c). Denisjon:f kalles analytisk i c dersom
I f har en Taylorrekke om c (dvs. f er uendelig mange ganger derivérbar i c) og
I Taylorrekken konvergerer mot f i et åpent intervall om c.
OBS! For en ikke-analytisk funksjon: selv om Taylorrekken
konvergerer, trenger den ikke konvergere mot f . Se Oppg. 9.6.40.
Viktig teorem
Teorem 9.6.21Hvis f(x) =
∞
X
n=0
an(x−c)nfor x ∈(c−R,c+R), R >0, da er dette Taylorrekken til f om c.
Bevis: Bare derivér rekken n ganger og få at an= f(nn)!(c). Denisjon:f kalles analytisk i c dersom
I f har en Taylorrekke om c (dvs. f er uendelig mange ganger derivérbar i c) og
I Taylorrekken konvergerer mot f i et åpent intervall om c.
OBS! For en ikke-analytisk funksjon: selv om Taylorrekken
konvergerer, trenger den ikke konvergere mot f . Se Oppg. 9.6.40.
Viktig teorem
Teorem 9.6.21Hvis f(x) =
∞
X
n=0
an(x−c)nfor x ∈(c−R,c+R), R >0, da er dette Taylorrekken til f om c.
Bevis: Bare derivér rekken n ganger og få at an= f(nn)!(c). Denisjon:f kalles analytisk i c dersom
I f har en Taylorrekke om c (dvs. f er uendelig mange ganger derivérbar i c) og
I Taylorrekken konvergerer mot f i et åpent intervall om c.
OBS! For en ikke-analytisk funksjon: selv om Taylorrekken
konvergerer, trenger den ikke konvergere mot f . Se Oppg. 9.6.40.
Viktig teorem
Teorem 9.6.21Hvis f(x) =
∞
X
n=0
an(x−c)nfor x ∈(c−R,c+R), R >0, da er dette Taylorrekken til f om c.
Bevis: Bare derivér rekken n ganger og få at an= f(nn)!(c). Denisjon:f kalles analytisk i c dersom
I f har en Taylorrekke om c (dvs. f er uendelig mange ganger derivérbar i c) og
I Taylorrekken konvergerer mot f i et åpent intervall om c.
OBS! For en ikke-analytisk funksjon: selv om Taylorrekken
konvergerer, trenger den ikke konvergere mot f . Se Oppg. 9.6.40.
Viktig teorem
Teorem 9.6.21Hvis f(x) =
∞
X
n=0
an(x−c)nfor x ∈(c−R,c+R), R >0, da er dette Taylorrekken til f om c.
Bevis: Bare derivér rekken n ganger og få at an= f(nn)!(c). Denisjon:f kalles analytisk i c dersom
I f har en Taylorrekke om c (dvs. f er uendelig mange ganger derivérbar i c) og
I Taylorrekken konvergerer mot f i et åpent intervall om c.
OBS! For en ikke-analytisk funksjon: selv om Taylorrekken
konvergerer, trenger den ikke konvergere mot f . Se Oppg. 9.6.40.
Viktig teorem
Teorem 9.6.21Hvis f(x) =
∞
X
n=0
an(x−c)nfor x ∈(c−R,c+R), R >0, da er dette Taylorrekken til f om c.
Bevis: Bare derivér rekken n ganger og få at an= f(nn)!(c). Denisjon:f kalles analytisk i c dersom
I f har en Taylorrekke om c (dvs. f er uendelig mange ganger derivérbar i c) og
I Taylorrekken konvergerer mot f i et åpent intervall om c.
OBS! For en ikke-analytisk funksjon: selv om Taylorrekken
konvergerer, trenger den ikke konvergere mot f . Se Oppg. 9.6.40.
Metode for å vise at Taylorrekken konvergerer mot f
BrukerTaylors formel med restledd:
f(x) =Pn(x) +En(x), der
En(x) = f(n+1)(s)
(n+1)!(x−c)n+1, for en s mellom c og x Viktig!
nlim→∞En(x) =0 ⇒Taylorrekken (= lim
n→∞Pn(x)) konvergerer mot f .
Metode for å vise at Taylorrekken konvergerer mot f
BrukerTaylors formel med restledd:
f(x) =Pn(x) +En(x), der
En(x) = f(n+1)(s)
(n+1)!(x−c)n+1, for en s mellom c og x Viktig!
nlim→∞En(x) =0 ⇒Taylorrekken (= lim
n→∞Pn(x)) konvergerer mot f .
