Enmedisinskillesutfrakroppenmedenhastighetproporsjonalmedmengdenikroppen.Halveringstidener12timer.Antaatendose y injiseresienpasienthversjettetimefraetvissttidspunkt.Dentotalemengdenmedisinbørikkeoverskrideenfaregrense G .Hvaerdetstørste y kanværenårviøns

(1)

Eksempel

En medisin skilles ut fra kroppen med en hastighet

proporsjonal med mengden i kroppen. Halveringstiden er 12 timer.

Anta at en dose y0 injiseres i en pasient hver sjette time fra et visst tidspunkt.

Den totale mengden medisin bør ikke overskride en faregrense G. Hva er det største y0 kan være når vi

ønsker at faregrensen ikke overskrides uansett hvor lenge behandlingen fortsetter?

(2)

Løsning

Gitt ǫ > 0

(3)

Løsning

Gitt ǫ > 0

(4)

Nei, jeg bare tuller.

(5)

Virkelig løsning

Anta dose y0 injiseres ved tid t = 0.

La y(t) = restene av denne dosen etter t timer Vet at

dy

dt = −ky, y(0) = y0, y(12) = 1 2y0

Husker fra MAT111-pensum (3.4) at y(t) = Ce⁻^kt.

y0 = y(0) = Ce⁰ = C =⇒ C = y0 =⇒ y(t) = y0e⁻^kt

1

2y0 = y(12) = y0e⁻¹²^k =⇒ −12k = ln 1

2 = − ln 2

=⇒ k = ln 2 12

=⇒ y(t) = y0e⁻^{ln 2}¹² ^t

(6)

Virkelig løsning

dy

dt = −ky, y(0) = y0, y(12) = 1 2y0

y0 = y(0) = Ce⁰ = C =⇒ C = y0 =⇒ y(t) = y0e⁻^kt

1

2y0 = y(12) = y0e⁻¹²^k =⇒ −12k = ln 1

2 = − ln 2

=⇒ k = ln 2 12

=⇒ y(t) = y0e⁻^{ln 2}¹² ^t

(7)

Virkelig løsning

dy

dt = −ky, y(0) = y0, y(12) = 1 2y0

y0 = y(0) = Ce⁰ = C =⇒ C = y0 =⇒ y(t) = y0e⁻^kt

1

2y0 = y(12) = y0e⁻¹²^k =⇒ −12k = ln 1

2 = − ln 2

=⇒ k = ln 2 12

=⇒ y(t) = y0e⁻^{ln 2}¹² ^t

(8)

Virkelig løsning

dy

dt = −ky, y(0) = y0, y(12) = 1 2y0

y0 = y(0) = Ce⁰ = C =⇒ C = y0 =⇒ y(t) = y0e⁻^kt

1

2y0 = y(12) = y0e⁻¹²^k =⇒ −12k = ln 1

2 = − ln 2

=⇒ k = ln 2 12

=⇒ y(t) = y0e⁻^{ln 2}¹² ^t

(9)

Virkelig løsning

dy

dt = −ky, y(0) = y0, y(12) = 1 2y0

y0 = y(0) = Ce⁰ = C =⇒ C = y0 =⇒ y(t) = y0e⁻^kt

1

2y0 = y(12) = y0e⁻¹²^k =⇒ −12k = ln 1

2 = − ln 2

=⇒ k = ln 2 12

=⇒ y(t) = y0e⁻^{ln 2}¹² ^t

(10)

Virkelig løsning

dy

dt = −ky, y(0) = y0, y(12) = 1 2y0

y0 = y(0) = Ce⁰ = C =⇒ C = y0 =⇒ y(t) = y0e⁻^kt

1

2y0 = y(12) = y0e⁻¹²^k =⇒ −12k = ln 1

2 = − ln 2

=⇒ k = ln 2 12

=⇒ y(t) = y0e⁻^{ln 2}¹² ^t

(11)

Virkelig løsning

dy

dt = −ky, y(0) = y0, y(12) = 1 2y0

y0 = y(0) = Ce⁰ = C =⇒ C = y0 =⇒ y(t) = y0e⁻^kt

1

2y0 = y(12) = y0e⁻¹²^k =⇒ −12k = ln 1

2 = − ln 2

=⇒ k = ln 2 12

=⇒ y(t) = y0e⁻^{ln 2}¹² ^t

(12)

Virkelig løsning

dy

dt = −ky, y(0) = y0, y(12) = 1 2y0

y0 = y(0) = Ce⁰ = C =⇒ C = y0 =⇒ y(t) = y0e⁻^kt

1

2y0 = y(12) = y0e⁻¹²^k =⇒ −12k = ln 1

2 = − ln 2

=⇒ k = ln 2 12

=⇒ y(t) = y0e⁻^{ln 2}¹² ^t

(13)

Virkelig løsning

dy

dt = −ky, y(0) = y0, y(12) = 1 2y0

y0 = y(0) = Ce⁰ = C =⇒ C = y0 =⇒ y(t) = y0e⁻^kt

1

2y0 = y(12) = y0e⁻¹²^k =⇒ −12k = ln 1

2 = − ln 2

=⇒ k = ln 2 12

=⇒ y(t) = y0e⁻^{ln 2}¹² ^t

(14)

Virkelig løsning

dy

dt = −ky, y(0) = y0, y(12) = 1 2y0

y0 = y(0) = Ce⁰ = C =⇒ C = y0 =⇒ y(t) = y0e⁻^kt

1

2y0 = y(12) = y0e⁻¹²^k =⇒ −12k = ln 1

2 = − ln 2

=⇒ k = ln 2 12

=⇒ y(t) = y0e⁻^{ln 2}¹² ^t

(15)

Virkelig løsning

dy

dt = −ky, y(0) = y0, y(12) = 1 2y0

y0 = y(0) = Ce⁰ = C =⇒ C = y0 =⇒ y(t) = y0e⁻^kt

1

2y0 = y(12) = y0e⁻¹²^k =⇒ −12k = ln 1

2 = − ln 2

=⇒ k = ln 2 12

=⇒ y(t) = y0e⁻^{ln 2}¹² ^t

(16)

Virkelig løsning

dy

dt = −ky, y(0) = y0, y(12) = 1 2y0

y0 = y(0) = Ce⁰ = C =⇒ C = y0 =⇒ y(t) = y0e⁻^kt

1

2y0 = y(12) = y0e⁻¹²^k =⇒ −12k = ln 1

2 = − ln 2

=⇒ k = ln 2 12

=⇒ y(t) = y0e⁻^{ln 2}¹² ^t

(17)

Virkelig løsning

dy

dt = −ky, y(0) = y0, y(12) = 1 2y0

y0 = y(0) = Ce⁰ = C =⇒ C = y0 =⇒ y(t) = y0e⁻^kt

1

2y0 = y(12) = y0e⁻¹²^k =⇒ −12k = ln 1

2 = − ln 2

=⇒ k = ln 2 12

=⇒ y(t) = y0e⁻^{ln 2}¹² ^t

(18)

Virkelig løsning

dy

dt = −ky, y(0) = y0, y(12) = 1 2y0

y0 = y(0) = Ce⁰ = C =⇒ C = y0 =⇒ y(t) = y0e⁻^kt

1

2y0 = y(12) = y0e⁻¹²^k =⇒ −12k = ln 1

2 = − ln 2

=⇒ k = ln 2 12

=⇒ y(t) = y0e⁻^{ln 2}¹² ^t

(19)

Mengde medisin i kroppen etter første injeksjon er: y0

Etter andre injeksjon: y0 + y(6)

Etter tredje injeksjon: y0 + y(6) + y(12) Etter nte injeksjon:

y0 + y(6) + y(12) + · · · + y(6(n − 1))

=

n

X

j=1

y(6(j − 1))

=

n

X

j=1

y0e⁻^{ln 2}¹² ^·⁶⁽^j⁻¹⁾

=

n

X

j=1

y0e⁻^{ln 2}² ⁽^j⁻¹⁾

=

n

X

j=1

y0

e⁻¹² ^{ln 2}

_j₋¹

=

n

X

j=1

y0

e⁻ ^{ln 2}

12j−1

=

n

X

j=1

y0

1

√2

_j₋¹

(20)

y0 + y(6) + y(12) + · · · + y(6(n − 1))

=

n

X

j=1

y(6(j − 1))

=

n

X

j=1

y0e⁻^{ln 2}¹² ^·⁶⁽^j⁻¹⁾

=

n

X

j=1

y0e⁻^{ln 2}² ⁽^j⁻¹⁾

=

n

X

j=1

y0

e⁻¹² ^{ln 2}

_j₋¹

=

n

X

j=1

y0

e⁻ ^{ln 2}

12j−1

=

n

X

j=1

y0

1

√2

_j₋¹

(21)

y0 + y(6) + y(12) + · · · + y(6(n − 1))

=

n

X

j=1

y(6(j − 1))

=

n

X

j=1

y0e⁻^{ln 2}¹² ^·⁶⁽^j⁻¹⁾

=

n

X

j=1

y0e⁻^{ln 2}² ⁽^j⁻¹⁾

=

n

X

j=1

y0

e⁻¹² ^{ln 2}

_j₋¹

=

n

X

j=1

y0

e⁻ ^{ln 2}

12j−1

=

n

X

j=1

y0

1

√2

_j₋¹

(22)

y0 + y(6) + y(12) + · · · + y(6(n − 1))

=

n

X

j=1

y(6(j − 1))

=

n

X

j=1

y0e⁻^{ln 2}¹² ^·⁶⁽^j⁻¹⁾

=

n

X

j=1

y0e⁻^{ln 2}² ⁽^j⁻¹⁾

=

n

X

j=1

y0

e⁻¹² ^{ln 2}

_j₋¹

=

n

X

j=1

y0

e⁻ ^{ln 2}

12j−1

=

n

X

j=1

y0

1

√2

_j₋¹

(23)

y0 + y(6) + y(12) + · · · + y(6(n − 1))

=

n

X

j=1

y(6(j − 1))

=

n

X

j=1

y0e⁻^{ln 2}¹² ^·⁶⁽^j⁻¹⁾

=

n

X

j=1

y0e⁻^{ln 2}² ⁽^j⁻¹⁾

=

n

X

j=1

y0

e⁻¹² ^{ln 2}

_j₋¹

=

n

X

j=1

y0

e⁻ ^{ln 2}

12j−1

=

n

X

j=1

y0

1

√2

_j₋¹

(24)

y0 + y(6) + y(12) + · · · + y(6(n − 1))

=

n

X

j=1

y(6(j − 1))

=

n

X

j=1

y0e⁻^{ln 2}¹² ^·⁶⁽^j⁻¹⁾

=

n

X

j=1

y0e⁻^{ln 2}² ⁽^j⁻¹⁾

=

n

X

j=1

y0

e⁻¹² ^{ln 2}

_j₋¹

=

n

X

j=1

y0

e⁻ ^{ln 2}

12j−1

=

n

X

j=1

y0

1

√2

_j₋¹

(25)

y0 + y(6) + y(12) + · · · + y(6(n − 1))

=

n

X

j=1

y(6(j − 1))

=

n

X

j=1

y0e⁻^{ln 2}¹² ^·⁶⁽^j⁻¹⁾

=

n

X

j=1

y0e⁻^{ln 2}² ⁽^j⁻¹⁾

=

n

X

j=1

y0

e⁻¹² ^{ln 2}

_j₋¹

=

n

X

j=1

y0

e⁻ ^{ln 2}

12j−1

=

n

X

j=1

y0

1

√2

_j₋¹

(26)

y0 + y(6) + y(12) + · · · + y(6(n − 1))

=

n

X

j=1

y(6(j − 1))

=

n

X

j=1

y0e⁻^{ln 2}¹² ^·⁶⁽^j⁻¹⁾

=

n

X

j=1

y0e⁻^{ln 2}² ⁽^j⁻¹⁾

=

n

X

j=1

y0

e⁻¹² ^{ln 2}

_j₋¹

=

n

X

j=1

y0

e⁻ ^{ln 2}

12j−1

=

n

X

j=1

y0

1

√2

_j₋¹

(27)

y0 + y(6) + y(12) + · · · + y(6(n − 1))

=

n

X

j=1

y(6(j − 1))

=

n

X

j=1

y0e⁻^{ln 2}¹² ^·⁶⁽^j⁻¹⁾

=

n

X

j=1

y0e⁻^{ln 2}² ⁽^j⁻¹⁾

=

n

X

j=1

y0

e⁻¹² ^{ln 2}

_j₋¹

=

n

X

j=1

y0

e⁻ ^{ln 2}

12j−1

=

n

X

j=1

y0

1

√2

_j₋¹

(28)

y0 + y(6) + y(12) + · · · + y(6(n − 1))

=

n

X

j=1

y(6(j − 1))

=

n

X

j=1

y0e⁻^{ln 2}¹² ^·⁶⁽^j⁻¹⁾

=

n

X

j=1

y0e⁻^{ln 2}² ⁽^j⁻¹⁾

=

n

X

j=1

y0

e⁻¹² ^{ln 2}

_j₋¹

=

n

X

j=1

y0

e⁻ ^{ln 2}

12j−1

=

n

X

j=1

y0

1

√2

_j₋¹

(29)

Vil ha:

n→∞lim

n

X

j=1

y0

1

√2

n−1

≤ G

dvs. ∞

X

j=1

y0

1

√2

_n₋¹

≤ G

Rekken til venstre er en geometrisk rekke (9.2).

Vet da at

X∞ j=1

y0

1

√2

_n₋¹

= y0

1 − ^√¹₂ Får at

y0

1 − ^√¹₂ ≤ G dvs.

y0 ≤ G

1 − 1

√2

Konklusjon: y0 kan maks. være G

1 − ^√¹₂ .

(30)

Vil ha:

n→∞lim

n

X

j=1

y0

1

√2

n−1

≤ G

dvs. ∞

X

j=1

y0

1

√2

_n₋¹

≤ G

Vet da at

X∞ j=1

y0

1

√2

_n₋¹

= y0

1 − ^√¹₂ Får at

y0

1 − ^√¹₂ ≤ G dvs.

y0 ≤ G

1 − 1

√2

1 − ^√¹₂ .

(31)

Vil ha:

n→∞lim

n

X

j=1

y0

1

√2

n−1

≤ G

dvs. ∞

X

j=1

y0

1

√2

_n₋¹

≤ G

Vet da at

X∞ j=1

y0

1

√2

_n₋¹

= y0

1 − ^√¹₂ Får at

y0

1 − ^√¹₂ ≤ G dvs.

y0 ≤ G

1 − 1

√2

1 − ^√¹₂ .

(32)

Vil ha:

n→∞lim

n

X

j=1

y0

1

√2

n−1

≤ G

dvs. ∞

X

j=1

y0

1

√2

_n₋¹

≤ G

Vet da at

X∞ j=1

y0

1

√2

_n₋¹

= y0

1 − ^√¹₂ Får at

y0

1 − ^√¹₂ ≤ G dvs.

y0 ≤ G

1 − 1

√2

1 − ^√¹₂ .

(33)

Vil ha:

n→∞lim

n

X

j=1

y0

1

√2

n−1

≤ G

dvs. ∞

X

j=1

y0

1

√2

_n₋¹

≤ G

Vet da at

X∞ j=1

y0

1

√2

_n₋¹

= y0

1 − ^√¹₂ Får at

y0

1 − ^√¹₂ ≤ G dvs.

y0 ≤ G

1 − 1

√2

1 − ^√¹₂ .

(34)

Vil ha:

n→∞lim

n

X

j=1

y0

1

√2

n−1

≤ G

dvs. ∞

X

j=1

y0

1

√2

_n₋¹

≤ G

Vet da at

X∞ j=1

y0

1

√2

_n₋¹

= y0

1 − ^√¹₂ Får at

y0

1 − ^√¹₂ ≤ G dvs.

y0 ≤ G

1 − 1

√2

1 − ^√¹₂ .

(35)

Vil ha:

n→∞lim

n

X

j=1

y0

1

√2

n−1

≤ G

dvs. ∞

X

j=1

y0

1

√2

_n₋¹

≤ G

Vet da at

X∞ j=1

y0

1

√2

_n₋¹

= y0

1 − ^√¹₂ Får at

y0

1 − ^√¹₂ ≤ G dvs.

y0 ≤ G

1 − 1

√2

1 − ^√¹₂ .