Transporte cuántico en átomos artificiales

TRABAJO FIN DE GRADO

TRANSPORTE CUÁNTICO EN ÁTOMOS ARTIFICIALES

Daniel Moreno Galán

Grado de Física Facultad de Ciencias

Año Académico 2019-20

TRANSPORTE CUÁNTICO EN ÁTOMOS ARTIFICIALES

Daniel Moreno Galán

Trabajo de Fin de Grado Facultad de Ciencias

Universidad de las Illes Balears

Año Académico 2019-20

Palabras clave del trabajo:

Punto cuántico, efecto Kondo.

Nombre Tutor/Tutora del Trabajo: Rosa López Gonzalo

Se autoriza la Universidad a incluir este trabajo en el Repositorio Institucional para su consulta en acceso abierto y difusión en línea, con fines exclusivamente académicos y de investigación

Autor Tutor Sí No Sí No

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´ Indice

1. Introducci´on 6

1.1. Coulomb Blockade . . . 7 1.2. Efecto Kondo . . . 9 1.3. Transporte . . . 13

2. Modelo 15

2.1. Hamiltoniano de Anderson . . . 15 2.2. Representaci´on Bosones Esclavos . . . 16

3. Resultados: 22

3.1. Par´ametros renormalizados: . . . 22 3.2. Densidad de estados: . . . 25 3.3. Corrientes: . . . 27

4. Conclusiones 31

Referencias 32

1. Introducci´ on

El desarrollo de la tecnolog´ıa actual sigue un camino en el cual se busca reducir el tama˜no de los sistemas electr´onicos para poder conseguir una mayor eficiencia. La disminuci´on acelerada del tama˜no de dichos componentes genera un problema, ya que nos estamos acercando al punto donde afecta su correcto funcionamiento, debido a que los efectos cu´anticos empiezan a no poder ser despreciables [1]. Por este motivo a d´ıa de hoy el estudio de sistemas mesosc´opicos tiene una especial relevancia en el campo de estado s´olido, estos sistemas se caracterizan por tener tama˜nos comprendidos entre el mundo microsc´opico (del tama˜no de unos cuantos ´atomos) y el macrosc´opico. Una definici´on m´as formal de un sistema mesosc´opico ser´ıa: un sistema el cual su tama˜no es del orden de la longitud de coherencia del electr´on, esta distancia est´a relacionada con el movimiento del electr´on a trav´es del sistema, ya que durante su recorrido, la fase de su funci´on de onda, puede aleatorizarse debido a procesos de ‘scattering’ inel´astico, por lo tanto definimos la longitud de coherencia como aquella distancia en la cual el electr´on se mantiene en su fase inicial. Normalmente suelen tener un tama˜no del orden de nan´ometros los sistemas que estudiamos y por este motivo los denominamos nanoestructuras.

En este trabajo nos vamos a centrar en una nanoestructura en concreto, el pun- to cu´antico (ver Fig. 1). Este sistema presenta m´ultiples caracter´ısticas interesantes, por ejemplo, la completa cuantizaci´on de la energ´ıa, la cual se consigue restringiendo su mo- vimiento en las tres direcciones espaciales mediante el confinamiento, dando lugar a un espectro de energ´ıa discreto. Otra caracter´ıstica importante de esta nanoestructura es que para poder a˜nadir o quitar un electr´on del punto cu´antico es necesario a˜nadir energ´ıa al sistema de forma an´aloga a la energ´ıa de ionizaci´on de un ´atomo, este es uno de los motivos por el cual a veces se refieren a esta nanoestructura como ´atomos artificiales. El punto cu´antico es un sistema muy vers´atil ya que un solo punto cu´antico nos permite estudiar varias variaciones del sistema al ser posible cambiar diferentes caracter´ısticas del propio sistema (su tama˜no, forma, niveles discretos de energ´ıa y n´umero de electrones confinados) de manera controlada en un laboratorio [2].

La estructura del sistema que vamos a estudiar consiste en un punto cu´antico conectado a dos contactos, de los cuales uno ser´a la fuente y el otro ser´a el drenador.

Los contactos consistir´an en dos reservorios de electrones entre los cuales aplicaremos una diferencia de potencial, adem´as de que tambi´en podremos variar su temperatura, lo cual nos permitir´a estudiar situaciones de transporte de carga o energ´ıa interesantes.

Muchas de las propiedades que estudiaremos en este trabajo son debidas al efecto t´unel, que permite a los electrones de los reservorios pasar a trav´es de las barreras cl´asicas de potencial y entrar o salir del punto cu´antico. No obstante, si tenemos una situaci´on donde el efecto t´unel es d´ebil (lo cual se puede lograr colocando barreras de potencial grandes entre el punto y los contactos) el n´umero de electrones dentro del punto cu´antico queda bien definido y lo denotaremos como N.

Figura 1: Estructura de un punto cu´antico conectado a los reservorios. Los voltajes V_S y V_D se aplican externamente. V_G controla el n´umero de electrones o cargas en el punto cu´antico. ΓL,R son las probabilidades de t´unel.

1.1. Coulomb Blockade

De forma similar al caso de los ´atomos, las propiedades del punto cu´antico (como por ejemplo las propiedades de transporte) se ven muy afectadas por la variaci´on del n´umero de electrones que est´an confinados en la nanoestructura. Como se ha comentado previamente este n´umero est´a bien definido cuando el punto cu´antico se encuentra casi aislado (barreras grandes de potencial que lo separan de los contactos), aunque el hecho de que el n´umero de electrones este bien definido no implica que no se pueda variar.

Podemos variar el n´umero de electrones dentro del punto cu´antico de uno en uno mediante la aplicaci´on de voltajes externos VS y VD (Fig. 1). Cuando se da esta situaci´on la carga del punto cu´antico puede aumentar o disminuir una cantidad definida q = e (e denota la carga del electr´on), lo cual provoca una reorganizaci´on del potencial interno del punto cu´antico debido a las interacciones en el mismo. El resultado es por tanto un cambio de la energ´ıa potencial electrost´atica. La transferencia de un electr´on al interior del punto cu´antico hace as´ı aumentar su potencial electrost´atico una cantidad E_C = e²/C (que es la llamada energ´ıa de carga) donde C es la capacitancia del punto cu´antico. Esta energ´ıa refleja la repulsi´on electr´onica debido a la interacci´on Coulombiana. Por tanto el sistema con un electr´on adicional posee una mayor energ´ıa. Consecuentemente, para a˜nadir un electr´on m´as desde los contactos al punto cu´antico ser´a necesario aplicar un voltaje externo que supla esta energ´ıa de cargaE_C. Si no se suple esta energ´ıa entonces no podremos transferir el electr´on al punto cu´antico y el transporte se ver´a bloqueado, este fen´omeno es conocido como Coulomb Blockade [3]. Finalmente, para que la transferencia de carga entre los contactos y el punto cu´antico ocurra de manera discreta, en unidades

de la unidad de carga el´ectricae, se tienen que cumplir dos condiciones: la primera es que la variaci´on de energ´ıa E_C ha de ser mayor que la energ´ıa t´ermica (k_BT,k_B la constante de Boltzmann y T la temperatura), y la segunda es que las barreras de potencial que separan al punto cu´antico de los contactos han de ser lo suficiente grandes como para que los electrones est´en bien localizados ya sea en el punto cu´antico o en los contactos.

Figura 2: Representaci´on gr´afica de la corriente el´ectrica en funci´on del voltaje de puerta VG. Se observa el efecto Coulomb Blockade, aqu´ı podemos ver como no se produce corriente para determinados valores de V_G debido a las interacci´on Coulombiana (reproducida de [4]).

El proceso de adici´on de un electr´on al punto cu´antico tambi´en se puede describir mediante el potencial qu´ımico del punto cu´antico y el de los contactos. Seanµ_s=E_F+eV_S yµ_d=E_F+eV_D los potenciales de los contactos fuente y drenador respectivamente (E_F es la energ´ıa de Fermi,V_S y V_D son los potenciales externos aplicados a los contactos). Adi- cionalmente, sea µ_d el potencial qu´ımico del punto cu´antico (el cual depende del n´umero de electronesN) se define como la diferencia de la energ´ıa deN+ 1 electrones y la energ´ıa de N electrones. As´ıµ_d = _d+U(N + 1)−U(N), siendo _d la energ´ıa discreta del nivel del punto cu´antico y U(N + 1), U(N) la energ´ıa electrost´atica de N + 1 y N electrones.

Cuando el potencial qu´ımico del punto cu´antico se encuentra en la llamada ventana de transporte, dada por la diferencia de potencial entre los contactos como eV = e(V_S−V_D) = µ_s−µ_d, entonces es posible el transporte de electrones al punto cu´antico. As´ı, si el potencial qu´ımico del punto cu´antico est´a fuera de la ventana de transporte entonces no se podr´a a˜nadir m´as carga al punto cu´antico (v´ease Fig. 3). Modificando externamente los potencialesV_SyV_D es posible transferir cargas al punto cu´antico. Tambi´en modificando externamente los potenciales U(N) y U(N + 1) con un voltaje de puerta V_G aplicado al punto cu´antico, es posible hacer que el potencial qu´ımico del punto cu´antico se sit´ue dentro de la ventana de transporte. Teniendo en cuenta estos argumentos se puede explicar la Fig. 2 en la que se representa la corriente de electrones en funci´on del voltaje de puerta.

En esta figura se ha representado los sucesivos picos de corrienteN →N+ 1→N+ 2· · · En nuestra descripci´on previa hemos considerado el efecto t´unel de tal mane- ra en la que las cargas atraviesan el punto cu´antico una a una. Este caso corresponde

Figura 3: El diagrama de la izquierda representa el caso en el que µ(N+ 1) est´a dentro de la ventana de transporte. El diagrama de la derecha representa el caso en el que µ(N+ 1) est´a fuera de la ventana de transporte (Coulomb Blockade).

a considerar los ´ordenes m´as bajos en la teor´ıa perturbativa en el efecto t´unel, sin em- bargo, bajo ciertas condiciones, ordenes m´as altos en el proceso efecto t´unel pueden ser importantes. Para estos casos, los electrones son capaces de ”tunelear”mediante un es- tado virtual en situaciones donde considerando ordenes m´as bajos no ser´ıa posible, ya que, energ´eticamente no es posible. Supongamos el caso donde los electrones no pueden

”tunelear”directamente de la fuente al drenador, tambi´en consideremos que el electr´on no puede pasar de la fuente al punto debido a que tendr´ıa un potencial mayor. Dadas estas condiciones el proceso de corriente explicado previamente no ser´ıa posible, no obstante, si consideramos procesos de orden superior de efecto t´unel, un electr´on puede pasar de la fuente al drenador mediante un estado virtual, esto se puede entender de la siguiente forma: un electr´on pasa de la fuente al punto violando el principio de la conservaci´on de energ´ıa por un breve periodo de tiempo permitido por el principio de incertidumbre de Heisenberg, si entonces un electr´on diferente del punto sale hacia el drenador, en el mismo breve periodo de tiempo, tenemos como resultado que un electr´on ha pasado de la fuente al drenador. Este proceso es conocido como cotunel inel´astico, ya que produce una excitaci´on en el punto que se disipa con el tiempo, tambi´en existe el proceso cotunel el´astico, en el cual el electr´on pasa a trav´es del sistema sin dejar excitaciones, el proceso es similar al caso inel´astico, en el cual electr´on pasa de la fuente al punto en un tiempo breve, sin embargo, la diferencia est´a en que para este caso el electr´on que sale del punto hacia el drenador es el mismo electr´on que ha entrado de la fuente al punto.

1.2. Efecto Kondo

Una de las consecuencias del transporte en sistemas en el que intervienen estados virtuales es el efecto Kondo [5]. Hist´oricamente el efecto Kondo estuvo relacionado con el comportamiento de la resistividad de un metal con la temperatura. Dicha resistividad est´a gobernada por dos factores: las colisiones producida entre los electrones de conducci´on

y los fonones (dependen de la temperatura) y los choques que tienen lugar entre los electrones de conducci´on y los defectos de la red cristalina del metal (son independientes de la temperatura). A temperaturas altas la resistividad est´a dominada por la interacci´on entre los electrones y los fonones, sin embargo, a medida que bajamos la temperatura del material (por temperaturas por debajo de la temperatura de Debye) las poblaciones de fonones decrecen y el efecto de la resistividad pasa a estar dominado por las colisiones de los electrones con los defectos de la red cristalina. Siguiendo este modelo la resistividad deber´ıa decrecer con el descenso de la temperatura, no obstante, a temperaturas muy bajas observamos un aumento de la resistividad del material, este fen´omeno es conocido como efecto Kondo, y es debido a la interacci´on antiferromagn´etica entre el momento magn´etico local de peque˜nas concentraciones de impurezas magn´eticas (´atomos o iones que tienen un momento magn´etico distinto de cero) y el mar de electrones de conducci´on.

El modelo que J. Kondo desarrollo [6] describ´ıa que el descenso de la temperatura provocaba un aumento de forma logar´ıtmica de los choques producidos entre los electrones y las impurezas magn´eticas, sin embargo, su modelo diverg´ıa para temperaturas cercana a cero. El problema fue resuelto por J. Kondo en 1964 cuyos c´alculos mostraron que para temperaturas por debajo de la temperatura Kondo, T_K, la impureza forma un singlete con el mar de electrones que le rodea y da lugar al m´ınimo de resistividad en metales con la temperatura.

Cuando un punto cu´antico contiene un n´umero impar de electrones, el esp´ın total es S= 1/2 y por tanto podemos considerar que act´ua como si fuera un ´atomo magn´etico (analog´ıa a una impureza magn´etica). Los puntos cu´anticos son unas nanoestructuras interesantes para estudiar el efecto Kondo ya que nos ofrecen m´ultiples ventajas: Sus estados est´an mejor definidos que los de un metal macrosc´opico, como ya hemos comentado anteriormente muchos de sus par´ametros son f´acilmente modificables, podemos centrarnos en estudiar una sola impureza, en vez de tener que estudiar el comportamiento promedio de las distintas impurezas distribuidas en el metal y nos permiten estudiar situaciones fuera del equilibrio.

Otra diferencia que encontramos entre estudiar el efecto Kondo en un metal o en un punto cu´antico, es que para el caso del metal los electrones se anclan o localizan alrededor de las impurezas, sin embargo, en el estudio del punto cu´antico, debido a su geometr´ıa, se fuerza a que los electrones se transporten de un contacto al otro por medio del efecto Kondo. Este hecho hace que el efecto Kondo aumente la conductancia en vez de la resistividad, con la disminuci´on de la temperatura. En los puntos cu´anticos nos centra- remos en el estudio de la conductancia lineal que est´a definida comoG₀ = l´ım_V→0dI/dV. En el punto cu´antico el efecto Kondo surge cuando un estado degenerado de esp´ın se acopla por efecto t´unel a los electrones m´oviles que se encuentran dentro de los contactos met´alicos. En nuestra descripci´on te´orica para el sistema del punto cu´antico conectado a los contactos utilizaremos el Hamiltoniano de Anderson, el cual comentaremos en secciones posteriores, sin embargo, en determinadas condiciones podemos simplificar este Hamiltoniano llegando a una versi´on llamada el Hamiltoniano Kondo.

De forma an´aloga a como aparec´ıa un estado singlete en el metal cuando la temperatura se acercaba a cero, el estado fundamental que predice el Hamiltoniano Kondo (para temperaturas menores aT_K) consiste en un singlete de esp´ın, el cual est´a conformado

por el esp´ın de un electr´on bien localizado (recordemos que previamente hemos comentado que los electrones que se encuentran el interior del punto, est´an bien localizados, mientras que los electrones que se encuentran los contactos no lo est´an) con electr´ones deslocalizados dando lugar a un esp´ın total nulo. La formaci´on del singlete, tanto para el caso del metal macrosc´opico como para el sistema del punto cu´antico, da lugar al fen´omeno conocido como nube de apantallamiento Kondo, que consiste en un efecto de muchos cuerpos como se observa en la Fig. 4.

Figura 4: Esquema de la formaci´on de un singlete para el caso del metal macrosc´opico.

M´ultiples electrones deslocalizados del metal participan en el apantallamiento del esp´ın de la impureza magn´etica formando un estado de muchos cuerpos singlete que da lugar a la nube de Kondo (reproducida de [7]).

La formaci´on de la nube de apantallamiento Kondo tiene dos consecuencias dife- rentes dependiendo del sistema que estemos estudiando, para el caso del metal observamos un aumento de la resistividad con el descenso de la temperatura, debido a que aparece un nuevo mecanismo de colisi´on para los electrones, que reduce su velocidad de desplaza- miento, y por tanto reduce la corriente, pero para el caso de la nanoestructura tenemos que se produce un aumento de la conductividad, el motivo de este comportamiento es que para el estudio del punto cu´antico, como ya hemos comentado previamente, hacemos que los electrones se desplacen a trav´es de la nanoestructura. En el proceso de formaci´on del singlete Kondo un electr´on de esp´ın σ en el contacto fuente por efecto t´unel atraviesa la barrera y durante un breve tiempo (¯h/E_C) forma un estado virtual con el electr´on del punto cu´antico que tiene esp´ın contrario ¯σ. Finalmente el electr´on de esp´ın ¯σ tunelea al contacto drenaje y queda un electr´on en el punto cu´antico con esp´ın σ. Para que el trans- porte sea desde el contacto fuente al drenaje aplicamos un potencial peque˜no entre ambos contactos para privilegiar este sentido de la corriente. El resultado es el transporte de un electr´on desde la fuente al drenador y el cambio del esp´ın del punto cu´antico ¯σ→σ. Por lo tanto observamos como para temperaturas inferiores aT_K aparece un nuevo mecanismo de conducci´on.

Como hemos visto previamente para que se de el efecto Kondo el punto cu´antico

ha de tener un n´umero total de electrones impar, podemos controlar el n´umero de elec- trones dentro del punto cu´antico utilizando el efecto de Coulomb Blockade y contando el n´umero de picos que se han producido. Dos condiciones m´as que ha de cumplir el punto cu´antico para poder trabajar en el r´egimen Kondo es que la temperatura sea inferior a T_K y que la energ´ıa del punto cu´antico este entre un r´egimen concreto de energ´ıas que veremos en las secciones posteriores.

En nuestro estudio nos centraremos en investigar el transporte de carga y energ´ıa en presencia de singlete Kondo. Abordaremos la dependencia del transporte cuando apli- camos diversas fuerzas generalizadas como es un gradiente de temperatura entre los con- tactos o un voltaje el´ectrico externo [7]. Exploraremos cual es la respuesta del transporte cuando aplicamos un campo magn´etico que rompe la degeneraci´on de esp´ın en el punto cu´antico.

A continuaci´on enunciamos cual es el principal efecto de estas tres situaciones en el efecto Kondo.

·Dependencia con la temperatura:

En general si consideramos una temperatura finita con un punto cu´antico que tenga un n´umero de electrones impar, se espera que la conductancia disminuya a medida que aumentemos ´esta, debido a la supresi´on del efecto Kondo. En el caso en el que no exista efecto Kondo como es la situaci´on en el que el n´umero de electrones sea par, la conductancia aumenta con la temperatura ya que ´esta produce un ensanchamiento del nivel de energ´ıa del punto cu´antico. En nuestro estudio investigaremos que ocurre cuando aplicamos una temperatura diferente a cada contacto siendo uno de ellos un contacto fr´ıo y el otro caliente en relaci´on a una temperatura com´un.

·Dependencia con el voltaje entre los contactos:

Como hemos explicado previamente es necesario un peque˜no voltaje para que fluya corriente de un contacto de mayor potencial al de menor potencial a trav´es de la resonancia Kondo [8]. Cuando aplicamos un voltaje mayor (eV kBTK) al punto cu´antico, provocamos que los contactos tengan potenciales electroqu´ımicos diferentes, y la funci´on espectral Kondo muestra la aparici´on de dos picos de resonancia cada uno centrado en estos potenciales qu´ımicos (Fig. 5). Si aumentamos el voltaje estas resonancias decaer´an debido a la decoherencia asociada a que nos alejamos del nivel de Fermi en cada contacto, por una cantidad dada por el voltaje aplicado y por tanto disminuyendo la conductancia de la nanoestructura.

·Dependencia con el Campo magn´etico:

El campo magn´etico rompe la degeneraci´on de esp´ın. La asimetr´ıa que se genera entre los dos estados de esp´ın destruye el efecto Kondo, provocando que un aumento del campo magn´etico disminuya la conductancia [9]. Tiene un efecto similar al del voltaje.

Inicialmente con un punto cu´antico degenerado en esp´ın la densidad espectral muestra un solo pico de anchuraT_K y centrado en ω≈E_F. Sin embargo, cuando ∆_Z ≈T_K la energ´ıa Zeeman µ_BgB (µ_B momento magn´etico de Bohr, g factor giromagn´etico y B campo magn´etico aplicado) el nivel del punto cu´antico rompe su degeneraci´on y la diferencia de energ´ıas entre procesos que apantallan el esp´ın del punto cu´antico con esp´ın ↑ y los que

Figura 5: Diagrama de las resonancias Kondo centradas en los potenciales qu´ımicos de sus respectivos contactos (reproducida de [7]).

apantallan el esp´ın ↓ difieren en la energ´ıa Zeeman rompiendo as´ı el singlete Kondo.

1.3. Transporte

Una vez que hemos descrito el tipo de sistemas que nos interesa y los diferentes reg´ımenes de transporte pasamos a describir m´as detalladamente cuales son las cantidades que nos interesa estudiar en este trabajo. En general estudiaremos el flujo cargas y tam- bi´en el de energ´ıa cuando aplicamos una diferencia de potencial o de temperatura entre los contactos. En el caso en el que tengamos una corriente el´ectrica generada por un gradiente de temperatura entre los contactos o bien una corriente de calor o de energ´ıa generada por un voltaje externo el´ectrico tenemos transporte termo´electrico. La termoelectricidad est´a definida mayoritariamente por dos efectos: Seebeck y Peltier [10]. El efecto Seebeck consiste en el flujo de corriente el´ectrica que aparece en respuesta al gradiente de tempe- ratura que aplicamos sobre la nanoestructura, mientras que el efecto Peltier reside en el flujo de energ´ıa que se genera como consecuencia de la diferencia de voltaje que aplicamos entre los dos contactos. Ambos efectos nacen de que las cargas transportan tanto carga como energ´ıa, por este motivo observamos como un gradiente de temperatura produce un flujo de calor, de la zona m´as caliente a la m´as fr´ıa produciendo a su vez un flujo de carga. De forma an´aloga podemos observar como aplicando una diferencia de voltaje se produce un flujo de cargas del voltaje m´as alto al voltaje m´as bajo dando lugar tambi´en a un flujo de energ´ıa.

Por lo tanto, vemos que la corriente de carga se generar´a a partir de aplicar una diferencia de voltaje entre la fuente y el drenador, lo cual genera un movimiento de cargas de un contacto al otro, y por la diferencia de temperatura entre los contactos, lo cual es

consecuencia del efecto termoel´ectrico Seebeck comentado previamente. De la corriente de carga tambi´en es importante destacar que la carga que sale de la fuente es la misma carga que entra en el drenador, lo que implica que la carga se conserva durante el transporte.

De forma similar la corriente de calor estar´a generada por la diferencia de tempe- ratura aplicada entre los contactos, lo cual nos genera un flujo de energ´ıa del contacto m´as caliente al contacto m´as fr´ıo, hasta que la temperatura de ambos contactos se iguale, y por la contribuci´on generada por el efecto electrot´ermico de Peltier. Es importante diferenciar que el flujo de energ´ıa no esta generado por la disipaci´on del efecto Joule. Cuando tenemos en cuenta el calor disipado junto al flujo de energ´ıa entonces ya no estamos hablando de corrientes de energ´ıa, sino de corrientes de calor. Como consecuencia de la conservaci´on de energ´ıa, la corriente de calor total es igual al calor producido por efecto Joule.

2. Modelo

2.1. Hamiltoniano de Anderson

Retomando la explicaci´on que empezamos en el apartado 1.2 del efecto Kondo, en este apartado explicaremos el modelo de Anderson, el cual es uno de los m´as relevantes para describir los puntos cu´anticos actualmente. El modelo de Anderson fue presentado en 1961 para describir la interacci´on de los electrones de la banda de conducci´on de un metal con los estados electr´onicos de las impurezas magn´eticas [11]. En 1988 a partir de los trabajos de Glazman y Raˆıkh [12] y Ng y Lee [13], se descubri´o que los puntos cu´anticos conectados a dos reservorios estaban bien descritos por el Hamiltoniano de Anderson, al poder actuar como impurezas magn´eticas bajo determinadas situaciones.

Lo primero que debemos destacar del Hamiltoniano de Anderson, es que se com- pone de tres contribuciones diferentes: la contribuci´on del punto cu´antico H_qd, la con- tribuci´on de los dos contactos (reservorios) conectados con el punto cu´antico H_leads y la contribuci´on de la interacci´on del punto con los dos reservorios H_hp, de modo que el Hamiltoniano de Anderson resultar´ıa de la siguiente forma:

H =H_qd+H_leads+H_hp. (1)

Pasamos ahora analizar las contribuciones por separado, empezando por el ter- mino que describe los contactos, el cual vendr´ıa dado por la expresi´on:

H_leads^α =X

kσ

_αkc^†_αkσc_αkσ. (2)

Dondec_αkσ (c^†_αkσ) corresponde al operador destrucci´on (creaci´on) de un electr´on dentro del contacto α (que puede corresponder al contacto izquierdo (L) o derecho (R)), con un valor k (donde k representa el n´umero de onda del electr´on), con esp´ın σ (que denota si se trata de un esp´ın “up” or “down”) y energ´ıa _αk. Para esta contribuci´on es importante remarcar que no estamos teniendo en cuenta las interacciones Coulombianas para los electrones dentro de los contactos, y por tanto act´uan como electrones libres dentro de ellos. Esta aproximaci´on es buena para metales con buen apantallamiento.

El termino que describe la contribuci´on del punto esta descrito por la expresi´on:

H_qd =X

σ

_0σd^†_σd_σ+U d^†_↑d↑d^†_↓d↓. (3)

Para este terminod^†_σ(d_σ) representa el operador de creaci´on(destrucci´on) de un electr´on dentro del punto con esp´ın σ que ya hemos comentado que puede representar los estados up y down. La variable _0σ representa el nivel de energ´ıa del punto cu´antico, aqu´ı es importante aclarar que el Hamiltoniano de Anderson describe el punto cu´antico como si tan solo tuviera un ´unico nivel cu´antico (correspondiente al ´ultimo nivel), esta

representaci´on es v´alida aunque no sea el caso real del sistema, ya que podemos considerar que el resto de los niveles por debajo de este est´an ocupados y por tanto no contribuyen al transporte de corriente. El ´ultimo t´ermino que nos queda por comentar es la interacci´on U, la cual describe las interacciones entre los electrones dentro del punto cu´antico.

Y por ´ultimo analizamos la contribuci´on dada por la conexi´on entre contactos y el punto:

Hhp =X

αkσ

(Vαkc^†_αkσdσ+V_αk^∗ d^†_σcαkσ). (4)

Para esta expresi´on tenemos que V_αk representa los elementos de matriz que parametriza el intercambio de electrones entre los contactos y el punto.

Como se coment´o en secciones anteriores, en determinadas condiciones este Ha- miltoniano se encuentra en el r´egimen en el cual podemos apreciar el efecto Kondo en nuestra nanoestructura. Nuestro sistema se encontrar´a en el r´egimen Kondo cuan- do se cumpla el caso de que T < T_K (donde T_K es la temperatura Kondo) y que EF −U + Γ≤0σ ≤EF −Γ (donde EF representa la energ´ıa de Fermi).

2.2. Representaci´ on Bosones Esclavos

El Hamiltoniano de Anderson describe tanto las fluctuaciones de esp´ın como las fluctuaciones de carga que suceden en el punto cu´antico. Para el estudio del efecto Kondo realizado en este trabajo nos interesa descartar las fluctuaciones de carga, para ello realizaremos una aproximaci´on en el Hamiltoniano, conocida como la aproximaci´on de campo medio en la representaci´on de bosones esclavos.

En el caso V_αk = 0, los estados localizados posibles del punto cu´antico ser´ıan:

|0,0iestado en el cual no hay ning´un electron,|1,↑i estado ocupado con un electr´on con esp´ın en estado up, |1,↓i estado ocupado con un electr´on con esp´ın en estado down, y

|2,↑↓i estado doblemente ocupado con cada electr´on en un estado de esp´ın. Entonces vemos que podemos escribir los operadores de creaci´on y destrucci´on de electrones con estado esp´ın definido dentro del punto a partir de estos estados.

Operadores creaci´on:

d^†_↑ =|1,↑i h0,0| +|2,↑↓i h1,↓|, d^†_↓ =|1,↓i h0,0| +|2,↑↓i h1,↑| (5) Operadores destrucci´on:

d↑ =|0,0i h1,↑| +|1,↓i,h2,↑↓| d↓ =|0,0i h1,↓| +|1,↑i h2,↑↓| (6) En el l´ımite donde suponemos que el termino de interacci´on U es muy grande, tenemos una situaci´on donde dos electrones no pueden ocupar el mismo estado cu´antico, por este motivo solo consideramos los estados:|0,0i,|1,↑iy|1,↓i. De modo que para este l´ımite el Hamiltoniano de Anderson quedar´ıa de la siguiente forma:

H =X

αkσ

_αkc^†_αkσc_αkσ +E₀|0,0i h0,0| +X

σ

E_1,σ|1, σi h1, σ|

+X

αkσ

(V_αkc^†_αkσ|0,0i h1, σ|+V_αk^∗ |1, σi h0,0|^†c_αkσ) (7)

Para la cualE₀ representa la energ´ıa del punto cuando este est´a desocupado, y E_1σ representa la energ´ıa del punto cuando est´a ocupado por un electr´on con esp´ın σ.

El siguiente paso es cambiar a la aproximaci´on de bosones esclavos: d_σ = b^†f_σ, d^†_σ = f_σ^†b, donde el operador bos´onico b (b^†) destruye (crea) un estado vac´ıo en el pun- to cu´antico, mientras que operador pseudofermi´onico f_σ (f_σ^†) destruye (crea) un estado ocupado por un electr´on con esp´ın σ dentro del punto cu´antico. Es importante destacar que los operadores pseudofermi´onicos y bos´onicos siguen las reglas de anti-conmutaci´on y conmutaci´on tal que [b, b^†] = 1 y {f_σ, f_σ0^†}=δσσ0.

Por ´ultimo, para que se cumpla la situaci´on que hemos propuesto al principio en la cual consideramos que U → ∞, es necesario a˜nadir una restricci´on al Hamiltoniano, mediante el uso del multiplicador de Lagrange (λ) de modo que dos electrones no puedan ocupar el mismo estado.

λ(b^†b+f_σ^†f_σ−1). (8) Y por tanto nuestro Hamiltoniano queda de la siguiente forma:

H_SB =X

αkσ

_αkc^†_αkσc_αkσ + +X

σ

_0σf_σ^†f_σ

+X

αkσ

(V_αkc^†_αkσf_σb^† +V_αk^∗ f_σ^†c_αkσb) +λ(b^†b+f_σ^†f_σ −1). (9)

La siguiente aproximaci´on que realizamos en nuestro Hamiltoniano consiste en la aproximaci´on de campo medio, la cual consiste en que en vez de tener en cuenta las interacciones de todas las part´ıculas al mismo tiempo, consideramos que todas las interacciones que sufren las part´ıculas como una interacci´on promedio como si fuera el efecto de un campo externo. Para ello sustituimos los valores de los operadores bos´onicos b^†, b por b^†/√

N = hb^†i√

N = ˜b^∗, b/√

N = hbi√

N = ˜b y redefinimos nuestro potencial tal que ˜V_αk = ˜bV¯_αk , donde N es la degeneraci´on de momento angular total. Por tanto, podemos reescribir nuestro Hamiltoniano de la siguiente forma:

H_SB =X

αkσ

_αkc^†_αkσc_αkσ + +X

σ

_0σf_σ^†f_σ

+X

αkσ

( ˜V_α,kc^†_αkσf_σb^† + ˜V_αk^∗ f_σ^†c_αkσb) +λ(Nkbk²+f_σ^†f_σ −I). (10)

Una vez que hemos trabajado el Hamiltoniano de Anderson construimos un sis- tema de ecuaciones con la finalidad de poder encontrar los valores de nuestros par´ametros renormalizados ˜_0σ =_0σ +λ y˜b.

La primera ecuaci´on que compondr´a nuestro sistema de ecuaciones la obtenemos a partir de la ecuaci´on del movimiento del operador bos´onico:

ib^†(t)∂b(t)

∂t = i

¯

h[b, H]b^†. (11)

Desarrollando el conmutador:

ib^†(t)∂b(t)

∂t = 1

√N X

α,k

V¯_αkb(t)^†c(t)^†_αkσf(t)_σ+λb(t)^†b(t). (12)

Trabajando en el caso estacionario:

0 = 1 N(X

α,k

V˜_α,khc(t)^†_αkσf(t)_σi) +λkbk². (13)

La segunda ecuaci´on la obtenemos a partir de la ligadura definida previamente:

1

N =kbk²+ 1 N(X

σ

hf(t)^†_σf(t)_σi). (14)

Podemos reescribir nuestro sistema de ecuaciones en funci´on de funciones de Green, mediante el uso de las siguientes definiciones:

G^<_f,σ(t−t⁰) = −ihf_σ^†(t⁰)f_σ(t)i, G^<_f,αkσ(t−t⁰) =ihc^†_αk,σ(t⁰)f_σ(t)i. (15) Estas son las funciones de Green ”lesser”definidas dentro del formalismo de Keldysh [14]. Primero buscamos su valor mediante el uso de la ecuaci´on de movimiento de funciones de Green de no equilibrio:

−i∂G_f,αkσ(t−t⁰)

∂t⁰ =_αkG_f,αkσ(t−t⁰) + ˜V_αkG_{f σ}(t−t⁰). (16) Expresando la Ec. (16) como una integral:

Gf,αkσ(t−t⁰) = Z

CK

dτ Gf σ(t−τ) ˜Vαkgαk(τ−t⁰). (17)

Ahora podemos aplicar el formalismo de Keldysh junto con las reglas de Lagrenth [14]. Finalmente encontramos una expresi´on para calcular el valor de la funci´on de Green

”lesser”:

G^<_f,αkσ(t−t⁰) = ˜Vαk

Z ∞

−∞

dτ[G^r_{f σ}(t−τ)g_αk^<(τ−t⁰) +G^<_{f σ}(t−τ)g^a_αk(τ −t⁰)]. (18)

Dondeg^<,a_αk es la funci´on de green no perturbada para el contactoα, y el sub´ındice f de la funci´on de Green nos indica que se trata de la funci´on de Green mixta, entre un pseudofermi´on y un fermi´on en el contacto α. Aplicando las definiciones de la funciones de Green en las Ecs. (13) y (14), y pasando las ecuaciones al espacio de Fourier llegamos a nuestro sistema de ecuaciones:

Γ˜_α Γ −i 1

N X

σ

Z d

2πG^<_{f σ}() = 1

N. (19)

1 N

X

σ

Γ˜_α

Γ (˜_0σ −_0σ) = −i1 N

X

σ

Z d

2πG^<_{f σ}()(−˜_0σ). (20) Para estas ecuaciones hemos introducido las definiciones: ˜Γ_α=k˜bk²Γ_αy Γ_α() = πP

αkkV˜_αkk²δ(−_αk), que representan los ritmos de t´unel.

Para resolver las integrales de nuestro sistema de ecuaciones, utilizamos la si- guiente definici´on de la funci´on de Green [15]:

G^<_{f σ}() = 2i

Γ˜_Lf_L() + ˜Γ_Rf_R()

(−˜0σ)²+ (˜ΓL+ ˜ΓR)². (21) Dondef_α() es la funci´on de Fermi:

f(z) = 1 2[1 + i

πΨ(1

2+iβ_αz−µ_α 2π )− i

πΨ(1

2 −iβ_αz−µ_α

2π )]. (22)

Con Ψ siendo la funci´on Digamma [16], β_α = 1/(k_BT_α) y µ_α la temperatura y el potencial qu´ımico del contacto α respectivamente. Sustituyendo la Ec. (21) en las Ecs (19) y (20), podemos resolver las integrales mediante el uso del Teorema de los Residuos [17], para el cual definimos los contornos de las integrales de modo que evitemos los polos de la funci´on Digamma. Resolviendo las integrales llegamos a las siguientes expresiones:

X

ασ

Γ_α

π Im[ψ[1

2 +_0σⁱ₂^Γ˜ −µ_α

2πk_BT_α ]] = −2˜Γ. (23)

X

ασ

Γ_α

π [ln[2πk_BT_α

D ] +Re[ψ[1

2 +_0σⁱ₂^Γ˜ −µ_α

2πk_BT_α ]]] = X

σ

(_0σ−˜_0σ)2N

π (24)

Donde ˜Γ = P

αΓ˜_α. En este trabajo hemos resuelto este sistema de ecuaciones mediante el uso de un m´etodo num´erico implementado en Python, el procedimiento con- siste en la definici´on de ambas ecuaciones en dicho lenguaje y su resoluci´on mediante el modulo fsolve de la librer´ıa numpy.

Una vez resuelto el sistema de ecuaciones podemos centrarnos finalmente en el c´alculo de nuestras corrientes de transporte. Las expresiones de las cuales partimos para poder calcularlas son:

Iˆ_ασ =−∂n_ασ

∂t , Qˆ_α=−∂H_leads^α ,

∂t − µ_α e

Iˆ_α. (25)

Para las cuales hemos definido:

nασ =X

k

c^†_αkσcαkσ. (26)

H_leads^α =X

kσ

_αkc^†_αkσc_αkσ. (27)

Donde I_ασ representa la corriente de carga medida en el contacto α con esp´ın σ, y Q_α es la corriente de calor medida en el contacto α. Vemos que la corriente de calor esta conformada por dos t´erminos uno dado por el flujo de energ´ıa generado entre los dos contactos y otro por el calor disipado por el efecto Joule.

Empezamos aplicando la ecuaci´on de Heisenberg a la corriente de carga de la Eq. (25), y al primer termino de la corriente de calor de la Eq. (25) de modo que nuestras corrientes hIˆ_ασi=I_ασ,hQˆ_Eαi=Q_Eα quedar´ıan de la siguiente forma:

I_ασ =X

k

−ie

¯

h[V_αk^∗ hd^†_σc_αkσi −V_αkhd_σc^†_αkσi]. (28)

Q_E,α =−i

¯ h

X

k,σ

_αk[V_αkhd^†_σc_αkσi −V_αk^∗ hd_σc^†_αkσi]. (29)

Sustituyendo los valores esperados de las Ecs. (28) y 30 por funciones las fun- ciones de Green:

G^<_f,αkσ(ω) = hd^†_σcαkσi, G^<_αkσ,f(ω) =hdσc^†_αkσi. (30)

Y pasando al espacio de Fourier llegamos a:

I_ασ = e 2π¯h

X

k

Z

dω[V_kσ^∗G^<_f,αkσ(ω)−V_kσG^<_αkσ,f(ω)]. (31)

QE,k =−i

¯ h

X

kσ

Z

kσ[VkσG^<_f,αkσ(ω)−V_kσ^∗ G^<_αkσ,f(ω)] (32)

Utilizamos ahora la Ec. (18) en el espacio de Fourier:

G^<_αkσ,f(w) =Vα,k,σ[g_αkσ^r (ω)G^<_σ,f(ω) +g_αkσ^< (ω)G^a_σ,f(ω)] (33) Sustituyendo la Ec. (33) en las Ecs. (31) y (32), siendog_αkσ^< (ω) = 2iπf(αkσ)δ(ω−

_αkσ) y g^r_αkσ(ω) = −iπδ(ω−_αkσ), las cuales son las funciones de Green de los contac- tos sin acoplar al punto cu´antico (”lesser” y retardada respectivamente), llegamos a las expresiones:

I_ασ = e

¯ h

X

β

Z

dω[f_α(ω)−f_β(ω)]T_ασ,β,σ(ω). (34)

QE,α− µ_α

e Iα =Qα = 1

¯ h

X

βσ

Z

dω[fα(ω)−fβ(ω)](ω−µα)Tασ,β,σ(ω). (35)

Donde se define la transmisi´on como:

T_ασ,β,σ(ω) =T r[G^r_σ,fΓ_βG^a_σ,fΓ_α]. (36) Adem´as la corriente de carga se obtiene como:

I_α =X

σ

I_ασ. (37)

Para el calculo de la conductancia de la corriente el´ectrica hemos hecho uso de la definici´on:

G= dI

dV , I ≡IL=−IR. (38)

La cual hemos calculado de forma num´erica, mediante el uso de la expresi´on de diferencias centrales, haciendo uso de los valores calculados con la Ec. (34).

3. Resultados:

En esta secci´on se tratar´an los datos obtenidos a partir de las resoluciones de forma num´erica de las expresiones presentadas en la secci´on anterior. Concretamente nos centraremos en ver el comportamiento de determinadas magnitudes f´ısicas: la temperatura Kondo (T_K), las corrientes de carga y calor y la conductancia el´ectrica. Nuestro sistema esta definido por una configuraci´on de par´ametros (₀,Γ_α, µ_α, β_α) que establecen nuestras condiciones para resolver las ecuaciones num´ericamente, obteniendo como resultado los valores de campo medio ||b||² y λ los cuales sirven para renormalizar el ritmo t´unel (Γ_α) y la posici´on del nivel del punto cu´antico tal que: ˜Γ_α = Γ_α||˜b||² y ˜_0σ =_0σ+λ.

3.1. Par´ ametros renormalizados:

A partir de los par´ametros renormalizados podemos definir la temperatura Kon- do del sistema de la siguiente forma: P

αΓ˜_α = ˜Γ =T_K. Esta magnitud T_K no representa la temperatura Kondo que nos hemos referido hasta ahora (la cual consiste en la tempe- ratura Kondo en situaci´on de equilibrio y que de ahora en adelante denotaremos como T_K⁰), sino a la temperatura Kondo en situaciones fuera del equilibrio (en nuestro caso cuando aplicamos a la nanoestructura variaciones de la temperatura o un campo magn´eti- co externo). Adem´as, T_K representa la anchura de la resonancia Kondo (el pico Kondo) o la energ´ıa de ligadura del estado singlete Kondo si la definimos como k_BT_K, mientras que ˜_0σ representa la posici´on de la resonancia (generalmente ˜_0σ ≈ 0). Nuestro objetivo es conocer el efecto que tiene la temperatura, el voltaje y el campo magn´etico en el efecto Kondo, cuanto menor sea el valor de T_K, m´as d´ebil ser´a el singlete Kondo.

El primer caso que estudiamos es el efecto de la temperatura en la anchura del pico Kondo (T_K):

Figura 6: T_K/T_K⁰ en funci´on de la temperaturaT_L =T_R=T /T_K0 en equilibrio. Resto de par´ametros: 0 =−3.5Γ, D= 100, T_K⁰ = 0.0016Γ, ΓL= ΓR = Γ/2.

Como podemos ver en las Fig. 6 y 7 presentamos dos casos distintos, en la Fig.

6, los dos contactos se encuentran a la misma temperatura, la cual vamos incrementado, mientras que para la Fig. 7 aplicamos un gradiente de temperatura causado por una diferencia de esta magnitud entre los dos contactos, diferencia que aumentamos. Para el caso de la Fig. 6, vemos como la anchura de la resonancia Kondo decrece a medida que vamos aumentando la temperatura, esto es debido a que el efecto Kondo solo se puede dar a temperaturas bajas, por lo tanto aumentando la temperatura salimos del r´egimen en el cual es accesible este estado.

Figura 7: Dependencia de T_K con un gradiente de temperaturas T_R = T₀ = 0.01T_K⁰ y T_L = T₀ = 0.01T_K⁰ +θ. En este caso un contacto est´a frio y el otro se va calentando a medida que θ aumenta. Resto de par´ametros: ₀ = −3.5Γ, D = 100, T_K⁰ = 0.0016Γ, Γ_L = Γ_R = Γ/2.

En el caso presentado en la Fig. 7, vemos que el comportamiento deT_K consiste en una disminuci´on con el aumento de θ, a diferencia del caso anterior la ca´ıda de esta funci´on es m´as suave en comparaci´on con la Fig. 6. Un detalle importante a destacar en este caso es que vemos que el valor de T_K no se anula aunque θ aumente, esto es debido a que estamos manteniendo uno de los contactos siempre a una temperatura muy baja para que se de lugar al gradiente de temperatura, esto permite que en el contacto m´as

“fr´ıo” no desaparezca la resonancia del efecto Kondo.

Comentamos a continuaci´on el efecto de aplicar un campo magn´etico externo en la anchura de la resonancia Kondo:

Al aplicar un campo magn´etico, generaramos un desplazamiento en el nivel del punto cu´antico, este desplazamiento en la energ´ıa har´a que la energ´ıa del punto cu´antico sea mayor, cuando el esp´ın del electr´on que ocupa el punto cu´antico este orientado en la direcci´on del campo (˜0↑ = ˜₀ + ∆_Z/2), y menor cuando se de el caso contrario (˜0↓ =

˜

0−∆Z/2). Este desdoblamiento generado por el aumento o disminuci´on de la energ´ıa del punto cu´antico debido al efecto Zeeman, hace que sea energ´eticamente m´as desfavorable

formar el estado singlete, lo que debilita el efecto Kondo, provocando que T_K disminuya con el aumento de ∆_Z Fig. 8.

Figura 8: Dependencia de la anchura Kondo con el campo magn´etico externo B produ- ciendo una energ´ıa Zeeman ∆_Z =gµ_BB en este caso la temperatura de los contactos es la misma T_L =T_R = 0.01T_K⁰. Resto de par´ametros: ₀ = −3.5Γ, D = 100, T_K⁰ = 0.0016Γ, Γ_L = Γ_R = Γ/2.

En la Fig. 9 podemos apreciar como al aplicar θ entre los dos contactos se produce una reducci´on global de T_K, que es m´as significativa cuanto mayor es el valor de θ. Adem´as, observamos como tambi´en provoca queT_K se anule para valores inferiores del campo magn´etico.

Figura 9: Dependencia de la anchura Kondo con el campo magn´etico externo B produ- ciendo una energ´ıa Zeeman ∆Z = gµBB en el caso de que apliquemos un gradiente de temperatura (θ) T_R = T₀ = 0.01T_K⁰ y T_L = T₀ = 0.01T_K⁰ +θ. Resto de par´ametros:

₀ =−3.5Γ,D= 100, T_K⁰ = 0.0016Γ, Γ_L= Γ_R= Γ/2.

3.2. Densidad de estados:

La densidad de estados para el sistema que estamos tratando viene dada por la siguiente expresi´on:

ρ(ω) = −1

π =G^r_d= 1 π

1

ω−˜_dσ+iΓ˜ (39) Para poder calcularla primero es necesario resolver el sistema de Ecs. (21) y (22) para poder obtener los par´ametros renormalizados (˜_dσ,Γ). En este subapartado veremos el˜ comportamiento deρ(ω) cuando aplicamos a nuestro sistema un gradiente de temperatura o un campo magn´etico externo (efecto Zeeman). El primer caso se ha representado en la Fig. 10:

Como se puede apreciar en la Fig. 10 cuando no aplicamos un gradiente de temperatura la densidad de estados consiste en un pico centrado en el nivel de Fermi ω = 0, con una anchura ˜Γ = T_K⁰. A medida que aumentamos θ, apreciamos como la anchura del pico (T_K) sufre una reducci´on. Es importante destacar que nuestro pico se mantiene siempre a la misma altura debido a que en nuestra aproximaci´on no hemos considerado la decoherencia del estado singlete la cual producir´ıa que la altura del pico tambi´en se redujese.

El siguiente caso que comentamos es el de la densidad de estados al aplicar un campo magn´etico:

Figura 10: Densidad de estados del punto cu´antico para diferentes valores del gradiente t´ermico entre los dos contactos TL = T0 = 0.01T_K⁰ +θ y TR = T0 = 0.01T_K⁰. Resto de par´ametros: ₀ =−3.5Γ, D= 100, T_K⁰ = 0.0016Γ, Γ_L= Γ_R = Γ/2.

Figura 11: Densidad de estados del punto cu´antico para diferentes valores de la energ´ıa Zeeman entre los dos contactos ∆Z. Resto de par´ametros: ₀ = −3.5Γ, D = 100, T_L = T_R= 0.01T_K⁰,T_K⁰ = 0.0016Γ, Γ_L = Γ_R = Γ/2.

Como podemos observar en la Fig. 11, el efecto del campo magn´etico resulta en una reducci´on de la altura y la anchura del pico, debido a que debilita el efecto Kondo, sin embargo, la caracter´ıstica m´as importante observada en la gr´afica consiste en como cuando el campo magn´etico es suficientemente grande (∆Z = T_K⁰) para romper la degeneraci´on de esp´ın de los electrones dentro del punto cu´antico, se rompe tambi´en el singlete que se conforma en el estado Kondo, dando lugar a que el pico de la densidad de estados se

desdoble en dos resonancias centradas en las frecuencias ω ≈ ±Γ/2˜ ≈ ±T_K/2.

3.3. Corrientes:

En este apartado estudiamos las variaciones que sufren las corrientes en frente de la variaci´on de ciertos par´ametros. Las corrientes que comentaremos son: la corriente de carga y la corriente de calor.

El primer tipo de corriente en el cual nos centramos es la corriente de carga, la cual esta producida por el desplazamiento de las cargas en nuestro sistema. Los casos para los cuales hemos evaluado esta corriente son: en funci´on de las diferencias de energ´ıas generadas por el efecto Zeeman (aplicaci´on de un campo magn´etico externo), en funci´on de un gradiente de temperatura al cual hemos sometido el punto cu´antico y en funci´on de la diferencia de voltaje entre los contactos.

Figura 12: Caracter´ıstica I-V para diferentes campos magn´eticos. Resto de par´ametros:

0 =−3.5Γ,D= 100, T_K⁰ = 0.0016Γ, ΓL= ΓR= Γ/2.

La tendencia observada en la Fig. 12 es clara, la corriente aumenta con el voltaje y luego sufre una ca´ıda abrupta, debido a queT_K ∼0. Como apreciamos esto ocurre entorno a un valor de eV /T_K⁰ = 2. Para poder representar la corriente de carga para valores superiores de voltaje, ser´ıa necesario incluir las fluctuaciones del bos´on, las cuales no hemos incluido en nuestra aproximaci´on de campo medio. El efecto del campo magn´etico en la corriente es claro, produce una reducci´on global a medida que es m´as intenso.

A continuaci´on representamos la conductancia no lineal (G(V) = _dV^dI). Lo intere- sante de esta magnitud es el hecho de que nos permite observar de forma experimental la densidad de estados, ya que sigue la relaci´onG(V)∝ ^2e_h²ρ(V).

En la Fig. 13 podemos apreciar como las curvas presentan una forma similar a

Figura 13: Conductancia no lineal para diferentes campos magn´eticos. Resto de par´ame- tros: ₀ =−3.5Γ,D= 100, T_K⁰ = 0.0016Γ, Γ_L= Γ_R= Γ/2.

las que obtuvimos para la densidad de estados. La tendencia que sigue la conductancia al aumentar el campo magn´etico es clara, la altura del pico se reduce igual que tambi´en lo hace su anchura. Adem´as podemos observar como tambi´en se produce el desdoblamiento del pico en dos resonancias distintas.

En la Fig. 14, apreciamos el comportamiento de la corriente termoel´ectrica, la cual consiste en la corriente de carga producida por el gradiente de temperatura entre los contactos. Para el caso en el cual el campo magn´etico aplicado es peque˜no observamos como la corriente carga no se llega a hacerse cero, esto es debido a que al mantener uno de los contactos fr´ıo, permitimos que uno de los dos contactos siga estando en el r´egimen Kondo. Al aplicar un campo magn´etico vemos como la corriente termoel´ectrica sufre una reducci´on global de su valor, haciendo que para valores altos del gradiente de temperatura esta se anule, (ya que el efecto del campo magn´etico rompe el estado Kondo que se produc´ıa en el contacto que manten´ıamos fr´ıo). Sin embargo, el fen´omeno m´as importante que observamos en la Fig. 14, es como la corriente termoel´ectrica se anula, este fen´omeno se conoce como ceros no triviales de la termocorriente y han sido observados en en puntos cu´anticos en el r´egimen de bloqueo de Coulomb [18] y que han sido predichos te´oricamente en dobles puntos cu´anticos en el r´egimen Kondo. El hecho de que aparezcan ceros no triviales representa que el transporte de cargas pasa de ser un transporte de electrones de izquierda a derecha a ser un transporte de huecos de derecha izquierda, lo cual es posible gracias al desdoblamiento Zeeman de la densidad de estados. Es importante mencionar tambi´en el caso para (θ= 1.5T_K⁰) en el cual la corriente no llega a tener valores positivos, te´oricamente para este caso la corriente deber´ıa anularse para alg´un valor de θ, sin embargo, esto no se observa en la gr´afica debido a que igual que para el caso anterior no hemos tenido en cuenta las fluctuaciones del bos´on y por tantoT_K ∼0.

Figura 14: Termocorriente I(θ) para diferentes campos magn´eticos. Resto de par´ametros:

₀ =−3.5Γ,D= 100, T_L = 0.01T_K⁰ +θ,T_R= 0.01T_K⁰,T_K⁰ = 0.0016Γ, Γ_L = Γ_R = Γ/2.

Figura 15: Corriente de carga en funci´on de la energ´ıa Zeeman entre los dos contactos

∆Z. Resto de par´ametros: ₀ =−3.5Γ,D= 100, T_K⁰ = 0.0016Γ, Γ_L= Γ_R= Γ/2.

En la Fig. 15 evaluamos diferentes corrientes de cargas cada una sometida a un gradiente de temperatura distinto (θ). Esta gr´afica complementa el resultado observado en la Fig. 12, ya que nos permite conocer para distintos valores θ, cual es el valor ∆Z necesario para poder apreciar ceros no triviales.

Para finalizar este apartado representaremos la variaci´on del flujo de calor en funci´on del gradiente de temperatura.

Figura 16: Corriente de calor en el contacto izquierdoQ_Len funci´on del gradiente t´ermico.

Resto de par´ametros: ₀ = −3.5Γ, D = 100, T_L = 0.01T_K⁰ +θ, T_R = 0.01T_K⁰, T_K⁰ = 0.0016Γ, Γ_L= Γ_R= Γ/2.

En la Fig. 16 vemos como para valores del gradiente de temperatura compren- didos entre 0 y T_K⁰ se produce un pico que luego que decae suavemente a medida que el gradiente θ aumenta. Para los valores que se produce el pico, el sistema debe encontrarse en el r´egimen Kondo, estando el sistema en una configuraci´on favorable para que se de el transporte de calor, y a medida que aumenta la temperatura el efecto Kondo se va debilitando hasta que el flujo de calor se anula. En la gr´afica tambi´en podemos compro- bar como el efecto de aplicar un campo magn´etico externo produce una reducci´on en la corriente de calor, ya que tambi´en contribuye a debilitar el efecto Kondo.

4. Conclusiones

En este trabajo hemos estudiado el comportamiento de las caracter´ısticas de transporte para el sistema conformado por un punto cu´antico acoplado a contactos electr´oni- cos, centr´andonos particularmente en el r´egimen Kondo. Para poder describir el punto cu´antico hemos hecho uso de la aproximaci´on de bosones esclavos y el Hamiltoniano de Anderson, y hemos obtenido los par´ametros renormalizados que caracterizan nuestro sis- tema resolviendo las ecuaciones de campo medio de forma num´erica. A partir de dichas variables hemos podido calcular la densidad de estado, a ra´ız de la cual hemos podido observar como debido al efecto Zeeman se produce un desdoblamiento del pico Kondo al aplicar un campo externo de una cierta magnitud. Este fen´omeno es el que da lugar al resultado m´as importante del trabajo y el cual observamos al representar la corriente de carga en funci´on del gradiente de temperatura, la aparici´on de ceros no triviales. Adem´as de estos resultados tambi´en hemos representado la corriente de calor, la conductancia el´ectrica y la corriente de carga para diferentes casos, que nos han permitido comprobar como los efectos de un aumento de la temperatura y la aplicaci´on de un campo magn´etico al sistema debilitan el efecto Kondo.

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