Heisenberg-invariante elliptiske kurver og Fermatkvartikken i $\mathbb{P}^3$

Heisenberg-invariante elliptiske kurver og Fermatkvartikken i P

av

Robin Bjørnetun Jacobsen

MASTEROPPGAVE for graden

Master i matematikk

Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Universitetet i Oslo

Mai 2009

Innledning

Symmetrier spiller en stor rolle i matematikken, og denne oppgava tar utgangspunkt i ei undergruppe av symmetrigruppa tilP³, nemlig HeisenberggruppaHav type4. Det er naturlig å spørre seg om det fins noen undervarieteter avP³ som også er invariante under H. Svaret er positivt, og motivasjonen for oppgava er å forstå geometrien til disse varietetene.

Oppgava er organisert som følger:

I kapittel1ser vi kort på HeisenberggruppaH og noen av dens grunnleggende egenskaper.

I kapittel2 oppstår det fra representasjonsteorien på en naturlig måte en pensel E av elliptiske kurver invariante under virkninga avH. Penselen studeres nærmere; blant annet ser vi at unionen av kurvene iE er ei flateS av grad4. Denne flata leder oss til en ny pensel isomorf tilE, og dermed også ei ny gruppe isomorf tilH.

I kapittel3ser vi at flataSer isomorf til (den relativt kjente) Fermatkvartikken og bruker dette for det det er verdt. Vi behandler også kort spørsmålet om hvor mange elliptiske pensler det fins på flata.

I kapittel 4 ser vi at de Heisenberg-invariante elliptiske kurvene gir oss også det verktøyet vi trenger for å beregne normalisatorgruppa tilH. Vi beskriver også samspillet mellom gruppa og de elliptiske kurvene iE.

I kapittel5beskrives en måte å realisere gruppeloven på elliptiske kurver iP³.

Takket være et lesesalmiljø i særklasse har det vært stas å holde til i6. etasje i Niels Henrik Abels hus under arbeidet med denne oppgava. Spesielt bør Abdul, John Christian og Nikolay nevnes; gode venner og diskusjonspartnere har mye å si.

Nevnes bør også David Eklund som meget beleilig kom på besøk til Matematisk Institutt og bidro med noen riktig lærerike samtaler.

Til slutt går den største takken til Kristian Ranestad som hele veien har vært en prima veileder.

Innhold

Innledning 3

1 Heisenberggruppa 7

1.1 Invariante polynomer . . . 7

1.2 Representasjoner avR₂påH . . . 9

2 Elliptiske kurver fraR₂ 11 2.1 Singulære kurver i penselenE . . . 11

2.2 Litt om gruppestruktur på kurvene iE . . . 13

2.3 Plückerkoordinater og linjer gjennom hver kurve iE . . . 14

2.4 Unionen av kurvene iE . . . 16

2.5 En ny pensel av elliptiske kurver . . . 18

2.6 Snittmatrise for linjer påS . . . 20

3 Fermatkvartikken 22 3.1 Elliptiske pensler påS . . . 22

3.2 Skeive firkanter påS . . . 23

4 Mer om Heisenberggruppa 26 4.1 Undergrupper avH . . . 26

4.2 Normalisatoren tilHiPGL(4,C) . . . 27

4.3 GruppaG=hH, H^′i . . . 27

4.4 Gruppediagram . . . 28

5 Gruppeloven på elliptiske kurver iP³ 30 5.1 Lineære involusjoner av hver kurve iE . . . 30

5.2 Definisjon av gruppeoperasjonen . . . 31

Avslutning 33 A Programkode 34 A.1 Origolinje [Maple] . . . 34

A.2 Snittmatrise [Maple] . . . 35

A.3 Skeive firkanter påS[Maple] . . . 38

A.4 Normalisatoren tilHogH^′iPGL(4,C)[Magma] . . . 38

Referanser 40

1 Heisenberggruppa

LaR =C[x₀, x₁, x₂, x₃] = L_∞

d=0Rdvære den graderte ringen derRdbetegner mengden av homo- gene polynomer av gradd, og laσogτ virke påRvedx_j 7→^σ x_j−1ogx_j 7→^τ i^jx_j deribetegner den imaginære enheten. Merk atσ⁴ =τ⁴er identiteten.

LaH =hσ, τivære gruppa generert av disse to virkningene; denne kalles Heisenberggruppa av type4. Sidenτ σ =iστ (deriavbilderx_j påix_j), kan ethvert element iH skrives på formeni^rσ^sτ^t, som vi identifiserer med(r, s, t)derr, s, t∈Z4. Opplagt er også alle elementer på denne formen med iHslik at|H|= 4³= 64.

Fra sammensetninga

(i^rσ^sτ^t)(i^r′σ^s′τ^t′) =i^r+r′σ^sτ^tσ^s′τ^t′ =i^r+r′+s′tσ^s+s′τ^t+t′ følger det at gruppeoperasjonen med denne notasjonen er gitt ved

(r, s, t)∗(r^′, s^′, t^′) = (r+r^′+s^′t, s+s^′, t+t^′).

Identitetselementet i gruppa er(0,0,0)og inversen til(r, s, t)er(−r+st,−s,−t). Med dette finner vi konjugasjonsklassene til gruppa.

Lemma 1.1. Heisenberggruppa består av4konjugasjonsklasser med1element,6med2 elementer og12med4elementer; totalt 22 klasser.

Bevis. Med notasjonen ovenfor har vi at (r^′, s^′, t^′) ligger i samme konjugasjonsklasse som (r, s, t) hvis det fins en(x, y, z)∈Hslik at

(r^′, s^′, t^′) = (x, y, z)∗(r, s, t)∗(−x+yz,−y,−z) = (r+sz−ty, s, t);

altså må vi has^′ =sogt^′=tog noeny, z ∈Z₄slik atr^′−r=sz−ty. Hviss=t= 0, mår^′=r;

hvis(s, t)∈ {(0,2),(2,0),(2,2)}, mår^′ ogrha samme paritet og for alle andre(s, t)kan vi for alle differanserr^′−rfinne passendeyogz. Dette gir oss4konjugasjonsklasser med1element,6med2 og12med4.

Heisenberggruppa kan, og vil seinere også naturlig oppfattes som ei undergruppe avGL(4,C)ved venstrevirkninga på koordinatvektoren x₀ x₁ x₂ x₃T

. Vi identifiserer her(r, s, t)med matrisen hvor komponenten på plass(m, n)er gitt ved (i^r+(n−1)tδ_m,n+s), derδi,j betegner Kronecker-delta.

Spesielt er

σ=







0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0





 ogτ =







1 0 0 0

0 i 0 0

0 0 −1 0 0 0 0 −i







generatorer for gruppa.

1.1 Invariante polynomer

Lemma 1.2. Graden til et homogent polynom invariant under virkninga avHer delelig med4.

Bevis. Antax^a₀⁰x^a₁¹x^a₂²x^a₃³ er et ledd i et polynom f av graddsom er invariant underσ. I så fall er ogsåσ(x^a₀⁰x^a₁¹x^a₂²x^a₃³) =x^a₀¹x^a₁²x^a₂³x^a₃⁰ et ledd if. Ved videre iterasjon ser vi at alle polynomer av graddinvariante underσkan skrives som en lineærkombinasjon av uttrykk på formen

Xx^a₀⁰x^a₁¹x^a₂²x^a₃^{3 def}= 1

4(x^a₀⁰x^a₁¹x^a₂²x^a₃³ +x^a₀¹x^a₁²x^a₂³x^a₃⁰+x^a₀²x^a₁³x^a₂⁰x^a₃¹ +x^a₀³x^a₁⁰x^a₂¹x^a₃²) dera₀+a₁+a₂+a₃ =d. Anta nå at et slikt polynom P

x^a₀⁰x^a₁¹x^a₂²x^a₃³ er invariant også underτ. Da era₁+ 2a₂+ 3a₃ ≡ a₂+ 2a₃+ 3a₀ ≡ a₃+ 2a₀+ 3a₁ ≡ a₀ + 2a₁ + 3a₂ ≡ 0 (mod 4)og spesielt må vi ha(a1+ 2a2+ 3a3)−(a2+ 2a3+ 3a0)≡a0+a1+a2+a3=d≡0 (mod 4).

Hvis vi larf(x₀, x₁, x₂, x₃) = P

x^a₀⁰x^a₁¹x^a₂²x^a₃³ og g(x₀, x₁, x₂, x₃) = P

x^a₀⁰⁺⁴x^a₁¹x^a₂²x^a₃³, er f invariant underσ ogτ hvis og bare hvis ger det. For å ha den fulle oversikten overH-invariante polynomer trenger vi følgelig bare å finne slike på formen P

x^a₀⁰x^a₁¹x^a₂²x^a₃³, der hver aj < 4. Det viser seg å være6av disse:

f_0,1(x₀, x₁, x₂, x₃) = P

1 = 1

f_1,1(x₀, x₁, x₂, x₃) = P

x²₀x²₂ = ¹₂(x²₀x²₂+x²₁x²₃) f1,2(x0, x1, x2, x3) = P

x²₀x1x3 = ¹₄(x0x1+x2x3)(x0x3+x1x2) f_2,1(x₀, x₁, x₂, x₃) = P

x²₀x²₁x²₂x²₃ = x²₀x²₁x²₂x²₃ f_2,2(x₀, x₁, x₂, x₃) = P

x³₀x²₁x³₂ f_2,3(x₀, x₁, x₂, x₃) = P

x³₀x³₁x₂x₃ = ¹₄x₀x₁x₂x₃(x²₀+x²₂)(x²₁+x²₃)

LaW_4n⊆R_4nvære underommet av invariante polynomer av grad4n. Da vil mengden av polynomer på formen

Xx^a₀^0+4b0x^a₁^1+4b1x^a₂^2+4b2x^a₃^3+4b3

der X

x^a₀⁰x^a₁¹x^a₂²x^a₃³ ∈ {fi,j(x₀, x₁, x₂, x₃)}

og b₀+b₁ +b₂+b₃ = n−ivære en genererende mengde forW_4n. En del av disse polynomene, somP

x⁴ⁿ₀ ogP

x⁴ⁿ₁ , vil imidlertid være identiske. Slanker vi bort det overflødige sitter vi igjen med følgende resultat.

Lemma 1.3. Dimensjonen tilW_4nerj

4n³+6n²+5n+6 6

k

forn≥1, og den genererende funksjonen er gitt vedP_∞

k=0dim(Wk)t^k= ₍₁^2t₋¹²_t4^+5t)⁴(1+t⁸⁺¹⁴).

Bevis. Ideen er å telle polynomer av grad4nkonstruert som over fra hverfi,j. Forf_0,1er vi ute etter antall løsninger i N⁴₀ = {0,1,2, . . .}⁴ av ligningssystemet b₀ +b₁+b₂+b₃ = n, der 2løsninger b = (b₀, b₁, b₂, b₃) ogc = (c₀, c₁, c₂, c₃) regnes som identiske hvis komponentene icer en syklisk permutasjon av komponentene ib. Uten denne restriksjonen er det ⁿ⁺³₃

løsninger, og hvis vi ser på syklisk permutasjon som enZ₄-virkning på denne løsningsmengden, kan vi bruke Burnsides lemma til å telle. Dette gir

N0,1(n) =







1 4

n+3 3

+ 0 + 0 + 0

= (n+1)(n+2)(n+3)

24 , 2∤n

1 4

n+3 3

+ 0 +ⁿ⁺²₂ + 0

= ^(n+2)(n₂₄^2+4n+6), 2||n

1 4

n+3 3

+ 1 +ⁿ⁺²₂ + 1

= ^(n+4)(n₂₄^2+2n+6), 4|n

polynomer av grad4nkonstruert fraf_0,1. Ved å gjøre tilsvarende utregninger for hverfi,j får vi med P(n) = ¹₆(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

Q(n) = ¹₆(n+ 2)(n²+ 4n+ 6) R(n) = ¹₆(n+ 4)(n²+ 2n+ 6) denne tabellen:

N_0,1(n) N_1,1(n) N_1,2(n) N_2,1(n) N_2,2(n) N_2,3(n) P

Ni,j(n) = dimW_4n 2∤n ^P(n)₄ ^Q(n₂⁻¹⁾ P(n−1) ^P(n₄⁻²⁾ P(n−2) P(n−2) ¹₆(4n³+ 6n²+ 5n+ 3)

2||n ^Q(n)₄ ^P(n₂⁻¹⁾ P(n−1) ^R(n₄⁻²⁾ P(n−2) P(n−2) ¹₆(4n³+ 6n²+ 5n+ 6) 4|n ^R(n)₄ ^P(n₂⁻¹⁾ P(n−1) ^Q(n₄⁻²⁾ P(n−2) P(n−2) ¹₆(4n³+ 6n²+ 5n+ 6) Av dette følger resultatet. Beregning av den genererende funksjonen overlates til spesielt interesserte.

1.2 Representasjoner avR₂påH Underrommet R₂ =

x²₀, x₀x₁, . . . , x²₃

⊂ R har dimensjon ⁵₂

= 10og kan dekomponeres til en sum av5underrom invariante under virkninga avH, alle av dimensjon2. Disse er

V1 = ¹₂hx²₀+x²₂, x²₁+x²₃i = ¹₂h(x0+ix2)(x0−ix2),(x1+ix3)(x1−ix3)i V₂ = ¹₂hx²₀−x²₂, x²₁−x²₃i = ¹₂h(x₀+x₂)(x₀−x₂),(x₁+x₃)(x₁−x₃)i V₃ = ¹₂hx₀x₁+x₂x₃, x₁x₂+x₃x₀i = ¹₂h(x₀+x₂)(x₁+x₃),(x₀−x₂)(x₁−x₃)i V4 = ¹₂hx0x1−x2x3, x1x2−x3x0i = ¹₂h(x0+x2)(x1−x3),(x0−x2)(x1+x3)i

V₅ = hx₁x₃, x₀x₂i

(1) ForV₁har vi medv₁ = ¹₂(x²₀+x²₂)ogv₂ = ¹₂(x²₁+x²₃)at

σ(v₁) = 0v₁+ 1v₂, τ(v₁) = 1v₁+ 0v₂, σ(v₂) = 1v₁+ 0v₂, τ(v₂) = 0v₁−1v₂, slik at vi får en representasjon avHpåV₁ved å la

σ 7→

0 1 1 0

ogτ 7→

1 0 0 −1

.

Gjør vi tilsvarende beregninger på de andre invariante underromma, får vi representasjonene i tabellen under.

σ 7→ τ 7→

V₁

0 1 1 0

1 0 0 −1

V₂

0 1

−1 0

1 0 0 −1

V₃

0 1 1 0

i 0 0 −i

V₄

0 1

−1 0

i 0 0 −i

V5

0 1 1 0

1 0 0 −1

Dette forklarer den kunstig valgte rekkefølgen på basisen forV₅i (1): Nå har vi samme represen- tasjon på dette underrommet ogV₁. Dermed vil også underrom på formen

V_(a:b)= 1

2a(x²₀+x²₂) +bx₁x₃,1

2a(x²₁+x²₃) +bx₀x₂

for (a : b) ∈ P¹, ha samme representasjon på H. Dessuten vil felles nullpunkter i P³ for de 2 kvadrikkene som definererV_(a:b) være invariante under virkninga av Heisenberggruppa H. Et slikt par av flater snitter altså ut Heisenberg-invariante kurver iP³.

Determinantene til representasjonene av H på V1, . . . , V5 viser at ingen andre representasjoner ennV₁ogV₅kan være isomorfe.

2 Elliptiske kurver fra R

Et komplett snitt av 2 annengradsflater i P³ har genus 1 og er følgelig en elliptisk kurve. (Se for eksempel oppgave7.2side54i [Har].) I representasjonen avH påR₂ i forrige kapittel endte vi opp med nettopp 2slike annengradsflater, og hvis vi tar snittet av disse, får vi de elliptiske kurvene vi i stor grad skal studere utover. La oss derfor navngi disse.

Kall denH-invariante elliptiske kurven gitt ved Z

1

2a(x²₀+x²₂) +bx₁x₃,1

2a(x²₁+x²₃) +bx₀x₂

(2) for E_(a:b), for hver (a : b) ∈ P¹. Vi forenkler notasjonen litt ved å skrive E_∞for E_(0:1) og Eb for E_(1:b)nårb∈C. La

E={Eb|b∈Cˆ} derCˆ =C∪{∞}være denne penselen av elliptiske kurver.

2.1 Singulære kurver i penselenE

Det er naturlig å spørre seg hvilke singulære kurver vi har iE. I alle fall er E_∞ = Z(x₁x₃, x₀x₂) singulær, resten kan vi finne ved å se på Jacobimatrisen

J(E_b) =

x₀ bx₃ x₂ bx₁ bx₂ x₁ bx₀ x₃

.

For at denne ikke skal ha full rang må vi habx²₀ =bx²₂ogbx²₁ =bx²₃. Forb= 0har vi de4singulære punktene (1 : 0 :±i: 0)og(0 : 1 : 0 :±i), i de andre tilfellene erx²₀ =x²₂ ogx²₁=x²₃som innsatt i ligningene (2) forEbgirx²₀±bx²₁ =x²₁±bx²₀ = 0. Dette girb⁴ = 1, og samtlige4fjerderøtter av1 gir singulære kurver. Litt videre regning gir, medα= ¹⁺ⁱ√

2 (slik atα⁸ = 1), denne tabellen:

Kurve Singulære punkter

E_∞ (1 : 0 : 0 : 0) (0 : 0 : 1 : 0) (0 : 1 : 0 : 0) (0 : 0 : 0 : 1) E₀ (1 : 0 :i: 0) (1 : 0 :−i: 0) (0 : 1 : 0 :i) (0 : 1 : 0 :−i) E₁ (1 :i: 1 :i) (1 :−i: 1 :−i) (1 : 1 :−1 :−1) (1 :−1 :−1 : 1) E₋₁ (1 : 1 : 1 : 1) (1 :−1 : 1 :−1) (1 :i:−1 :−i) (1 :−i:−1 :i) Ei (1 :α:−1 :α) (1 :α⁵ :−1 :α⁵) (1 :α³ : 1 :α⁷) (1 :α⁷: 1 :α³) E_−i (1 :α⁷ :−1 :α⁷) (1 :α³ :−1 :α³) (1 :α: 1 :α⁵) (1 :α⁵: 1 :α)

(3)

KurvenE_∞ = Z(x₀x₂, x₁x₃) = Z(x₀, x₁)∪Z(x₀, x₃) ∪Z(x₂, x₁)∪Z(x₂, x₃)er en union av 4linjer som på figur 1. Det samme er de 5andre singulære kurvene i penselen, og det er derfor hensiktsmessig med litt terminologi omkring slike kurver. I resten av dette kapitlet blir en del begreper, skrevet i kursiv, innført, og de vil brukes i resten av teksten.

En kurve bestående av4forskjellige linjer som ikke ligger i samme plan, og hvor hver av disse 4 linjene skjærer nøyaktig 2 av de andre linjene i kurven, betegnes som en skeiv firkant. Slike kan med 2linjer på en entydig måte kompletteres til et tetraeder. For en skeiv firkant betegnes et sådant kompletterende linjepar som den skeive firkantens diagonalpar av linjer.

Betegnelsen diagonalpar er også naturlig å bruke om 2 bestemte par av singulære punkter på en skeiv firkant: Et diagonalpar av singulære punkter på en gitt skeiv firkant er et av de 2para av

(1 : 0 : 0 : 0)

(0 : 1 : 0 : 0)

(0 : 0 : 1 : 0)

(0 : 0 : 0 : 1) Z(x₂, x₃) Z(x0, x3)

Z(x2, x1)

Z(x₀, x₁)

Figur 1: KurvenE_∞med tilhørende diagonalpar (stiplet) og singulære punkter.

singulære punkter som ligger på en av de 2 linjene i den skeive firkantens diagonalpar av linjer. I tabellen (3) utgjør de2første og de 2siste punktene i hver rad hvert sitt diagonalpar av singulære punkter for sin skeive firkant.

Det gjelder for 2og2 av disse skeive firkantene at de har felles diagonalpar av linjer; tegner vi kurvenE₀i samme bilde somE_∞, får vi figur 2 under.

E_∞

E₀

Figur 2: KurveneE_∞ogE₀med sitt felles diagonalpar av linjer.

På samme måte knyttes de singulære kurveneE₁ og E₋₁ sammen til et annet par av det vi skal kalle assosierte kurver, ogEiogE₋itil et tredje. En enkel, men viktig observasjon er nå at diagonal- paret av linjer til disse3para av assosierte kurver til sammen utgjør et tetraeder som vi skal kalle det fundamentale tetraederet tilE.

Vi lister også for oversiktas skyld opp ligninger og singulære punkter for de6singulære kurvene

(1 : 0 : 1 : 0)

(0 : 1 : 0 : 1)

(1 : 0 :−1 : 0)

(0 : 1 : 0 :−1)

D_±1 D_±i

D_±i

D_±1

D_0,∞

Figur 3: Det fundamentale tetraederet tilE med singulære punkter og diagonalpar D_β av linjer fra Eβ.

iE. Medrj(M)som denj-te rada i matrisenM ogx= x₀ x₁ x₂ x₃ har vi Eβ =Z((r₁(M Eβ)·x)(r₃(M Eβ)·x),(r₂(M Eβ)·x)(r₄(M Eβ)·x)) derM Eβ er matrisene under.

M E_∞=







1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1





, M E₀=







1 0 i 0

0 1 0 i

1 0 −i 0 0 1 0 −i





,

M E₁ =







1 i 1 i

1 −1 −1 1 1 −i 1 −i 1 1 −1 −1





, M E₋₁ =







1 1 1 1

1 i −1 −i 1 −1 1 −1 1 −i −1 i





,

M Ei =







1 α −1 α 1 α³ 1 α⁷ 1 α⁵ −1 α⁵ 1 α⁷ 1 α³





, M E₋i =







1 α⁷ −1 α⁷ 1 α 1 α⁵ 1 α³ −1 α³ 1 α⁵ 1 α





.

(4)

Matrisene har også den egenskapen at koordinatene til de singulære punktene kan leses langs radene. Diagonalpara av singulære punkter i en skeiv firkant er da rad 1 og3 og rad2 og 4 i den tilhørende matrisen.

2.2 Litt om gruppestruktur på kurvene iE

Det er en velkjent sak at elliptiske kurver kan oppfattes som abelske grupper. For å realisere denne gruppestrukturen på hver kurve i E, trenger vi et punkt som identitetselement på hver kurve. Det enkleste vil være å finne et punkt alle kurvene går gjennom, men situasjonen er at ingen kurver i penselen snitter hverandre.

Lemma 2.1. Hvisb6=b^′, har ikkeEbogEb^′ noen felles punkter.

Bevis. Hvisb=∞(og tilsvarende forb^′ =∞), er

E_b∩E_b′ =Z(x₁x₃, x₀x₂, x²₀+x²₂+ 2b^′x₁x₃, x²₁+x²₃+ 2b^′x₀x₂)

=Z(x₁x₃, x₀x₂, x²₀+x²₂, x²₁+x²₃) =∅,

siden de 2første ligningene gir at en avx₁ og x₃, og en avx₀ ogx₂ må være0, hvorpå de 2siste ligningene gir at alle koordinater er0.

Forb, b^′ 6=∞er på samme måte

Eb∩Eb^′ =Z(x²₀+x²₂+ 2bx₁x₃, x²₁+x²₃+ 2bx₀x₂, x²₀+x²₂+ 2b^′x₁x₃, x²₁+x²₃+ 2b^′x₀x₂)

=Z((b−b^′)x₀x₂,(b−b^′)x₁x₃,(b−b^′)x²₀+x²₂,(b−b^′)x²₁+x²₃)

=Z(x₁x₃, x₀x₂, x²₀+x²₂, x²₁+x²₃) =∅.

Legger vi lista litt lavere, kan vi håpe å finne ei linje som snitter hver kurve, og bruke slike snittpunkter som identitetselement, origo, for gruppa som kurve. Snitter linja kurvene flere ganger, blir vi tvunget til å gjøre et valg som av symmetrigrunner er vanskelig å gjøre på en fornuftig måte, så vi vil også kreve at linja bare skal snitte hver kurve iEén gang. Spesielt må den gå gjennom hver av de6singulære kurvene. Hver av disse består av4komponenter, så vi har totalt4⁶ = 4096måter å velge ut ei linje fra hver kurve på. Vi vil for hvert av disse utvalga av6linjer finne eventuelle linjer som går gjennom hver kurve iEog undersøke om disse kan brukes til å definere origo. Jobber vi for hånd er ikke dette gjort før lunsj, så vi tar Maple til hjelp etter at vi har introdusert Plückerkoordinater.

2.3 Plückerkoordinater og linjer gjennom hver kurve iE Ei linje iP³kan ses på som snittet

Z(a₀x₀+a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)∩Z(a^′₀x₀+a^′₁x₁+a^′₂x₂+a^′₃x₃) av2ulike plan. På kortform skriver vi denne linja som en2×4-matrise

a₀ a₁ a₂ a₃ a^′₀ a^′₁ a^′₂ a^′₃

av rang2. Her vil2matriser som er radekvivalente representere samme linje.

Hvis vi utstyrer P⁵ med koordinatene (x₀₁ : x₀₂ : x₀₃ : x₁₂ : x₁₃ : x₂₃), vil punkter på den kvadratiske hyperflataQ=Z(x₀₁x₂₃−x₀₂x₁₃+x₀₃x₁₂)være i1−1-korrespondanse med linjer i

P

3gjennom Plückeravbildninga.

Definisjon 2.2. Plückeravbildninga mellom linjer iP³ og punkter påQ⊂P⁵er definert ved a₀ a₁ a₂ a₃

a^′₀ a^′₁ a^′₂ a^′₃

7→(∆₀₁: ∆₀₂: ∆₀₃: ∆₁₂: ∆₁₃: ∆₂₃) der∆ij = det

ai aj

a^′_i a^′_j

er2×2-minorene til linjas matrise.

Merk at avbildninga er veldefinert siden det

ai aj

a^′_i a^′_j

= det

a_i+ca^′_i a_j+ca^′_j a^′_i a^′_j

for allec∈Cog matrisene som representerer linjer har rang2, slik at minst én minor er ulik0.

Før vi begynner søken etter ei fornuftig linje til å definere identiteten på hver kurve, kommer et lite lemma vi har bruk for i beregningene av mulige linjer gjennom hver kurve iE.

Lemma 2.3. 2linjer iP₃representert ved Plückerkoordinatene

x= (x₀₁:x₀₂:x₀₃:x₁₂:x₁₃:x₂₃)ogy= (y₀₁:y₀₂:y₀₃:y₁₂:y₁₃:y₂₃) skjærer hvis og bare hvis

x₀₁y₂₃−x₀₂y₁₃+x₀₃y₁₂+x₁₂y₀₃−x₁₃y₀₂+x₂₃y₀₁= 0.

Bevis. 2linjer gitt ved kortformene

a₀ a₁ a₂ a₃ a^′₀ a^′₁ a^′₂ a^′₃

og

b₀ b₁ b₂ b₃ b^′₀ b^′₁ b^′₂ b^′₃

skjærer hvis og bare hvis

det







a₀ a₁ a₂ a₃ a^′₀ a^′₁ a^′₂ a^′₃ b₀ b₁ b₂ b₃ b^′₀ b^′₁ b^′₂ b^′₃





= 0.

Utvikling av determinanten med2×2-minorene til de2øverste radene gir betingelsen i Plückerkoor- dinater.

Vi finner nå Plückerkoordinater for hver av de24linjene i de6singulære kurvene iE. For hvert av de 4⁶ = 4096 mulige utvalga av ei linje fra hver av disse kan vi danne en6 ×6-matrise med Plückerkoordinatene til linjene langs radene. Ei eventuell linje gjennom alle de singulære kurvene må nødvendigvis befinne seg i nullrommet til en slik matrise. Vi beregner derfor disse nullromma ved hjelp av Maple og algoritme 2.4.

Algoritme 2.4.

1. Hver singulære kurve har en tilhørende4×4-matriseM Eβfra matrisene (4) som representerer 4plan. Linjene i kurven får vi ved å ta de4av2×4-undermatrisene som representerer linjer i kurven som beskrevet i kapittel 2.1.

2. Velg systematisk ei linje fra hver av de6singulære kurvene og beregn Plückerkoordinater for disse. La Plückerkoordinatene være radene i en6×6-matrise.

3. Beregn nullrommet til matrisen. (Det viser seg at dette blir enten tomt eller et punkt iP⁵.) 4. Ligger det eventuelle punktet i nullrommet på hyperflataQ, det vil si at det representerer ei linje

iP³, lagres det i ei liste om det ikke allerede ligger der.

Kjøringa gir24mulige linjer jamfør tabellen under. Maplekode for programmet som gjennomfører denne algoritma er lagt til appendiks A.1.

4⁶ = 4096mulige matriser

XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX X

3

8 ·4096 = 1536av rang5

XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX XX

5

8·4096 = 2560av rang6

2

3 ·1536 = 1024med nullrom påQ ¹₃ ·1536 = 512med nullrom utaforQ hvorav24forskjellige

Dessverre viser det seg at samtlige24linjer går gjennom et singulært punkt i et par av assosierte kurver og også skjærer hver ikke-singulære kurve iEi nøyaktig2forskjellige punkter, slik at det blir vanskelig å velge et naturlig identitetselement for hver kurve på denne måten.

En annen mulighet kunne nå være å fortsette søken etter et identitetselement ved å leite etter kurver av høyere grad som snitter hver elliptiske kurve nøyaktig en gang. Dette blir imidlertid ikke diskutert seinere i teksten, men kan være interessant å undersøke nærmere.

2.4 Unionen av kurvene iE

Tar vi unionen av alle kurvene i penselenEkan vi forvente å få ei flate iP³, og det er også presis hva vi får. Kaller vi denne flata forShar vi

S = [

b∈Cˆ

E_b = [

b∈Cˆ

Z 1

2(x²₀+x²₂) +bx₁x₃,1

2(x²₁+x²₃) +bx₀x₂

.

Etter å ha eliminertb, sitter vi igjen med

S=Z(x₀x₂(x²₀+x²₂)−x₁x₃(x²₁+x²₃)) som er ei fjerdegradsflate, glatt sådan.

Lemma 2.5. Shar ingen singulære punkter.

Bevis. I et singulært punkt på Sforsvinner den partiellderiverte av ligninga for flata med hensyn på hverx_j, slik at vi har ligningene

x2(3x²₀+x²₂) = 0,

−x₃(3x²₁+x²₃) = 0, x₀(3x²₂+x²₀) = 0,

−x₁(3x²₁+x²₃) = 0.

Tar vi summen av og differansen mellom første og tredje ligning, får vi henholdsvis(x₀+x₂)³ = 0 og(x0−x2)³= 0slik atx0=x2 = 0. Tilsvarende gir andre og fjerde ligning atx1=x3 = 0.

Gjennom hele kapitlet har linjer stått sentralt, og det kan være interessant å vite noe om slike på S. Vi kjenner allerede24stykker fra de6singulære kurvene iE, men det finnes også24til.

Teorem 2.6. FlataSinneholder nøyaktig48linjer.¹

Bevis. I arbeidet med Plückerkoordinater representerte vi linjer iP³som2×4-matriser av full rang, og disse kan deles inn i6klasser etter matrisetype. Vi teller i hver klasse hvor mange linjer som ligger påS.

1.

1 0 a b 0 1 c d

. Eliminerer vi x₀ og x₁ ved x₀ = −(ax₂ +bx₃) og x₁ = −(cx₂ +dx₃) i polynomet forSfår vi den ikke akkurat smekre ligninga

(ax₂+bx₃)x₂((1+a²)x²₂+2abx₂x₃+b²x²₃)−(cx₂+dx²₃)x₃(c²x²₂+2cdx₂x₃+(1+d²)x²₃) = 0.

Koeffisientene foranx⁵₂, x⁴₂x₃, . . . , x⁵₃må alle være0for at linja skal være inneholdt iS, så vi sitter igjen med å telle antall løsninger iC⁵av ligningsystemet

a(a²+ 1) = 0, 3a²b+b−c³ = 0, 3ab²−3c²d= 0, b³−3cd²−c= 0, d(d²+ 1) = 0.

Første og siste ligning gir ata, d∈ {0,±i}. Hvisa=d= 0, har vib−c³ =c−b³ = 0som har 9løsninger;b=c= 0og forj= 1, . . . ,8løsningeneb=α^j ogc=α^5j. Hvisa= 06=d, har vib=c= 0, som har1løsning. Likeledes gird= 06=aogså1løsning. Hvisa² =d² =−1, har vic³ + 2b =b³ + 2c =b² ±c² = 0som har5løsninger;b =c = 0og forj = 1, . . . ,4 løsningeneb=√

2i^jogc=−√

2i^3j. Totalt får vi altså9 + 2·2·1 + 4·5 = 33linjer.

2.

1 a 0 b 0 0 1 c

gir på samme måte ligningsystemet a³c−1 = 0,

3a²bc= 0, 3ab²c+ac³−1 = 0, bc(b²+c²) = 0.

De2første ligningene girb= 0, så vi sitter igjen meda³c=ac³ = 1som byr på de8linjene hvorb=α^j ogc=α^3j forj = 1, . . . ,8.

3.

1 a b 0 0 0 0 1

gir de3linjene dera= 0ogb∈ {0,±i}. 4.

0 1 0 a 0 0 1 c

gir de3linjene derc= 0oga∈ {0,±i}. 5.

0 1 a 0 0 0 0 1

gir ingen nye linjer.

1Dette er ikke så langt fra64som er det maksimale antallet linjer på ei glatt fjerdegradsflate iP³. Generelle slike flater ikke inneholder noen linjer. Se [Seg1].

6.

0 0 1 0 0 0 0 1

ligger også påS.

Totalt er det altså33 + 8 + 3 + 3 + 0 + 1 = 48linjer inneholdt i flataS.

Som nevnt kjenner vi allerede24av disse48linjene fra penselenE. Men faktisk kjenner vi den andre halvparten også, dette er nemlig linjene vi fant i kapittel 2.3 da vi forsøkte å finne et identitets- element for hver elliptiske kurve iE. All symmetrien i objektene våre gjør det naturlig å vie litt tid til å undersøke om de24nye linjene også utgjør6skeive firkanter som er singulære kurver i en elliptisk pensel påS.

2.5 En ny pensel av elliptiske kurver

Vi har tidligere sett at kurvenEber gitt vedP v^T = 0hvor P =

₁

2(x²₀+x²₂) x₁x₃

1

2(x²₁+x²₃) x0x2

ogv= 1 b for hverb∈C.ˆ

Ser vi nå på mengden av punkter bestemt av ligningenevP = 0, eller eksplisitt x²₀+x²₂+b(x²₁+x²₃) = 0,

x₁x₃+bx₀x₂ = 0,

er dette også et komplett snitt av 2 annengradsflater. Dermed får vi nye elliptiske kurver: Definer penselenE^′til å være mengden av kurverE_b^′ gitt ved

E_b^′ =Z(x²₀+x²₂+b(x²₁+x²₃), x₁x₃+bx₀x₂)

forb∈Cˆ der vi bruker samme notasjon som for penselenE. Hver kurve iE^′ ligger også opplagt på S, og det er verdt å merke seg at denne flata er gitt veddetP = 0.

Det lineære koordinatskiftet² avP³ gitt ved matrisen

γ = 1

√2







√2 0 0 0 0 α 0 α⁷

0 0 √

2 0 0 α⁷ 0 α





 (5)

avbilder Eb isomorft på E_b^′ for hver b ∈ C. (Med et lineært koordinatskifte gitt ved en matriseˆ γ, mener vi at en koordinatvektor x= (x₀ :x₁:x₂:x₃)sendes påγ·x.) Spesielt erE_b^′ singulær og en skeiv firkant presis nårb∈ {∞,0,±1,±i}. Vi vil kalle slikeEb ogE_b^′ hverandres kameratkurver.

Komponentene og de singulære punktene i de singulære kurvene iE^′ kan enkelt beregnes ved produktet γ·M Eb =M E_b^′ derM Eb er matrisene fra (4), ogM E_b^′ spiller samme rolle forE_b^′ som M Ebgjør forEb. Dette bekrefter også mistanken fra kapittel 2.4: De24siste linjene påSutgjør presis de singulære kurvene i penselenE^′, og vi har dermed en ny elliptisk pensel isomorf tilEpåS.

Denne beregninga viser også at penslene E ogE^′ har samme mengde av singulære punkter for sine singulære kurver: De singulære punktene til en singulær kurve i en av penslene er et diagonalpar av singulære punkter til kurvens kameratkurve og et diagonalpar av singulære punkter til kamerat- kurvens assosierte kurve. Tegner vi inn linjene i en singulær kurve, dens assosierte kurve og deres kameratkurver, siE_∞,E₀,E_∞^′ ogE₀^′ får vi bildet på figur 4.

2Dette koordinatskiftet er naturligvis ikke entydig, men for seinere å kunne gjøre beregninger er det lurt å tvinge et valg gjennom her.

E_∞

E₀ E_∞^′

E₀^′

b b

b b

b b

b b

Figur 4: De singulære kurveneE_∞,E0,E_∞^′ ogE₀^′ presentert på2måter.E₀^′ ogE_∞^′ snitter ikke.

En slik mengde av 16 linjer fra en singulær kurve fra en av penslene E og E^′, dens assosierte kurve og deres kameratkurver vil kalles et 16-sett av linjer. Til sammen har vi altså3slike disjunkte 16-sett hvis union er linjene påS.

På gruppenivå gir denne nye penselen ei ny Heisenberg-gruppeH^′konjugert tilHiGL(4,C), og hver kurve iE^′ er stabil under denne. Eksplisitt har viH^′ =γHγ⁻¹ =hσ^′, τ^′iderσ^′ =γσγ⁻¹ og τ =γτ γ⁻¹, eller på matriseform

σ^′ = 1

√2







0 1 0 i 1 0 i 0 0 i 0 1 i 0 1 0





 ogτ^′ =







1 0 0 0

0 0 0 −1 0 0 −1 0

0 1 0 0





.

Nå ser vi atσ²=σ^′2ogτ² =τ^′2, slik atH∩H^′ =hσ², τ²i ∼=Z₂×Z₂, og dette betyr at antall kurver i orbiten underHtil en kurve iE^′ ikke kan være mer enn|H|/|H∩H^′|= 4. For de ikke-singulære kurvene iEer dette også det faktiske antall, mens det er2for de singulære.

E_b^′

OO

τ

oo ^σ //E^′_−b

OO

τ

E^′_b−1 oo _σ //E^′_−b−1

Figur 5: Virkninga avHpå ikke-singulæreE_b^′ ∈E^′. (La−∞=∞,0⁻¹=∞og∞⁻¹ = 0.) Følgelig består orbitenOrbH(E_b^′)tilE_b^′ underH av4isomorfe kurver:{E^′_b, E₋^′ _b, E_b^′−1, E₋^′ _b−1}, og analogt erOrbH^′(Eb) ={Eb, E₋b, E_b−1, E_−b−1}.

2.6 Snittmatrise for linjer påS

I lemma 2.1 så vi at 2 linjer fra forskjellige singulære kurver i samme pensel ikke snitter. Vi har imidlertid ikke noe lignende å vise til for linjer fra forskjellige pensler, og derfor danner vi den sym- metriske snittmatrisenY for de48linjene påS(der2snittende linjer har snittall1,2skeive linjer har snittall0og snittallet til ei linje snitta med seg sjøl er−2). Igjen er Maple vår venn, og programkoden er å finne i appendiks A.2.

Figur 6: SnittmatrisenY for linjene påS

Det er fort gjort å miste oversikten i denne detaljrike framstillinga, mens det på blokkform kan være noe enklere å danne seg et bilde. Definer derfor matrisene

A=







2 1 0 1 1 2 1 0 0 1 2 1 1 0 1 2





, B =







1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1





, C =







1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1





, D=







1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0





,

O=







0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0





, C¯ =







0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0





, D¯ =







0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0





,

E =

A B B A

, F =

O C C O¯

, G=

O D D O¯

,

F¯ =

O C¯ C O

, G¯ =

O D¯ D O

Da erY gitt ved











E F G¯ G¯ G¯ G¯ F¯ E G¯ G G G¯ G G E F G G¯ G G F¯ E G G¯ G G G¯ G E F¯ G G¯ G G¯ F¯ E









 .

Per definisjon er snittmatrisen symmetrisk, mens den på denne blokkformen er mer uryddig i stilen. Man skulle tru det var mulig å rydde opp i dette ved å stokke om på rekkefølgen linjene i hver kurve er skrevet, men den gang ei: Det kan vises at man er tvunget til å ha fordelinga8−4eller4−8 av Gog G¯ blant blokkene over hoveddiagonalen. Dette er litt merkverdig, men ikke verre enn at vi lar det ligge.

Litt informasjon kan man også lese direkte ut avY. Hver linje snitter2av de singulære kurvene i motsatt pensel (kameratkurven til kurven linja tilhører og denne kameratkurvens assosierte kurve) i2 kryssende linjer, og de siste4kurvene i2skeive linjer.

Til slutt nevner vi at snittmatrisenY for linjene på den glatte fjerdegradsflataShar rang20slik at S er ei singulær³ K3-flate.

3Dette betyr bare at snittmatrisen har maksimal rang20for ei K3-flate og ikke singulær i vanlig forstand.

3 Fermatkvartikken

Vi har tidligere sett at flataSinneholder48linjer og har Picardgruppe av maksimal rang20. Dette er egenskaper vi kjenner igjen fra FermatkvartikkenF₄gitt ved ligningax⁴₀+x⁴₁+x⁴₂+x⁴₃ = 0, og det skal ikke rare detektivarbeidet til for å se at flatene da også er isomorfe. Det lineære koordinatskiftet⁴ gitt ved matrisen

N = 1

√2







1 0 α 0

0 α 0 i

1 0 −α 0 0 α 0 −i





 (6)

tarSpå Fermatkvartikken.

Fra den enkle ligninga for F₄ ser vi umiddelbart at en permutasjon av koordinatene sammen med multiplikasjon med fjerderøtter av1sender flata på seg sjøl. Denne observasjonen gjorde Segre allerede i1944([Seg2]), og han viste også at slike er de eneste symmetriene avF4; dermed har vi

Stab(F₄)∼= (Z⁴₄⋊S₄)/Z₄ =Z³₄⋊S₄. Her erS₄permutasjonsgruppa på4elementer iPGL(4,Z₂)<PGL(4,C).

Siden F₄ og S er isomorfe, er også symmetrigruppa Stab(S) til S isomorf til Stab(F₄) ved konjugasjon medN: For hverQ∈Stab(F₄)har vi enR∈Stab(S)slik atRN =N Q

S

N

R //S

N

F₄

Q //F₄ Dermed erStab(S) =N(Stab(F₄))N⁻¹.

PermutasjonsgruppaS₄ er generert av2elementerB = diag

0 1 1 0

,1,1

ogσ. Dermed er Stab(F₄) = hA, B, σiderA= diag(i,1,1,1). Dette gir eksplisitte generatorer for symmetrigruppa tilS:

Stab(S) =hN AN⁻¹, N BN⁻¹, N σN⁻¹i. (7) Fordelen ved å ha observert atSer isomorf tilF₄ synes nå klar: Fermatkvartikken er relativt godt studert i litteraturen slik at det er mulig å innhente billig informasjon omS, og dermed pensleneEog E^′ om ønskelig.

3.1 Elliptiske pensler påS

Vi har støtt på2elliptiske penslerE ogE^′ påSeller ekvivalent Fermatkvartikken, og man kan lure på om det finnes flere slike pensler på denne flata. I kapittel 2.5 så vi at matrisen

P = ₁

2(x²₀+x²₂) x₁x₃

1

2(x²₁+x²₃) x₀x₂

(8) er en fleksibel liten røver som gjør det enkelt å definere ligningene for kurvene i penslene E og E^′ (ved henholdsvis P v^T = 0ogvP = 0derv= 1 b

for enb∈C) samt flataˆ S(veddetP = 0).

4Igjen, dette er ikke entydig.