Como explicitado anteriormente, este estudo se insere na esfera do compreender. Assim, não é adequada uma abordagem empírico-analítica, pois não se enquadra num modelo de aplicação do método científico em que se formula um problema, levantam-se hipóteses, testam-se pressupostos, confirmam-se ou se refutam as hipóteses. É um estudo que tem características de uma abordagem qualitativa, pois tem o pesquisador como seu principal instrumento, os dados são predominantemente descritivos, a ênfase está colocada nos significados explícitos e implícitos atribuídos pelas pessoas ao objeto em estudo. (Lüdke e André, 1986)
Entendemos, fundamentados em Morin (1999), que a busca de compreensão não é neutra, traz marcas de idiossincracia, do subjetivo, daí a necessidade da relação dialógica entre o compreender e o explicar. Neste sentido, não buscamos consensos, mas “ver” o objeto de estudo em suas múltiplas relações e significados a partir de várias fontes e dos referenciais teóricos adotados, reconhecendo tensões e dilemas, frutos de conflitos de interpretações e de significados, pois estaremos lidando com diferentes visões de mundo, de homem, de educação, de matemática.
Quanto ao processo de coleta de dados, envolve um estudo documental e pesquisa de campo. Inicialmente, buscando delimitar o objeto de estudo, ao lado de leituras sobre o tema, realizamos uma busca na biblioteca da USP de livros textos de Teoria dos Números. Encontramos um vasto acervo, sendo a quase totalidade dos títulos de autores estrangeiros.
Separamos alguns que tratavam da Teoria Elementar dos Números, com o objetivo de analisar o prefácio e o sumário.
Ainda como parte de um estudo exploratório, realizamos um levantamento das propostas curriculares de disciplinas em que são tratados conteúdos de Teoria dos Números, constantes dos currículos de dezesseis universidades brasileiras. A escolha dessas instituições foi intencional, considerando a facilidade de acesso e a respeitabilidade da instituição na área de pesquisa em Educação Matemática e em Matemática. O acesso ao material foi realizado através de catálogos institucionais ou pela Internet. O objetivo dessa pesquisa documental aos currículos e aos livros era verificar qual teoria dos números está sendo ensinada no Brasil atualmente.
Iniciamos, verificando se na proposta curricular havia a disciplina Teoria dos Números. Em caso negativo, passamos a buscar as ementas de disciplinas que poderiam conter tópicos desta área. Em seguida, organizamos as informações referentes às ementas, à carga horária, aos objetivos, ao conteúdo programático e à bibliografia dessas disciplinas. Nem sempre foi possível ter acesso a todos os elementos citados anteriormente.
Com base na bibliografia indicada e no levantamento dos livros-texto, realizado na USP, fizemos um fichamento de onze obras, indicando os dados bibliográficos, os conteúdos abordados e um resumo do prefácio, buscando registrar a quem se destina a obra e os pré- requisitos para o estudo.
Após o exame de qualificação, decidimos, por sugestão da banca, ampliar e aprofundar os estudos documentais, referentes aos livros didáticos e às disciplinas pesquisadas anteriormente. Com relação à Teoria dos Números nos currículos da licenciatura em matemática, procuramos analisá-la como uma disciplina acadêmica que inclui finalidades, conteúdos e formas de abordagem, inserida no projeto político-pedagógico do curso. Assim, passamos a analisar as disciplinas de doze universidades, eliminando quatro das quais não tivemos acesso aos elementos que decidimos analisar.
Com relação aos livros didáticos, procuramos também analisá-los de modo mais profundo. Selecionamos dez obras, sendo nove delas escolhidas dentre as mais citadas nos programas das disciplinas relacionadas à Teoria dos Números, nos currículos da licenciatura em matemática pesquisados; e que duas são de autores estrangeiros, consultadas na língua original, citadas, inclusive, pelos autores dos livros nacionais. Apenas um dos livros não faz parte da lista dos indicados nos programas de ensino, pois foi lançado em 2005, escolhido
pelo fato de o autor destiná-lo explicitamente para a formação de professores e por ser um livro mais recente.
As obras foram divididas em dois grupos para a análise. O primeiro grupo é constituído de seis delas, das quais realizamos uma análise mais global, a partir do prefácio, do índice ou sumário e dos capítulos referentes aos naturais e aos inteiros, no caso dos livros de Álgebra, e os capítulos referentes à divisibilidade nos de Teoria dos Números. Posteriormente, consideramos um segundo grupo constituído de quatro livros, os mais citados nos currículos dos cursos de licenciatura pesquisados, para uma análise mais detalhada de alguns temas, aqueles que têm uma relação mais estreita com a matemática da escola básica. Assim, analisamos os capítulos referentes à introdução dos números inteiros, ao tratamento da recorrência e da indução matemática e ao estudo da divisibilidade.
Tanto para analisar as propostas curriculares, como os livros didáticos, usamos a
análise de conteúdos, conforme caracterizada por Bardin (1977, p. 38 e 46), como um conjunto de procedimentos sistemáticos e objetivos de descrição do conteúdo das mensagens (...), para evidenciar os indicadores que permitem inferir sobre uma realidade que não a da mensagem.
A partir dos resultados da investigação exploratória inicial, detectamos a necessidade de clarear alguns aspectos referentes: ao papel da Teoria dos Números nos currículos; às relações entre Álgebra, Aritmética e Teoria dos Números; e à necessidade de buscar elementos para re-significar o estudo da Teoria dos Números na licenciatura, de modo a constituir uma disciplina que poderia ser denominada Teoria Elementar dos Números. Optamos, então, por realizar uma entrevista semi-estruturada com pesquisadores em Teoria dos Números, com educadores matemáticos envolvidos com educação algébrica e com professores da disciplina.
Segundo Laville & Dionne, a entrevista semi-estruturada consiste em uma série de
perguntas abertas, feitas verbalmente em uma ordem prevista, mas na qual o entrevistador pode acrescentar perguntas de esclarecimento.(LAVILLE & DIONNE, 1999, p.188)
Preparamos, então, três questões abertas, direcionadoras da entrevista, com base nos elementos levantados na pesquisa documental e no referencial teórico.
Realizamos, em seguida, a análise a priori das questões (Anexo1). Segundo Machado (1999), a análise a priori tem um caráter descritivo e também previsivo, e é concebida como uma análise de controle de sentido, para que os objetivos de cada questão possam ser atingidos.
Para a seleção dos entrevistados, realizamos uma busca na Internet, em instituições tradicionais de pesquisa em matemática, para consultar nomes de pesquisadores e professores com produção cientifica na área de Teoria dos Números. Selecionamos três professores, doutores em Teoria dos Números, que atuam na graduação e em programas de pós-graduação, orientando trabalhos no campo e que são também autores de livros didáticos sobre assuntos da área. Além destes, escolhemos quatro professores e pesquisadores em Educação Matemática envolvidos de alguma forma com Teoria dos Números: um doutor em Álgebra e autor de livro didático que trata de conteúdos de Teoria dos Números; outro, doutor em Educação Matemática, com mestrado em Teoria dos Números; um doutor em Educação, envolvido com educação algébrica e formação de professores; e, ainda, um professor doutor em matemática, atualmente pesquisando em ensino de matemática e lecionando essa disciplina na licenciatura. Os sete convidados aceitaram prontamente a colaborar com o estudo.
As entrevistas foram realizadas no local de trabalho dos entrevistados (exceto duas), para os quais nos deslocamos para a aplicação do instrumento de pesquisa. Foram gravadas em cassete, tendo uma duração de 30 a 40 minutos cada. A transcrição das entrevistas foi feita integralmente, sendo que apenas um dos entrevistados solicitou fazer a revisão do texto transcrito.
Após esse trabalho, iniciamos a análise de conteúdo, conforme descrita por Lüdke & André (1986) e Laville & Dionne (1999) e Bardin (1977), buscando decompor o material, para depois recompô-lo a fim de fazer surgir a sua significação. Após várias leituras de cada entrevista, começamos o trabalho de codificação, procurando identificar as unidades de
análise, entendidas como unidades de sentido ou de contexto11
além das unidades de registro12, definidas por tema.
Assim, optamos por analisar, primeiro, individualmente cada entrevista, para procurar, conforme indicam Lüdke e André, fazer a consideração tanto do conteúdo manifesto quanto
do conteúdo latente do material ( LÜDKE & ANDRÉ, 1986, p.48), sem perder a visão de
conjunto do pensar do entrevistado, isto é, dentro do contexto próprio daquele que fala. Finalmente, fizemos uma recomposição dos discursos nas categorias, tentando estabelecer
11
Segundo Bardin (1977, p. 107), unidade de contexto serve de unidade de compreensão para codificar a unidade de registro. (...) A referência ao contexto é muito importante para a análise avaliativa e para a análise de contingência.
12Unidade de registro é a unidade de significação a codificar e corresponde ao segmento de conteúdo a considerar como
unidade de base, visando a categorização (...). Fazer uma análise temática, consiste em descobrir os ‘núcleos de sentido’ que compõem a comunicação e cuja presença, ou freqüência de aparição podem significar alguma coisa para o objetivo analítico
relações entre as unidades de análise e buscando interpretá-los à luz do referencial teórico escolhido.
De acordo com os objetivos do trabalho, da entrevista e, especificamente, com os objetivos de cada uma das questões direcionadoras, as categorias foram definidas na análise a
priori, não de maneira rígida, mas com a abertura necessária para novas categorias que
poderiam surgir, a partir da leitura mais aprofundada do discurso dos entrevistados. Desse modo, podemos dizer que a opção foi por um modelo misto de construção das categorias analíticas, conforme classificação de Laville & Dionne, pois, levando em consideração todos os elementos que se mostraram significativos, pudemos fazer uma subdivisão de categorias, o que permitiu explorar o material de maneira mais completa e aprofundada.
Do discurso dos entrevistados emergiram potencialidades, dilemas e tensões relacionadas à Teoria dos Números, como saber a ensinar, o que nos conduziu a uma busca bastante ampla na literatura em Educação Matemática, de referenciais teóricos, de pesquisas e de trabalhos, envolvendo aspectos ligados ao argumentar, ao demonstrar e ao provar.
É importante considerar que essa trajetória não foi linear como apresentada, mas incluiu muitas idas e vindas, formulações e reformulações das questões, dos objetivos e das análises.