Videre forskning

A matriz 𝑄 que reflete o caso real, permite realizar a previsão da curva média do desempenho da linha ao longo dos próximos 200 meses. A intenção passa por recorrer ao último registo de inspeções realizadas, que correspondem a um determinado índice de condição e fazendo a sua média obtém-se o índice de condição inicial. Através do modelo de Markov prevê-se o índice de condição para o horizonte de 200 meses. No caso geral, as inspeções são realizadas em datas variadas. No entanto, neste caso, não é necessário atualizar as datas de inspeção, visto que não havendo informação relativamente à data da sua realização, considera- se que foi realizada as últimas inspeções à linha na mesma data.

Uma vez que o índice de condição é variável, o vetor do índice de condição inicial também o será. Determina-se pelas equações 3.27, 3.33 e 3.35 o índice de condição para todos os troços

da linha e no seu seguimento retira-se a média e o desvio padrão do caso real resultando nas Figuras 3.12 e 3.13.

Na Figura 3.12 observa-se que os 150 troços têm um índice inicial médio para parâmetro alinhamento de 1,473 que, por coincidência, é o mesmo para o parâmetro o nivelamento longitudinal (Figura 3.13).

Constata-se nas duas Figuras 3.12 e 3.13 que a curva de deterioração média vai gradualmente e continuamente crescendo ao longo do período em análise. Nota-se, na Figura 3.12, que por volta do mês 70, a curva começa a ficar tangente à linha, correspondendo ao facto de se aproximar do pior índice de condição, 5.

Como é sabido, o desvio padrão mede a dispersão dos dados relativamente à média. O gráfico revela uma tendência a decrescer continuamente, aproximando-se de zero no final do tempo de análise. Significa que a grande maioria da linha apresenta no mês 200, um índice de condição próximo do pior índice, 5.

Figura 3.12 – Previsão do desempenho para o parâmetro do alinhamento.

Figura 3.13 – Previsão do desempenho para o parâmetro do nivelamento longitudinal.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 In d ice d e Co n d ição Tempo (meses) Curva de deterioração média Desvio Padrão 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 In d ice d e Co n d ição Tempo (meses) Curva de deterioração média Desvio Padrão

A curva de deterioração média da Figura 3.13 revela um menor aumento do índice de condição quando comparada com a da Figura 3.12 devendo-se ao tal, facto das taxas de transição 𝜃₄ e 𝜃₅ terem um valor muito baixo, comparados com os utilizados no alinhamento. A curva tenderia a acabar da mesma forma que a Figura 3.12, após um tempo de, aproximadamente, 400 meses.

3.5 Conclusões

Neste capítulo descreveram-se os processos de Markov com o objetivo de realizar um estudo de previsão do desempenho de uma linha férrea existente, baseado em resultados passados de inspeções feitas num caso real. Foi também proposto um índice de condição baseado nas duas classificações existentes, através de limites de desvio padrões com base na velocidade de funcionamento da linha.

Relataram-se os pormenores das propriedades da metodologia Markoviana e como as matrizes de Markov podem indicar previsões sobre o índice de condição futuro da linha férrea. Os modelos de Markov podem ser definidos em tempo discreto e contínuo. Numa análise em tempo discreto previu-se a evolução de uma linha com índice inicial igual a 0 tendo atingido, em 24 meses, o índice final de 1,487. A evolução da deterioração da linha permitiu uma primeira aproximação gráfica acerca da mesma segundo um índice de condição. No entanto o modelo em tempo discreto pode não ser o mais adequado na previsão da deterioração. Daí, o estudo dos processos em tempo contínuo, com a obtenção das taxas de transição (𝜃_𝑖) pela

equação 3.26. Pela maximização da verosimilhança de acordo com a equação 3.32 obteve-se novos 𝜃_𝑖, aproximando-se dos valores reais . Certificou-se a qualidade do modelo obtido pelo teste do Qi-Quadrado. Verificou-se que, embora não sendo igual à realidade este era válido.

Foi também analisado o tempo de permanência dos diferentes índices de condição. Estes tempos 𝑇_𝑖 permitem definir um tempo no qual o índice de condição permanecerá com o mesmo valor. Estudou-se a evolução das probabilidades de transição 𝑝𝑖𝑗 ao longo do tempo,

observando-se a evolução das probabilidades dos índices consoante o tempo e o índice inicial 𝑖. Identificando-se a diferença de evolução no tempo dessas probabilidades.

Por fim, o uso do processo de Markov permitiu a previsão da curva média sobre o caso real, com índice inicial 1,473. Estudaram-se ambos os parâmetros geométricos, verificando-se diferentes desenvolvimentos das curvas médias devido as diferentes taxas de transição, sendo

agora possível acrescentar ações de manutenção ou reparação no modelo para analisar o seu efeito no tempo. Estudar o efeito destas ações permitirá estabelecer uma possível estratégia de manutenção da linha dependendo dos objetivos estabelecidos.

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Capítulo 4

Modelo de Markov Oculto

4.1 Introdução

No sentido de abordar um novo modelo de desempenho para a linha férrea, este capítulo descreve um modelo estatístico, nomeadamente, os modelos de Markov ocultos (Hidden Markov Model – HMM). Os HMM podem ser vistos como um modelo alternativo ao anterior.

Durante os últimos 15 anos, os HMMs têm sidos aplicados em várias áreas, incluindo reconhecimento de voz, a modelação de linguagens, o reconhecimento de palavras manuscritas, a verificação on-line de assinaturas, a aprendizagem de ações humanas e a deteção de falhas em sistemas dinâmicos [48].

Os HMM procuram encontrar padrões em sequências de observações. A partir de sequências de estados observáveis, o modelo estabelece relações com os estados pretendidos, os quais não são diretamente observáveis [49].

Os HMM geram um processo “duplamente estocástico” no qual os dados observados são resultado de uma transição num processo não observável (sequência de índices), por uma função que produz o processo observável. O modelo do processo não observável consiste num conjunto de índices ligados por transições, cada uma descrita por uma probabilidade de transição que estabelece a probabilidade de se efetuar uma transição de um índice para outro [50].

Por sua vez, o modelo do processo observável é descrito por uma função densidade de probabilidade de saída que define a probabilidade condicional de se observar um conjunto de características da linha férrea [50].

A existência de uma sequência de índices e de um processo não observável, tornam o HMM um modelo com duas camadas estocásticas. Uma camada semelhante à cadeia de Markov de primeira ordem, que contudo, não é diretamente observável, pois, cada índice é uma possível

observação. A segunda camada estocástica é um conjunto de probabilidades que indica, para cada índice, as probabilidades de emissão de cada observação do modelo [51].

Como já referido, a sequência de índices num modelo, dada uma sequência de observações, não é observada pelo observador. Ou seja, existindo uma sequência de observações, a sequência de índices do modelo para gerar essa sequência não é conhecida. Por isso, o modelo é intitulado como oculto [51].

Os modelos HMM baseiam-se num conjunto de índices conectados por transições com probabilidades. Os processos observáveis consistem num conjunto de observações, podendo ser emitidos por cada índice de acordo com a função de densidade de probabilidade [48].