6 Vedlegg til søknaden
6.7 Vedlegg 7 – Oversikt over råka grunneigarar og rettshavarar
ridade
Nesta sec¸c˜ao estudaremos o espa¸co das ´orbitas de um sistema dinˆamico e definiremos a propriedade de regularidade. Veremos que em um sistema dinˆamico com espa¸co de fase regular, a propriedade de regularidade equivale a dizer que o espa¸co das ´orbitas ´e regular. Usaremos o conceito de redes, que generaliza sequˆencias em espa¸cos topol´ogicos, para ent˜ao definirmos o conjunto limite prolongacional positivo e negativo. Por fim veremos como a propriedade de regularidade se relaciona com os sistemas dinˆamicos dispersivos. Os resultados apresentados nessa sec¸c˜ao e na Sec¸c˜ao 4.4 podem ser encontrados em [7]. Nesta se¸c˜ao, a menos que digamos o contr´ario, X ser´a assumido um espa¸co topol´ogico. Estudaremos primeiramente o espa¸co das ´orbitas.
Defini¸c˜ao 4.41. Dado um sistema dinˆamico (X, R, π), definimos a rela¸c˜ao ”≺”em X da seguinte forma: dados x, y ∈ X, diremos que x ≺ y se, e somente se, x ∈ γ(y).
A rela¸c˜ao acima definida ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em X. De fato, ´e claro que x ∈ γ(x) para todo x ∈ X, ou seja, x ≺ x para todo x ∈ X, donde ≺ ´e reflexiva. Suponhamos que dados x, y ∈ X, tenhamos x ≺ y, ou seja, x ∈ γ(y). Desta forma, existe t ∈ R tal que x = yt, mas assim y = x(−t), e portanto y ∈ γ(x), isto ´e, y ≺ x. Agora, dados x, y, z ∈ X tais que x ≺ y e y ≺ z existem, t1, t2 ∈ R de forma que x = yt1
e y = zt2. Assim x = (zt2)t1 = z(t1+ t2) donde x ∈ γ(z), ou seja, x ≺ z, o que prova
que ≺ ´e uma rela¸c˜ao transitiva. Desta forma, obtemos o seguinte resultado.
Proposi¸c˜ao 4.42. Se (X, R, π) ´e um sistema dinˆamico, ent˜ao ≺ ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em X.
As classes de equivalˆencia dadas pela rela¸c˜ao acima s˜ao precisamente as ´orbitas do sistema dinˆamico. O espa¸co quociente, ou seja, o conjuntos formado pelas ´orbitas do sistema dinˆamico X, ser´a denotado por X/C e ser´a chamado de espa¸co das ´orbitas. Como sabemos uma rela¸c˜ao de equivalˆencia induz uma topologia no espa¸co quociente. Daqui em diante, assumiremos que o espa¸co das ´orbitas est´a munido com a topologia quociente, isto ´e, a topologia induzida pela aplica¸c˜ao e : X→X/C, dada por e(x) = γ(x). Por conveniˆencia, denotaremos a trajet´oria γ(x) por xR.
Lema 4.43. A aplica¸c˜ao e : X→X/C, dada por e(x) = xR, ´e cont´ınua, aberta e sobre- jetiva.
Demonstra¸c˜ao. Observe que e ´e cont´ınua, por defini¸c˜ao, e ´e imediato verificar que e ´e sobrejetiva. Para mostrarmos que e ´e aberta, dado A ⊂ X aberto, temos que e−1(e(A)) =
[
t∈R
At. Assim a imagem inversa de e(A) ´e aberto em X, e portanto, e(A) ´e aberto em X/C. Logo e ´e uma aplica¸c˜ao aberta.
Apresentaremos agora a defini¸c˜ao da propriedade de regularidade em um sistema dinˆamico.
Defini¸c˜ao 4.44. Um sistema dinˆamico (X, R, π) possui a propriedade de regula- ridade se para cada ponto x ∈ X e vizinhan¸ca invariante U contendo x, existe uma vizinhan¸ca invariante V contendo x tal que x ∈ V ⊂ U .
A propriedade de regularidade est´a relacionada com o espa¸co das ´orbitas da seguinte forma.
Proposi¸c˜ao 4.45. Seja (X, R, π) um sistema dinˆamico. Ent˜ao:
1. O sistema dinˆamico possui a propriedade de regularidade se, e somente se, o espa¸co das ´orbitas ´e regular.
2. Se (X, R, π) ´e paraleliz´avel com espa¸co de fase regular, ent˜ao o sistema dinˆamico possui a propriedade de regularidade.
Demonstra¸c˜ao. Mostraremos (1). Suponhamos primeiramente que (X, R, π) possui a propriedade de regularidade, provaremos que X/C ´e regular. Sejam x ∈ X/C e U′
uma vizinhan¸ca invariante de x em X/C. Ent˜ao e−1(U′
) ´e aberto de X contendo a ´orbita xR = e−1(x). Note ainda que e−1(U′
) ´e invariante, j´a que dado um elemento y ∈ e−1(U′
), ent˜ao e(y) ∈ U′
, mas assim yR = γ(y) ⊂ e−1(U′
), ou seja, γ(e−1(U′
)) ⊂ e−1(U′
). Desta forma, e−1(U′
) ´e uma vizinhan¸ca invariante contendo x. Como o sistema dinˆamico possui a propriedade de regularidade, existe uma vizinhan¸ca invariante V de X, tal que x ∈ V ⊂ e−1(U′
). Logo e(x) ∈ e(V ) ⊂ U′
= e(e−1(U′
)). Para concluirmos que X/C ´e regular, resta provar que e(V ) ´e fechado em X/C. Afirmamos que se A ⊂ X ´e invariante, ent˜ao e−1(e(A)) = A. Com efeito, dado y ∈ e−1(e(A)), temos e(y) ∈ e(A),
ou seja, yR ⊂ A e como A ´e invariante, vem que y ∈ A. Agora se y ∈ A, temos yR ⊂ A, pois A ´e invariante, donde e(y) ∈ e(A), isto ´e, y ∈ e−1(e(A)), e assim segue a
igualdade. Com o mostrado acima, temos que e−1(e(V )) = V , donde segue que e(V ) ´e
fechado em X/C, pois V ´e fechado em X, o que conclui a prova de que X/C ´e regular. Reciprocamente, suponhamos que X/C ´e regular e considere x ∈ X e uma vizinhan¸ca U invariante de x. Queremos mostrar que X possui a propriedade de regularidade, ou seja, existe uma vizinhan¸ca V de x invariante, tal que x ∈ V ⊂ U . Como U ´e aberto e cont´em x, vemos que e(U ) ´e aberto, j´a que e ´e uma aplica¸c˜ao aberta, e cont´em e(x) = x. J´a que X/C ´e regular, existe um aberto V de X/C tal que x ∈ V ⊂ e(U ). Assim, x ∈ e−1
(V ) ⊂ e−1
(e(U )) = U , esta ´ultima igualdade segue do fato de que U ´e invariante e o mostrado acima, o que conclui a prova de que (X, R, π) possui a propriedade de regularidade.
Provaremos agora (2). Suponhamos ent˜ao que (X, R, π) ´e paraleliz´avel com X regular. Mostraremos que o sistema dinˆamico possui a propriedade de regularidade. Uma vez que o sistema dinˆamico ´e paraleliz´avel, pelo Teorema 3.18, existe uma sec¸c˜ao S e uma aplica¸c˜ao cont´ınua τ : X→R. Defina g : X→S por g(x) = xτ (x). ´E imediato verificar a continuidade de g. Agora considere x ∈ X e U uma vizinhan¸ca invariante de x. Queremos mostrar que existe V aberto e invariante tal que x ∈ V ⊂ U . Com efeito, podemos supor sem perda de generalidade que x ∈ S. Assim como X ´e regular, seja V tal que x ∈ V ⊂ U . Note que g−1(V ) 6= ∅, pois x ∈ g−1(V ) e como V ´e fechado em S, temos
g−1(V ) fechado em X. Al´em disso g−1(V ) ´e invariante, j´a que dado y ∈ g−1(V ) e t ∈ R,
temos deste modo g(y) = yτ (y) ∈ V ⊂ S, mas como g(yt) = yt(τ (yt)) = y(t+τ (yt)) ∈ S segue que τ (y) = t + τ (yt), e assim (yt)τ (yt) ∈ V , isto ´e, g(yt) ∈ V . Desta forma, x ∈ g−1(V ) ⊂ g−1(V ) ⊂ U e g−1(V ) ´e a vizinhan¸ca desejada.
Come¸caremos agora a estudar os sistemas dinˆamicos inst´aveis definidos no cap´ıtulo anterior. Para isso precisaremos definir os conjuntos limites prolongacionais. Entretanto, como o leitor percebeu, usamos sequˆencias para definir os conjuntos limites prolongaci- onais. Em espa¸cos topol´ogicos mais gerais tais defini¸c˜oes n˜ao fazem sentido, e por isso usaremos o conceito de rede que generaliza sequˆencia em espa¸cos topol´ogicos. Com o conceito de rede, podemos formalizar essas defini¸c˜oes.
Defini¸c˜ao 4.46. Definimos os conjuntos J+ e J−
x ∈ X, J+(x) = {y ∈ X; existem redes {x λ} em X e {tλ} em R, com xλ→x, tλ→ + ∞ e xλtλ→y}, J− (x) = {y ∈ X; existem redes {xλ} em X e {tλ} em R, com xλ→x, tλ→ − ∞ e xλtλ→y}.
Para cada x ∈ X, os conjuntos J+(x) e J−
(x) s˜ao chamados, respectivamente, conjunto limite prolongacional positivoe conjunto limite prolongacional ne- gativo.
A pr´oxima observa¸c˜ao tem o objetivo de formalizar alguns conceitos estudados no cap´ıtulo anterior para sistemas dinˆamicos em espa¸cos de Tychonoff.
Observa¸c˜ao 4.47. (1). Dado um sistema dinˆamico (X, R, π) em um espa¸co de Tycho- noff X, um ponto x ∈ X ser´a dito ponto errante se x /∈ J+(x).
(2). Um sistema dinˆamico (X, R, π) em um espa¸co de Tychonoff X ser´a chamado de completamente inst´avel se para todo x ∈ X, temos x /∈ J+(x). O sistema dinˆamico
(X, R, π) ´e dispersivo se para todo x ∈ X tivermos que J+(x) = ∅.
´
E imediato da defini¸c˜ao que um sistema dinˆamico dispersivo ´e completamente inst´avel. A rec´ıproca a este resultado ´e verdadeira quando o sistema dinˆamico possui a propriedade de regularidade e o espa¸co de fase ´e Hausdorff, como veremos agora.
Teorema 4.48. Seja (X, R, π) um sistema dinˆamico completamente inst´avel com a pro- priedade de regularidade e espa¸co de fase Hausdorff. Ent˜ao (X, R, π) ´e dispersivo e X/C ´e Hausdorff. Reciprocamente, se X ´e localmente compacto, ent˜ao dispersividade implica que o sistema dinˆamico possui a propriedade de regularidade.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que o sistema dinˆamico (X, R, π) ´e completamente inst´avel, possui a propriedade de regularidade e o espa¸co de fase ´e Hausdorff. Mostraremos que o sistema dinˆamico ´e dispersivo, ou seja, J+(x) = ∅ para todo x ∈ X. Observe primeira- mente que Λ+(x) = ∅ = Λ−
(x) para todo x ∈ X e portanto o sistema dinˆamico ´e Poisson inst´avel, isto ´e, x /∈ Λ+(x) e x /∈ Λ−
(x) para todo x ∈ X. Com efeito, se existe x ∈ X com y ∈ Λ+(x), ent˜ao y ∈ J+(y) pelo Teorema 2.12, o que n˜ao pode ocorrer. Logo Λ+(x) = ∅ para todo x ∈ X. De maneira an´aloga mostramos que Λ−
(x) = ∅. Desta forma, se para algum x ∈ X tem-se que y ∈ J+(x), ent˜ao observe que y /∈ γ(x), pois
caso contr´ario x ∈ J+(x). Ainda γ+(y) = γ+(y) ∪ Λ+(y) = γ+(y). Logo x ∈ X\γ+(y)
´e um aberto invariante e por hip´otese existe uma vizinhan¸ca invariante V de x tal que x ∈ V ⊂ X\γ+(y). Desta maneira como V ´e fechado, invariante e cont´em x, segue que
D+(x) ⊂ V , donde J+(x) ⊂ D+(x) ⊂ V , isto ´e, y ∈ V o que ´e um absurdo! Finalmente, como X possui a propriedade de regularidade, temos que X/C ´e regular e portanto X/C ´e Hausdorff. Reciprocamente, suponhamos X localmente compacto, (X, R, π) dispersivo. Mostremos que o sistema dinˆamico possui a propriedade de regularidade, isto ´e, para cada x ∈ X e uma vizinhan¸ca invariante U de x, existe uma vizinhan¸ca invariante V tal que x ∈ V ⊂ U . Sejam x ∈ X e U uma vizinhan¸ca invariante de x. Como x ´e
localmente compacto, existe um aberto V tal que V ´e compacto e x ∈ V ⊂ U . Uma vez que V R = [
t∈R
V t, vemos que V R ´e aberto e invariante, al´em disso V R ´e fechado
em X, pois o sistema dinˆamico ´e dispersivo. Assim V R ´e a vizinhan¸ca desejada, como quer´ıamos.
Observe que a hip´otese de localmente compacto ´e essencial na rec´ıproca do teorema acima. Considere o sistema dinˆamico dado no Exemplo 3.15. O espa¸co de fase n˜ao ´e localmente compacto. Tal sistema dinˆamico ´e dispersivo, mas n˜ao possui a propriedade de regularidade.