´
E intuitivamente evidente que os n´umeros racionais podem ser representados por pontos numa recta, e a determina¸c˜ao do ponto que corresponde a um racional dado ´e poss´ıvel, desde que fixemos dois pontos arbitr´arios que repre- sentem os racionais 0 e 1. Os Gregos da Antiguidade Cl´assica descobriram um fen´omeno interessante relacionado com esta associa¸c˜ao entre n´umeros ra- cionais e pontos duma recta: se ´e verdade que qualquer racional determina um ponto, ´e igualmente verdade que existem pontos que n˜ao correspondem a n´umeros racionais. Pensaram os gregos que este fen´omeno representava um erro dos deuses, j´a que os racionais (um subproduto dos naturais) eram de algum modo insuficientes, e na realidade tentaram durante algum tempo ocultar este facto do conhecimento geral, aparentemente com medo da c´olera dos mesmos deuses. Sob este aspecto, os Gregos enganaram-se, e, como ve- remos nesta sec¸c˜ao, os n´umeros reais, que efectivamente descrevem todos os pontos da recta, podem ser definidos em termos dos racionais, e portanto (pelo menos indirectamente) a partir dos naturais.
Em linguagem moderna, a deficiˆencia b´asica do corpo dos racionais exprime-se em termos da no¸c˜ao de sucess˜ao de Cauchy. Relembramos aqui a terminologia que deve ser conhecida da An´alise, adaptada ao caso particular dos racionais.
Defini¸c˜ao 4.3.1. Seja x = (x1, x2, . . . ) uma sucess˜ao em Q. A sucess˜ao diz-se:
(a) limitada, se existe M ∈ Q tal que
4.3. N´umeros Reais e Complexos 187
(b) convergente em Q, se existe l∈ Q tal que
∀ε ∈ Q+,∃N ∈ N : n ≥ N =⇒ |xn− l| < ε. (c) de Cauchy, ou fundamental, se
∀ε ∈ Q+,∃N ∈ N : n, m ≥ N =⇒ |xn− xm| < ε.
Obviamente, se uma sucess˜ao x = (x1, x2, . . . ) ´e convergente com limite l, ent˜ao escrevemos xn → l, ou ainda limn→∞xn = l. Temos tamb´em os resultados usuais de soma, produtos, diferen¸cas e quocientes de sucess˜oes convergentes. N˜ao ´e dif´ıcil mostrar que, no corpo Q,
(i) Qualquer sucess˜ao convergente ´e fundamental, e (ii) Qualquer sucess˜ao fundamental ´e limitada.
Por outro lado, existem sucess˜oes fundamentais que n˜ao s˜ao convergentes, como verificamos a seguir, atrav´es de um exemplo simples.
Exemplo 4.3.2.
Considere-se a fun¸c˜ao f : Q → Q definida por f(x) = x2
+2
2x . Se x > 0,
notamos que f (x) > 1, porque
(x− 1)2+ 1 > 0 =⇒ x2− 2x + 2 > 0, =⇒ x2+ 2 > 2x,
=⇒ x
2+ 2
2x > 1.
Sendo x, y > 0, observamos igualmente que
f (x)− f(y) = (xy− 2)(x − y)2xy =xy− 2 xy
x− y 2 .
Se al´em disso x, y≥ 1, ´e f´acil verificar que −1 ≤ xyxy−2 < 1, pois g(z) = 1−
2 z
´e crescente para z > 0, donde
|f(x) − f(y)| ≤ 12|x − y|.
Seja ent˜ao{xn}n∈Na sucess˜ao em Q definida por
x1= 1, e xn+1= f (xn) se n∈ N. Temos para n > 1 |xn+1− xn| = |f(xn)− f(xn−1)| ≤ 12|xn− xn−1|, e portanto |xn+1− xn| ≤ 1 2n−1|x2− x1|.
Deixamos para os exerc´ıcios, verificar que para m > n temos
|xm− xn| ≤ 1
2n−2|x2− x1|,
donde conclu´ımos que a sucess˜ao {xn}n∈N´e fundamental.
Apesar de fundamental, esta sucess˜ao n˜ao ´e convergente em Q. Na realidade,
temos
xn+1= f (xn) =⇒ 2xn+1xn= x2n+ 2,
e, portanto, se xn → x, ent˜ao 2x2= x2+ 2, ou x2 = 2, equa¸c˜ao que n˜ao tem
solu¸c˜oes em Q.
Embora a sucess˜ao do exemplo anterior n˜ao convirja em Q, obviamente converge em R para o irracional √2. De um modo geral, sabemos que qualquer sucess˜ao fundamental em Q converge para um n´umero real, que pode ou n˜ao ser irracional. Do ponto de vista desta sec¸c˜ao, que se destina exactamente a definir os n´umeros reais, isolamos a seguinte ideia b´asica:
• Qualquer sucess˜ao de Cauchy em Q determina um n´umero real5. Bem entendido, sucess˜oes de Cauchy distintas podem determinar o mesmo n´umero real, o que ocorre exactamente quando as duas sucess˜oes tˆem o mesmo limite, i.e., quando a diferen¸ca das duas sucess˜oes converge para zero. Por outras palavras:
• As sucess˜oes de Cauchy {xn}n∈N e{yn}n∈N determinam o mesmo real se e s´o se (xn− yn)→ 0.
Definindo duas sucess˜oes de Cauchy, {xn}n∈N e{yn}n∈N, como equivalentes se (xn− yn)→ 0, a ideia central que usaremos para definir os reais a partir dos racionais ´e a de introduzir os n´umeros reais como classes de equivalˆencia de sucess˜oes de Cauchy em Q.
Para explorarmos em pormenor estas ideias6, necessitamos da seguinte proposi¸c˜ao que na realidade as enquadra como um caso particular na teoria desenvolvida na sec¸c˜ao anterior. A sua demonstra¸c˜ao ´e um simples exerc´ıcio. Teorema 4.3.3. Seja A o conjunto das sucess˜oes racionais. Ent˜ao:
(i) A com as opera¸c˜oes de soma e produto usuais para sucess˜oes ´e um anel.
5Compare-se esta observa¸c˜ao com a que fizemos a prop´osito da defini¸c˜ao dos n´umeros
racionais a partir dos inteiros: qualquer par (m, n) de inteiros com n 6= 0 determina um n´umero racional.
6Este m´etodo de defini¸c˜ao dos n´umeros reais deve-se a Georg Cantor (1845-1918),
matem´atico alem˜ao que descobriu igualmente a moderna Teoria dos Conjuntos, e criou a teoria dos n´umeros “transfinitos”.
4.3. N´umeros Reais e Complexos 189
(ii) O subconjunto B ⊂ A formado pelas sucess˜oes de Cauchy em Q ´e um subanel de A.
(iii) O conjunto I formado pelas sucess˜oes em Q que convergem para 0 ´e um subanel de A e ideal de B.
Se x, y ∈ B s˜ao sucess˜oes de Cauchy em Q, ´e claro que x e y determinam o mesmo n´umero real se e s´o se x−y converge para 0, i.e., se e s´o se x−y ∈ I. Temos portanto
Defini¸c˜ao 4.3.4 (Cantor). O anel B/I designa-se por R. Os seus elemen- tos (que s˜ao classes de equivalˆencia de sucess˜oes de Cauchy em Q) dizem-se n´umeros reais.
Deve ser claro que o anel R ´e uma extens˜ao do anel Q, j´a que, dado qualquer racional q ∈ Q, podemos formar a sucess˜ao constante q dada por qn = q para qualquer n ∈ N (obviamente uma sucess˜ao de Cauchy), e a aplica¸c˜ao ι : Q → R dada por ι(q) = q ´e um homomorfismo injectivo. Observamos tamb´em que o zero de R ´e a classe de equivalˆencia da sucess˜ao identicamente nula (o ideal I), e a sua identidade ´e a classe de equivalˆencia da sucess˜ao identicamente igual a 1. Naturalmente, qualquer sucess˜ao de racionais convergente para 0 ´e um representante de I = 0, assim como qualquer sucess˜ao convergente para 1 ´e um representante de 1.
Para verificar que R ´e um corpo (o que equivale a provar que I ´e um ideal maximal de B), ´e necess´ario mostrar que, se x∈ R − {0} ent˜ao existe y∈ R tal que xy = 1. Directamente em termos de sucess˜oes de Cauchy em Q, o resultado a provar ´e o seguinte:
Proposi¸c˜ao 4.3.5. Se x ´e uma sucess˜ao de Cauchy em Q que n˜ao converge para 0, existe uma sucess˜ao de Cauchy y em Q tal que xnyn→ 1.
Demonstra¸c˜ao. Sendo x uma sucess˜ao de Cauchy em Q que n˜ao converge para 0, deixamos como exerc´ıcio provar que existe um racional δ > 0 e um natural N ∈ N tal que |xn| > δ para n ≥ N.
Definimos a sucess˜ao y∈ Q por
yn=
0, se n≤ N 1
xn, se n > N.
Notamos que para n > N temos |yn| = |x1n| ≤ 1δ, donde obtemos para n, m > N que
|ym− yn| = |xn− xm| |xnxm| ≤
1
δ2|xn− xm| → 0, e y ´e uma sucess˜ao de Cauchy em Q.
Para provar que R ´e um corpo ordenado, ´e necess´ario definir um conjunto R+ tal que:
1. x, y∈ R+ ⇒ x+ y∈ R+ e xy ∈ R+;
2. Se x∈ R+, verifica-se exactamente um dos seguintes trˆes casos: x∈ R+ ou x = 0, ou − x ∈ R+.
Um momento de reflex˜ao sugere um procedimento natural a seguir:
Defini¸c˜ao 4.3.6. Se x ∈ R (donde x ´e uma sucess˜ao de Cauchy em Q), dizemos que x ´e positivo se e s´o se existe um racional ε > 0 e N ∈ N, tal que n > N ⇒ xn ≥ ε. Designamos o conjunto dos reais positivos por R+.
´
E muito simples demonstrar agora que Teorema 4.3.7. R ´e um corpo ordenado.
Note em particular que, de acordo com o que dissemos no Cap´ıtulo 2 sobre an´eis ordenados, podemos definir |x| = max{x, −x} para qualquer x∈ R.
Sendo q ∈ Q um racional, design´amos acima por q a sucess˜ao constante dada por qn = q para qualquer n∈ N (que como mencion´amos ´e uma su- cess˜ao de Cauchy), e por q o respectivo n´umero real (a classe de equivalˆencia determinada por q). Como tamb´em indic´amos acima, a fun¸c˜ao f : Q→ R dada por f (q) = q ´e um homomorfismo injectivo, e podemos por isso dizer que o corpo R ´e uma extens˜ao do corpo Q. Sabemos igualmente da An´alise que qualquer n´umero real pode ser aproximado a menos de um erro arbitra- riamente pequeno por um racional, i.e., que “Q ´e denso em R”, ideia que podemos agora formalizar e provar como se segue:
Proposi¸c˜ao 4.3.8. Se x e ε s˜ao reais e ε > 0, existe um racional q tal que |x − q| < ε.
Demonstra¸c˜ao. Come¸camos por escolher representantes de x e ε, i.e., su- cess˜oes de Cauchy no corpo dos racionais, x = (x1, x2, . . . ) e ε = (ε1, ε2, . . . ). Como ε > 0, existe um racional r > 0 tal que εn ≥ r para n ≥ N1, onde N1∈ N.
Obtemos agora o “racional” q pelo expediente de transformar a sucess˜ao xnuma sucess˜ao constante, usando um dos seus termos de ordem suficien- temente elevada. Como x ´e uma sucess˜ao de Cauchy, existe N2 ∈ N tal que
n, m≥ N2 =⇒ |xn− xm| < r 2.
Tomando q = xN2, que ´e evidentemente um n´umero racional, vemos que, se n ≥ max{N1, N2}, ent˜ao r
2 < xn− q ≤ 2r (porquˆe?), e portanto temos −r < x − q < r, o que implica |x − q| < ε.
4.3. N´umeros Reais e Complexos 191
As propriedades dos n´umeros reais, que s˜ao, bem entendido, a funda¸c˜ao sobre a qual se desenvolve a An´alise, s˜ao normalmente introduzidas por via axiom´atica: um breve exame dos axiomas utilizados revela que tradicional- mente contˆem apenas a afirma¸c˜ao de R ser um corpo ordenado, complemen- tada pelo chamado “Axioma do Supremo”, que ´e invocado, por exemplo, para provar que em R qualquer sucess˜ao de Cauchy ´e convergente, contrari- amente ao que vimos ser verdade em Q.
Nesta sec¸c˜ao, onde apresentamos uma defini¸c˜ao construtiva (por oposi¸c˜ao a axiom´atica) dos n´umeros reais, j´a mostr´amos que R ´e um corpo ordenado, restando-nos portanto demonstrar que o “Axioma do Supremo” ´e outra das consequˆencias da defini¸c˜ao apresentada. No entanto, preferimos passar di- rectamente a provar que em R todas as sucess˜oes de Cauchy s˜ao convergen- tes, o que deixamos como um exerc´ıcio um pouco mais ambicioso:
Teorema 4.3.9. Qualquer sucess˜ao de Cauchy em R ´e convergente7. A partir deste resultado, ´e poss´ıvel demonstrar com relativa facilidade que o “Axioma do Supremo” ´e v´alido em R.
Corol´ario 4.3.10 (Axioma do Supremo). Qualquer subconjunto majo- rado e n˜ao-vazio de R tem supremo.
Demonstra¸c˜ao. Supomos que A ⊂ R ´e n˜ao-vazio e majorado. Existe por- tanto um elemento M ∈ R tal que x ≤ M, para qualquer x ∈ A. Definimos agora uma sucess˜ao em R, seguindo um procedimento de bissec¸c˜ao sucessiva t´ıpico da An´alise Real. Come¸camos por tomar x1 = M .
Como A 6= ∅, existe a ∈ A e definimos a1 = a. ´E claro que a1 ≤ x1, e tomamos agora a2 = a1+x2 1. ´E ´obvio que o ponto a2 divide o intervalo [a1, x1] em dois subintervalos iguais. Temos agora duas alternativas:
(i) Se existe algum elemento x ∈ A tal que x > a2 (portanto, no subin- tervalo `a direita de a2), tomamos x2= x1;
(ii) Se x≤ a2 para qualquer x∈ A, tomamos x2= a2.
Deve agora mostrar que este procedimento aplicado sucessivamente conduz a uma sucess˜ao de Cauchy, que converge de acordo com o Teorema 4.3.9, e mostrar finalmente que o seu limite ´e o supremo do conjunto A.
Cumprimos assim o objectivo principal que nos propusemos nesta sec¸c˜ao: os n´umeros reais podem ser definidos a partir dos n´umeros racionais (e por- tanto, implicitamente, a partir dos n´umeros inteiros), e as suas propriedades s˜ao uma consequˆencia l´ogica dos axiomas para os inteiros apresentados no Cap´ıtulo 2.
A defini¸c˜ao dos n´umeros complexos a partir dos reais n˜ao oferece qual- quer dificuldade: como R ´e um corpo ordenado, ´e evidente que o polin´omio x2+ 1 ´e irredut´ıvel em R[x] (porquˆe?), e portanto o anel
C = R[x] hx2+ 1i
´e um corpo, dito corpo dos complexos. A unidade imagin´aria i ´e natu- ralmente a classe de equivalˆencia do polin´omio x, que satisfaz a identidade i2 = −1. N˜ao nos detemos a provar quaisquer outras propriedades ele- mentares de C, mas mencionamos de passagem que C ´e tamb´em um corpo completo.
Exerc´ıcios.
1. Seja A um anel ordenado. Prove que qualquer sucess˜ao convergente em A ´e fundamental, e qualquer sucess˜ao fundamental ´e limitada.
2. Prove que, se x1= 1, e xn+1= f (xn), onde f ´e a fun¸c˜ao do Exemplo 4.3.2,
ent˜ao|xn− xm| ≤ 2n−21 |x2− x1|.
3. Prove que as sucess˜oes de Cauchy em Q formam um subanel do anel das sucess˜oes em Q.
4. Prove que as sucess˜oes de racionais que convergem para 0 formam um ideal do anel das sucess˜oes de Cauchy em Q.
5. Seja x uma sucess˜ao de Cauchy em Q. Prove que as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:
(a) x n˜ao converge para 0;
(b) existe um racional ε > 0 e uma subsucess˜ao xnk tal que|xnk| ≥ ε para k
suficientemente grande;
(c) existe um racional d > 0 tal que|xn| ≥ d para n suficientemente grande.
6. Suponha que x, y∈ R.
(a) Prove que, se x, y∈ R+, ent˜ao x + y
∈ R+ e xy
∈ R+.
(b) Prove que os casos x∈ R+, x = 0, e−x ∈ R+ s˜ao mutuamente exclusi-
vos.
7. Demonstre o Teorema 4.3.9, e complete a demonstra¸c˜ao de Corol´ario 4.3.10. 8. Prove que o ordenamento dos reais ´e ´unico, i.e., mostre que, se R ´e um corpo
ordenado, ent˜ao x∈ R+ se e s´o se existe y
∈ R tal que x = y2.
9. Prove que R ´e n˜ao-numer´avel, e por isso ´e uma extens˜ao transcendente de Q (e um espa¸co vectorial de dimens˜ao infinita sobre Q).