Use case

Elegemos a representação gráfica no plano cartesiano de movimentos retilíneos utilizando a calculadora acoplada ao sensor como o conteúdo matemático para disparar a discussão entre as professoras participantes e a pesquisadora por duas razões: uma, porque o material faz partes das investigações do nosso grupo de pesquisa na PUC/SP, o G3, e a outra, pelo resultado que as pesquisas na área com alunos da educação básica estão apresentando (NEMIROVSKY, 2003; FRANT, 2001; ARZARELLO e ROBUTTI, 2001; ROBUTTI, 2003; SCHEFFER, 2002; e RADFORD et al, 2001, 2003).

A abordagem matemática do tema movimento está relacionada ao ensino de função, numa perspectiva que envolve, por exemplo, representações no plano cartesiano de movimentos corporais captados por sensores CBR, acoplados a calculadoras gráficas TI 83.

Geralmente, os conceitos físicos que fazem parte do currículo do último ano do ensino fundamental não são trabalhados a partir de exemplos de objetos em movimentos. O estudo de funções é introduzido para o aluno da educação básica pela representação algébrica por meio de um estudo analítico de fórmulas matemáticas, sem relações com a representação gráfica, muito menos de movimentos corporais com sensores. Os professores, só num outro momento, de forma isolada, colocam pares ordenados no plano cartesiano e a representação gráfica surge, introduzindo uma outra notação para as mesmas funções. A idéia de movimento não é associada aos traçados que aparecem no plano. Infelizmente o currículo da escola fundamental, em geral, não contempla o estudo do movimento de modo interdisciplinar, perdendo uma oportunidade de desenvolver um trabalho articulado com a Física.

Com a possibilidade que as tecnologias oferecem, o tema movimento vem sendo abordado no ensino de Matemática, por exemplo, por meio de práticas interdisciplinares com a utilização de calculadoras gráficas acopladas a sensores que captam os movimentos do corpo. Tais tecnologias facilitam a exploração de aspectos, como a visualização e a representação gráfica de diversos conceitos e processos na exploração matemática e, em especial, no estudo de funções

(BORBA e CONFREY, 1996; NEMIROVSKY, 1996). Esta possibilidade enriquece o procedimento tradicional da utilização das mídias como o lápis e o papel, na discussão de significados matemáticos.

A concepção sobre o uso da calculadora, que permeia o nosso trabalho de pesquisa, está fundamentada nos conceitos defendidos por Frant (2003). A autora traz a visão da tecnologia como uma “prótese”, que permite ao sujeito agir e falar sobre objetos matemáticos, consistindo num fazer diferente por meio da ação.

Em geral, pensa-se na prótese como algo ‘reparador’. Por exemplo, se uma pessoa tem problemas visuais pode-se pensar nas lentes de contato como próteses, elas ‘reparam’ a visão. No caso de um cego é difícil dizer onde termina sua mão, nos dedos ou na bengala. Neste caso fica mais claro que a bengala não é apenas um objeto auxiliador da visão, mas um artefato que modifica a percepção de quem o usa. Usarei aqui a idéia de que a prótese vai além de reparar uma falta. Um sujeito equipado com uma prótese (seja qual for) pode fazer coisas que não faria sem ela.(...) Mais ainda se entendo conhecimento como algo que é produzido pelo sujeito em uma atividade, entendo que a tecnologia não é só uma ferramenta, mas uma prótese; portanto vai além de fazer mais rápido ou melhor, vai para o fazer diferente7

Frant et al. (2000) afirma que muitos processos cognitivos se dão de forma inconsciente e apresenta como exemplo que a dificuldade relacionada à leitura dos gráficos está intimamente ligada à relação entre a noção de movimento ensinada na escola e aquela adquirida pelo corpo, ao se movimentar. A pesquisadora apropria-se de uma situação para exemplificar sua hipótese. Quando subimos uma escada, não necessitamos pensar em levantar um pé, colocá-lo em outro degrau, levantar o outro pé, e assim por diante. Subimos quase automaticamente. Se alguém nos perguntar que pé foi colocado no primeiro degrau, certamente não saberemos. Segundo a autora, algumas idéias sobre gráficos e fórmulas que descrevem movimento são produzidas a partir dessa movimentação corporal e incluídas em nosso repertório cognitivo.

Embora nosso enfoque seja o conhecimento profissional do professor, citaremos um artigo que traz resultados da pesquisa realizada por Arzarello e Robutti (2001) com alunos do 2o grau, com idade entre 14 e 15 anos, no intuito de mostrar que o uso da calculadora e o trabalho com estes alunos vem se mostrando eficientes para o desenvolvimento das idéias matemáticas. Vamos nos

basear nos resultados dessas pesquisas para o trabalho com as professoras. Embasados em pesquisas anteriores, os autores afirmam que algumas das mais sérias dificuldades dos estudantes em compreender o conceito de função estão relacionadas com a interpretação de gráficos, particularmente aqueles em que a variável dependente é o tempo.

No experimento citado foi usada calculadora gráfica acoplada ao sensor para produzir gráficos de movimentos realizados com o próprio corpo ou objetos. A proposta da atividade era construir o conceito de função de 1o e 2o graus, utilizando a calculadora e o sensor para modelar os movimentos uniforme e acelerado, respectivamente. O objetivo desta pesquisa foi analisar os processos cognitivos dos alunos envolvidos na construção dos significados para objetos matemáticos. A hipótese que os autores trabalharam foi a de que o significado de função é profundamente caracterizado pela mediação do artefato usado no processo de aprendizagem. Os alunos foram separados em pequenos grupos e tentaram reproduzir um gráfico na calculadora, através do movimento realizado com o corpo. Depois, foram feitas discussões em sala nas quais os estudantes descreveram a interpretação do gráfico.

Os autores concluem que conceitos científicos podem ser compreendidos pelos estudantes de maneira profunda, desde que possam vivenciar e compartilhar a gênese conceitual em contextos devidamente designados pelo professor.

Outros pesquisadores, como Nemirovsky (1996), e Scheffer (2002) desenvolveram estudos relacionados aos conceitos de distância, velocidade e aceleração, utilizando softwares e sensores como interfaces para trabalhar representação gráfica no plano cartesiano com os estudantes. Scheffer (2002) investiga como estudantes do ensino médio caracterizam e interpretam a representação gráfica cartesiana de movimentos com a utilização da informática: calculadora gráfica acoplada ao sensor. A autora critica a discussão do tema “movimento” no ensino fundamental, pois apenas ocorrepor meio de um estudo analítico de fórmulas matemáticas, sem estabelecer relação com o movimento que gera essa representação gráfica, perdendo a oportunidade de: analisar situações de variação do sinal dos coeficientes angular e linear, de reconhecer os

pontos críticos e, em outros tipos de função, como exponencial e logarítmica, a variação nos valores dos coeficientes, suas conseqüências e também a variação do sinal do termo independente, levando ao deslocamento da função num eixo.

Atividades são propostas a um grupo de alunos que fazem uso da calculadora e do sensor CBR para resolver situações problemas. Na maior parte das atividades, a pesquisadora optou por não usar a calculadora antes dos alunos representarem o gráfico do movimento que estavam fazendo, porque sua preocupação inicial estava voltada para analisar a primeira impressão dos registros dos alunos. Somente depois, eles realizavam a mesma atividade usando calculadora para comparar os resultados. Impressões sobre movimento, produção dos movimentos corporais com o CBR junto ao corpo e com o CBR fixo foram alguns dos tópicos observados pela pesquisadora.

Alguns resultados analisados, principalmente pelo discurso dos alunos apresentados por Scheffer (2002, p. 203), interessam-nos como referência para a realização do nosso trabalho com as professoras de Matemática, como, por exemplo:

x a representação gráfica de movimentos corporais, aliada à utilização de sensores inaugura novas formas de pensar o tema movimento, relacionando-o principalmente com o próprio corpo.

x a interação de alunos (professor) com a ferramenta (calculadora e sensor) na discussão do tema “movimento” permitiu vários movimentos corporais com os sensores e também a visualização em tempo real de gráficos cartesianos, abrindo oportunidades aos professores, no nosso caso, de constituírem de outro modo essa representação, produzindo significados matemáticos.

Os pesquisadores (FRANT, 2001; e RADFORD, 2001) têm se preocupado com a compreensão da relação que pode existir entre o movimento corporal por meio de ações provocadas pelo uso da calculadora com sensor, com a linguagem e a produção de significados matemáticos.

Utilizando calculadoras gráficas e sensores, trabalham o conceito de função, de modo que os envolvidos, ao se movimentarem, possam ver a

representação de seu movimento em tempo real no plano cartesiano. Consideram o uso de instrumentos como cruciais nas atividades de ensino, por realçarem habilidades e levantarem aspectos diferentes dos que captariam, sem a tecnologia, sobre o objeto matemático.

Os autores analisaram os gestos, as palavras, os traçados fundamentados nessas pesquisas que mostram a importância desses elementos na produção do conhecimento matemático: representação de gráficos como expressão algébrica. Os estudos apresentam, em comum, também a fundamentação teórica baseada em Lakoff e Nunez (2000).

Os resultados mostraram, por exemplo, que

x a representação gráfica de movimentos corporais com a utilização de sensores traz novas formas de pensar o tema movimento; e que

x os aspectos matemáticos explorados na discussão do tema movimento promoveram o pensar sobre variação, tempo e espaço.

No nosso caso, realizamos experiência semelhante com as professoras, pois acreditamos que, como as pesquisas mostram que os alunos, na sua grande maioria, não estão acostumados a interpretar os tipos de movimentos de objetos e movimentos do próprio corpo aos seus respectivos traçados correspondentes no plano cartesiano, as professoras de matemática também não o estão.

Pesquisadores como Robutti e Ferrara (2002) realizam experiências com alunos da escola secundária na Itália, utilizando calculadora acoplada ao sensor, para analisar a relação entre o movimento corporal realizado pelos alunos (caminhando com o sensor) e o desenho do gráfico espaço/ tempo obtido na tela da calculadora. Os resultados mostram que a tecnologia possibilita transições entre interpretações estáticas e dinâmicas dos gráficos espaço X tempo, produzindo significados sobre a combinação do corpo com o gráfico. Com a introdução das novas tecnologias na escola, uma nova realidade entra em cena: os gráficos traçados no computador são mais dinâmicos e mais flexíveis para os estudantes, possibilitando novas produções de significados.

O tema funções é introduzido no último ano do ensino fundamental na aula de matemática, enquanto o tema movimento retilíneo uniforme é trabalhado na

aula de ciências, são tratados de forma isolada por cada disciplina. Percebemos como o trabalho proposto pode possibilitar uma diversificação de espaços e evolução do modo de abordagem dos diferentes campos de conhecimento.