Como exemplo de pr´atico de obten¸c˜ao de solu¸c˜oes sim´etricas, consideramos um caso simples onde a velo- cidade tem forma linear c(x) = Ax + B. Temos os geradores
Lp=(Ax + B) ∂ ∂x + 1 2Au ∂ ∂u, (C.48) Lq=t(Ax + B) ∂ ∂x + 1 Aln(Ax + B) ∂ ∂t + 1 2tAu ∂ ∂u, (C.49) Lr= ∂ ∂t, Ls= u ∂ ∂u. (C.50)
Procuramos por solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de onda invariantes segundo uma classe de transforma¸c˜oes obtida quando tomamos os parˆametros, p = r = 0, q = 1, e s arbitr´ario. Ou seja, produzimos a transforma¸c˜ao cont´ınua
C.3 Solu¸c˜oes Por Similaridade 87
A equa¸c˜ao de onda mais simples neste caso ´e, tomando A = 1 e B = 0 x2uxx = utt. Impomos sua invariˆancia da equa¸c˜ao segundo a transforma¸c˜ao induzida pelo campo vetorial particular
v = 2xt ∂ ∂x + 2 ln(x) ∂ ∂t + u(t + 2s) ∂ ∂u. (C.52)
Fun¸c˜oes de (x, t, u) invariantes sob a a¸c˜ao de v correspondem (Apˆendice A) as solu¸c˜oes do sistema carac- ter´ıstico dx 2tx = dt 2 ln(x) = du (t + 2s)u. (C.53)
Da primeira igualdade temos z = t2− ln(x)2. Passando para a segunda igualdade Z (t + 2s)dt 2p(t2− z) = du u , (C.54) temos p(t2− z) 2 + s ln(t +p(t 2− z)) + F (z; s) = ln(u). (C.55) Ou seja u = x12| ln(x) + t|sF (z; s). (C.56)
Agora, a exigˆencia que u(x, t) satisfa¸ca a equa¸c˜ao de onda x2uxx = utt imp˜oe que F (z; s) satisfa¸ca a seguinte equa¸c˜ao diferencial ordin´aria
16z2Fzz+ 16(1 + s)zFz− zF = 0. (C.57)
e portanto as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de onda invariantes por opera¸c˜oes de simetria induzidas por (C.52), o que chamamos de solu¸c˜oes sim´etricas, s˜ao dadas por u = x12| ln(x) + t|sF (z; s) onde F (z; s) se expressa em
termos das fun¸c˜oes de Bessel J e Y
F (z; s) = C1z−1/2 sJ s, 1/2√z + C2z−1/2 sY s, 1/2√z (C.58) Existe claramente um campo enorme para questionamentos que n˜ao mencionaremos aqui. Aspectos da classifica¸c˜ao de solu¸c˜oes sim´etricas em classes de equivalˆencia, tanto em rela¸c˜ao as poss´ıveis combina¸c˜oes dos parˆametros p, q, r, s quanto `as v´arias formas equivalentes da velocidade c(x) foram omitidos. Tais classifica¸c˜oes compreendem todas as formas sim´etricas das correspondentes solu¸c˜oes exatas e podem ser encontradas na referˆencia [27], [34] junto com a discuss˜ao de formas particulares da velocidade c(x) que representam sistemas f´ısicos interessantes por´em trat´aveis exatamente.
Para explorarmos um pouco mais as simetrias de uma equa¸c˜ao diferencial, mesmo que ainda neste procedimento informal, mencionamos um fato que poderia ser considerado negativo: a simetria das equa¸c˜oes diferenciais dependem da forma como elas s˜ao escritas, mesmo que representem o mesmo sistema f´ısico. Portanto abrimos um leque para explorar simetrias de uma forma que n˜ao s˜ao simetrias de outra forma da mesma equa¸c˜ao levando a solu¸c˜oes exatas e n˜ao sim´etricas. Consideremos `a equa¸c˜ao de onda
88 Simetria em Equa¸c˜oes Diferenciais
o seguinte sistema associado
vt= ux, vx = ut
c(x)2. (B)
E ainda uma equa¸c˜ao relacionada importante,
(c(x)2vx)x− vtt= 0. (C)
V´arios problemas f´ısicos levam `a estas equa¸c˜oes. Equa¸c˜ao A ´e familiar no estudo de pequenas vibra¸c˜oes transversas numa corda de densidade vari´avel, o sistemaBaparece no estudo de linhas de transmiss˜ao com capacitˆancia ou resistˆencia vari´avel, e equa¸c˜ao C no estudo de pequenas vibra¸c˜oes longitudinais de uma barra com m´odulo de Young vari´avel, [27]. Estas equa¸c˜oes s˜ao equivalentes no seguinte sentido:
• Se {u, v} satisfazemBent˜ao u resolve Ae v resolve C.
• Se u = F satisfaz Aent˜ao (u, v) = (Ft, Fx) resolve Be v = Fx resolveC. • Se v = G satisfaz Cent˜ao (u, v) = (c2G
x, Gt) resolveBe u = c2Gx resolveA.
Apesar equivalˆencia de uma ´unica EDP e seu correspondente sistema de EDP’s n˜ao segue necessariamente que seus respectivos grupos de invariˆancia por transforma¸c˜oes pontuais sejam os mesmos. De fato o que pode ocorrer ´e que solu¸c˜oes por similaridade de um sistema de EDP’s levam `a solu¸c˜oes n˜ao invariantes da correspondente equa¸c˜ao ´unica, e vice e versa. Este fato abre o leque de possibilidades na produ¸c˜ao de solu¸c˜oes exatas, sim´etricas ou n˜ao, de equa¸c˜oes parciais pela explora¸c˜ao de simetrias das diversas formas que estas equa¸c˜oes apresentam.
Apˆendice D
Constantes de Movimento em Sistemas
Hamiltonianos
D.1
Introdu¸c˜ao
Obter invariantes ou constantes de movimento ´e um objetivo per-si no estudo de sistemas f´ısicos descritos pelo formalismo Hamiltoniano. Se tivermos sucesso em isolar uma grandeza conservada, por qualquer m´etodo, associado a ela sempre encontraremos alguma propriedade fundamental do sistema. No caso mais direto de um sistema autˆonomo, a pr´opria fun¸c˜ao Hamiltoniana se mostra invariante, evidenciando a propriedade de conserva¸c˜ao de energia ao longo da evolu¸c˜ao deste sistema.
Contudo, como ´e o caso da vasta maioria dos sistemas f´ısicos reais, o Hamiltoniano pode mostrar uma dependˆencia temporal expl´ıcita minando assim esta rota que imediatamente leva `a uma grandeza conservada.
Um dos primeiros mecanismos para a obten¸c˜ao de constantes de movimento para sistemas com de- pendˆencia temporal expl´ıcita faz uso das conclus˜oes do trabalho de Emmy Amalie Noether [18], que rela- ciona grandezas conservadas de um sistema Lagrangiano `a um grupo cont´ınuo de transforma¸c˜oes agindo num espa¸co de fase estendido ou prolongado, que deixa a integral de a¸c˜ao invariante. `As cr´ıticas a esta abordagem s˜ao fundamentadas na vis˜ao de que este procedimento ´e prolixo, [36]. Esta argumenta¸c˜ao pro- cede certamente quando ´e o caso de n˜ao se ter interesse na ´algebra associada do grupo de transforma¸c˜oes ou se o grupo de transforma¸c˜oes ´e desinteressante por si mesmo.
Nosso objetivo nas pr´oximas se¸c˜oes ´e mostrar alguns m´etodos de obten¸c˜ao para uma classe de siste- mas n˜ao autˆonomos. Com isso esperamos lidar de forma heur´ıstica com a crescente necessidade de uma linguagem formal e abrangente que contemple os aspectos geom´etricos da id´eia de invariˆancia sem contudo desviar a aten¸c˜ao de problemas mais simples onde estes aspectos j´a ocorrem, mesmo que indiretamente, como veremos adiante.
90 Constantes de Movimento em Sistemas Hamiltonianos