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O recurso analítico utilizado que visa a compreensão do circunstancial matemático propulsor das estruturas da Álgebra na perspectiva do irracional, fornece dados sobre o desempenho dos números complexos no âmbito do surgimento das noções estruturais e da superação do obstáculo operacional, evidenciando importantes aspectos ontológicos do nascedouro das estruturas da Álgebra. Contudo, ao ter-se a intensão de explicitar as estruturas da Álgebra em sua temporalidade, como uma construção de sínteses de transição será preciso dar aos números complexos um status que corresponda à matemática validada na contemporaneidade.

Na análise histórico-filosófica realizada não se evidencia o desempenho dos números complexos inseridos no corpo do conhecimento matemático enquanto objeto matemático validado pelo conhecimento da atualidade, ou seja, expresso em uma linguagem axiomática. Frente a isto, a pergunta colocada inicialmente: quem são ou foram os complexos para disparar tamanha mudança na conjuntura algébrica? precisa encontrar resposta em outra perspectiva.

Esta questão exige um estudo que adentre a região da Lógica Formal que embasa a consistência dos sistemas matemáticos e que possa deixar vir a tona outros aspectos ontológicos ao se perguntar: quem são os números complexos de uma perspectiva do sistema axiomático formal? Com isto exige também a

elucidação de aspectos epistemológicos ao se perguntar: como justificar o uso dos números complexos na matemática?

Estas duas questões são pertinentes à região de inquérito da Filosofia da Matemática e podem ser abordadas por diferentes correntes filosóficas, porém aqui serão tratadas numa perspectiva fenomenológica da Filosofia da Matemática de HUSSERL. A escolha da perspectiva se justifica pelo fato de ser uma abordagem filosófica que se mostra em concordância com a perplexidade exposta no início desta tese a respeito do conhecimento científico que ainda sabe de sua fonte.

Para uma melhor compreensão das idéias fenomenológicas que aqui serão abordadas será preciso abrir-se um pequeno parênteses no sentido de expor as intenções do filósofo e algumas de suas idéias.

Na leitura de SILVA, a posição provável de HUSSERL, ao referir-se ao seu papel de filósofo, à matemática e aos seus criadores é:

S e i s t o é o q u e e l e s p e n s a m, o meu t r a b a l h o c o mo u m f i l ó s o f o é i n v e st i g a r o q u e e m s u a s e x p e r i ê n c i a s c o m o b j et o s ma t e má t i c o s f a z co m q u e el e s p e n s e m a s s i m.145

HUSSERL não se colocava na posição de justificar ou de negar crenças matemáticas. Sua indagação tinha o propósito de contemplar tanto os aspectos da Matemática em sua origem (Ursprung), como também a Matemática Formal, e principalmente, perseguia a interrogação: como podemos fundamentar racionalmente a atividade matemática no mais amplo contexto da cognição humana?

Dada a complexidade da meta a ser realizada pela Fenomenologia e conseqüentemente pela Filosofia da Matemática husserliana, as idéias fenomenológicas sofrem complementações no decorrer da elaboração teórica realizada por HUSSERL, em consequência disto algumas noções fenomenológicas se ampliam. Portanto, é importante salientar que a noção de origem (Ursprung) que está sendo adotada nesta tese é aquela exposta nos últimos trabalhos de HUSSERL. Origem designa as sínteses intencionais pelas

145

“ / . . . / i f t h i s i s w h a t t h e y t h i n k , i t i s my j o b a s a p h i l o s o p h e r t o i n v e s t i g a t e w h a t i n t h e i r e x p e r i e n c e o f ma t h e ma t i c a l o b j e c t s ma k e t h e m t h i n k s o . “ S I L V A , J a i r o J o s é d a . H u s s e r l ’ s

quais os objetos concretos, aqueles das primeiras realizações, são constituídos como idealidades no fluxo temporal por atos de evidência que se dão na cognição.

Outros fundamentos e características que compõem a Filosofia da Matemática husserliana ficarão evidentes na exposição da resposta que dá ao analisar os números complexos na perspectiva de um sistema axiomático formal, um trabalho iniciado em 1890 e, mais tarde, em 1901, numa versão mais elaborada, apresentada à Sociedade de Matemática em Göttingen e, em 1913, em Ideen.

O trabalho de HUSSERL sobre os números complexos inicia-se com a construção da noção de completude. Ele parte de sistemas axiomáticos completos, aqueles que apresentam condições semelhantes a da completude de HILBERT. Embora HUSSERL e HILBERT se conhecessem, os seus trabalhos têm diferenças e foram realizados de forma isolada.

HUSSERL notou que a articulação entre sistemas axiomáticos completos não poderiam justificar tudo aquilo que acontece na Matemática. Um exemplo destes acontecimentos são os números naturais em conexão com os inteiros, já citados neste texto, ao comentar-se a análise que o historiador BELL realiza sobre generalização e abstração, porém agora submetidos a uma outra perspectiva de estudo.

Quando se quer esclarecer como se dá a extensão dos naturais aos inteiros, a dificuldade apresenta-se no momento em que se considera que qualquer número inteiro obedece a lei do cancelamento. Porém, há números inteiros que também são naturais. Estes números, quando tomados como sendo números naturais, não obedecem esta lei. Alguma coisa está presente no sistema dos inteiros que não compactua plenamente com o sistema dos naturais, que são os números negativos. Eles não são elementos que pode m dar resposta à pergunta: quantos são? Poder dar resposta a esta questão é aquilo que conceitua os números naturais; portanto, os números negativos não existem para os números naturais.

Este tipo de acontecimento está presente em vários momentos da construção dos números, por exemplo, na introdução dos irracionais, dos imaginários e dos complexos, como exposto na análise histórico-filosófica. A todos os protagonistas deste tipo de evento, os números irracionais, os

negativos, os imaginários, os complexos, HUSSERL chamou de entidades imaginárias.

A análise apresentada sobre as extensões numéricas é importante porque detecta problemas ontológicos e epistemológicos, pois em sistemas definidos a noção de derivabilidade é um equivalente formal de verdade. Portanto, a pergunta o que é um sistema axiomático definido? coloca-se e conduz a busca de respostas, irremediavelmente, no âmbito da Lógica Formal, que aqui também será tratada na perspectiva husserliana.

Assim, será preciso ter em mente o conceito de Lógica Formal na fenomenologia e outros conceitos decorrentes deste modo de constituir a lógica, para entender o encaminhamento dado por HUSSERL à problemática levantada pelas entidades imaginárias.

Dois são os conceitos básicos que abrem a porta para que se possa penetrar na lógica husserliana. Um dos conceitos, nomeado de Sachverhalten (Stand der Dinge - estado da coisa), refere-se ao fato ocorrido, levando em conta a posição da coisa e sua situação em relação a outros objetos presentes. Todos estes elementos constituem uma constelação. No inglês, Sachverhalten é traduzido por states of affairs, estados de acontecimento, no português. Um exemplo de estado de acontecimento é a objetividade categorial, aquela que dá a noção de um determinado conjunto. O outro conceito, denominado Sachlage, traduzido por situação de acontecimento, denota as condições, tudo aquilo que determina o caráter de uma situação pré-categorial que é dada como uma forma lógica, uma estrutura formal particular. Situação de acontecimento é a matéria-prima passiva para que se cons titua a constelação: o estado de acontecimento. U ma s i t u a ç ã o d e a co n t e c i me n t o é a l g u m t i p o d e n ú c l eo d e e s t a d o s d e a c o n t e c i me n t o s e q u i v al en t e s, e m b o r a n ó s p r e c i s e mo s r e s i s t i r à t e n t a ç ã o d e f a z er d i s t o u m s u b st r a t o o bt id o d e e s t a do s d e a c o nt e c i me n to e qu iva l e n t e s. E st a do d e a c o n t e c i me n t o p r e s su p õ e u ma s it u a ç ão d e a c o nt e c i me n to , n ão o co ntrário.146 146 “ A s i t u a t i o n o f a f f a i r s i s s o me s o r t o f c o mm o n n u c l e u s o f e q u i v a l e n t s t a t e s o f a f f a i r s , a l t h o u g h w e mu s t t r e s i s t t h e t e mp t a t i o n o f ma k i n g i t i n t o n a a b s t r a c t u m o b t a i n e d f r o m e q u i v a l e n t s t a t e s o f a f f a i r s . S t a t e s o f a f f a i r s p r e s u p p o s e s i t u a ç ã o o f a f f a i r s , n o t t h e o p p o s i t e . ” S I L V A , J a i r o J o s é . H u s s e r l ’ s c o n c e p t i o n o f L o g i c . I n ma n u s c r i t o , C a mp i n a s : C L E / U N I C A M P , 1 9 9 9 , p . 3 7 0 .

Por exemplo, ao ser afirmado: João é maior do que Paulo e Paulo é menor do que João, as sentenças relatam dois estados de acontecimento diferentes. Na primeira sentença, João é o foco, na segunda, Paulo é o foco. Porém, elas se originam da mesma situação de acontecimento, que não pode ser expressa com perfeiçã o pelas sentenças, ou seja, pelas proposições. Por meio de proposições pode-se somente expressar os estados de acontecimento. Caso as sentenças fossem J>P e P<J onde J = medida da altura de João e P = medida da altura de Paulo, caberia a mesma análise.

Para HUSSERL, a lógica não poderia ficar indiferente ao fato de que proposições denotam estados de acontecimento antes que valor de verdade, assim como não mais poderia restringir sua tarefa às proposições, principalmente, quando a lógica é entendida como Teoria das Ciências. À Lógica, também, deve interessar os elementos da base, a situação de acontecimento, que constituem os estados de acontecimento e como os estados de acontecimento são produzidos a partir de formas lógicas. HUSSERL entendia que os objetos de interesse da Lógica são: os conceitos de objetos e tudo o que pode ser dito a priori sobre os conceitos.

Também faz parte da tarefa da Lógica husserliana o estudo de leis formais referentes a proposições e teorias, assim como seus estados de acontecimento e as variedades (alemão Mannigfaltigkeit – inglês manifolds).

Assim, a Lógica husserliana está dividida em duas regiões de inquérito. A primeira região referente à lógica das proposições e teorias que trata de objetos em níveis máximos de abstração, constituindo a lógica de proposições que foca as categorias de sentido como: conceito de nome, concepções. A segunda região, referente às variedades chamadas de ontologias formais, aquela que trata dos conceitos das categorias de objetos como: conceito de número, propriedades, relações, ordem, estados de acontecimento, etc.

Segundo SILVA, ontologia formal é o estudo de um sistema e de sua estrutura interna em termos das relações deriváveis, em domínios em que haja uma linguagem na qual a noema147 é apresentada como um sistema de asserções. É importante compreender que esta divisão em regiões de inquérito

147

não está associada a uma separação entre as noções de sintático e semântico, estas noções permeiam toda a Lógica husserliana.

As duas regiões podem ainda ser subdivididas em outros três níveis de objetivos a serem cumpridos. Na lógica das proposições e teorias tem-se 1) o nível morfológico que tem como tarefa: identificar as categorias de sentido, aquelas que são categorias básicas constituída de proposições significativas; estabilizar as leis formais que regulam a composição dos elementos das categorias de sentido para formar um complexo de proposições com sentido gramatical; 2) o nível apofântico148 que tem como tarefa: garantir a validade objetiva das proposições e teorias; prever a inconsistência e garantir a unidade de sentido, ou seja, garantir a consistência; estabilizar as leis de transformação e as leis de derivação formal; 3) o nível que trata das teorias de sistemas dedutivos considerados somente sob a perspectiva da forma, ou seja, a teoria de possíveis formas de teorias. Supostamente aqui estaria incluído o estudo de propriedades de teorias, tal como a completude.

Na ontologia formal tem-se também três níveis de objetivos, apenas há de se considerar uma mudança de foco das proposições para seu correlato estados de acontecimento. 1) o nível correlato ao nível morfológico que tem como tarefa: identificar as categorias básicas constituídas dos blocos formadores de possíveis estados de acontecimento objetivos e estabilizar as leis que regem a combinação destes blocos formando um complexo de estados de acontecimento; 2) o segundo nível é um correlato ao apofântico, sua tarefa é estabilizar as leis que permeiam a base das categorias de objeto e desenvolver suas teorias. Como exemplo temos a Aritmética, a Teoria dos Conjuntos; 3) o terceiro nível corresponde ao estudo das variedades. Sua tarefa é investigar as variedades e os correlatos objetivos dos sistemas axiomáticos formais não interpretados que são os axiomas de formas que 148 S e g u n d o H u s s e r l “ / . . . / , a t e o r i a a p o f â n t i c a f o r ma l t r a t a s e mp r e d e e s t a b e l e c e r u ma d o u t r i n a f o r ma l “ a n a l í t i c a ” d e s i g n i f i c a d o s “ l ó g i c o s ” o u s i g n i f i c a d o s p r e d i c a t i v o s “ p o s t o s ” , l e v a n d o e m c o n s i d e r a ç ã o p u r a e s i m p l e s me n t e a s f o r ma s d e s í n t e s e s a n a l í t i c a s o u p r e d i c a t i v a s e d e i x a n d o , p o r t a n t o , i n d e t e r mi n a d o o s f i n s s i g n i f i c a n t e s q u e e n t r a m n a s f o r ma s ” . “ O r i g i n a l : / . . . / , l a d o u t r i n a a p o f á n t i c a f o r ma l t r a t a s i e mp r e d e e s t a b e l e c e r u ma d o u t r i n a f o r ma l “ a n a l í t i c a ” d e s i g n i f i c a d o s “ l ó g i c o s ” o s i g n i f i c a d o s p r e d i c a t i v o s “ p u e s t o s ” , t o ma n d o e m c o n s i d e r a c i ó n p u r a y s i mp l e me n t e l a s f o r ma s d e s í n t e s i s a n a l í t i c a o p r e d i c a t i v a y d e j a n d o , p o r l o t a n t o , i n d e t e r mi n a d o s l o s t é r mi n o s s i g n i f i c a n t e s q u e e n t r a m e m e s t a s f o r ma s . ” M O R A , J o s é F e r r e t e r . D i c c i o n a r i o d e F i l o s o f í a . T o mo I – A - K . B u e n o s A i r e s : E d i t o r i a l S u d a me r i c a n a . 1 9 7 1 , p . 1 2 0 .

caracterizam uma teoria formal. Como exemplo de estudo de variedades temos a Álgebra Abstrata, a Álgebra Universal, a Teoria dos Modelos.

E s t a i n c l u sã o d a o n t o l o g i a f o r m a l n a l ó g i c a p o d e ch eg a r a s er u ma s u b mi s s ã o c o mp l e t a d e u ma n a o u t r a. D a d a a c o r r e l a ç ã o e s t r i t a e n t r e c a t e g o r i as d e s en t i d o e c a t ego r i a s d e o b j et o s, q u e i n d u z a u m a c o r r e s p o nd ên c i a e n t r e l ó g i c a d a s p r o p o s i ç õ e s e o n t o l o g i a f o r ma l , n ó s p o d e mo s , c o mo H u ss e r l o b s er v o u ( Hu a X X I V - pp .51 -4 ) , c on ce b e r o tod o d a l óg i c a f o r ma l c o mo o n t o l o g i a f o r ma l .149

Uma vez que tenha sido feita uma descrição geral de aspectos da Lógica husserliana para assegurar a compreensão da solução apresentada por HUSSERL sobre os imaginários do ponto de vista do sistema de axiomas, será ainda necessário que se fixe a atenção nos meandros da ontologia formal e, principalmente, naquilo que diz respeito ao estudo das variedades.

Segundo SILVA,150 o primeiro estudo sistemático de variedades matemáticas surge com Riemann Bernhard (1826 – 1866), em On the Hypoteses which Lie at the Foundations of Geometry, em 1854, onde é apresentado o conceito de variedade como uma generalização do conceito de espaço, da teoria das n-dimensões euclidianas e das variedades não- euclidianas. Este trabalho é fonte inspiradora de HUSSERL, conforme seu depoimento em Prolegomena, de 1900.

/ . . . / o f i l ó so f o q u e c o n h e c e o s p r i n cí p i o s b á s i c o s d a t e o r i a d e R i e ma n n - He l mh o l t z p o d e co n c eb e r c o mo a s f o r ma s p u r a s d e t e o r i a q u e d i z e m r e s p e i t o a t ip o s , q u e a p r e s e n t a m d i f e r e n ç a s ma r c a n t e s , s ã o u n i f i c a d o s p o r u m a l e i .151

Quando o princípio de Riemann é considerado não só para entidades contínuas, aquelas referentes a espaços geométricos, mas também para 149 “ T h i s i n c l u s i o n o f f o r ma l o n t o l o g y i n t o l o g i c c a n g o a s f a r a s b e a c o mp l e t e s u b mi s s i o n o f t h e l a t t e r t o t h e f o r me r . D u e t o s t r i c t c o r r e l a t i o n b e t w e e n c a t e g o r i e s o f me a n i n g a n d c a t e g o r i e s o f o b j e c t , w h i c h i n d u c e s a s i mi l a r c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n t h e l o g i c o f p r o p o s i t i o n s a n d f o r ma l o n t o l o g y , w e c a n , a s H u s s e r l n o t i c e d ( H u a X X I V - p p . 5 1 - 4 ) , c o n c e i v e t h e w h o l e o f p u r e f o r ma l l o g i c a s f o r ma l o n t o l o g y ” . S I L V A , J a i r o J o s é . H u s s e r l ’ s c o n c e p t i o n o f L o g i c , o p . c i t . , p . 3 7 4 . 150 I d e m , i b i d e m , p . 3 7 9 . 151 “ / . . . / , t h e p h i l o s o f e r w h o k n o w s t h e f i r s t p r i n c i p l e s o f t h e t h e o r y o f R i e ma n n - H e l mh o l t z c a n c o n c e i v e h o w t h e p u r e f o r ms o f t h e o r y w h i c h b e l o n g t o t y p e s t h a t p r e s e n t m a r k e d d i f f e r e n c e s a r e u n i t e d b y a l a w . ” I d e m , i b i d e m , p . 3 7 9 .

coleções, sem que características substanciais como: cardinalidade, ser discreto e outras sejam mencionadas, porém considerando suas relações definidas e suas operações do ponto de vista formal, por meio de axiomas, pode-se ter o atual conceito de estruturas ao qual são adaptados os conceitos de grupo, ideal, anel, corpo, espaço vetorial etc. Resumidamente, os axiomas formais denotam leis essenciais de existência presentes

no conceito de estrutura que se adaptam ao objeto

propriamente dito [42 P1]. De acordo com as idéias acima apresentadas, a expressão qualquer estrutura não denota um domínio particular de estrutura de objetos específicos, mas sim uma forma, ou já um conceito, no domínio, denominado por HUSSERL de variedade formal. A relação entre a variedade formal e sua teoria é muito estreita. Uma variedade formal determinada por uma teoria formal não pode ser investigada independente desta teoria.

Qual é o modo de ser das

estruturas da Álgebra?

U ma t e o r i a f o r ma l , é e m u m c e r t o s e n t i d o , u ma p r o p o si ç ã o f o r ma l c o mp l e x a , e u ma v a r i eda d e f o r ma l é , e m c e r t o s en t i d o , o e s ta do d e a con t e c i m en to f o r ma l c o mp l e x o q u e e st a p ro po s i ç ão c o mp l ex a d e no t a.152

Contudo, investigar uma variedade matemática, ou seja desenvolver sua teoria, significa derivar sistematicamente todas as

conseqüências puramente formais dos axiomas que caracterizam esta estrutura [21 P2].

Como se dão as estruturas das presenças estrutura da Álgebra–

ser humano?

O mérito da distinção entre variedade e teoria formal, apresentada por HUSSERL é que a distinção deixa nitidamente enfatizado que a teoria, formal ou não, refere-se sempre a objetos, pois os estados de acontecimento pressupõem situação de acontecimento. Portanto, o desenvolvimento da teoria, independente dos domínios de objetos descritos nesta teoria, não é uma tarefa exclusiva da Lógica Formal, pois este desenvolvimento precisa acontecer segundo diretrizes epistemológicas próprias

das variedades. Assim, a teoria da variedade, por

exemplo a Teoria das Estruturas, tem que ser concebida como a teoria de

Qual é o modo de ser das

estruturas da Álgebra? 152 “ A f o r ma l t h e o r y i s , i n a s e n s e , a c o mp l e x f o r ma l p r o p o s i t i o n , a n d a f o r ma l ma n i f o l d i s , i n t h i s s e n s e , t h e c o mp l e x f o r ma l s t a t e o f a f f a i r s t h i s c o mp l e x p r o p o s i t i o n d e n o t e s . ” I d e m , i b i d e m , p . 3 8 1 .

todas as possíveis teorias formais que se referem às estruturas, no exemplo dado, a Teoria dos Grupos, a Teoria dos Anéis, a Teoria dos Corpos e suas relações, unificadas por alguma lei ou leis [43 P1]. Esta teoria toma a face de uma teoria dedutiva e precisa tornar-se uma teoria de sistemas dedutivos pondo-se em conexão com a lógica das proposições e teorias. Por exemplo, as teorias estruturais do século XX, citadas no início deste texto, que só puderam unificar parcialmente o conhecimento matemático, ou, na Álgebra Abstrata, a Teoria dos Corpos que pode ser derivada da Teoria Axiomática dos Números Reais.

A estreita relação entre a teoria de sistemas dedutivos e a teoria das variedades é uma conseqüência, segundo SILVA, do fato de que HUSSERL ainda pensava as variedades somente como um correlato objetivo de uma teoria formal dedutiva. Em outras palavras, o domínio formal era associado a um sistema axiomático formal de tal maneira que o domínio era constituído de todos os objetos formais que seriam alguma coisa definida em termos de operação e relação com outras algumas coisas, que pudessem ser justificadas por este sistema.

Isto significa que não seria possível considerar um objeto formal que não fosse singularizado por nenhum sistema, como o caso das entidades imaginárias, o negativo, o irracional, o complexo, que surgem à parte dos sistemas conhecidos. Isto faz com que HUSSERL, em 1901, apresente uma noção mais restrita de uma variedade formal, que eliminava a hipótese de ser o objeto necessariamente singularizado por um sistema, possibilitando um tratamento a objetos não totalmente admitidos por um sistema formal, sem no entanto abandonar totalmente a noção mais geral de variedades que se associava a um sistema axiomático formal.

Embora pareça contraditório o fato de HUSSERL admitir que a variedade estava intrinsecamente ligada à sua teoria, dado que ele também afirma ser de interesse da Lógica os elementos da base, esta foi a chave para solucionar tanto a questão epistemológica quanto a questão ontológica advinda dos elementos imaginários.

Em se tratando primeiramente do epistemológico, ele apresenta duas noções de completude que explicitam o estado de definição de um sistema, e m alemão die Definitheit, em inglês definiteness: o definido relativo (relative

definiteness) e o definido absoluto (absolute definiteness). A noção de definido absoluto é idêntica à completude de HILBERT, aquela que quando qualquer questão sobre o sistema pudesse ser expressa na linguagem na qual o sistema é escrito e pudesse ser respondida pelo sistema.

Assim, uma variedade é definida absoluta quando sua teoria é sintaticamente completa [44 P1]. Esta noção

envolve a idéia de máximo, a variedade formal como sendo o domínio de objetos formais determinados por um sistema

axiomático formal [22 P2].

Qual é o modo de ser das

estruturas da Álgebra?

Como se dão as estruturas das presenças estrutura da Álgebra–

ser humano? D i s t o , a d e f i n i ç ã o d e d e fi t en e ss d e Hu s se r l p a r a v a r i e d ad e s f o r ma i s e m I d e a s § 7 2 po d e s o me n t e s e r l id a co mo : u ma v a r i ed ad e f o r ma l é d e f i n i d a q u a n d o q u al q u e r s en t e n ç a d a l i n g u a g e m d e s e u co r r e s p o n d en t e s i s t e ma f o r ma l f o r d e c i d i d o n e l e, ou co mo u ma c o n s eqü ê n cia d e s t e si st e ma o u co mo u m a c o n t r ad i ç ão a el e , a l é m d i s t o es t a t eo r i a f o r ma l é f i n i t a me n t e a x i o ma t i z á v e l .153

SILVA adverte que, embora esta definição deixe subentendido que uma teoria possa ter um número infinito de axiomas, para HUSSERL uma teoria é sempre uma teoria finita e, a definição de definido apresentada em Ideen é a mesma que aparece em suas obras anteriores.

Nesse trabalho, HUSSERL abandona a idéia de que um sistema de axiomas possa definir os elementos de seu domínio formal objetivo e apresenta a noção de completude de uma estrutura, que segundo SILVA é um exemplo de definido relativo, estas teorias são definidas somente com respeito ao seu domínio formal. Portanto, os domínios podem ser definidos ao considerar-se a natureza essencial do domínio em questão por um número finito de conceitos e proposições, dos quais pode-se derivar todas as verdades deste domínio.

O definido relativo é um caso particular do definido absoluto, é um conjunto de expressões. Ele depende da noção de domínios de objetos formais determinados por um sistema de axiomas formal que definem uma variedade.

153

“ H e n c e , H u s s e r l ’ s d e f i n i t i o n o f d e f i n i t e n e s s f o r f o r ma l m a n i f o l d s i n I d e a s § 7 2 c a n o n l y b e r e a d s a s f o l l o w s : a f o r ma l ma n i f o l d s i s d e f i n i t e j u s t w h e n a n y s e n t e n c e o f t h e l a n g u a g e o f i t s c o r r e s p o n d i n g f o r ma l s y s t e m i s d e c i d e d i n i t , e i t h e r a s a c o n s e q u e n c e o f t h i s s y s t e m

Entendendo que o domínio de um sistema formal é compreendido por HUSSERL, como sendo “a esfera de existência” definida pelo sistema, então o domínio não está limitado a objetos específicos, mas pode também se referir a objetos formais. A idéia central é que os objetos formais são estruturas de algum tipo que se transformam em objetos genuínos ou objetos específicos quando projetados numa condição apropriada de existência que lhes determina uma especificidade correlata à uma adequada substância. Os objetos formais são objetos insaturáveis no sentido de que eles amoldam-se à diversas condições apropriadas de existência e como objetos de uma linguagem formal eles denotam e singularizam o nuclear das condições.

O objeto formal, expresso em termos de um sistema de axiomas A pressupõe a existência de um domínio ontológico formal de A e a ele vai corresponder dois tipos de entidades lingüísticas: 1) termos sem variável expressas em L(A), linguagem de A, e 2) fórmulas de L(A) com uma variável livre. O objeto formal x denotado pelo termo t é pensado como uma construção operacional que envolve o termo t, ou seja,∃ !x (x = t). Qualquer fórmula f(x), com uma variável livre, que possa ser expressa na linguagem de A é uma definição implícita de um objeto formal e a descrição de um objeto pressuposto. Se o sistema A prova que ∃ !x f (x), lê-se: existe um único objeto que satisfaça f(x), o objeto especificado por f pertence ao domínio de A, neste caso pode-se acrescentar uma nova constante c à linguagem de A e um novo

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