Landau (1950) aplicou o método de integração numérica discretizado por diferenças finitas numa região semi-infinita, com aquecimento constante na superfície, para resolver um problema de condução de calor sobre superfícies fundidas. O autor evidenciou a existência de reações químicas nos processos de fusão e congelamento de sólidos.
Goodman (1958) mostra um problema de mudança de fase utilizando como método o balanço integral de calor. Utiliza uma aproximação do balanço integral, proveniente de uma técnica matemática, para determinar a posição do contorno sob intenso processo de fusão com mudança de fase, considerando as seguintes soluções analíticas: fluxo de calor definido, temperatura fixada na fronteira, fluxo de calor gerado por radiação, fluxo de calor na fronteira especificado pelo material fundido e completamente removido e fluxo de calor transiente onde o material fundido começa a vaporizar. Os resultados são comparados com soluções dispostas em literatura.
Adams (1959). realizou pesquisas experimentais sobre proteção térmica para altas velocidades e altas temperaturas. Analisa a resistência ao aquecimento, bem como a determinação das propriedades do material a altas temperaturas, em vários materiais descritos na literatura utilizando como forma experimental de aquecimento forno solar, maçarico oxi- acetileno, descargas de foguetes, entre outras. O fenômeno ablativo não foi totalmente interpretado, pois dificuldades na realização de tais experimentos prejudicaram a análise física do fenômeno ablativo. O fenômeno ablativo foi analisado mediante os processos físico e formulações matemáticas, evidenciando a fusão e a sublimação. Foram abordados resultados teóricos e experimentais de reentrada de veículos espaciais na atmosfera terrestre e vôo na atmosfera terrestre.
Tellep (1959) estuda os efeitos da desaceleração em corpos em velocidade hipersônica na reentrada da atmosfera. A solução é baseada nas equações para a camada limite
hipersônica transiente, considerando os efeitos das forças de corpo na camada limite. A geometria estudada é uma placa plana com o escoamento alinhado com o bordo frontal da placa. Introduz-se a função corrente no conjunto de equações da camada limite e a solução é processada numericamente através do método integral. A análise busca uma comparação entre as taxas de transferência de calor e temperatura na interface com a taxa de fusão do material.
Ostrach, Goldstein e Hamman, (1960) analisam o problema do aquecimento e da transferência de calor numa superfície com proteção térmica ablativa, na reentrada na atmosfera em velocidades elevadas, onde se considera uma interface gás-líquido na camada limite. A solução versa sobre um método numérico que considera as equações da camada limite hipersônica juntamente com uma equação de acoplamento, representada pelo balanço de calor na superfície em corpos de revolução bidimensional com simetria axial. A solução busca determinar as condições nas quais os efeitos da desaceleração interferem nos valores das distribuições de velocidade e temperatura, bem como no movimento relativo entre a interface gás-líquido quando se considera um material típico de proteção térmica ablativa na superfície do corpo. Calor específico, densidade e condutividade térmica são constantes e se despreza o efeito da trajetória na desaceleração do corpo na reentrada.
Sunderland e Grosh (1961) mostram um estudo baseado na utilização da equação da condução unidimensional com propriedades físicas constantes. Buscando uma solução numérica para determinar a distribuição de temperatura em sólidos homogêneos semi-infinito, bem como a determinação da velocidade e da posição da fronteira em mudança de fase. O método é aplicado no cálculo da temperatura antes da mudança de fase, durante o processo transiente de mudança de fase e depois da mudança de fase. O sólido encontra-se inicialmente com temperatura constante e é repentinamente aquecido por um fluxo convectivo até ocorrer mudança de fase, onde a nova fase sofre o processo de sublimação e arrastada através da camada limite (pirólise). Esse método foi utilizado em problemas envolvendo fusão de materiais, congelamento ou sublimação e situações onde da temperatura e do coeficiente de transferência de calor variam com o tempo.
Vallerani (1974) aplica o método integral numa certa classe de problemas envolvendo o fenômeno ablativo em sólidos, sujeitos a fluxos de calor na forma exponencial. O modelo é resolvido utilizando a equação da condução unidimensional transiente, onde suas variáveis são simplificadas pela adimensionalização, de tais variáveis, em relação aos valores obtidos
no início do fenômeno ablativo e pela introdução de valores assintótico obtidos ao longo do tempo em intervalos suficientemente longos. Para simplificar a análise é assumido que exista completa remoção do material ablatado, considerando que o material seja removido com um gás da superfície graças a sublimado sem a presença de uma camada líquida. Os resultados são discutidos em termos dos parâmetros que expressam a capacidade térmica entre o calor armazenado no sólido e o calor latente se ablação.
Özisik e Murray (1975) apresentaram uma nova técnica com características analítico- numéricas visando à solução de sistemas de equações diferenciais parciais em problemas de difusão linear, com condições de fronteira variável. Até então esse tipo de equações diferenciais não eram tratadas pela teoria clássica de separação de variáveis. A nova temática para solução de equações diferenciais parciais proposta pelos autores, não necessita que o problema fosse separado a princípio. A solução final do problema envolve um sistema infinito de equações diferenciais ordinárias e lineares de primeira ordem. Com esse novo paradigma, estava traçado o formalismo teórico básico para a conhecida Técnica da Transformada Integral Clássica.
Zien (1976) apresenta um estudo da solução aproximada através do método integral na determinação do fluxo de calor transiente num problema ablativo. A análise definida para a escolha do fluxo de calor, baseia-se no modelo de Landau (1950), onde são consideradas no fluxo de calor prescrito as seguintes aproximações, fluxo de calor polinomial e exponencial empregando duas condições de contorno, fluxo de calor constante e fluxo de calor transiente. Os resultados obtidos pelo método são comparados com o método integral clássico de balanço de calor.
Hasiao e Chung (1984) apresentam um estudo de transferência de calor com ablação numa região bidimensional, sujeita a um fluxo de calo transiente no contorno. O método do Balanço de Calor Integral Modificado é empregado na solução do problema, onde se utiliza uma integração dupla capaz de transformar o sistema de equações diferenciais parciais de segunda ordem em um sistema reduzido de equações diferenciais ordinárias. Os resultados para a perda total de material da proteção térmica em função do tempo são comparados com uma solução pelo método de Elementos Finitos.
Hasiao e Chung (1985) apresentam um estudo numérico sobre a transferência de calor transiente com ablação numa placa plana. A metodologia de solução baseia-se na aplicação de três métodos distintos, para resolver a equação da condução unidimensional. Uma simplificação é adotada para condição de aquecimento, onde é adotado um fluxo de calor prescrito na fronteira, os fluxos são assumidos considerando as mesmas análises citadas por Zien (1976), incluindo o modelo de fluxo de calor linear. Os métodos considerados são: Balanço Integral de Calor, Método Integral do Momento-T e o Método de Diferenças Finitas Implícito. Juntamente com a condição de contorno que admite fronteira em movimento, representada pela equação do balanço de energia na fronteira, através dessa equação é possível encontrar a velocidade ablativa e a posição do contorno ao longo do tempo. O perfil de temperatura também é obtido através dos resultados numéricos.
Thomas e Neier (1990) apresentam um estudo numérico envolvendo a solução das equações de Navier-Stokes, as quais descrevem um caso tridimensional de escoamento hipersônico com ablação em corpos do tipo ogiva, considerando o gás em equilíbrio termodinâmico. As condições de contorno na parede são impostas mediante a presença da onda de choque, do escoamento externo e da condição de escorregamento para o escoamento rarefeito. As equações de Navier-Stokes são consideradas no regime transiente, onde a solução visa realizar testes de diversos materiais utilizados na proteção térmica ablativa através de uma discretização via volumes finitos, onde se assume malha móvel e condições de contorno implícitas, como temperatura prescrita e temperatura adiabática na superfície. Os resultados numéricos obtidos são comparados com dados experimentais.
Rupert Jr. e Cotta (1991) realizaram uma aplicação do método da transformada integral para analisar um problema de transferência de calor unidimensional com ablação. Foi considerada na análise uma região finita contendo multicamadas, onde os resultados da simulação numérica visam a convergência da solução híbrido analítico-numérica, através do truncamento da expansão de autovalores e comparados com valores já listados em literatura.
Storti (1995) estudou a fixação de certo domínio para uma análise numérica envolvendo o fenômeno ablativo baseado na formulação entálpica na qual a temperatura é uma função do tempo. Admite-se que certo material que ocupa uma porção da superfície é então ablatado. O método considera o típico problema de ablação contendo duas fases bem especificadas, uma até a fusão do material e outra após a fusão do material.