The propositions in the three municipalities

Nesta seção destacamos a pesquisa de Dubinsky e Harel (1992), o artigo de Janvier (1998) e as dissertações de mestrado de Pelho (2003), Schwarz (1995) e Simões (1995).

Dubinsky e Harel (1992) partem dos pressupostos estabelecidos por Piaget sobre abstração reflexiva, que pode ser sintetizada como um processo de interiorização de operações físicas sobre um objeto. Recebe o nome de encapsulação o processo desenvolvido por um sujeito para se apoderar de um objeto abstrato.

Esses pesquisadores (ibid, p.85) adotam os termos pré-função, ação, processo e objeto para descrever as concepções de função. Utilizam o primeiro termo no estágio em que o sujeito não consegue resolver atividades relativas ao tema.

Afirmam que uma pessoa tem a concepção de ação (ou pré-processo) quando ela consegue fazer, repetidamente, uma manipulação mental ou física do objeto. Esta concepção envolve, por exemplo, a habilidade de colocar números em uma expressão algébrica para calcular o seu valor, um de cada vez. Neste caso, tem-se uma concepção estática.

Garantem que quando uma pessoa tem a concepção de processo, ela consegue pensar na transformação, de uma maneira dinâmica, que começa com objetos do mesmo tipo, realiza ações com esses objetos e obtém, como resultado, novos objetos; consegue combinar outros processos, ou reverter o processo.

Se o indivíduo tem uma concepção de objeto, ele consegue realizar ações que o transformam. De acordo com os autores, no trabalho matemático, é preciso ir e vir de uma concepção de processo para uma concepção de objeto.

Dubinsky e Harel (1992) fizeram uma pesquisa com vinte e dois estudantes de 3º grau a fim de desenvolver as concepções de função. Para tanto, partiram das noções mais primitivas, com o objetivo de responder a seguinte questão: quanto os estudantes vão além de uma concepção de ação, quanto cada um deles se move em direção a uma concepção de processo após um experimento de ensino?

Os alunos responderam um questionário com vinte e quatro situações, em oito contextos diferentes. Examinaram-se procedimentos computacionais, seqüências

finitas, seqüência de caracteres, gráficos, pares ordenados, tabela, equações e enunciados, porque os pesquisadores consideram que é necessário apresentar um amplo leque de situações para investigar as concepções dos alunos a partir das respostas dadas. A seguir, entrevistaram treze dos vinte e dois estudantes sobre suas respostas e suas definições de função.

As pesquisas permitiram concluir que os alunos se moveram para uma concepção de processo, apesar das várias restrições sobre o que é função. Alguns alunos pensam que uma regra não é uma função até o momento em que podem manipulá-la; alguns pensam que entradas e saídas de função precisam ser números; outros pensam que gráficos precisam ser contínuos.

Outro estudo que nos chamou a atenção foi o realizado por Janvier (1998) e focaliza as dificuldades de alunos em tratar funções que não envolvem a variável tempo, nem mesmo implicitamente. Esse autor (ibid, p.82) afirma que a manipulação de determinadas variáveis é fortemente influenciada pelas experiências temporais que podem ser reproduzidas pela mente. Na Física e na Química encontram-se muitos fenômenos cuja variação depende do tempo, como posição, temperatura, pressão, vazão etc e que são estudados com o auxílio de funções. Ele considera que os alunos podem fazer uma abordagem intelectual desses fenômenos porque as mudanças em tais variáveis podem ser dinamicamente representadas na mente, como, por exemplo, a simulação do movimento em função do tempo.

Esse autor afirma que há outras variações que podem ser representadas mentalmente, mesmo que a variável independente não seja exclusivamente o tempo. Cita, como exemplo, o aquecimento de uma haste metálica que aumenta seu comprimento. Nesse caso, o pesquisador considera que somente a presença implícita da variável tempo permite uma simulação desse evento, que é dinamicamente representado na mente. Em outras palavras, para que ocorra a dilatação de uma barra metálica, ela precisa ter contato com uma fonte térmica durante um intervalo de tempo. Janvier (1998, p.83) sugere que tais funções que dependem do tempo (algumas vezes até de maneira implícita) sejam denominadas de chronicles (do grego cronikós).

Em uma de suas investigações com estudantes, Janvier (1998, p.83) apresentou um gráfico formado por cinco pontos e pediu que os alunos o

completassem, localizando mais pontos. No eixo das abscissas, há indicações de temperatura e, no eixo das ordenadas, há indicações de diâmetros; cada ponto do gráfico mostra o diâmetro final de uma cultura de micróbios. Eles cresceram sob a específica temperatura que pode ser lida no eixo das abscissas. Muitos estudantes consideraram o eixo das abscissas como o eixo dos tempos. A interpretação do gráfico dada por eles foi de uma única população de micróbios crescendo durante um intervalo de tempo e morrendo a seguir. Segundo o autor, neste caso, a noção de chronicle que aparece nessas respostas é a interpretação de uma mudança temporal da população de micróbios, como ocorre em muitos livros didáticos.

Uma outra investigação, relatada no mesmo trabalho, feita com duzentos e vinte e seis alunos de graduação, em Montreal, em 1991, mostrou as dificuldades desses estudantes ao construir um gráfico de uma situação descrita verbalmente. Muitos interpretaram a variável independente como sendo o tempo.

Analisando os gráficos encontrados na obra de Nicole Oresme (1323-1382), Janvier (1998, p.90) verifica que todas as variações registradas no texto medieval podem ser consideradas chronicles, pois Oresme, mesmo implicitamente, pensava no tempo. Dessa forma, o autor acredita que, durante muito tempo, a humanidade fixou-se em um limitado significado para os gráficos.

Janvier (ibid, p.98) finaliza sua argumentação com a proposta de considerar uma chronicle como um obstáculo epistemológico, nos conformes de Gaston Bachelard e Guy Brousseau. A noção de obstáculo epistemológico foi introduzida pelo filósofo Gaston Bachelard, em 1938, no livro denominado A formação do espírito científico. Mais tarde, Guy Brousseau utilizou essa expressão na didática da matemática, para estudar a importância do erro no processo de ensino e aprendizagem. O erro não é somente devido à ignorância, à incerteza ou ao azar, mas o efeito de um conhecimento anterior, que tinha seu sucesso; esse conhecimento, entretanto, se revela falso, ou simplesmente inadaptado. O obstáculo epistemológico é inevitável, porque faz parte da construção do conhecimento.

Retornaremos à questão das funções temporais mais adiante, na parte II, capítulo 2.

A seguir, destacamos a pesquisa de Pelho (2003), que envolveu trinta alunos de uma classe do segundo ano do ensino médio de uma escola particular da cidade

de Araçatuba, interior de São Paulo. Eles tinham estudado funções no primeiro ano, mas ainda não compreendiam o assunto. A autora fundamentou-se na Teoria de Registros de Representação Semiótica, que foi desenvolvida por Raymond Duval.

Para Duval (2000), o conhecimento matemático tem um caráter paradoxal, pois o único caminho para alcançar o objeto matemático é fazer uso de signos, palavras, símbolos, expressões ou desenhos. Entretanto, os objetos matemáticos não podem ser confundidos com sua representação simbólica. Para esse autor, sistemas semióticos que possibilitam transformações específicas e intrínsecas de representações denominam-se registros de representação. Para cada representação do objeto em um sistema, pode ser produzida uma outra representação desse objeto em um outro sistema e esse tipo de transformação denomina-se conversão. O autor ainda afirma que a compreensão conceitual só é possível quando a coordenação entre os registros é alcançada e que esta é a condição para que um objeto não seja confundido com o conteúdo da representação. Também enfatiza: aprender matemática consiste em desenvolver uma progressiva coordenação entre vários sistemas semióticos de representação.

Retornando ao trabalho de Pelho (2003), ela elaborou uma seqüência didática, com atividades para serem desenvolvidas com o uso software Cabri-Géomètre II6_,

que permite movimentar um ponto pertencente ao gráfico de uma função e, simultaneamente, apresentar as suas coordenadas. As funções utilizadas foram as lineares, as afins e as quadráticas. Partindo dessas condições, constatou que a dinâmica do software propiciou aos alunos uma melhor compreensão das variáveis da função, bem como do relacionamento entre elas.

Tivemos a oportunidade de reaplicar a seqüência construída por essa pesquisadora, em alunos do 1o ano do curso de licenciatura em Matemática e pudemos verificar sua adequação para introduzir o conceito de função, no aspecto

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6 _{Cabri-Géomètre II é um software desenvolvido pelo Laboratoire des Structures Discrètes et de}

Didactique – IMAG, Université Joseph Fourier, Grenoble, Grança. Ele é orientado para o estudo de Geometria, que permite criar e explorar figuras geométricas de forma interativa através da construção de pontos, retas, triângulos, polígonos, círculos, cônicas e outros objetos. Utiliza coordenadas cartesianas e identifica com precisão transformações de simetria, translação e rotação. A denominação ”Cabri-Géomètre” provém do termo “Cahier de Brouillon Interative”, que significa “Caderno Interativo de Rascunho” (SANGIACOMO et al., 1999).

de dependência entre duas variáveis, além de ter proporcionado aos alunos uma melhor compreensão da articulação entre os registros.

Outro trabalho sobre funções foi desenvolvido por Schwarz, em 1995, com o objetivo de verificar a concepção de função em alunos ao final do segundo grau (atual ensino médio) (SCHWARZ, 1995). Para tanto, o autor aplicou testes em quarenta alunos da terceira série do segundo grau de uma escola pública da cidade de São Paulo.

Fundamentou-se em Sfard (1992), para quem as noções matemáticas podem ser concebidas de duas formas diferentes: estruturalmente (como objeto) e operacionalmente (como processo). Sfard (ibid, p.62) afirma que essa dualidade se encontra no caso de função, e sua longa história mostra a precedência do conceito operacional sobre o estrutural e identifica um padrão com três etapas, que pode ser identificado na sucessiva transição da concepção operacional para a estrutural: interiorização, condensação e reificação. Primeiro, deve existir um processo executado num objeto familiar; em seguida, os processos anteriores são comprimidos, um todo emerge e, finalmente, é adquirida a competência em ver esta nova entidade como um objeto permanente. A reificação do conceito de função é a passagem do processo para a concepção do que se considera objeto matemático e é um salto qualitativo. Schwarz (1995) concluiu que:

A maior parte dos alunos por nós pesquisados está adentrando no primeiro nível, justificando as observações da análise a posteriori, de que, em alguns, ainda persiste uma concepção operacional elementar de função (nível anterior ao da interiorização); outros estão francamente na 1a _{fase da concepção de função. (SCHWARZ,} 1995, p.124, destaque do autor)

O pesquisador constatou que a apresentação da definição formal nos livros didáticos, sua repetição em sala de aula não garantem que alunos do terceiro ano do segundo grau dêem um significado a essa definição. Schwarz (1995) não analisou os livros didáticos utilizados no ensino médio para verificar se eles propiciam condições eficazes para que os alunos possam ter uma concepção operacional ou ir além, para uma concepção estrutural. Também não verificou se os professores, que ministraram aulas para esses alunos possuíam, de fato, uma concepção estrutural de função ou se ainda tinham uma concepção operacional.

Um outro trabalho, dedicado especialmente às funções polinomiais do 2º grau, foi desenvolvido por Simões, em 1995. A autora parte da constatação de que o desenvolvimento do estudo das funções polinomiais de 1º e 2º graus é dado no seguinte padrão: definição, exemplos algébricos, passagem ao gráfico por meio de tabela e observou que a determinação dos pontos de máximo ou de mínimo nos gráficos das funções de 2º grau é feita pela apresentação da fórmula. Para quebrar esses padrões, aplicou uma seqüência de ensino em alunos de uma 8ª série do ensino fundamental de uma escola particular com estudantes provenientes da classe média-alta de uma cidade da Grande São Paulo, durante dezessete sessões. Utilizou o jogo de quadros, devido a Regine Douady.

Douady (1986) introduziu as noções quadro e jogo de quadros. Um quadro é constituído de objetos de um ramo da Matemática, de relações entre esses objetos, suas formulações eventualmente diversas e de imagens mentais associadas a eles. Dois quadros podem comportar os mesmos objetos e diferir pelas imagens mentais e problemáticas desenvolvidas. Essa autora concebe a noção de quadro como uma noção dinâmica. Os jogos de quadros são mudanças de quadros provocadas pela iniciativa do professor, em problemas escolhidos convenientemente, para fazer evoluir as concepções dos alunos.

Segundo Simões (1995, p. 250), o seu objetivo de fornecer uma seqüência didática para o ensino e aprendizagem da função do 2º grau - privilegiando situações que permitiram ao aluno utilizar o jogo de quadros, entre o quadro algébrico e geométrico - foi alcançado, na medida em que dezenove alunos, de um total de vinte e dois, mostraram ser capazes de esboçar o gráfico de uma função polinomial do 2º grau a partir da sua expressão algébrica e vice-versa.

Mesmo considerando que a nossa pesquisa não é voltada especificamente para funções polinomiais do 2º grau, o trabalho de Simões (1995) é interessante porque a seqüência proposta pela autora é um contraponto às tarefas rotineiras que se encontram nos livros didáticos para construção de parábolas. Também mostra que é possível levar o aluno de 8ª série a escrever a expressão algébrica de uma função polinomial do 2º grau a partir da sua representação gráfica.