Em um projeto que visava permitir um ensino mais racional e significativo da Análise Combinatória, Dubois (1984) propôs uma classificação das configurações dos
20 As pesquisas de 1970 e 1975 em que concluíram que a permutação não é uma operação combinatória de
emergência intuitiva no sujeito e que o diagrama de árvores tem, em seu uso, uma série de restrições que necessita, primeiramente, dos arranjos com repetição (ROA, 2000, p.13)
problemas simples de contagem em tipos de modelos combinatórios. Ele denominou tal classificação de Sistematização das Configurações Combinatórias e que, mais tarde, Navarro-Pelayo et al. (1996) chamou de Modelo Combinatório Implícito. A proposta de Dubois (1984) era a de organizar as configurações combinatórias correspondentes a cada problema elementar de contagem, em um sistema bem estruturado num esforço de promover a compreensão da contagem elementar.
Deste modo, as configurações foram classificadas de acordo com os seguintes modelos: “seleção”, “distribuição”, “separações em grupos” e “partições em inteiros”. Navarro Pelayo et al. (1996) optaram por agruparem as separações em grupos e as
partições em inteiros num único modelo – “partições” – visto que se tratam de casos
particulares desse modelo. Passaremos agora a expor o seriam cada um desses modelos:
2.4.1. Modelo de Seleção
Neste modelo, de um conjunto de m elementos (quase sempre distintos) é considerada uma amostra de n objetos que deve ser retirada. O problema seguinte procura ilustrar isso.
Numa caixa há 4 bolas numeradas (com os dígitos 2, 4, 7, 9). Escolhemos uma das bolas e anotamos seu número. Então, colocamos a bola de volta na caixa. Repetimos o procedimento até formarmos um número de três dígitos. Quantos números diferentes de três dígitos são possíveis de se obter? Por exemplo, podemos obter o número 222. (Godino et. al, 2005, p.8, tradução nossa)
O verbo “escolher” que aparece no problema é a palavra-chave21 para se
identificar esse tipo de configuração. Outros verbos como “selecionar”, “pegar”, “extrair” e “coletar” se referem à ideia de amostra e seleção. Na seleção de elementos para uma amostra, deve-se considerar a possibilidade de repetição de um ou mais
21 O uso de palavras ou verbos-chave torna mais simples o reconhecimento da configuração em questão sem,
contudo, carregar em si toda a complexidade da situação proposta. Em outras palavras, há situações cuja interpretação pode ser feita a partir dos modelos propostos por Dubois, sem que neles figurem, necessariamente,
elementos e se a ordem em que a amostra é extraída é ou não é relevante. De acordo com estas características obtemos as quatro operações combinatórias básicas apresentadas na tabela a seguir:
Amostra ordenada Amostra não ordenada
Repetidos Arranjo com repetição (AR)m,n
Combinação com repetição (CR)m,n
Não-repetidos Arranjo Simples Am,n
Combinações Ordinárias Cm,n
Quadro 1 Operações básicas segundo o modelo de seleção.
2.4.2 Modelo de Distribuição
No modelo de distribuição, pretende-se distribuições um conjunto de m objetos em n caselas, como acontece no problema a seguir:
Supondo que temos três cartas idênticas e que queremos colocá-las em quatro diferentes envelopes coloridos: amarelo, azul, vermelho e verde. Só é possível introduzir uma carta em cada um dos envelopes diferentes. De quantas maneiras as três cartas idênticas podem os três ser colocadas em quatro envelopes diferentes? Por exemplo, poderíamos introduzir uma carta dentro do envelope amarelo, outra dentro do envelope azul e a última dentro do envelope verde. (Godino et. al, 2005, p.8, tradução nossa)
Neste caso, dois grupos diferentes de objetos intervêm (cartas e envelopes) não sendo fácil aplicar a regra do ordenado ou não-ordenado. Para resolver esse problema podemos considerar que, apesar de não haver possibilidade de ordenação das cartas por serem objetos indistinguíveis, os envelopes são distinguíveis pela cor.
Godino et. al (2005) expõe que a solução deste problema é obtida por C4,3, mas
existem possibilidades neste modelo, considerando-se as seguintes características:
• se os objetos a serem distribuídos são idênticos ou não;
• se as caselas são idênticas ou não;
• se as caselas são ordenáveis ou não (no caso de recipientes diferentes);
• se devemos considerar a ordem dos objetos dentro das caselas;
• as condições que se agregam à distribuição, como o número máximo de objetos em cada casela ou a possibilidade de ter caselas vazias, e assim por diante.
Segundo Godino et al. (2005) , nos problemas de distribuição um conjunto composto de m objetos e outro conjunto de n caselas são colocados em correpondência. Logo, algumas destas distribuições podem ser formalizadas em termos matemáticos como de aplicações que podem ser injetoras, sobrejetoras ou bijetoras.
De volta ao problema proposto, ao olharmos do ponto de vista dos envelopes podemos traduzi-lo do modelo de distribuição para um o de seleção. Isso porque distribuir três cartas idênticas em quatro envelopes de cores diferentes equivale a calcular todas as amostras possíveis de três envelopes a partir dos quatro envelopes distintos disponíveis
2.4.3 Modelo de Partição
Neste modelo estamos interessados em dividir um conjunto de m elementos em
n subconjuntos, em outras palavras e como o próprio nome sugere, queremos efetuar
partições em um conjunto, como no problema seguinte:
João e Maria têm quatro figurinhas numeradas de 1 a 4. Eles decidem repartir suas figurinhas, ficando cada um com duas. Por exemplo, Maria poderia ficar com as figurinhas 1 e 2, e João com as figurinhas 3 e 4. De quantos modos eles podem repartir as figurinhas entre si,
desta forma?
Navarro-Pelayo et al (1996) chamam atenção ao fato de que uma distribuição de
m objetos em n caselas pode ser traduzida como uma partição de um conjunto de m
elementos em n subconjuntos. Há, portanto, uma correspondência biunívca entre os modelos partição e de distribuição que para o aluno pode não ser tão evidente.
Alguns verbos chaves como dividir, repartir, decompor, separar podem ser associados à ideia de partição facilitando, assim, seu reconhecimento.
Dubois (1984) afirma ser esta sistematização uma fonte de situações simples e concretas que podem ser resolvidas mediante a mobilização de procedimentos de intuição, representação, abstração, generalização e formalização, em que são instrumentalizados conceitos de aplicação, produto cartesiano, relação de ordem e de equivalência, entre outros.
Com relação às fórmulas, Dubois (ibid) entende que seu trabalho favorece a exploração de diversos caminhos possíveis para deduzi-las, induzi-las e demonstrá-las. Contudo, até o presente, não encontramos trabalhos científicos que relatem a utilização desta sistematização, ou seja, o uso dos Modelos Combinatórios Implícito para este fim.
Ele observa que, além das possibilidades de abordagem descritas anteriormente, tal sistematização seria uma ferramenta útil ao professor que ensina Análise Combinatória na preparação de atividades didáticas e unidades de ensino visando a uma melhor articulação e exploração do raciocínio combinatório. O autor pontua a importância na elaboração das situações de combinatória, lembrando que “os problemas de contagem continuam sendo a espinha dorsal do ensino de Análise Combinatória no nível pré-universitário” (DUBOIS, 1984, p.54, tradução nossa).
Ainda sobre os problemas de contagem, Dubois (ibid) lamenta o fato de que
pseudos problemas realistas sejam usados com o intuito de tornar o ensino de Análise
Combinatória significativo para o aluno. Na sua opinião, tais problemas são falhos na construção de caminhos sistemáticos que permitam ao aluno um reconhecimento mais fácil de métodos apropriados na resolução de problemas combinatórios. Além disso, ele
considera não haver um repertório suficiente de problemas contextualizados fora das Probabilidades, ou seja, situações ligadas ao cotidiano e a outras áreas como as das Ciências, das Tecnologias e das Artes.
Além de aplicações no ensino e na aprendizagem em Análise Combinatória, o autor sinaliza que esta sistematização pode servir de base para investigações no campo da Educação Matemática e para aqueles interessados na gênese de esquemas cognitivos, citando os trabalhos realizados por Piaget e Inhelder.
2.5 O Grupo de Investigación sobre Educación Estadísticas e as pesquisas