A fase de um sistema Termodinˆamico ´e qualquer por¸c˜ao homogˆenea deste, ou seja, quando as propriedades macrosc´opicas observadas s˜ao idˆenticas. A ´agua, por exemplo, pode exibir trˆes fases distintas em condi¸c˜oes normais: s´olida, l´ıquida e gasosa. A passagem de uma fase a outra ocorre conforme os parˆametros externos, como a press˜ao P e a temperatura T , s˜ao alterados. No caso da ´agua, ´e poss´ıvel observar uma transi¸c˜ao da fase s´olida (que possui simetria discreta, definida pela simetria da rede cristalina) para a fase gasosa (invariante por transla¸c˜oes arbitr´arias) com o aumento da temperatura. Do ponto de vista microsc´opico, esse aumento da temperatura gera um aumento da agita¸c˜ao t´ermica das mol´eculas da ´agua que, em um dado momento, destroem a estrutura cristalina. Dessa forma, a ordem de longo alcance ´e destru´ıda pelas flutua¸c˜oes t´ermicas. Essa transi¸c˜ao apresenta uma coexistˆencias de fases, a temperatura e a press˜ao permanecem constantes enquanto que toda energia envolvida no processo, chamada de calor latente, ´e usada para converter uma fase em outra. As transi¸c˜oes que envolvem calor latente s˜ao denominadas de transi¸c˜oes de primeira ordem. Por outro lado, uma transi¸c˜ao de fase pode correr de forma suave sem que duas ou mais fases coexistam. Tais transi¸c˜oes, que n˜ao envolvem calor latente, s˜ao denominadas de transi¸c˜oes de segunda ordem ou cont´ınuas. O ponto que separa as duas fases neste caso recebe o nome de ponto cr´ıtico. Um exemplo t´ıpico desse tipo de
transi¸c˜ao acontece com o ferro. Para baixas temperaturas existe um ordem de longo alcance entre os spins dos el´etrons, caracterizando uma fase ferromagn´etica, enquanto que para altas temperaturas o ferro torna-se paramagn´etico. No caso da transi¸c˜ao cont´ınua entre as fases ferromagn´etica e paramagn´etica existe uma grandeza termodinˆamica que caracteriza as duas fases, a magnetiza¸c˜ao. Na fase ferromagn´etica (fase ordenada) existe uma magnetiza¸c˜ao diferente de zero mas, conforme a temperatura aumenta, a magnetiza¸c˜ao diminui, anulando-se na fase paramagn´etica (fase desordenada) para temperaturas maiores que a temperatura cr´ıtica Tc (a temperatura de Curie).
A grandeza termodinˆamica com a propriedade de ser nula na fase desor- denada e finita na fase ordenada ´e denominada parˆametro de ordem. Este conceito foi introduzido por Landau na sua teoria fenomenol´ogica das transi¸c˜oes de fase. Com o intuito de ilustrar algumas das ideias da teoria de Landau vamos continuar examinando a transi¸c˜ao magn´etica. Inicialmente, assume-se que a energia livre de Gibbs G ´e fun¸c˜ao apenas de P , T e do parˆametro de ordem1ζ. Como no equil´ıbrio
a energia livre de Gibbs ´e determinada por P e T tem-se que ζ = ζ(P, T ). A primeira considera¸c˜ao de Landau consiste em assumir que a energia livre de Gibbs pode ser expandida em potˆencias do parˆametro de ordem2 ζ:
G(T, P, ζ) = G0(T, P ) + α1ζ + α2ζ2+ α3ζ3+ α4ζ4+ . . . . (4.1)
A segunda condi¸c˜ao ´e a que minimiza G, ou seja ∂G ∂ζ ζ=0 = 0 e ∂ 2G ∂ζ2 ζ=0 > 0. (4.2) Para a condi¸c˜ao ∂G ∂ζ
ζ=0 = 0 ser satisfeita deve-se ter α1 = 0. Um valor finito
para α3 leva a uma transi¸c˜ao de fase de primeira ordem e uma descontinuidade
em ζ, enquanto que α3 = 0 caracteriza uma transi¸c˜ao cont´ınua3. Desprezando
os termos de ordens superiores (e assumindo α3 = 0), a energia livre assume a
forma:
G(T, P, ζ) = G0(T, P ) + α2ζ2+ α4ζ4, (4.3)
1Lembrando que na fase ordenada (T < Tc) tem-se ζ > 0 enquanto que na fase desordenada (T > Tc) ζ = 0.
2No caso de uma transi¸c˜ao de segunda ordem esta hip´otese parece razo´avel, pois ζ tende a zero de maneira cont´ınua nas vizinhan¸cas do ponto cr´ıtico.
3Na transi¸c˜ao magn´etica ζ = M ´e um vetor (ζ2= ~ζ· ~ζ), logo α
3= 0 pois n˜ao ´e poss´ıvel formar um escalar a partir de ζ3.
4. Transi¸c˜oes de Fase Quˆanticas 59
onde α4 > 0 para garantir a existˆencia do equil´ıbrio. A energia livre de Gibbs para
um sistema magn´etico onde as varia¸c˜oes de volume s˜ao desprezadas ´e G(T, H, M ) = F (T, M ), onde F (T, M ) ´e a energia livre de Helmholtz e M a magnetiza¸c˜ao. Portanto:
G(T, H, M ) = F0(T ) + α2(T )M2+ α4(T )M4. (4.4)
Aplicando a condi¸c˜ao de minimiza¸c˜ao (4.2): ∂G ∂ζ = 2α2(T )M + 4α4(T )M 3 = 0, ∂2G ∂ζ2 = 2α2(T ) + 12α4(T )M 2 > 0.
A primeira equa¸c˜ao ´e satisfeita para M = 0 ou M2 =−α
2/2α4. Agora, usando a
segunda equa¸c˜ao nota-se que:
M = 0 ⇒ α2 > 0 e M2 =−
α2
2α4 ⇒
α2 < 0.
Portanto, para α2 > 0 o ´unico m´ınimo da eq. (4.3) ´e M = 0 enquanto que para
α2 < 0 existem dois m´ınimos. Para garantir a continuidade de α2´e necess´ario que
α2(Tc) = 0. A forma mais simples que satisfaz tal condi¸c˜ao ´e α2(Tc) = a(T− Tc).
Com isso, as duas solu¸c˜oes para o parˆametro de ordem s˜ao:
M = 0 , T > Tc M = ± s a(Tc− T ) 2α4 , T < Tc.
Note que a magnetiza¸c˜ao se anula segundo uma lei de potˆencia M ∝ (Tc −
T )12. O expoente 1/2 ´e conhecido como expoente cr´ıtico e desempenha um papel
importante no estudo de transi¸c˜oes de fase. Al´em do parˆametro de ordem, outras grandezas f´ısicas, tais como o calor espec´ıfico e a susceptibilidade magn´etica, apresentam tamb´em um comportamento descrito por expoentes cr´ıticos. De uma maneira geral, na vizinhan¸ca do ponto cr´ıtico todas as fun¸c˜oes termodinˆamicas podem ser expressas como [85]:
f (t) = Atλ(1 + Btx+ ...)
onde A, B, λ e x s˜ao constantes com x > 0 e t = (Tc−T )/Tc´e a distˆancia ao ponto
cr´ıtico associado a f cuja defini¸c˜ao ´e:
λ = lim
t→0
ln f (t) ln(t) .
Os expoentes cr´ıticos possuem um car´ater universal, ou seja, s˜ao os mesmos para distintos materiais e mesmo para distintos sistemas f´ısicos. Por exemplo, o expoente cr´ıtico do parˆametro de ordem da transi¸c˜ao l´ıquido-g´as de segunda ordem4 ´e o mesmo da transi¸c˜ao ferromagn´etica para sistemas com
simetria Ising5. Entretanto, os valores dos expoentes cr´ıticos preditos pela teoria
de Landau geralmente n˜ao correspondem `aqueles obtidos experimentalmente. Essa discrepˆancia surge pois a teoria de Landau n˜ao leva em conta as flutua¸c˜oes do parˆametro de ordem6. Embora o valor m´edio de ζ seja zero na fase desordenada,
as suas flutua¸c˜oes n˜ao s˜ao necessariamente zero. Portanto, segundo o crit´erio de Ginzburg, a teoria de Landau ´e satisfat´oria desde que as flutua¸c˜oes do parˆametro de ordem com rela¸c˜ao ao seu valor m´edio sejam pequenas.
Na pr´oxima se¸c˜ao o famoso modelo de Ising ´e introduzido. Este modelo foi proposto por Lenz e resolvido por Ising, seu aluno, em uma dimens˜ao e por Onsager, em duas dimens˜oes [85]. Com este modelo busca-se ilustrar alguns aspectos importantes da teoria de transi¸c˜ao de fase.