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Ao decidirmos trabalhar, em nossa pesquisa, com a análise das provas e demonstrações presentes em materiais didáticos relativas ao conteúdo Geometria Analítica, buscamos os estudos realizados por Balacheff (1987; 1988) ao categorizar os tipos de provas produzidas por alunos.

Na França, a demonstração ocupa um lugar importante na organização curricular da Matemática, aparecendo no primeiro ciclo da escola secundária como objeto de estudo. Segundo Balacheff (1988) o ensino das demonstrações não pode se basear somente na transferência aos alunos das mesmas demonstrações utilizadas e aceitas pela comunidade científica, mas que esse objeto matemático passe por uma transposição didática (CHEVALLARD, 1991) que o transforme em um objeto de ensino.

Balacheff (1988) considera as demonstrações um tema essencial para a aprendizagem da Matemática, porém, essa aprendizagem apresenta dificuldades. Balacheff (1987) destaca que essas dificuldades

[...] estão relacionadas à passagem (que pode ser vista como uma ruptura de contrato didático) de uma Matemática prática, caracterizada pela ação e observação, a uma Matemática mais teórica, devido a introdução da demonstração (BALACHEFF, 1987)

Considerando as demonstrações aceitas pela comunidade científica, Balacheff (1988) identifica dois aspectos:

Por um lado é uma forma privilegiada de prova, ela remete a uma prática que permite ao mesmo tempo uma comunicação e validação;

Por outro lado, é objeto de estudo para lógicos, ela recebe uma definição precisa no contexto das teorias formais (BALACHEFF, 1988, p.15, tradução nossa)

Ao destacar a demonstração como uma forma de prova, esse autor considera importante diferenciar os termos prova, demonstração e explicação, entendendo que em muitas situações, no âmbito da Matemática, são utilizados como sinônimos e podendo acarretar obstáculos às pesquisas sobre ensino e aprendizagem desses termos.

Balacheff (1987) propõe as seguintes definições para cada um desses termos:

Chamamos explicação um discurso que visa tornar compreensível o caráter de verdade, adquirido pelo locutor de uma proposição ou de um resultado. As razões podem ser discutidas, recusadas ou aceitas.

Chamamos prova uma explicação aceita por uma comunidade em um determinado momento. Essa decisão pode ser objeto de um debate entre a significação e a exigência de determinar um sistema de validação comum aos interlocutores.

Entre as provas, certamente há uma particular, elas são uma sequência de enunciados seguindo regras determinadas: um enunciado é conhecido como sendo verdadeiro, ou bem é obtido a partir daqueles que lhe precedem com o auxílio de uma regra de dedução tomada de um conjunto de regras bem definidas. Chamamos demonstração essas provas. Nós reservamos a palavra raciocínio para designar a atividade intelectual, na maior parte do tempo não explícita e manipulação de informações para, a partir de dados, produzir novas informações (BALACHEFF, 1987, pp.147,148).

Balacheff (1987) afirma que a passagem de uma Matemática de observação (validações empíricas) para a chamada Matemática formal (teórica) apresenta dificuldades no que concerne à aprendizagem dos alunos, pois passam agora a exigir deles um avanço cognitivo para o qual, em muitos casos, ainda não estão totalmente preparados.

Foi a partir da distinção dos diferentes estágios do desenvolvimento cognitivo que Balacheff (1988), desenvolveu seus estudos com o intuito de categorizar os tipos de provas produzidas por alunos, a partir de situações-problema em Geometria dedutiva.

A seguir apresentamos alguns aspectos da tipologia de provas apresentados por Balacheff e que serão utilizados em nossas análises.

3.2.1 Categorias e tipos de provas

Em suas primeiras pesquisas sobre o tema provas e demonstrações, Balacheff (1987;1988) fez a distinção de uma tipologia de provas relativa ao desenvolvimento cognitivo, inserida nas duas categorias por ele estabelecidas: as provas pragmáticas e

meio das análises das produções dos alunos, a partir do estudo de propriedades geométricas dos polígonos.

Prova pragmática é hipotecada pela singularidade do acontecimento que

a constitui, é preciso aceitar seu caráter genérico. Ela é além disso, tributária de um contingente material: ferramentas imprecisas, defeitos de funcionamento.

Prova intelectual mobiliza uma significação contra uma outra, uma

pertinência contra uma outra, um racionalidade contra uma outra (BALACHEFF, 1988, p.54).

As categorias de provas estabelecidas por esse autor, distinguem-se pelo tipo de validações que propiciam com acesso ou não à experimentação.

Freitas (2003) interpreta essa categorização relacionando as provas pragmáticas àquelas que se apóiam em tentativas numéricas relacionadas à realização de experiências e as provas intelectuais àquelas que utilizam registros de representação algébricos para validar as proposições.

Nas provas consideradas pragmáticas, o aluno busca fundamentar suas convicções realizando algumas verificações numéricas e validando-as, considerando assim que possa torná-las gerais. Segundo Dias (2009), o papel do professor é fundamental nesse momento, uma vez que

[...] no ambiente da sala de aula, se o professor não instiga o aluno a justificar as suas afirmações, este pode não enxergar motivos para empreender uma validação para suas conjecturas, se contentando em exemplificá-las (DIAS, 2009, p.33).

Um processo de ensino e aprendizagem que contemple a utilização de provas e demonstrações pode permitir ao aluno desenvolver meios de validação que lhe permitam ir além das constatações meramente numéricas.

No âmbito das provas intelectuais, a elaboração das justificativas que validam os resultados encontrados deve assumir um rigor maior do que o encontrado nas provas pragmáticas, considerando a utilização de uma linguagem que tenta explicar a ocorrência de uma propriedade Matemática, por exemplo.

Segundo Balacheff (1988), o recurso às experiências mentais marca verdadeiramente a passagem da produção de provas pragmáticas à produção de provas intelectuais, não considerando somente a produção de ações efetivas, mas o desenvolvimento de ações interiores, no sentido do desenvolvimento cognitivo de Piaget. Segundo Dias (2009), considerando o desenvolvimento cognitivo (raciocínio) as provas pragmáticas e as intelectuais encontram-se em pólos opostos.

De um lado, as provas pragmáticas estão envolvidas em um raciocinar para a prática; enquanto que de outro lado, as provas intelectuais abarcam um racionar voltado para a construção de uma rede de significados. Podemos afirmar que as primeiras conectam-se à problemática da eficácia; e as segundas, à problemática do rigor (DIAS, 2009, p.34). Balacheff (1988) determina, a partir das provas pragmáticas e intelectuais, quatro principais tipos considerando a gênese cognitiva da demonstração, ou seja, pelos raciocínios desenvolvidos e conhecimentos mobilizados ao produzir uma prova:

Empirismo ingênuo: consiste em assegurar a validade de um enunciado

baseado na observação de um caso qualquer. Esse modo de validação é bem rudimentar e insuficiente. É uma das primeiras formas utilizadas para generalizações22 _{(PIAGET, 1978 apud BALACHEFF, 1988, p.56,} tradução nossa).

Experiência crucial: é um processo que consiste em verificar a validade

de uma proposição a partir de duas hipóteses, podendo-se rejeitar uma em detrimento à outra. Nesse processo, a explicitação da generalização se dá pela realização de experiências, na busca de um resultado geral.

Exemplo genérico: consiste na explicação das razões de validação de

uma proposição pela realização de operações ou de transformações de um objeto presente, particular. A formulação de propriedades características e estruturas pertencentes a uma classe ou Campo.

Experiência mental: representa a interiorização da ação desvinculada de

seu representante particular. A validação de uma proposição é sustentada pela teoria (BALACHEFF, 1988, p.56).

22 _{A importância das experiências no desenvolvimento das estruturas cognitivas, segundo Piaget e Inhelder} (1989) apud Lima (2004), é considerado um dos fatores do desenvolvimento, entretanto, é importante saber como é que o sujeito exerce a sua ação e como o sujeito registra os dados da experiência. Piaget considera a importância do papel da história vivida pelo sujeito e da ação das experiências passadas sobre a experiência atual em todas as fases de desenvolvimento, desde o período sensório-motor até o período das operações formais (Lima, 2004).

Balacheff (1988) enfatiza que o recurso à experiência mental evidencia a passagem das provas pragmáticas às provas intelectuais pelas ações interiores, no sentido da mobilização cognitiva necessária à elaboração desse tipo de prova, considerada pelo autor em um nível mais elevado. As provas intelectuais elaboradas a partir da experiência mental mais se aproximam das estruturas formais exigidas em uma demonstração.