7. Generaldiscussion
7.5 Stressandfishwelfare
Primeira parte
Seja Mnuma variedade simplesmente conexa e f : Mn→ Sn+1 um mergulho localmente
não-enodado. Pela Dualidade de Alexander Sn+1− f (M ) tem duas componentes cujos fechos
vamos denotar, no decorrer deste capítulo, por A e B. Como f é localmente não-enodada, A e B são variedades PL e ∂A = f (M) = ∂B.
Lema 5.2.1. Seja f : Mn→ Sn+1 um mergulho localmente não-enodado. Então:
(a) As inclusões f (M) ⊂ A e f (M) ⊂ B induzem isomorfismos Hj(f (M )) → Hj(A)⊕Hj(B),
para 0 < j < n.
(b) Hj(A) ≈ Hj(B) = 0, para j = n, n + 1.
(c) Se M é (p − 1)-conexa, p ≥ 2, então assim são A e B.
Prova: Note inicialmente que o homomorfismo bordo Hn+1(Sn+1)−→ H∂ n(A ∩ B) ≈ Hn(M )
é um isomorfismo.
Agora considere a seqüência de Mayer-Vietoris da tríada própria (Sn+1; A, B), a saber
5.2 Esquema para a prova do teorema principal 93
observando que M precisa ser orientável e identificando M a A∩B = f (M). Para todo inteiro positivo j, j < n, tem-se Hj+1(Sn+1) ≈ Hj(Sn+1) = 0. Logo, o item (a) segue da exatidão
desta seqüência.
Uma vez que o homomorfismo bordo Hn+1(Sn+1)−→ H∂ n(A ∩ B) é um isomorfismo, como
já temos visto, ainda da seqüência de Mayer-Vietoris segue que Hj(A) ⊕ Hj(B) = 0 para
j = n, n + 1, o que prova o item (b).
Para concluir (c) note primeiro que M é simplesmente conexa; logo, pelo Teorema de Van Kampen A e B também o são. O resultado, então, segue de (a) e do isomorfismo de Hurewicz ϕ que faz comutar o diagrama abaixo, para qualquer j > 0.
πj(f (M )) ϕ //πj(A) ⊕ πj(B) ϕ Hj(f (M )) //Hj(A) ⊕ Hj(B)
Para o restante desta seção vamos especificar
Mn= (#r1 i=1S p1 i × S q1 i ) # · · · # (#ri=1s S ps i × S qs i )
onde pj, qj, com j = 1, . . . , s, são inteiros arbitrários, porém fixados, satisfazendo 2 ≤ p1 <
p2 < · · · < ps ≤ qs < · · · < q2 < q1, e pj + qj = n ≥ 5 para todo j = 1, . . . , s. Então M é
simplesmente conexa e Hi(M ) ≈ Z se i = 0, n Zrj se i = p j, qj, j = 1 . . . , s 0 c.c.
Assim, pelo Lema 5.2.1,
Hi(A) ≈ Z se i = 0 Zuj se i = p j, j = 1 . . . , s Zvj se i = q j, j = 1 . . . , s 0 c.c. (5.1) onde 0 ≤ uj ≤ rj e 0 ≤ vj ≤ rj, j = 1 . . . , s.
Então segue da Dualidade de Alexander que uj+ vj = rj, j = 1 . . . , s, e do Lema 5.2.1
que Hi(B) ≈ Z se i = 0 Zvj se i = p j, j = 1 . . . , s Zuj se i = q j, j = 1 . . . , s 0 c.c. .
Seja 0 ≤ uj ≤ rje 0 ≤ vj ≤ rj, j = 1 . . . , s, e construa um poliedro X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs)
como segue: Sejam
Sp1 1 , . . . , Sup11, S p2 1 , . . . , Sup22, · · · , S ps 1 , . . . , Supss, S qs 1 , . . . , Svqss, · · · , S q2 1 , . . . , Svq22, S q1 1 , . . . , Svq11,
esferas da dimensão indicada com pontos base
b1, . . . , bu1, bu1+1, . . . , bu1+u2, ... bu1+···+us−1+1, . . . , bu1+···+us, bu1+···+us+1, . . . , bu1+···+us+vs, ... bu1+···+us+vs+···+v3+1, . . . , bu1+···+us+vs+···+v2, bu1+···+us+vs+···+v2+1, . . . , bu1+···+us+vs+···+v1
respectivamente, e seja I o intervalo fechado [1, u1+ · · · + us+ vs+ · · · + v1].
Então X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs) é obtido da união disjunta das esferas e o intervalo I iden-
tificando o ponto base bi com o ponto i ∈ I, i = 1, . . . , u1+ · · · + us+ v1+ · · · + vs.
Assim, X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs) tem o tipo de homotopia do wedge de uj esferas de dimen-
são pj e vj esferas de dimensão qj, j = 1, . . . , s.
Uma representação gráfica do poliedro X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs) é feita através da Figura
5.1 mostrada abaixo. 1 1 p S 1 1 p u S 1 s p S s s p u S S1qs s s q v S 1 1 q S 1 1 q v S 1 u1 +1 s u + 1 u + s u + 1 u + + + 1 u +us-1 1 s v s u + 1 u + + s v s u v2 1 u+ + + + + +1 1 v s v s u 1 u+ + + + +
Figura 5.1: O poliedroX(u1, . . . , us, v1, . . . , vs)
Na seqüência será freqüente identificarmos a esfera Sp1
1 , ou S p2
1 , e o intervalo [1, 2] com suas
imagens em X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs). Também suprimiremos os argumentos u1, . . . , us, v1, . . . , vs
5.2 Esquema para a prova do teorema principal 95
Teorema 5.2.2. (a) Seja h : Mn → Sn+1 um mergulho localmente não-enodado e suponha
que a homologia de A seja como em 5.1. Então existe um mergulho
f : X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs) → Sn+1
tal que A é uma vizinhança regular de f (X).
(b) Reciprocamente, se f : X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs) → Sn+1 é um mergulho e N é uma
vizinhança regular de f (X), então
N ∼=♮u1 i=1S p1 i × B q1+1 i ♮ · · · ♮♮us i=1S ps i × B qs+1 i ♮ ♮♮vs i=1S qs i × B ps+1 i ♮ · · · ♮♮v1 i=1S q1 i × B p1+1 i
onde ♮ denota soma conexa ao longo do bordo e os Bi são bolas (discos) da dimensão
indicada. Logo ∂N ∼= M .
A prova deste teorema requer vários resultados preliminares que passamos a enunciar e demonstrar agora. Neste empreendimento, vamos denotar X = X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs),
X1 = S1p1 ⊂ X se u1≥ 1 e X1= Sp12 ⊂ X se u1 = 0, e X2= X − (X1∪ [1, 2]).
Lema 5.2.3. Seja f : X → Sn+1 um mergulho e seja N uma vizinhança regular de f (X) em
Sn+1. Então existe uma vizinhança regular Ni de f (Xi) em N , i = 1, 2, e uma bola Bn+1⊂ N
tal que:
(a) N1∩ N2 = ∅.
(b) Ni∩ B é uma face de B em ∂Ni, i = 1, 2.
(c) N = N1∪ B ∪ N2.
Prova: Pela unicidade da vizinhança regular é suficiente provar o lema no primeiro caso. Por- tanto, seja (J; K, K1, K2, L) uma triangulação de (Sn+1; f (X), f (X1), f (X2), f ([1, 2])) com
K, K1, K2 e L completos em J, e sejam N = [ v∈K′ st(v, J′′) Ni = [ v∈K′ i st(v, J′′) , i = 1, 2 B = [ v∈L′−(f (1)∪f (2)) st(v, J′′)
onde ′ denota o primeiro complexo derivado, ′′ o segundo complexo derivado, e st(v, J′′) é a
estrela fechada de vértice v em J′′.
Então N, N1 e N2 são vizinhanças regulares de f (X), f (X1) e f (X2), respectivamente, e
Mais ainda, B é uma vizinhança regular do complexo L1 obtido de L′ removendo-se
f (1), f (2) e os 1-simplexos abertos σ1 e σ2 contendo estes pontos. Assim, como L1 é ou um
ponto ou homeomorfo a um intervalo fechado, L1 colapsa a um ponto e B é uma bola.
Agora, N1 ∩ B = S(st(v, J′′) ∩ st(w, J′′)), onde a união se dá sobre todos os vértices
v ∈ K1′ e w ∈ L′− (f (1) ∪ f (2)). Como v, w ∈ J′, st(v, J′′) ∩ st(w, J′′) 6= ∅ se, e somente se,
v e w geram um 1-simplexo de J′. Mas se v = ˆσ e w = ˆτ, onde σ, τ ∈ J e ˆσ (ˆτ) é o ponto
de σ (◦ τ ) em que σ (τ ) é estrelado formando J◦ ′, então v e w geram um 1-simplexo de J′ se, e
somente se, τ ≺ σ ou σ ≺ τ , onde ≺ significa “é uma face de”. Suponha τ ≺ σ. Então, como um ponto de τ◦, a saber w = ˆτ, está em L′ − (f (1) ∪ f (2)), τ ∈ L. Similarmente, τ ∈ K
1.
Assim, τ ∈ K1∩ L e como K1∩ L = f (1), τ = f (1). Logo, w = ˆτ = f (1) /∈ L′− (f (1) ∪ f (2)),
o que é uma contradição. Assim, σ ≺ τ .
Por um argumento similar ao anterior segue que σ = f (1). Portanto, como σ ≺ τ ∈ L e como L é uma triangulação de f ([1, 2]), τ é um 1-simplexo de J.
Finalmente, como f : [1, 2] → Sn+1 é um mergulho, existe um único 1-simplexo τ de L
com f (1) ≺ τ . Assim,
B ∩ N1 = st(f (1), J′′) ∩ st(ˆτ , J′′)
que é justamente a célula Bndual ao 1-simplexo de J′ gerado por f (1) e ˆτ. Como é claro que
Bn⊂ ∂B e Bn⊂ ∂N
1, a afirmação (b) vale para N1∩ B.
Similarmente prova-se que (b) vale para N2∩ B.
Como a afirmação (c) segue da construção de N, N1, N2e B, a prova do lema está completa.
Corolário 5.2.4. Seja f : X → Sn+1 um mergulho e seja N uma vizinhança regular de f (X)
em Sn+1. Então N ∼=♮u1 i=1S p1 i × B q1+1 i ♮ · · · ♮♮us i=1S ps i × B qs+1 i ♮♮vs i=1S qs i × B ps+1 i ♮ · · · ♮♮v1 i=1S q1 i × B p1+1 i
Prova: A prova é por indução sobre r = u1+ · · · us+ vs+ · · · + v1.
Se r = 1, então X = Sp com 2 ≤ p ≤ q e p + q = n ≥ 5. Assim, (n + 1) − p = q + 1 ≥ 3 e,
portanto, por [36, Teorema 2], X não enoda em Sn+1 e o resultado procede.
Suponha que o corolário seja válido para r − 1. Então, no lema anterior,
N1 ∼= S1p1 × Bq1+1 (ou S1p2× Bq2+1 se u1= 0) por [36], e N ∼=♮u1 i=2S p1 i × B q1+1 i ♮ · · · ♮♮us i=1S ps i × B qs+1 i ♮♮vs i=1S qs i × B ps+1 i ♮ · · · ♮♮v1 i=1S q1 i × B p1+1 i
O corolário então segue do Lema 5.2.1 e da definição de soma conexa de bordo.
Lema 5.2.5. Sejam Mn uma variedade orientável e B i ⊂
◦
M , i = 1, 2, duas n-bolas. Seja P ⊂ M − (B1∪ B2) um poliedro que não desconecta M . Se h : B1 → B2 é um homeomorfismo
de grau 1, então existe um homeomorfismo k : M → M isotópico a 1M estendendo h, tal que
k|P = 1P.
5.2 Esquema para a prova do teorema principal 97
Lema 5.2.6. Seja Mn uma variedade orientável e seja B
i ⊂ ∂M , i = 1, 2, (n − 1)-bolas com
B1∩B2 = ∅. Se h : M → M é um homeomorfismo de grau 1, então existe um homeomorfismo
k de M em M isotópico a h e tal que k|Bi = 1Bi, i = 1, 2.
Prova: Pelo Lema 5.2.5, como h−1|
h(B1): h(B1) → B1é de grau 1, existe um homeomorfismo
k1 : ∂M → ∂M isotópico a 1∂M com k1|h(B1)= h
−1|
h(B1). Seja K : ∂M × [0, 1] → ∂M × [0, 1]
a isotopia entre k1 e 1∂M e estenda k1 a um homeomorfismo k1′ : M → M sendo k1′ = K em
um colar em torno de ∂M e k′
1 = identidade fora do colar. Claramente k′1 é isotópico a 1M.
Por uma segunda aplicação do Lema 5.2.5, existe um homeomorfismo k2 : ∂M → ∂M
isotópico a 1∂M tal que k2|k1h(B2)= (k1h)
−1|
k1h(B2) e k2|B1 = 1B1. Estenda k2 a um homeo-
morfismo k′
2: M → M isotópico a 1M como acima.
Tomando k = k′
2k′1h completamos a prova.
Lema 5.2.7. Seja V = ♮r
i=1Sq × Bp, com p ≥ 3 e q ≥ 2. Então qualquer automorfismo
σ : Hq(V ) → Hq(V ) pode ser realizado por um homeomorfismo h : V → V .
Prova: Sejam e1, . . . , er ∈ Hq(V ) um sistema de geradores correspondendo as zero-seções
Siq× 0 ⊂ Sqi × Bip ⊂ V , i = 1, . . . , r, e sejam R, S e Ti, i = 1, . . . , r − 1, automorfismos de
Hq(V ) satisfazendo:
R(e1) = −e1, R(ej) = ej, j 6= 1
S(e1) = e1+ e2, S(ej) = ej, j 6= 1
Ti(ei) = ei+1, Ti(ei+1) = ei, Ti(ej) = ej, j 6= i, i + 1
Vamos provar primeiro o lema para σ igual a R, S ou Ti. Para simplificar a prova nestes
casos, assumimos sem perda de generalidade que, em V , (Siq× Bip) ∩ (Sjq× Bjp) = Ci,j é uma
(p + q − 1)-bola em ∂(Siq× Bip) ∩ ∂(Sjq× Bjp) se j = i − 1 ou i + 1, e é vazio se j 6= i − 1, i, i + 1. Suponha σ = R. Sejam f : Sq1 → S1q e g : B1p → B1p homeomorfismo de grau −1. Então f × g : S1q× B1p→ S1q× B1p tem grau 1 e, pelo Lema 5.2.6, existe um homeomorfismo k : Sq1 × B1p → Sq1 × Bp1 tal que k|C1,2 = 1|C1,2. Então k estende a um homeomorfismo
h : V → V , sendo h igual a identidade fora de S1q× B1p. Claramente h realiza R.
Suponha σ = S e que V = S1q× Bp1 ♮ Sq2× B2p. Seja a : [1, 2] → V um mergulho tal que a([1, 2]) ∩ (Siq× 0) = a(i), i = 1, 2, e seja
K = S1q× 0 ∪ S2q× 0 ∪ a([1, 2]).
Seja N ⊂V vizinhança regular de K. Então, pela prova do Lema 5.2.3, N = N◦ 1∩ D ∪ N2,
onde Ni = Siq× Bp é uma vizinhança regular de S q
i × 0 em V , i = 1, 2; N1∩ N2 = ∅; D é uma
(p + q)-bola; e D ∩ Ni é uma face de D em ∂Ni, i = 1, 2.
Seja Bp = Ep
1 ∪ E2p onde Eip, i = 1, 2, são bolas tais que E p
1 ∩ E2p é uma face comum.
Então existe um homeomorfismo f : Sq× Bp → Sq 2× B
p
2 tal que C1,2⊂ f (Sq× Bp) e tal que
f (Sq× 0) representa e
2. Então
é homeomorfo a V . Assim, pelo Teorema de Irwin [17], existe um mergulho g1 : Sq→ V com
g1(Sq) ⊂ ◦
V′ que representa e1+ e2.
Seja M1uma vizinhança regular de g1(Sq) em ◦
V′. Então como V′ mergulha em Sp+q (isto
é, em codimensão zero), M1 é também uma vizinhança regular de g1(Sq) em Sp+q. Como
p ≥ 3, [36, Teorema 2] implica que M1 é homeomorfo a Sq × Bp. Seja h1 : N1 → M1 um
homeomorfismo de grau 1, tal que h1|S1q×0 = g1.
Agora, seja g2 : Sq → V a composição
Sq ∼= Sq× 0 ⊂ Sq× E2p−→ V.f |
Por argumentos similares ao anterior existe um homeomorfismo h2 : N2 → M2 de grau 1 tal
que h2|S2q×0 = g2, onde M2⊂
◦
V é uma vizinhança regular de g2(Sq) que não encontra M1.
Seja xi∈ (Ni× D)◦, i = 1, 2, e seja
b : [1, 2] → V − (M1∪ M2) = W
um mergulho tal que b(i) = hi(xi), i = 1, 2. Seja D′ uma vizinhança regular de b([1, 2]) em W
que encontra ∂W regularmente. Então D′ é uma (p + q)-bola e segue da teoria de vizinhança
regular (ver, por exemplo, [15, Lema 2.19]) que podemos assumir D′∩ ∂M
i = hi(Ni∩ D),
i = 1, 2. Agora, como hi|Ni∩D é de grau 1, não é muito difícil ver que estas aplicações podem
ser estendidas a um homeomorfismo h3 : D → D′.
Seja h4 : N1∪ D ∪ N2 → M1∪ D′∪ M2 o homeomorfismo obtido pondo h1, h2 e h3 juntos.
Então h4 tem grau 1. Finalmente, como
V − (N1∪ D ∪ N2) e V − (M1∪ D′∪ M2)
são ambos homeomorfos a ∂V × [0, 1], pelo Teorema do h-cobordismo, h4 pode ser estendido
a um homeomorfismo h : V → V de grau 1. Se V = ♮r i=1S q i × B p
i com r ≥ 2, podemos utilizar a prova do Lema 5.2.6 para assumir que
o homeomorfismo h construído acima mantém C2,3 pontualmente fixado. Então h pode ser
estendido a um homeomorfismo de V sendo h(x) = x se x /∈ (S1q× B1p) ∪ (Sq2× B2p). Segue da construção que h realiza S.
Suponha σ = Ti e seja V′ = Siq× Bip ♮ Si+1q × Bi+1p ⊂ V. Então existe, obviamente,
um homeomorfismo k : V′ → V′ de grau 1 que permuta Sq i × B p i e S q i+1× B p i+1. Pelo
Lema 5.2.6, existe um tal homeomorfismo com k|Ci−1,i∪Ci,i+1 = identidade. Estenda k a um
homeomorfismo h : V → V sendo h(x) = x se x ∈ V − V′ e h|
V′ = k. Então h realiza Ti.
O lema agora segue notando-se que R, S e Ti, i = 1, . . . , r − 1 geram Aut(Hq(V )).
Corolário 5.2.8. Seja V = ♮r
i=1Sq× Bp, com p ≥ 3 e q ≥ 2. Qualquer sistema de geradores
g1, . . . , gr ∈ Hq(V ) pode ser representado por mergulhos fi : Sq→ V com imagens mutuamente
5.2 Esquema para a prova do teorema principal 99
Prova: É fácil ver que cada gi pode ser representado por uma q-esfera mergulhada. É a
disjunção mútua que requer algum esforço para a prova.
Sejam e1, . . . , er ∈ Hq(V ) o conjunto de geradores da prova do lema anterior e seja σ o
automorfismo de Hq(V ) que aplica ei a gi, i = 1, . . . , r. Então σ pode ser realizado por um
homeomorfismo de V . Portanto, como ei, i = 1, . . . , r, pode ser representado por q-esferas
mergulhadas mutuamente disjuntas, também o pode cada gi, i = 1, . . . , r.
Prova do Teorema 5.2.2: Vamos mostrar que se e1, . . . , er ∈ eH∗(A) geram eH∗(A), onde
r = u1 + · · · us+ v1 + · · · + vs, então estes geradores podem ser representados por esferas
mergulhadas mutuamente disjuntas em A. (Note que como e◦ H∗(A) tem posto r este é um
sistema minimal de geradores). Na prova desta etapa distinguiremos entre os geradores de dimensão ≤ ps e os geradores de dimensão > ps.
Sejam e1, . . . , et∈ eH∗(A) os geradores de eH∗(A) de dimensão ≤ psAssim, t = u1+ · · · + us
se ps6= qs, e t = u1+ · · · + us+ vsse ps= qs. Como eH∗(M ) aplica sobrejetivamente em eH∗(A)
e como toda classe em eH∗(M ) é “esférica”, toda classe em eH∗(A) é “esférica”. Assim, existem
aplicações fi : Sipj → A, i = 1, . . . , uj, j = 1, . . . , s (ou se ps = qs, i = 1, . . . , us+ vs para
j = s) representando os geradores e1, . . . , et. Por resultados de Irwin [17], podemos assumir
que os fi são mergulhos. Como dimA ≥ 2ps+ 1, estes mergulhos podem ser construídos
mutuamente disjuntos por argumentos de posicionamento gerais. Suponha agora que fi : Si →
◦
A, i = 1, . . . , t, são mergulhos com imagens mutuamente disjuntas representando os geradores e1, . . . , et ∈ eH∗(A) de dimensão menor que m, onde
m ≥ ps, e que N1, . . . , Nt são vizinhanças regulares mutuamente disjuntas das imagens com
mesmo índice. Sejam et+1, . . . , et+w ∈ Hm(A) geradores de dimensão m. (Note que w = vj
se m = qj.)
Se tomamos certo cuidado na formação da soma conexa, é claro que os mergulhos Sqj
i ∼=
xi × Siqj ⊂ S pj
i × S qj
i , onde xi ∈ Sipj, produzem mergulhos S qj
i → Mn, i = 1, . . . , rj,
representando um sistema de geradores de Hqj(M ) que são mutuamente disjuntos. Utilize
um colar de M em A′ = A − (N◦
1 ∪ · · · ∪ ◦
Nt) para obter mergulhos gi : Sqj → ◦
A′ com imagens mutuamente disjuntas, i = 1, . . . , rj. Agora, seja yi ∈ gi(Sqj), i = 1, . . . , rj, pontos quaisquer
e seja ai : [i, i + 1] → ◦
A′, i = 1, . . . , rj − 1, mergulhos tais que
ai([i, i + 1]) ∩ gk(Sqj) = yi se k = i yi+1 se k = i + 1 ∅ c.c. .
Como dimA ≥ 6, é possível selecionar um mergulho ai tal que
ai([i, i + 1]) ∩ ak([k, k + 1]) = yi se k = i − 1 yi+1 se k = i + 1 ∅ se k 6= i − 1, i, i + 1
Assim, os mergulhos gi, i = 1, . . . , rj “cabem juntos” a um dado mergulho g : X(rj) → A′.
Seja N uma vizinhança regular de g(X(rj)) em ◦
A′. Então N é também uma vizinhança
regular de g(X(rj)) em Sn+1. Logo, pelo Corolário 5.2.4
N = ♮ri=1Sqj
i × Bpj+1.
Como a inclusão M ⊂ A induz epimorfismo Hqj(M ) → Hqj(A), segue da construção de N
que Hqj(N ) → Hqj(A) é também um epimorfismo.
Agora, sejam e′
1, . . . , e′rj ∈ Hqj(N ) um conjunto de geradores tal que e′j projeta a ei+1∈
Hqj(A) para i = 1, . . . , rj e a zero caso contrário. O Corolário 5.2.8 mostra que e
′
1, . . . , e′rj
podem ser representados por qj-esferas mergulhadas mutuamente disjuntas em N. Logo,
existem mergulhos fi : Sqij → ◦
A, i = t + 1, . . . , t + vj, representando et+1. . . , et+vj, cujas
imagens são mutuamente disjuntas e não encontram qualquer das outras esferas mergulhadas fi(Si), i = 1, . . . , t.
Por indução, portanto, existem mergulhos fi : Si → ◦
A representando ei, i = 1, . . . , r, com
imagens mutuamente disjuntas. O mergulho
f : X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs) → ◦
A
é obtido dos fi por argumentos similares aos utilizados anteriormente para a construção do
mergulho g : X(rj) → ◦
A′. Note que segue da construção de f que f
∗ : H∗(X) → H∗(A) é
isomorfismo.
Agora, seja N uma vizinhança regular de f (X) em A. Então π◦ 1(∂N ) = 1 pelo Corolário
5.2.4. Como π1(A) e π1(N ) também são triviais, segue do Teorema de Van Kampen que
π1(A− ◦
N ) = 1. Mas também Hi(A− ◦
N , ∂N ) ≈ Hi(A, N ) = 0 para todo i, já que f∗ é
isomorfismo. Logo, a inclusão ∂N ⊂ A−N é uma equivalência de homotopia.◦ Como π1(M ) = 1 e Hi(A−
◦
N , M ) = 0, pela Dualidade de Lefschetz, a inclusão M ⊂ A−N◦ é também uma equivalência de homotopia. Logo, pelo Teorema do h-cobordismo, A−N ∼◦ = ∂N × I e A é uma vizinhança regular de f (X). Isto conclui a prova da afirmação (a).
Como a afirmação (b) segue do Corolário 5.2.4, a prova do teorema está completa.
Segunda parte
Teorema 5.2.9. Sejam f, g : X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs) → Sn+1 mergulhos e sejam P e Q
vizinhanças regulares de f (X) e g(X) respectivamente. Então existe um homeomorfismo h : Sn+1 → Sn+1 de grau 1, tal que h(P ) = Q.
Antes de provar este teorema, vamos fixar a notação e provar dois lemas preliminares. Nestes e na demonstração do Teorema 5.2.9 denotamos X = X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs) e se
5.2 Esquema para a prova do teorema principal 101
Lema 5.2.10. Seja u1 ≥ 1. Seja f : X → Sn+1 um mergulho e seja N (N2) uma vizinhança
regular de f (X) em Sn+1 (de f (X 2) em
◦
N ). Então existe um mergulho f′ : X → N e uma bola Bn+1⊂ Sn+1 tal que:
(a) N é uma vizinhança regular de f′(X) em Sn+1
(b) f (X1) ⊂ B e B ∩ N2 = ∅
Prova: Como N (respectivamente N2) colapsa a X (respectivamente a X2) e u1 ≥ 1, a
seqüência exata do par (N, N2)
· · · → Hi(N2) → Hi(N ) → Hi(N, N2) → Hi−1(N2) → · · ·
mostra que Hp1(N, N2) ≈ Z e Hi(N, N2) = 0 se i 6= p1. Com efeito, uma vez que 2 ≤ p1 <
p2 < · · · < ps ≤ qs < · · · < q2 < q1 segue Hp1(N ) ≈ Zu1 e Hp1(N2) ≈ Zu1−1. Além disso,
é fácil notar que a inclusão N2 ⊂ N induz isomorfismo Hi(N2) → Hi(N ) para todo i > p1.
Assim, ficamos com a seqüência exata
· · · → Hp1+1(N2)
≈
−→ Hp1+1(N ) → Hp1+1(N, N2) → Z
u1−1 → Zu1 → H
p1(N, N2) → 0 → · · ·
donde vemos que, de fato,
Hi(N, N2) ≈
(
Z se i = p1 0 se i 6= p1
.
Pelo Teorema 5.2.1, Hp1−1(N, N2) = 0. Assim, são exatas as duas linhas de cima no diagrama
comutativo 0 //Hp1(N2) i1∗ //Hp1(N ) j1∗ //Hp1(N, N2) //0 0 //Hp1(∂N2) k1∗ OO i2∗ //H p1(N − ◦ N2) k2∗ OO k4∗ j2∗ //H p1(N − ◦ N2, ∂N2) k3∗ OO //0 Hp1(∂N2) i3∗ //H p1(Sn+1− ◦ N2)
Note que k3∗ é um isomorfismo, por excisão. Agora, considere a seqüência de Mayer-
Vietoris · · · → Hp1+1(S n+1) → H p1(∂N2) ν −→ Hp1(N2) ⊕ Hp1(S n+1−N◦ 2) → Hp1(S n+1) → · · · da tríada (Sn+1; N 2, Sn+1− ◦ N2). Sendo, obviamente, Hp1+1(S n+1) ≈ H p1(S n+1) = 0, é um
isomorfismo a aplicação ν. Disto segue que são epimorfismos as aplicações k1∗ e i3∗ do
O diagrama, então, mostra que existe uma classe x ∈ Hp1(N −
◦
N2) que não é imagem por
i2∗ e tal que k4∗(x) = 0 em Hp1(S
n+1− N◦
2). Sendo assim, a comutatividade do quadrado
superior esquerdo do diagrama, onde i1∗ é claramente injetivo e aplica gerador a gerador,
mostra que (j1∗◦ k2∗)(x) é um gerador de Hp1(N, N2). Ainda, pela exatidão da seqüência
referente a primeira linha do digrama, Hp1(N ) é gerado pela imagem de i1∗ e k2∗(x).
O mergulho f′ : X → N é agora obtido notando-se que, como N −N◦
2 é (p1− 1)-conexa,
x é esférico e pode ser representado por um mergulho g : Sp1 → (N −
◦
N2)◦, sendo f′|Sp1 1 = g,
f′|X2 = f |X2; e estendendo f
′ sobre o intervalo [1, 2] ⊂ X como na prova do Teorema 5.2.2.
Então claramente f′
∗ : Hi(X) → Hi(N ) é um isomorfismo se i 6= p1 e tem imagem gerada
pela imagem de i1∗ e por k2∗(x). Assim, f∗′ : Hp1(X) → Hp1(N ) é um epimorfismo. Mas
como ambos os grupos aí envolvidos são abelianos livres em u1 geradores, segue que f∗′ é
isomorfismo também na dimensão p1.
Portanto, a afirmação (a) segue do Teorema do h-cobordismo. Para provar a segunda afirmação, note primeiro que Sn+1−N◦
2 é (p1− 1)-conexo. Assim,
como k4∗(x) = 0, o mergulho composto
g : Sp1 → (N −N◦
2)◦ ⊂ Sn+1− ◦
N2
é homotopicamente nulo. Como q1 ≥ 2, a codimensão deste mergulho é ≥ 3 (n = p1+ q1). A
prova do Teorema 7.4 de [15] então mostra que existe uma bola Bn+1 ⊂ Sn+1− N◦
2 tal que
f′(X1) = g(Sp1) ⊂ Bn+1, provando o item (b).
Lema 5.2.11. Sejam u1 ≥ 1, n ≥ 5 e sejam f, g : X → Sn+1 mergulhos tais que f |Xi = g|Xi,
i = 1, 2; e sejam P e Q vizinhanças regulares de f (X) e g(X) respectivamente. Então existe um homeomorfismo h : Sn+1→ Sn+1 de grau 1 e tal que h(P ) = Q.
Prova: Alterando os mergulhos f |[1,2]e g|[1,2]se necessário, podemos assumir que f |[1,2]∩g|[1,2]
consiste de dois pontos f (1) = g(1) e f (2) = g(2). (Como Sn+1, P e Q têm dimensão
≥ 6, é sempre possível alterar f e g desta maneira). Logo f |[1,2] e g|[1,2] combinadas dão
um mergulho ξ : S1 → Sn+1. Seja Φ : S1 × I → Sn+1 um mergulho com Φ|
S1×0 = ξ e
Φ(S1× 1) ⊂ Sn+1− (f (X1) ∪ f (X2)). (Claramente um tal mergulho existe). Então, como
Sn+1− (f (X1) ∪ f (X2)) é simplesmente conexo, Φ|S1×1 estende a uma aplicação
Φ1: B2→ Sn+1− (f (X1) ∪ f (X2)).
Ainda do fato de n+1 ≥ 6, podemos assumir que Φ1é um mergulho e que Φ(S1×I)∩Φ1(B2) =
Φ(S1× 1). Assim, Φ e Φ1 juntos dão um mergulho Ψ : D2 → Sn+1, onde D2 é o 2-disco
(S1× I) S
S1×1
B2, com
Ψ(∂B2) = f ([1, 2]) ∪ g([1, 2]). Seja Bn+1 uma vizinhança regular de Ψ(D2) relativa a f (X
1) ∪ f (X2). Então Bn+1 é
5.2 Esquema para a prova do teorema principal 103
próprios. Pelo não-enodamento de bolas em bolas [36], então, existe um homeomorfismo h1 : Bn+1→ Bn+1 de grau 1 tal que
h1f ([1, 2]) = g([1, 2]) e h1|∂Bn+1 = identidade
Estenda h1 a um homeomorfismo de Sn+1 tomando h1 = identidade fora de Bn+1.
Claramente h1 tem grau 1. Então, como f (Xi) ∩ Bn+1 = f (i) e g|Xi = f |Xi, i = 1, 2,
h1f (X) = g(X). Assim, h1(P ) é uma vizinhança regular de g(X). Pela unicidade da
vizinhança regular, então, existe um homeomorfismo h2 : Sn+1 → Sn+1 de grau 1 com
h2(h1(P )) = Q. Tomando-se h = h2h1 completa-se a prova.
Prova do Teorema 5.2.3: Faremos esta prova por indução sobre o número r (= u1+ · · · +
us+ v++ · · · + vs) de esferas em X = X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs).
Se r = 1, então X = Sp, com 2 ≤ p ≤ q e p + q = n ≥ 5. Assim, (n + 1) − p = q + 1 ≥ 3
e, portanto, pelo Teorema 2 de [36], X não enoda em Sn+1. Logo f (X) e g(X) não são
enodamentos e o resultado segue da unicidade da vizinhança regular.
Agora, suponha válido o teorema para r − 1 esferas e seja X com r esferas. Existem dois casos a se considerar:
1◦ Caso: X = X(u
1, . . . , us, v1, . . . , vs) com u1 ≥ 1. Neste caso assumimos, sem perda de
generalidade, que f e g satisfazem (a) e (b) do Lema 5.2.10 e que, como no Lema 5.2.3, P = P1 ∪ C ∪ P2, Q = Q1∪ D ∪ Q2, onde P1 (Q1) é uma vizinhança regular de f (X1)
(de g(X1)), P2 (Q2) é uma vizinhança regular de f (X2) (de g(X2)), C e D são bolas, e
P1 ∩ P2 = ∅ = Q1 ∩ Q2. Como P1 colapsa a f (X1) e existe uma (n + 1)-bola B1 com
f (X1) ⊂ B1, podemos engolfar P1 em B1 e assumir pelo Lema 7.1 de [15] que P1 ⊂ B1.
Portanto, podemos assumir que B1 ∩ P2 = ∅. Similarmente, assumimos que existe uma
(n + 1)-bola B2 com Q1⊂ B2 e B2∩ Q2= ∅.
Agora, pelo Lema 5.2.5, existe um homeomorfismo h1 : Sn+1 → Sn+1 de grau 1 com
h1(B1) = B2e h1(Q2) = Q2, uma vez que Q2 ⊂ Sn+1− (B1∪ B2) não desconecta Sn+1. Pela
hipótese de indução existe um homeomorfismo h2 : Sn+1→ Sn+1 de grau 1 com h2h1(P2) =
Q2. Afirmamos que h2 pode ser escolhido tal que h2|B2 = identidade. Com efeito: se esta
afirmação não fosse certa, então teríamos B2 e h(B2) duas bolas distintas em Sn+1, e Q2 um
poliedro em Sn+1− (B
2 ∪ h2(B2)) que não desconecta Sn+1. Considere o homeomorfismo
h−12 : h2(B2) → B2, obviamente de grau 1, inverso do homomorfismo h2 restrito a h2(B2).
Pelo Lema 5.2.5, existe um homeomorfismo k : Sn+1 → Sn+1 de grau 1 (isotópico a 1 Sn+1),
tal que k|Q2 é a identidade e k|h2(B2)= h
−1
2 . Logo,
kh2h1(P2) = k(Q2) = Q2 e kh2|B2 = h
−1
2 h2 = identidade.
Substituindo h2 por kh2 verifica-se a afirmação.
Similarmente, como Sn+1−B◦
2é uma (n+1)-bola, existe um homeomorfismo h3 : Sn+1→
Sn+1de grau 1 tal que h
3h2h1(P1) = Q1 e h3| Sn+1−B◦ 2 é a identidade. Assim, se h′ = h 3h2h1, h′(P1) = Q1 e h′(P2) = Q2
Defina um mergulho f′ : X → h′(P ) fazendo f′|
Xi = g|Xi, i = 1, 2, e fazendo f′|[1,2]
descrevendo um caminho em h′(P ) entre g(1) e g(2) não interceptando g(X
1) ∪ g(X2). Como
h′(Pi) = Qi colapsa a g(Xi), i = 1, 2, não é muito difícil verificar que f′ : X → h′(P ) é
uma equivalência de homotopia e que h′(P ) é, portanto, uma vizinhança regular de f′(X).
Ficamos, então, com mergulhos f′, g : X → Sn+1 com f′|
Xi = g|Xi, i = 1, 2, sendo Q
vizinhança regular de g(X) e h′(P ) vizinhança regular de f′(X). Pelo Lema 5.2.11, existe um
homeomorfismo h4 : Sn+1→ Sn+1 de grau 1 tal que h4h′(P ) = Q.
Tomando-se h = h4h′ completa-se a prova do 1◦ caso.
2◦ Caso: X = X(u
1, . . . , us, v1, . . . , vs) com u1 = 0. Neste caso, como
∂P = (#r1 i=1S p1 i × S q1 i ) # · · · # (# rs i=1S ps i × S qs i ) ,
segue do Lema 5.2.1 e Teorema 5.2.2 que existem mergulhos
f′, g′ : X′(u′1, . . . , u′s, v1′, . . . , v′s) → Sn+1
tais que Sn+1− P e S◦ n+1− Q◦ são vizinhanças regulares de f′(X) e g′(X) respectivamente,
onde u′
j = rj − uj e v′j = rj− vj.
Agora, se v1≥ 1, então u′1 ≥ 1 e existe, pelo 1◦ caso, um homeomorfismo h : Sn+1 → Sn+1
de grau 1 tal que h(Sn+1−P ) = S◦ n+1−Q. Mas então h(P ) = Q, completando a prova do◦
2◦ caso e do teorema. Por outro lado, se v
1 = 0, então não se tem esferas em dimensões p1
e q1. Logo, podemos renumerar as esferas chamando p2 de p1, . . . , pn de pn−1, e o mesmo
com os qj, j = 1, . . . , n. Repetimos este processo (um número claramente finito de vezes) até
que se obtenha u1 ≥ 1 ou v1 ≥ 1, aplicando na seqüência o 1◦ ou o 2◦ caso respectivamente,
e concluindo o teorema.
Terceira parte
Teorema 5.2.12. Sejam f : X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs) → Sn+1e g : X′(u′1, . . . , u′s, v1′, . . . , v′s) →
Sn+1 mergulhos, e sejam P e Q vizinhanças regulares de f (X) e g(X′) respectivamente. Para
que exista um homeomorfismo h : Sn+1→ Sn+1 de grau 1 tal que h(∂P ) = ∂Q é necessário e
suficiente que uj+ vj = u′j+ v′j, j = 1, . . . , s, e que uma das seguintes afirmações seja válida:
(i) Se n é ímpar ou se n é par e ps 6= n2, uj = u′j e vj = vj′, j = 1, . . . , s, ou uj = vj′ e
vj = u′j, j = 1, . . . , s.
(ii) Se n é par e ps = n2, uj = u′j e vj = v′j, j = 1, . . . , s − 1, ou uj = vj′ e vj = u′j,
j = 1, . . . , s − 1. Prova: Separamos os casos.
(i) Suponha que exista um homeomorfismo h : Sn+1→ Sn+1 de grau 1 tal que h(∂P ) =
∂Q. Então ∂P e ∂Q têm homologias isomorfas e como, pelo Teorema 5.2.2, Hpj(∂P ) é
abeliano livre de posto uj+ vj enquanto Hpj(∂Q) é abeliano livre de posto u
′
5.2 Esquema para a prova do teorema principal 105
uj+ vj = u′j + vj′, j = 1, . . . , s. Também como h é um homeomorfismo e ∂P e ∂Q separam
Sn+1 em duas componentes, ou h(P ) = Q ou h(P ) = Sn+1−Q. Se h(P ) = Q, então P e Q◦
tem as mesmas homologias. Além disso, pelo Lema 5.2.1, temos:
Hi(P ) ≈ Z se i = 0 Zuj se i = p j, j = 1 . . . , s Zvj se i = q j, j = 1 . . . , s 0 c.c. ou Hi(P ) ≈ Z se i = 0 Zvj se i = p j, j = 1 . . . , s Zuj se i = q j, j = 1 . . . , s 0 c.c. e Hi(Q) ≈ Z se i = 0 Zv′j se i = p j, j = 1 . . . , s Zu′j se i = q j, j = 1 . . . , s 0 c.c. ou Hi(Q) ≈ Z se i = 0 Zu′j se i = p j, j = 1 . . . , s Zv′j se i = q j, j = 1 . . . , s 0 c.c.
o que mostra que uj = u′j e vj = v′j, j = 1, . . . , s, ou uj = vj′ e vj = u′j, j = 1, . . . , s. Se, por
outro lado, h(P ) = Sn+1−Q, um argumento similar usando as homologias de P e S◦ n+1−Q◦
e o Lema 5.2.1 mostra que, também neste caso, uj = u′j e vj = vj′, j = 1, . . . , s, ou uj = vj′ e
vj = u′j, j = 1, . . . , s.
Agora, suponha que (i) valha. Então se uj = u′j e vj = v′j, j = 1, . . . , s, X e X′ são
homeomorfos e existe um homeomorfismo h : Sn+1 → Sn+1 de grau 1 com h(∂P ) = ∂Q, pelo
Teorema 5.2.9. Por outro lado, suponha uj = v′j e vj = u′j, j = 1, . . . , s. Então pelo Lema
5.2.1, Hpj(S
n+1−Q) e H◦ qj(S
n+1−Q) são abelianos livres de posto u◦
j e vj, respectivamente,
j = 1, . . . , s; já que Hpj(∂Q) e Hqj(∂Q) são abelianos livres de posto u
′
j + vj′ pelo Teorema
5.2.2, e Hpj(Q) e Hqj(Q) são abelianos livres de posto u′j e v′j, respectivamente. Logo, pelo
Teorema 5.2.2 existe um mergulho
g′ : X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs) → Sn+1
tal que Sn+1−Q◦ é uma vizinhança regular de g′(X). Outra aplicação do Teorema 5.2.9 dá o
homeomorfismo h.
(ii) A prova da condição necessária é idêntica a do caso anterior. Já a condição suficiente, repare, não impõe condições de relação entre os valores us, vs, u′s e v′s. Pois muito bem,
sendo n par e ps = n/2, uma vez que ps+ qs = n, é também qs = n/2. Logo, assumindo
us+ vs= u′s+ vs′, tanto f (X) quanto g(X′) possui o mesmo número de esferas de dimensão
n/2 = ps= qs.
Agora, se denotamos por X(us, vs) o subconjunto de X formando somente pelas esferas
de dimensão ps e qs coladas no intervalo [u1+ · · · + us−1+ 1, u1+ · · · + us+ vs] reunido com o
intervalo (u1+ · · · + us+ vs, u1+ · · · + us+ vs+ 1], e denotamos por X′(u′s, vs′) o subconjunto de
X′ formando somente pelas esferas de dimensão pse qscoladas no intervalo [u′1+ · · · + u′s−1+
1, u′
1+ · · · + u′s+ vs′] reunido com o intervalo (u′1+ · · · + u′s+ vs′, u′1+ · · · + u′s+ vs′ + 1]; então
X(us, vs) é naturalmente homeomorfo a X′(us, vs). Logo, se Ps⊂ ◦
P e Qs ⊂ ◦
regulares de X(us, vs) e X′(us, vs) respectivamente, segue da unicidade da vizinhança regular
que existe um homeomorfismo h1 : Sn+1→ Sn+1 de grau 1, tal que h1(Ps) = Qs.
Seja ˆX o espaço quociente obtido de
(X − {X(us, vs) ∪ [u1+ · · · + us+ vs, u1+ · · · + us+ vs+ 1]}) ∪ {u1+ · · · + us−1+ 1}
segundo a relação u1+ · · · + us−1+ 1 ≡ u1+ · · · + us+ vs+ 1. Seja ˆX′ o espaço construído
de modo análogo partindo de X′. Pela prova da primeira parte do teorema, se ˆP ⊂P e ˆ◦ Q ⊂Q◦
são vizinhanças regulares de f ( ˆX) e g( ˆX′) respectivamente, então existe um homeomorfismo
h2: Sn+1 → Sn+1 de grau 1, tal que h2( ˆP ) = ˆQ.
Agora, não é difícil notar que Ps∪ ˆP ⊂ ◦
P e Qs∪ ˆQ ⊂ ◦
Qsão vizinhanças regulares de f (X) e g(X′), respectivamente. Logo, pela unicidade da vizinhança regular P ∼= Ps∪ ˆP e Q ∼= Qs∪ ˆQ.
Vê-se, então, que h1 e h2 dão juntos um homeomorfismo h : Sn+1→ Sn+1 de grau 1, tal que
h(P ) = Q, o que conclui a prova do teorema.