4.3 Medborgerskap i en digital verden
4.3.1 Stimulering til medborgerskap
O limite clássico associado ao ruído das quadraturas do campo pode ser determinado a partir das flutuações de intensidade de um feixe coerente. Serão descritas aqui as técnicas empregadas em nosso experimento para a calibração do shot-noise e os métodos utilizados para torná-lo uma referência para os demais ruídos.
Considere dois campos ~E1 e ~E2 que incidem em um divisor de feixes (figura 2.4),
gerando dois campos de saída ~E3 e ~E4, relacionados entre si através da equação matricial
E3 E4 = r t t r E1 E2 , (2.6.5)
em que r e t são os coeficientes complexos de reflexão e transmissão do divisor de feixes ilustrado na figura2.4.
A conservação de energia impõe | ~E1|2+ | ~E2|2 = | ~E3|2 + | ~E4|2, o que implica
|r|2+ |t|2 = 1,
r∗t+ rt∗ = 0. . (2.6.6)
Se escrevermos r = |r|eiϕr e t = |t|eiϕt, é possível mostrar que a diferença de fase entre
os campos refletidos e transmitidos deve ser igual a π. Utilizando esses resultados e introduzindo os operadores de aniquilação através das correspondências
E1 → ˆa, E2 → ˆb, (2.6.7)
Figura 2.4: Esquema de um divisor de feixes. obtemos ˆc ˆ d = |r| −|t| |t| |r| ˆa b . (2.6.9)
Para o caso de uma detecção balanceada (|r| = |t| = 1/√2), obtemos os campos de saída ˆc = √1
2(ˆa + ˆb), dˆ= 1 √
2(ˆa − ˆb). (2.6.10)
No processo de detecção são usados fotodetectores sensíveis aos operadores número, uma vez que o efeito fotoelétrico é o responsável pela conversão de intensidade dos campos em fotocorrente. Dessa forma, os operadores hermitianos que representam a fotodetecção dos campos ˆc e ˆd são dados por
ˆ
Ic = kˆc†ˆc e ˆId= k ˆd†d,ˆ (2.6.11) onde k é um fator constante (geralmente denominado ganho) introduzido pela eletrônica envolvida na detecção. Se o valor de k realmente não variar com a intensidade do campo incidente, dizemos que a eletrônica possui uma resposta linear, algo fácil de ser testado experimentalmente.
Informações importantes sobre os campos de entrada podem ser obtidas através da soma e subtração das fotocorrentes medidas, escritas em termos dos campos de entrada como
I+ = ˆIc+ ˆId= k(ˆa†ˆa + ˆb†ˆb) (2.6.12) I− = ˆIc− ˆId= k(ˆa†ˆb + ˆaˆb†). (2.6.13) Suponhamos um sistema formado por campos de entrada representados pelos estados |Φai e |βi, tal que o estado geral seja |Ψi = |Φai ⊗ |βi. Para simplificar, sem perder em
generalidade, vamos considerar o estado correspondente ao campo ˆb como sendo coerente, ˆb|βi = β|βi. Com isso, podemos calcular as variâncias dos sinais de soma e subtração,
∆2I
(±) = hI±2i − hI±i2. (2.6.14)
Após algumas manipulações algébricas, obtém-se ∆2I
− = k2(hˆa†ˆai + |β|2) + k2[h(βˆa†+ β∗ˆa)2i − h(βhˆa†i + β∗hˆai)2i],
∆2I
+ = k2[h: ∆2ˆna :i + hˆa†ˆai + |β|2], (2.6.15) em que h: ∆2ˆn
a:i é a variância do operador número do campo ˆa em ordem normal5. Explicitando a amplitude complexa β = |β|eiθ, a variância da subtração das fotocor- rentes é reescrita como
∆2I
− = k2(hˆa†ˆai + |β|2) + k2|nb|2[h(ˆa†eiθ+ ˆae−iθ)2i
| {z }
h ˆX2
θi
− hhˆa†ieiθ+ hˆaie−iθi2
| {z }
h ˆXθi2
], (2.6.16)
onde notamos a presença da quadratura generalizada, ˆXθ, do campo ˆa. Podemos ainda escrever as variâncias em termos do valor médio das intensidades de cada campo, obtendo
∆2I
− = k(hIai + hIbi) + khIbi∆2Xˆθ ∆2I
+ = k2h: ∆2ˆna :i + khIai + khIbi. (2.6.17) O resultado acima nos mostra que as flutuações da subtração das intensidades têm uma relação direta com as flutuações da quadratura do campo ˆa. Variando a fase θ do campo coerente (oscilador local), temos acesso a todas as quadraturas do campo. Um caso particularmente interessante ocorre quando consideramos o modo do campo ˆb como sendo o modo de vácuo, |βi = |0i. As expressões (2.6.17) se tornam
∆2I
− = khIai (2.6.18)
∆2I
+ = khIai + k2h: ∆2ˆna:i (2.6.19) Para um estado coerente, as flutuações de intensidade são iguais ao valor médio do campo, o que caracteriza uma distribuição Poissoniana no número de fótons. Sendo assim, re- conhecemos na expressão (2.6.18) o termo correspondente ao shot-noise. Na equação (2.6.19) notamos duas contribuições, uma devido ao shot-noise, primeiro termo do lado direito, e outra devido a ruídos característicos do estado analisado, segundo termo.
A forma usual de calibração do shot-noise se dá pela equação (2.6.18) com a obtenção do coeficiente linear k. Feito isso, os ruídos de uma dada medida são normalizados pela constante k multiplicada pelo valor médio hIai do campo correspondente, o que equivale a
5
Ordem normal é definida como aquela em que os operadores de criação são posicionados à esquerda dos operadores de aniquilação.
normalizar ∆2I
−. Esse é o método mais utilizado para relativizar os ruídos ao shot-noise.
Além disso, como a variância da subtração das fotocorrentes tem uma dependência linear com a intensidade do campo, a técnica serve como um teste para a eletrônica de detecção. Outro método baseado na ideia acima consiste em medir os ruídos de interesse e normalizá-lo pelo shot-noise a cada medida. Faz-se isto calculando diretamente a razão ∆2I +/∆2I−: ∆2I + ∆2I − = kh: ∆2ˆna:i hIai + 1, (2.6.20)
de onde se notam as contribuições do ruído do campo de interesse e do ruído quântico padrão, igual à unidade, dado que foi divido por ele mesmo.
Se reescrevermos h: ∆2ˆn a :i em termos de Ia, obtemos ∆2I + ∆2I − = ∆2Ia kIa = ∆2p, (2.6.21)
onde a segunda igualdade se refere à equação (2.2.15). Este resultado nos mostra que a razão entre as variâncias dos sinais de soma e subtração das fotocorrentes nos fornece o ruído de amplitude do campo já normalizado pelo shot-noise.
Ao lidarmos com medidas de flutuações do campo, devemos levar em consideração todas as fontes de ruído que serão registrados no ato da medida. Basicamente, ao incidir um campo em um fotodetector, o ruído total ST medido também tem contribuições da eletrônica do aparato experimental. Explicitamente,
ST = ∆2I(t) + ∆2I(t)esc+ ∆2I(t)th+ ∆2I(t)amp
| {z }
∆2I(t)
ele
, (2.6.22)
onde o primeiro termo é o ruído intrínseco da luz e os demais são diferentes tipos de ruído eletrônico, ∆2I(t)
ele . O primeiro deles, ∆2I(t)esc [Spiegel 1980], refere-se a falsas detecções, pois mesmo na ausência de luz os fotodetectores produzem algum tipo de sinal, chamado de corrente escura. O segundo, ∆2I(t)
th, está relacionado ao ruído térmico, conhecido também como ruído de Johnson-Nyquist [Vetterling 1980,Spiegel 1980], devido à agitação dos elétrons nos elementos que formam a eletrônica (resistores, por exemplo). O último deles, ∆2I(t)
amp, surge por causa da amplificação do sinal. Portanto, antes de qualquer medida de shot-noise, é imprescindível a medida do ruído eletrônico do sistema para que seja subtraído de todas as aquisições e o ruído resultante seja somente o de interesse [Bachor 1998].
Mostramos nesta seção como é medido o ruído quântico padrão, referência para iden- tificar características puramente quânticas nos estados de interesse. Também exibimos como os demais ruídos podem ser normalizados pelo shot-noise, de modo que, se iguais a um, serão os mesmos encontrados em estados coerentes, menores que um indicarão com- pressão e se maiores mostrarão que o estado apresenta excesso de ruído. Contudo, falta ainda apresentar como podemos acessar flutuações de diferentes quadraturas, assunto que será apresentado a seguir.