Janelas de Tempo
10.1. Introdução
Uma vez que a rentabilidade de um voo está ligada à sua ocupação, uma empresa aérea, ao realizar seu planejamento operacional, pode desejar determinar a taxa mínima de ocupação das aeronaves para que um voo seja considerado rentável. Da mesma forma, a empresa pode desejar que alguns voos sejam cumpridos independentemente de sua viabilidade econômica, por razões exógenas, não considerando adequada uma solução que não contemple tais voos.
Além disso, a possibilidade de considerar que a demanda de passageiros seja ligeiramente flexível - seja em termos de horário de atendimento, seja em termos de aeroportos de origem e destino - pode proporcionar análises interessantes e, considerando suposições razoáveis quanto à supracitada flexibilidade, gerar programações mais eficientes.
Dado que o modelo matemático apresentado anteriormente não contempla tais possibilidades, este capítulo apresenta um novo modelo matemático para a Programação de Voos integrada à Alocação de Frotas, incluindo uma nova função objetivo e restrições que permitam as considerações apresentadas. As próximas seções detalham não apenas a modelagem em si, mas também a aplicação do modelo a instâncias baseadas no caso real de uma empresa aérea regional operando no mercado brasileiro.
10.2. Considerações Específicas
O modelo que se segue foi desenvolvido com base nas seguintes considerações, além das já expostas no Capítulo 5:
a) Mercado: caracteriza a demanda de passageiros e é definido por um conjunto de aeroportos de origem e de destino, em uma faixa horária que indica a janela de tempo para o início do atendimento à demanda que representa (a partida do voo).
b) Voos: podem ser obrigatórios ou opcionais, cada um deles podendo atender a um único mercado, isto é, os mercados são considerados independentes.
c) Demanda: podendo ser redistribuída entre os voos capazes de atender a este mercado.
d) Custos de Voo: associado ao momento de transporte perdido, seja por conta de passageiros que não foram transportados, seja por assentos vazios em voos. O número de passageiros não transportados e de assentos vazios devem ser minimizados segundo uma proporção pré-estabelecida.
10.3. O Modelo
Este modelo é uma evolução daquele apresentado no Capítulo 9, com as seguintes alterações:
a) Proporção de "Custo" de Assentos Vazios x Passageiros Perdidos: determinada por pesos na função objetivo.
b) Estímulo a Voos Específicos: determinada por um coeficiente constante para cada voo.
c) Redistribuição da Demanda: a demanda de cada voo e o número de passageiros transportados por um voo passam a ser variáveis
de decisão. Para que a função objetivo se mantenha linear, não é mais possível usar a diferença quadrática entre demanda e oferta. d) Demanda por Mercado: a demanda distribuída por todos os voos
de um mercado não pode ser superior à demanda total do mercado.
e) Restrições do Número de Passageiros: como no modelo apresentado no Capítulo 9, o número de passageiros alocados a um voo não pode ser superior à capacidade da aeronave alocada àquele voo; adicionalmente, o número de passageiros alocados a um voo também não pode ser superior à parcela da demanda do mercado associada àquele voo durante a solução do modelo.
f) Obrigatoriedade de Voos: restrições devem impor que cada um dos voos obrigatórios seja alocado a uma das frotas.
Para a modelagem apresentada a seguir, a definição da rede espaço-tempo segue basicamente a mesma descrição apresentada nos Capítulos 8 e 9; a única modificação se refere ao fato de que os mercados e suas demandas passam a ser associados a um conjunto de arcos, ao invés de a um único, e os arcos de voo podem ser obrigatórios ou opcionais.
Assim, a estrutura básica do modelo é composta por uma função objetivo que minimiza o momento de transporte perdido, e nove grupos de restrições, construídas em torno de três variáveis de decisão. Para a descrição do modelo são considerados as seguintes variáveis, conjuntos e parâmetros:
Variáveis:
xijf : indica o número de aeronaves da frota f que fluem por cada um
dos arcos (i,j) ∈ L.
dij : indica a parcela da demanda que foi associada ao arco (i,j) ∈ L
paij : indica o número de passageiros efetivamente alocados e
transportados no voo representado pelo arco (i,j) ∈ L, lembrando que apenas uma aeronave será alocada e este arco.
Coeficientes:
α : ajusta o custo do transporte de assentos vazios frente ao custo de oportunidade por não transportar uma parcela da demanda.
β : ajusta o custo de oportunidade por não transportar uma parcela da demanda ao custo do transporte de assentos vazios frente.
γij : ajustam o custo relativo entre os diferentes voos e podem ser
utilizados para indicar voos mais ou menos rentáveis ou, ainda, para privilegiar voos específicos como, por exemplo, os sugeridos pelo programador de voos
θijf : ajustam o custo dos assentos de frotas específicas. Também
podem ser usados para indicar voos cujos assentos são mais ou menos rentáveis, estimulando ou desestimulando o uso de frotas específicas (por exemplo, para considerar frotas que precisariam ser alugadas ou adquiridas através de leasing).
Conjuntos:
M : conjunto de mercados indexados por m. Cada mercado define uma faixa-horária de partida, uma demanda, um conjunto de aeroportos de origem e de destino.
F : conjunto de frotas disponível para alocação, indexadas por f. Nf : conjunto dos nós que são atendidos por uma aeronave da frota f
∈ F. Cada nó representa um horário em um aeroporto para uma frota específica.
Nrd : conjunto dos nós cuja operação de decolagem é limitada (slots). Nra : conjunto dos nós cuja operação de aterrissagem é limitada
L : conjunto dos arcos que unem os nós da rede, cada um deles sendo representado por um par de nós (i,j).
Lv : subconjunto de L, contendo apenas os arcos que representam movimentos de voo.
Lm : conjunto dos arcos de voo associados ao mercado m.
Lvm : subconjunto de Lv, contendo apenas os arcos que representam movimentos de voo obrigatórios.
Lvd : subconjunto de Lv, contendo apenas os arcos que representam movimentos de voo associados a um mercado.
Lt : subconjunto de L quem contém todos os arcos da rede que
incluem o instante t.
Af : número de aeronaves disponível na frota f ∈ F.
Parâmetros:
Dm : demanda disponível no mercado m.
Tij : tempo do voo representado pelo arco (i,j).
Cf : capacidade, em passageiros, de cada aeronave da frota f.
A partir dessas definições, descreve-se o modelo:
(10.1)
[min]
(i,j)cLv{
ij.T
ij.[ .((
fcF ij f.C
f.x
ij f) − pa
ij) + .(d
ij− pa
ij)]}
(10.2) fcFx
ij f= 1
≤(i, j) c Lvm
(10.3) fcFx
ij f[ 1
≤(i, j) c Lvd
(10.4) o|(o,k)cLx
ok f−
d|(k,d)cLx
kd f= 0
≤k c N
f,≤f c F
(10.5) (i,j)cLtx
ijf[ A
f≤f c F
(10.6) fcFd|(i,d)cLvx
id f[ 1
≤i c Nrd
(10.7) fcFo|(o,j)cLvx
oj f[ 1
≤j c Nra
(10.8) fcF
C
f.x
ij f− pa
ijm 0
≤(i, j) c Lv
(10.9)d
ij− pa
ijm 0
≤(i, j) c Lv
(10.10) (i,j)cLmd
ij− D
m= 0
≤m c M
Variáveis Binárias: (10.11)x
ijfc
{0, 1} para ≤(i, j) c (Lvm 4 Lvd)
Variáveis Inteiras: (10.12)x
ijfm 0 para ≤(i, j) c L\(Lvm 4 Lvd)
(10.13)d
ijm 0 para ≤(i, j) c Lv
(10.14)pa
ijm 0 para ≤(i, j) c Lv
A função objetivo, representada pela Expressão 10.1, minimiza a soma dos assentos vazios com a demanda não atendida, multiplicados pelos tempos de voo, ou seja, minimizando o momento de transporte perdido.
O primeiro conjunto de restrições, representado na Eq. 10.2, garante a cobertura dos voos obrigatórios, que são voos que devem ser alocados a uma e a apenas uma frota. Uma vez que xijf representa o fluxo de aeronaves
da frota f no arco (i,j), tais restrições garantem que a soma do fluxo de todas as frotas seja igual a 1 em cada um dos arcos que representem voos do conjunto de voos obrigatórios, Lvm ⊂ Lv.
O segundo conjunto de restrições, representado na Eq. 10.3, controla a cobertura dos voos opcionais, restringindo a 1 o número de frotas que podem ser alocadas aos voos que estão associados a um mercado. Tais restrições garantem que a soma do fluxo de todas as frotas seja menor ou