Logo após, estimam-se duas fronteiras estocásticas de custo nas quais as variáveis dependentes são cada um daqueles slacks Snit
computados no primeiro estágio e debatidos na
subseção anterior. Como variáveis explicativas teremos um conjunto de fatores tidos como exógenos aos gestores do setor de segurança pública e o termo de erro é separado entre um
34 A orientação a produto escolhida neste artigo fundamenta-se primordialmente na questão que os orçamentos
públicos no Brasil são invariavelmente rígidos para baixo, o que torna inviável sugestões práticas de restrições nominais nos insumos. Além disso, num país que convive com taxas de criminalidade tão altas quanto o nosso, não faz muito sentido se propor reduções de recursos para a segurança pública, mantidas constantes as quantidades produzidas, isto é, no atual quadro torna-se altamente desejável que os produtos das forças policiais em prol da sociedade se elevem, mantidos constantes os insumos utilizados no processo.
35 Neste estudo utilizou-se a média dos diversos índices de eficiência estimados para cada combinação possível de
insumos e de produtos.
36 Essa regra sugere nmax
m s* ,3*(ms)
, em que n = número de DMUs, m = número de inputs e s =número de outputs. Neste artigo temos 27 ≥ max{8, 18} em cada período considerado.
37 As estimativas obtidas foram comparadas com os modelos para dados de painel disponíveis no software DEA-
componente idiossincrático e uma parcela não-negativa associada às ineficiências do processo, como formalmente definido a seguir:
As funções de fronteira estocástica com termo de erro composto receberam os primeiros tratamentos econométricos, quase simultaneamente, de Aigner et. al. (1977) e Meeusen e Van den Broeck (1977), com Battese e Corra (1977) introduzindo mais adiante uma relevante reparametrização nos componentes da variância, muito utilizada nas contribuições empíricas posteriores. Nesses estudos, as definições de eficiência econômica, técnica e alocativa seguem aquelas inicialmente utilizadas por Farrel (1957) e anteriormente debatidas.
Aigner, et. al. (1977) especificaram, para dados cross section, a seguinte fronteira estocástica, inicialmente orientada para a produção:
em que yi é o produto observado da i-ésima firma; xi é um vetor de insumos utilizados no
processo de produção pela i-ésima firma; e β é um vetor de parâmetros desconhecidos. Por sua vez, o termo de erro composto ( ) é subdividido em dois elementos distintos i
A parcela idiossincrática (vi) é distribuída independentemente de ui e assumida i.i.d
0, 2
v
, isto é, tem distribuição normal, independente e identicamente distribuída, com média
0 e variância v2, e captura ruídos aleatórios como, por exemplo, erros de medida e choques externos fora do controle da firma. O segundo componente (ui) é uma variável aleatória
estritamente não negativa relacionada às ineficiências na produção, ou seja, aos desvios em relação ao nível máximo de produto passível de obtenção pela função de produção estocástica
i
i f v
y (xi,β) , dada a tecnologia vigente38.
A forma como os efeitos de ineficiência ui são distribuídos não é consensual e,
segundo Coelli et al. (2005), não há nenhuma justificativa explícita para a escolha, a priori, desta ou daquela forma, sendo essa faculdade arbitrária ao pesquisador. No entanto, os referidos
38 Em outras palavras,
0 i
u significa que os produtos observados deverão, no caso da produção, estar sempre
abaixo ou exatamente sobre a fronteira estocástica (e nesta última situação a firma seria plenamente eficiente). , ) , ( i i f y xi β . 0 i i i i u u
autores também alertam que as distribuições exponencial e meio normal com moda zero (utilizadas pelos trabalhos pioneiros já citados) apresentam o inconveniente de subestimar os efeitos da ineficiência, uma vez que nessas distribuições a probabilidade de que os ui estejam
na vizinhança de zero é maior. Como forma de contornar essa desvantagem, Stevenson (1980) propôs o uso de uma distribuição normal truncada para os ui, ao passo que Greene (1990)
sugeriu o uso de uma distribuição gamma com dois parâmetros.
A extensão dos métodos de fronteiras estocásticas para dados em painel, inclusive os não-balanceados, possibilita, de acordo com Coelli et al. (2005, p.275), a obtenção de estimadores mais eficientes para os parâmetros desconhecidos, bem como para os índices de eficiência técnica. Ademais, o referido conjunto de informações permite, de acordo com a modelagem escolhida, a investigação de mudanças ao longo do tempo tanto na eficiência técnica quanto na tecnologia de produção (ou de custos39).
Seguindo a especificação para a função de fronteira estocástica de custo descrita por Coelli (1996, p.8), mas adaptando-a para uma situação de dados em painel (BATTESE e COELLI, 1995), temos:
it it it it
y x βv u ,
em que yit é agora o (logaritmo do) custo de produção da i-ésima firma no tempo t; xit é um
vetor (ou uma transformação) dos preços dos insumos e do(s) produto(s) da i-ésima firma no tempo t; e β é um vetor de parâmetros desconhecidos.
O sinal agora positivo do termo de ineficiências (uit) traz consigo uma interpretação
levemente diferente para a medida de eficiência técnica em custos. De acordo com Coelli (1996, p.9), as medidas de eficiência dependem do valor de ui a ser estimado (predito), sendo
alcançadas pela derivação das expressões para a esperança de ui, condicional aos valores observados de (viui). A expressão relevante para a eficiência técnica da firma i é:
) exp( ) exp( ). ( ) exp( ). ( it it it it it it it u v f u v f TE x x ,
39 A abordagem de custos possui outra vantagem adicional que é a possibilidade de contabilização de múltiplos
isto é, o índice de eficiência em custos variará entre 1 e infinito, com a firma na primeira situação tendo ineficiência zero, pois estará operando exatamente na fronteira e minimizando custos. Em todos os outros resultados haverá possibilidade de ganhos de eficiência.
Portanto, neste segundo estágio com SFA em custo estimaremos, de acordo com o previsto em Fried et. al. (2002), a seguinte relação:
( ; )
n n
nit it nit nit
S f z v u
O subscrito n (n = 1, 2) refere-se a cada um dos dois produtos utilizados na metodologia MDEA do primeiro estágio, assim como i (i = 1, 2, ..., 27) faz menção a cada um dos entes federados abarcados pela amostra, ao passo que t (t = 1, 2, ..., 12) denota a dimensão temporal, ou seja, cada um dos anos do painel analisado. As variáveis dependentes são, por conseguinte, os slacks (ou insuficiências de produtos) de cada um dos produtos calculados no primeiro estágio, ao passo que zit é o vetor de variáveis explicativas que descrevem o ambiente
em que os entes federados operam e n é o vetor de parâmetros a elas associado. O termo de
erro composto é dado pela soma de ~ (0, 2 )
nit vn
v , que representa o ruído estatístico, e
2
~ ( ,n )
nit un
u , de valores não-negativos, que corresponde à ineficiência gerencial “pura”.
Dados os estimadores para n e nit
v , Fried et. al. (2002) computam as quantidades ajustadas
dos produtos A nit y como:
ˆ
min
ˆ
ˆ
min
ˆ
A n nnit nit nit nit nit nit
y
y
z
z
v
v
Em essência, ocorre uma compensação das unidades que foram mais penalizadas pelos fatores ambientais exógenos e aleatórios desfavoráveis, elevando seus produtos ajustados a fim de nivelá-las com as demais, sinalizando que possíveis outras diferenças relativas são devidas exclusivamente a questões gerenciais.
Posteriormente, Tone e Tsutsui (2009) asseveraram que esse tipo de ajuste pode causar viés
considerável nos escores DEA, haja vista não garantir a propriedade de invariância à translação40.
Como contribuição, os autores sugerem a seguinte correção que mantém a amplitude dos dados
originais e que propicia produtos ajustados isentos do viés comentado (adaptada para a situação de dados de painel): max min min min max min *(y y ) y , AA i i A A nit A A nit i i i i y y y y y
Em que o sobrescrito “A” denota que cada produto em questão (“n”) foi ajustado levando em consideração tanto a dimensão individual da amostra (“i”) quanto o seu aspecto temporal (“t”),
de forma que yA y ˆ ˆ
nit nitznitnvnit, yimax max y
nit , yimin min y
nit , max max y
A A i nit y e
min min y A A i nit y .Ponderados os prós e os contras de cada correção, optou-se neste artigo pela técnica de Tone e Tsutsui (2009) em detrimento da sugestão inicial de Fried et. al. (2002).