A Geometria se apresenta como um dos ramos mais antigos da Matemática e se desenvolveu em função das necessidades humanas. No início, ligado essencialmente ao espaço físico, os homens começam a acumular noções subconscientes sobre espaços e formas, conteúdo e relações espaciais de objetos específicos desse espaço. A essa geometria primitiva foi dado o nome de “geometria subconsciente” (EVES, 1992).
A origem da palavra geometria vem do grego: geo provém de gaia/terra e metria de métron /medida, ou ainda, “medida da terra”.
As civilizações da época pré-histórica utilizavam regras para medir comprimentos, superfícies e volumes. Seus desenhos continham figuras geométricas nas quais a simetria era uma das características predominantes.
Dentre os povos das antiguidades, os babilônios e os egípcios se interessaram muito pelas questões de medidas sem preocupação em demonstrar as fórmulas que utilizavam. Para os egípcios, por exemplo, as fórmulas eram destinadas a dar aos agrimensores e aos fiscais de obras, modos apropriados de cálculo.
A Matemática dessa época não dispunha de notações algébricas e desse modo, é possível ver em tábuas desse período, exemplos de cálculos referentes a uma dada situação particular. A esta fase denomina-se a “geometria científica”.
Posteriormente a este período, em torno de 600 a.C., a humanidade evoluiu tornando-se capaz de consolidar conscientemente algumas noções primitivas da geometria num conjunto de leis ou regras. Neste período, deu-se origem ao que se denomina “geometria demonstrativa”. Os gregos emprestaram das civilizações anteriores, seus conhecimentos matemáticos, astronômicos e transformaram essa herança cultural numa ciência dedutiva, na qual as noções de demonstração, de teorema, de definição, de axioma substituem a característica empírica da Matemática utilizada pelos seus antecessores.
Ainda segundo EVES (1992), os gregos não imaginavam o espaço como uma coleção de pontos, mas como um domínio ou lugar em que os objetos se podiam mover de um lado para outro livremente e ser comparados entre si. Deste ponto de vista, a relação básica em geometria era a de congruência ou superposição.
Euclides em sua famosa obra, Os Elementos, descreve na sua proposição IV o caso de congruência de triângulos denominado LAL (lado-ângulo-lado). Nesta proposição que estabelece a congruência de dois triângulos, foi usada uma prática experimental de deslocamento e coincidência de figuras.
PROP. IV. TEOREMA.
Se dois triângulos tiverem dois lados iguais a dois lados, cada um a cada um, e os ângulos, compreendidos por estes lados, forem também iguais; as bases e os triângulos, e os mais ângulos, que são opostos a lados iguais, serão também iguais.
Sejam os dois triângulos ABC, DEF, cujos lados AB, AC, DE, DF são iguais, cada um a cada um, isto é, AB=DE, e AC=DF; e seja o ângulo BAC=EDF. Digo, que a base BC é igual à base EF; e que o triângulo ABC é igual ao triângulo DEF; e que os outros ângulos do primeiro triângulo são iguais aos outros do segundo, cada um a cada um, segundo ficam opostos a lados iguais; isto é, o angulo ABC=DEF, e ACB=DFE.
Considere-se pôsto o triângulo ABC sobre o triângulo DEF, de sorte que o ponto A caia sobre o ponto D, e a reta AB sobre a reta DE. O ponto B cairá sobre o ponto E, por ser AB=DE. Ajustando-se pois AB sobre DE, também a reta AC se ajustará sobre a reta DF, sendo o ângulo BAC=EDF. Logo sendo AC=DF, o ponto C cairá sobre o ponto F. Mas temos visto que B cai sobre E. Logo a base BC se ajustará sobre a base EF. Porque se não se ajustarem, caindo B em E, e C em F, se seguirá, que duas linhas retas compreendem um espaço, o que não pode ser ( Ax. 101 ). Logo a base BC deve-se ajustar sobre a base EF, e por conseqüência são iguais. Logo todo o triângulo ABC se ajusta sobre todo o triângulo DEF, e assim são iguais; e os outros ângulos do primeiro triângulo
também se ajustam sobre os outros do segundo e são iguais; isto é, o ângulo ABC=DEF, e
ACB=DFE (Commandino, 1944, pp.23-24).
Temos também os casos de congruência de triângulos LLL (lado-lado-lado), proposição VIII, e finalmente ALA (ângulo-lado-ângulo) e LAAo (lado-ângulo-ângulo oposto, proposição XXVI.
Euclides estudou as congruências entre triângulos e polígonos. A congruência entre figuras quaisquer não foi objeto de estudo. Não havia elementos que pudessem dar conta deste tipo de estudo.
Na primeira metade do século XVII, com o surgimento da Geometria Analítica, o espaço passou a ser considerado como uma coleção de pontos. Dois séculos depois, com o surgimento das geometrias não-euclidianas, os matemáticos aceitaram a situação de que há mais do que um espaço concebível e, portanto, mais do que uma geometria. Mas o espaço ainda era considerado como um lugar onde as figuras poderiam ser comparadas entre si. A geometria passou a ser considerada como o estudo das propriedades das configurações de pontos que permanecem inalteradas quando o espaço circundante é sujeito a transformações.
Esta proposta foi feita por Felix Klein (1849-1925) em sua aula inaugural quando foi designado para a Faculdade de Filosofia e o Conselho da Universidade de Erlanger. Este programa de estudos defendido nessa aula tornou-se conhecido como Erlanger
Programm.
No entanto, segundo Barbosa (1993), o primeiro tratamento matemático dos padrões no plano foi dado por Fedorov em 1891, ao estudar os grupos cristalográficos. Os mesmos foram reestudados e redescobertos por Fricke e Klein em 1897; novamente por Polya e Nigli em 1924. Por Hilbert e Cohn-Vossen, em 1932; por Coxeter, em 1948-1961. Esses trabalhos têm como base a teoria dos grupos discretos, constituindo as possibilidades, e por ausência de outros grupos geradores se conclui a exaustividade.
Barbosa (1993) ressalta como um fato curioso a respeito do palácio de Alhambra, construído no século XIII, em Granada, Espanha, no qual, conforme Fejes Tóth (Academia Húngara de Ciências, Universidade de Weszprém), existem os 7 padrões de simetria das faixas e os 17 padrões de simetria do plano.