Kapittel 4: Analyse og drøfting
4.6 Stabilitet og forutsigbarhet
Inicialmente, considere o seguinte quadripólo:
Figura 20 – Quadripólo utilizado para modelar a abertura de barras
Na Figura 20, V ′ representa a diferença de tensão entre os nós A e A’; V ′
representa a diferença de tensão entre os nós S e S’. Considerando que as variáveis I e I são escolhidas como dependentes, o quadripólo apresentado na Figura 20 é representado matematicamente pelos parâmetros Y através do sistema (57). A análise através de parâmetros Z é ilustrada no sistema (58).
xII y = xyy yy y ∙ xV ′ V ′y (57) xV ′ V ′y = x Z Z Z Z y ∙ xII y (58) O objetivo dessa modelagem consiste em controlar a sobrecarga em um ramo A-B através da corrente que circula pelo disjuntor que interliga as barras S e S’. Desse modo, a modelagem dessa proposição é representada através da Figura 21.
Figura 21 – Representação do sistema para o quadripólo proposto
A modelagem da abertura de barras baseada em quadripólos é realizada para dois casos. O primeiro refere-se ao redirecionamento da sobrecarga. Já no segundo caso, emprega- se o processo de abertura do disjuntor que interliga as barras S e S’.
Para o primeiro caso, é necessário analisar a Figura 21 e fazendo uma analogia com a Figura 20, as correntes I e I do sistema (57) são substituídas, respectivamente, por I# (corrente redirecionada devido à sobrecarga no ramo) e I&# (corrente que atravessa o disjuntor que interliga as barras S e S’). Desse modo, explicitam-se as equações (59) e (60) a partir do sistema (58).
V 9 = Z ∙ I #+ Z ∙ I&# (59) V ′ = Z ∙ I #+ Z ∙ I&# (60)
Uma vez que no caso do redirecionamento da sobrecarga as barras S e S' encontram-se fechadas, a diferença de tensão entre estas barras é nula. Desse modo, explicita-se Z , resultando na equação (61).
Z = −Z ∙ zij ij
Para o caso de abertura do disjuntor que interliga as barras S e S’, as correntes I e I do sistema (57) são substituídas, respectivamente, por ∆I e I!'() $. Nesse caso, ∆I representa a variação de corrente produzida pela abertura do disjuntor que interliga S a S'. Já I!'() $ refere-se à corrente injetada em sentido reverso a I&# para possibilitar a abertura do
disjuntor. Assim, desenvolvem-se as equações (62) e (63) a partir do sistema (58) em função das novas variáveis descritas.
V ′ = Z ∙ ∆I + Z ∙ I!'() $ (62)
V ′ = Z ∙ ∆I + Z ∙ I!'() $ (63)
Para o caso de chaveamento, a diferença de tensão entre as barras A e A' é nula. Portanto, reescreve-se a equação (62), resultando na equação (64).
∆I = − zlmmlm\| ∙ I!'() $ (64)
Considerando que o sistema é simétrico, reescreve-se a equação (61), resultando na equação (65).
Z = Z = −Z ∙ zij{
ij| (65)
Substituindo a equação (65) na equação (64), obtém-se a equação (66). ∆I = zlmml\\| ∙ zij{
ij| ∙ I!'() $ (66)
Explicitando Z na equação (61) e substituindo na equação (59), obtém-se a equação (67).
V ′ = Z ∙ I #− Z ∙ ^Rij {S}
ij _ (67)
Dividindo a equação (67) por I #, resulta-se na equação (68).
[mm′
ij = Z − Z ∙ z ij {
ij| (68)
A partir da equação (68) define-se uma nova variável, Z)$′, conforme a equação (69).
Z)$′ = [mm′
ij (69)
Dividindo a equação (68) por Z e reescrevendo esta em termos de Z)$′, obtém-se a
equação (70).
lmmop′
lmm = 1 − zlmml\\| ∙ zij {
ij| (70)
Reescrevendo a equação (66), obtém-se a equação (71). zlmml\\| = zij
ij
Após a substituição da equação (71) na equação (70), obtém-se a equação (72). lmmop′ lmm = 1 − z ∆m ~•€o•p| ∙ z ij { ij| (72)
Desenvolvendo a equação (72), obtém-se a equação (73).
∆m
~•€o•p= ‚1 −
lmmop′
lmmƒ ∙ zijij{| (73)
Após substituir a equação (64) na equação (63), obtém-se a equação (74). V ′ = „−l\m∙l\m
lmm + Z … ∙ I!'() $ (74)
Dividindo a equação (74) por I!'() $, obtém-se a equação (75).
[\\′
~•€o•p= −
l\m∙l\m
lmm + Z (75)
A partir da equação (75) define-se uma nova variável, Z)$′, conforme a equação (76).
Z)$′ = [\\′
~•€o•p (76)
Substituindo as equações (65) e (76) na equação (75), obtém-se a equação (77). Z)$′ = −lm\
lmm„− zij {
ij| ∙ Z … + Z (77)
Desenvolvendo a equação (77), tem-se a equação (78).
l\\op′ l\\ = 1 + z lm\ lmm| ∙ zij { ij| (78)
Obtém-se a equação (79) a partir da equação (64).
lm\ lmm= −
∆m
~•€o•p (79)
A substituição da equação (79) na equação (78) resulta na equação (80).
l\\op′ l\\ = 1 − z ∆m ~•€o•p| ∙ z ij { ij| (80)
Uma vez que as equações (72) e (80) são iguais, obtém-se a equação (81).
l\\ lmm =
l\\op′
lmm′op (81)
Substituindo a equação (81) na equação (66), obtém-se a equação (82). ∆I = †l\\op′
lmm′op ‡ ∙ zij {
ij| ∙ I!'() $ (82)
O quadripólo apresentado na Figura 20 também é representado pelo circuito π equivalente da Figura 22.
Figura 22 – Circuito π equivalente do quadripólo
No circuito π ilustrado na Figura 22, não existe a representação do ramo sobrecarregado A’-B. Para permitir que o circuito π dessa figura represente a rede elétrica ilustrada na Figura 21, incorpora-se ao circuito π a impedância Z , resultando no circuito representado através da Figura 23.
Figura 23 – Circuito π equivalente do quadripólo com a inserção do ramo sobrecarregado Representando a malha SABS’ do circuito π da figura 23 por meio de um circuito T, obtém-se o circuito ilustrado na Figura 24.
Figura 24 – Circuito T equivalente do quadripólo com a inserção do ramo sobrecarregado A Figura 21 mostra que caso haja uma corrente injetada na barra A, esta fluirá através do sistema e retornará através do ramo A’-B. Portanto, as impedâncias ligadas diretamente a A e A' estão em série e são representadas através de uma impedância equivalente Z #. Ademais, é necessário modelar o disjuntor que interliga as barras S e S'. Assim, a Figura 25 representa o modelo final do circuito para o quadripólo.
Figura 25 – Circuito final que representa o quadripólo
A partir do circuito da Figura 25, verifica-se que, dependendo dos valores das impedâncias Z,# e Z!'() $, haverá uma variação da quantidade de corrente redirecionada I # através do disjuntor que interliga as barras S e S'. Ressalta-se que os valores das impedâncias dependerão dos arranjos das variantes de chaveamento.
A corrente através do disjuntor que interliga as barras S e S' é determinada através de um divisor de corrente representado por meio da equação (83).
I&# = lˆjirl~•€o•plˆji ∙ I # (83) Calcula-se a impedância entre os terminais A e A' através da equação (84).
Z 9 = Z #+ lˆji∙l~•€o•p
lˆjirl~•€o•p (84)
Realiza-se o cálculo da impedância entre os terminais S e S' através da equação (85). Z 9 = Z!'() $+ lˆji∙lij
lˆjirlij (85)
Desenvolvendo a multiplicação da equação (83) por Z!'() $, obtém-se a equação (86).
lˆji∙l~•€o•p
lˆjirl~•€o•p= Z!'() $∙ ij {
ij (86)
Substituindo a equação (86) na equação (84), a equação (87) é obtida. Z!'() $ = RZ 9− Z #S ∙ ij
ij
{ (87)
Desenvolvendo a equação (83), obtém-se a equação (88).
RI#− I&#S ∙ Z,# = Z!'() $∙ I&# (88) Explicitando Z!'() $ na equação (88), obtém-se a equação (89).
Z,# = Z!'() $∙ ij {
Rijtij{S (89)
Substituindo a equação (87) na equação (89), obtém-se a equação (90). Z,# = RZ 9 − Z #S ∙ ij
Rijtij{S (90)
lˆjirlij=
Rijtij{ S
Rlmm9tlijS∙ijrlijRijtij{S∙lij (91)
Desenvolvendo o produto de Z# na equação (90) obtém-se a equação (92). Z,# ∙ Z # = RZ 9− Z #S ∙ Z #∙ ij
Rijtij{S (92)
Expandindo a relação entre as equações (92) e (91) obtém-se a equação (93).
lˆji∙lij lˆjirlij=
Rlmm9tlijS∙lij∙ij
Rlmm9tlijS∙ijrRijtij{S∙lij (93)
Substituindo as equações (87) e (93) na equação (85), obtém-se a equação (94). Z 9 = RZ 9 − Z #S ∙ ij
ij
{ + RZ 9 − Z #S ∙l lij∙ij
mm9∙ijtlij∙ij{ (94)
O desenvolvimento da equação (94) resulta na equação (95). Z 9 = RZ 9 − Z #S ∙ „ij ij { + 1 zllijmm9 − ij { ij| c … (95) Conforme demonstrado na equação (81), Z 9 = Z)$9 e Z 9 = Z)$9. Assim, reescreve-
se a equação (95), obtendo a equação (96).
Z)$9 = RZ)$9 − Z #S ∙ x1 zij { ij| c + 1 ^lmm9op lij − ij { ij_ c y (96) A partir da substituição da equação (96) na equação (82), obtém-se a equação (97).
∆m ~•€o•p = ^1 − lij lmm9op _ ∙ x1 z ij { ij| c + 1 ^lmm9op lij − ij { ij_ c y ∙ zij{ ij| (97)
Através de uma análise na equação (97), infere-se que, em termos de impedância, a única que influenciará na determinação da corrente no ramo sobrecarregado é Z #, uma vez que Z)$9 é obtida através da relação entre a tensão V 9 e a corrente I #. Essa impedância representa a impedância série equivalente da porção de rede entre o nó A e o Nó de Chaveamento S.
4.3 ABERTURA DE BARRAS: ANÁLISE ATRAVÉS DA TÉCNICA DE CIRCUITO